Dạy học hàm số trong chương trình phổ thông

Trang 1

LOI CAM ON

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lịng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Quang Huy — người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo để em hồn thành khĩa luận này

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, đặc biệt là các thầy cơ trong tổ phương pháp dạy học đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hồn thành khĩa luận

Do thời gian cĩ hạn nên khĩa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sĩt Rất mong nhận được sự gĩp ý của các thầy, cơ giáo và các bạn để khĩa luận hồn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Trang 2

LOI CAM DOAN

Em xin cam đoan khĩa luận nay là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Nguyễn Quang Huy Khĩa luận này khơng trùng với kết quả của bất kỳ cơng trình nghiên cứu nào

Nếu sai em xin hồn tồn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Trang 3

MUC LUC

Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Nội dung

Chương 1: Phân tích khái niệm hàm số

1.1 Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử tốn 1.2 Những định nghĩa khác nhau về hàm

1.3 Phân tích định nghĩa hàm Chương 2: Dạy học hàm số

2.1 Nội dung và triển khai chủ đề hàm số trong chương trình tốn ở phổ thơng

2.2 Mục đích, yêu cầu dạy học 2.3 Hướng dẫn dạy học hàm số 2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số 2.3.2 Dạy học khảo sát hàm số

2.3.3 Phát triển tư duy hàm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Trang 4

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Để đảm bảo việc giảng dạy cĩ hiệu quả những nội dung mơn tốn ở nhà trường

phổ thơng, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị cho mình những hành

trang tri thức: kỹ năng, kỹ xảo cần thiết về phương pháp dạy học Một trong những nội dung tri thức đĩ là hàm số

Hàm số là một trường hợp đặc biệt của khái niệm hàm Theo nhà tốn học Xơ Viết Khinsin thì khơng cĩ khái niệm nào khác cĩ thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, khơng cĩ khái niệm nào cĩ thể thể hiện được ở trong nĩ những nét biện chứng của tư duy tốn học hiện đại như khái niệm tương quan hàm Thật vậy, bản chất của sự vật là vận động và sự vận động diễn ra trong những mối tương quan nhất định Với khái niệm hàm, người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nĩ chứ khơng phải trong trạng thái tĩnh lại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ khơng phải tách rời nhau Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đĩ Chính vì vậy, khái niệm hàm là một khái niệm cơ bản của tốn học, nĩ giữ vị trí trung tâm trong chương trình mơn Tốn ở nhà trường phổ thơng, tồn bộ việc dạy học tốn ở phổ thơng đều xoay quanh khái Tiệm này

Nĩi riêng, đối với mơn tốn ở phổ thơng trung học, hàm số xuyên suốt trong các mạch chương trình và tạo nên sự gắn bĩ giữa các phân mơn tốn học với nhau Việc sử dụng khảo sát hàm số và các tính chất của hàm số như một cơng cụ để giải bài tập tốn trong nhiều trường hợp tỏ ra rất hiệu quả Hơn nữa, lời giải một số bài tốn khi sử dụng cơng cụ hàm số thường ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu hơn

Trang 5

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc dạy học hàm số trong chương trình mơn tốn ở trường phổ thơng, từ đĩ nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tìm hiểu ý nghĩa, vai trị của việc dạy học hàm số ở phổ thơng

+ Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa về dạy học hàm số + Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học hàm số

4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận + Phương pháp quan sát - điều tra 5 Cấu trúc đề tài

Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục khĩa luận gồm hai chương:

Chương 1 Nghiên cứu khái niệm hàm số

1.1 Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử tốn 1.2 Những định nghĩa khác nhau về hàm

1.3 Phân tích định nghĩa hàm Chương 2 Dạy học hàm số

2.1 Nội dung và triển khai chủ dé ham số trong chương trình tốn ở phổ

thơng

2.2 Mục đích, yêu cầu dạy học 2.3 Hướng dẫn dạy học hàm số 2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số 2.3.2 Dạy học khảo sát hàm số

Trang 6

NOI DUNG

Chuong 1 NGHIEN CUU KHAI NIEM HAM SO

1.1 Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử tốn

Từ một 1000 năm trước cơng nguyên, người Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn và như vậy họ đã cĩ khái niệm sơ khai về hàm số Khái niệm này đến đầu thế kỷ thứ XVII mới được hình thành rõ ràng và cĩ hệ thống trong Tốn học, nhờ các cơng trình của Phermat và Descartes

Giữa thế kỷ thứ XVII nảy sinh nhu cầu về định nghĩa tổng quát hàm số do đụng chạm đến bài tốn về sự giao động của sợi dây Danh từ hàm số (funotio) được Leibnitze dùng lần đầu tiên vào khoảng năm 1694 Trong thế kỷ XVII khái niệm

hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường

Thế kỷ XVII là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ

trực giác hình học sang biểu thức giải tích Năm 1718 Johann Bernoulli định nghĩa: “Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đĩ và các đại lượng khơng đổi” Năm 1748 D°Alembert cũng định nghĩa “Hàm số là một biểu thức giải tích” Trong thế kỷ XVIII biểu thức giải tích đĩng vai trị cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số Tuy nhiên cũng cĩ những định nghĩa tổng quát hơn nảy nở trong thế kỷ này, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc Năm 1755 Euler định nghĩa: “Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai”

Trong thế kỷ XIX sự phát triển của giải tích tốn học địi hỏi mở rộng khái niệm hàm số, xây dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng Năm 1837 Dirichler định nghĩa: “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hồn tồn xác định của y cịn sự tương ứng đĩ được thiết lập bằng cách nào thì điều này hồn tồn khơng quan trọng” Ơng nêu ví dụ:

1:x hữ ta 0:x vỗœ

Trang 7

Định nghĩa này được tất cả các nhà bác học thời bấy giờ chấp nhận Về sau lý thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của tốn học địi hỏi phải mở rộng hơn nữa khái niệm hàm số Người ta dựa vào lý thuyết tập hợp để định nghĩa khái niệm hàm Như vậy là khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng, chính xác hĩa và hồn thiện do nhu cầu của thực tiễn

1.2 Những định nghĩa khác nhau về hàm

1.2.1 Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên

Khuynh hướng này xuất hiện sớm hơn về mặt lịch sử nên cịn được gọi là khuynh hướng cổ điển Nĩ lấy những ứng dụng cổ truyền của tốn học, trong vật lý, kỹ thuật làm cơ sở và dựa vào đại lượng biến thiên

Trong khuơn khổ khuynh hướng này cĩ hai dạng định nghĩa Cả hai dạng đều dựa vào sự tương ứng giữa những giá trị của một đại lượng biến thiên này với các giá trị của những đại lượng biến thiên kia Nhưng sự khác nhau là ở chỗ dạng thứ nhất coi hàm chính là bản thân đại lượng biến thiên nĩi ban đầu, cịn dạng thứ hai coi hàm là một luật (hay quy tắc biểu thị sự tương ứng đĩ)

Ví dụ về dạng thứ nhất là định nghĩa: “Đại lượng y được coi là hàm số của đại lượng x, nếu với mỗi giá trị của x (trong khoảng biến thiên của nĩ) thì tương ứng một giá trị xác định của y, x gọi là đối số” (Đại số 10, sách bổ túc văn hĩa, nhà xuất bản giáo dục Hà Nội, trang 58) [7]

Để minh họa cho dạng thứ hai, cĩ thể nêu ví dụ: “Luật (quy tắc) theo đĩ các giá trị của đại lượng biến thiên phụ thuộc tương ứng với các giá trị của những đại lượng biến thiên độc lập gọi là hàm” (Bài giảng về đại số cao cấp của Mytskit) [7]

Đương nhiên những phát biểu như trên khơng thể xem là những định nghĩa chặt chẽ của khái niệm hàm, bởi vì trong đĩ cĩ từ “đại lượng biến thiên” mà việc chính xác hĩa nĩ cĩ những khĩ khăn nhất định Hơn nữa, trong định nghĩa dạng thứ hai cịn cĩ thuật ngữ quy tác hoặc luật mà nghĩa cịn chưa được quy định rõ

1.2.2 Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp

Trang 8

ham vì nĩ nghiên cứu những sự tương ứng khơng phải chỉ giữa các giá trị của những đại lượng Do đĩ, nĩ cĩ khả năng phục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ truyền của tốn học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện trong thời gian gần đây

Trong khuơn khổ của khuynh hướng này người ta phân biệt bốn dạng định nghĩa: định nghĩa tình huống hàm, hàm như một quy tắc, hàm như một sự tương ứng và hàm như một bộ ba tập hợp

1.2.2.1 Định nghĩa tình huống hàm

Dạng thứ nhất khơng định nghĩa bản thân khái niệm hàm mà chỉ định nghĩa tình huống hàm nghĩa là tình huống mà trong đĩ cĩ thể nĩi rằng cĩ một hàm số

Chẳng hạn:

“Giả sử M và F là hai tập hợp bất kỳ Người ta nĩi rằng trên M được xác định một hàm f nhận các giá trị trong F nếu với mỗi phần tử x e M đặt tương ứng một và chỉ một phần tử trong F Trong trường hợp các tập hợp cĩ bản chất bất kỳ thì thay từ “hàm” người ta thường dùng từ “ánh xạ” và nĩi về ánh xạ của tập hợp M đến tập hợp F (Kolmogorov và Fomin: Những yếu tố của lý thuyết hàm và giải tích hàm)

“Cho hai tập hợp A và B Ta nĩi rằng đã xác định một ánh xạ @ của tập hợp A vào tập hợp B và ký hiệu ọ: A -› B nếu bằng cách nào đĩ đặt tương ứng mỗi phần tử a e A một phần tử xác định b € B (Tran Van Hao 1968, trang 9) [7]

1.2.2.2 Hàm như một quy tắc tương ứng giữa hai tập hợp

Dạng thứ hai xem hàm như một luật hay quy tắc tương ứng giữa các phần tử

của hai tập hợp, chẳng hạn:

“X và Y là hai tập hợp đã cho Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x eX một phần tử duy nhất y e Y” (Lê Đình Phi 1975,

trang 12) [7]

Trong những định nghĩa thuộc dạng trên, người ta dùng những khái niệm như “quy tắc” hay “luật” Ý nghĩa của những từ này cĩ thể được chính xác hĩa nhờ khái niệm thuật tốn, nhưng một sự chính xác hĩa như thế lại dẫn đến thu hẹp khái niệm hàm

1.2.2.3 Hàm như một sự tương ứng

Trang 9

“Theo định nghĩa tổng quát nhất thì hàm là một sự tương ứng mà theo đĩ với mỗi phần tử x của một tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập Y nào đĩ”

(Klini: Nhập mơn vào tốn học) [7]

Những định nghĩa thuộc dạng này xuất phát từ khái niệm sự tương ứng là một khái niệm chưa được định nghĩa nhưng cĩ thể dễ dàng giải thích bằng trực giác (do đĩ cĩ thể dùng được với yêu cầu chính xác khơng cao lắm)

1.2.2.4 Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp

Các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để Vì vậy chúng chưa chỉ được đích danh hàm là gì (dạng thứ nhất) hoặc cịn cĩ những thuật ngữ chưa rõ, chẳng hạn như “quy tác” (dạng thứ hai), “sự tương ứng” (dạng thứ ba)

Dạng thứ tư khắc phục được nhược điểm của ba dạng trên bằng cách đưa thêm vào tập hợp những cặp để chính xác hĩa khái niệm hàm Dạng này cĩ hai cách định nghĩa: định nghĩa đây đủ và định nghĩa rút gọn

Về định nghĩa đầy đủ, Bourbaki định nghĩa:

“Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nĩ là những cặp được gọi là một đồ thị Tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị G, ký hiệu là pr,G Tập hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của G, ký hiệu là pr;G

Một bộ ba (G, A, B), trong đĩ G là một đồ thị sao cho pr,G c A và pr;G c B, được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là đích của sự tương ứng đĩ

Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đĩ khơng cĩ hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr,F”

Như vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp (F, A, B), trong đĩ F là tập những cặp sao cho pr,F c A và pr;F c B được gọi là một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc E

Trang 10

“Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kỳ trong tập hợp đĩ khơng cĩ quá một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước”

Như thế hàm theo định nghĩa rút gọn chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đây đủ, cịn nguồn và đích khơng cĩ mặt trong định nghĩa rút gọn

Định nghĩa đây đủ và định nghĩa rút gọn của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp cũng thường hay xâm nhập lẫn nhau Chính Bourbaki nhiều khi cũng dùng khái niệm hàm theo định nghĩa rút gọn, cụ thể là trong những phần khác của tập sách cũng hay dùng từ “hàm” để chỉ “đồ thị hàm” Mặt khác, xuất phát từ định nghĩa rút gọn,sau khi đưa vào khái niệm miễn xác định D(f) của hàm f (tập hợp tất cả các phan tử thứ nhất của các cặp trong f) và khái niệm miễn giá trị E() của hàm f (tập hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong f) người ta cĩ thể chuyển sang định nghĩa đầy đủ, chẳng hạn bằng cách đưa vào những định nghĩa sau:

1.Néu D(f) = A va E(f) = B thi ngudi ta nĩi rằng f là ánh xạ A lên B

2.Néu D(f) = A va E(f) c B thi ngwoi ta nĩi rằng f là ánh xạ A vào B và viết là

f:A > B

3.Nếu DŒ@) c_A và E() = B thì người ta nĩi rằng f là ánh xạ từ A lên B

4.Nếu DŒ) c A và E(f) c B thì người ta nĩi rằng f là ánh xạ từ A vào B (xem

Kolmogorov, trang 28) [7]

Ở đây, định nghĩa hai thực chất trùng với định nghĩa đẩy đủ về hàm của Bourbaki

Trong các định nghĩa hàm theo khuynh hướng hiện đại, thực ra chỉ cĩ dạng thứ tư là triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp Vậy những định nghĩa dạng này (theo cách day đủ hay rút gọn) là tiêu biểu nhất cho khuynh hướng hiện đại, tức là khuynh hướng lý thuyết tập hợp

1.3 Phân tích định nghĩa hàm 1.3.1 Định nghĩa theo cách đây đủ

Theo định nghĩa đầy đủ, khái niệm hàm cĩ những đặc điểm sau đây:

Trang 11

nhiên nếu chỉ cho tập hợp những cặp, tức là ta chỉ biết sự tương ứng giữa những vật riêng lẻ mà khơng biết rõ chúng là phân tử của hai tập hợp nào thì hàm vẫn chưa được xác định Chẳng hạn ta chưa thể coi sự tương ứng giữa các đối tượng riêng lẻ sau đây cĩ xác định một hàm hay khơng:

1 2 2> 4 7> |

Nếu coi các số đĩ là các phần tử của tập hợp số thực R ,tức là nếu lấy nguồn và đích đều là tồn bộ tập số thực R thì sự tương ứng đĩ khơng xác định một hàm, nhưng nếu thay nguồn R bởi nguồn { 1, 2, 7} và giữ nguyên đích là R thì ta lại được một hàm Ví dụ này nêu rõ vai trị của nguồn trong khái niệm hàm

Để thấy rõ vai trị đích, ta xét ví dụ sau đây:

R R và R R

x Vx x WwW Vx

(R' ký hiệu cho tập hợp các số thực khơng âm)

Đĩ là hai hàm khác nhau mặc dâu chúng cĩ cùng nguồn và cùng tập hợp những cặp (chỉ cĩ hai đích là khác nhau: R'vàR ) Nếu đã biết khái niệm hàm tồn ánh thì sẽ thấy hàm thứ nhất là một hàm tồn ánh cịn hàm thứ hai khơng phải là hàm tồn ánh

Thứ hai, điều kiện ắt cĩ và đủ để một bộ ba tập hợp (F, A, B) trong đĩ F là tập hợp những cặp sao cho pr,F c A va pr,F c B, là một hàm là:

p¡: Với mọi a e A đều tồn tại b e B sao cho (a, b) e F

P2: Với mọi (ai, b,) e F và mọi (a;, bạ) e F ta đều cĩ: ai = a; > bị = bạ

(Cĩ tác giả chỉ yêu cầu điều kiện p; trong định nghĩa hàm,nhưng ở đây ta theo chiêu hướng chung là yêu cầu cả p, lẫn p;)

Trang 12

Các điều kiện p, và p; chia tất cả các bộ ba tập hợp (F, A, B) trong đĩ F là tập hợp những cặp sao cho pr,A và pr;B thành bốn lớp, trong đĩ lớp thứ tư là tập các hàm từ A đến B

Dị Ð

1 | Sai Sai

2 | Sai Dung Khơng phải là hàm từ A đến B

3|Đúng | Sai 4|Đúng | Đúng Hàm từ A đến B 2 | #1) 3 4 A B A ; j

Những điều kiện trên cùng cho ta thấy vai trị khơng đối xứng giữa nguồn và đích Người ta yêu cầu:

Với mọi a e A đều tồn tại b e B sao cho (a, b) e E (p)

Chứ khơng yêu cầu:

Với mọi b e B đều tồn tai a e A sao cho (a, b) e E (p;)

Trong hai trường hợp a) và b) sau đây thì a) khơng xác định một hàm cịn b) lại xác định một hàm:

Trang 13

A B A B

a) b)

Mặt khác, người ta yêu cầu:

Với mọi (ai, bị) e E và mọi (a;, bạ) e F ta đều cĩ: a,=a;>b,=b„ (p;) Chứ khơng yêu cầu:

Với mọi (ai, b,) e E và mọi (a;, b,) e F ta đều cĩ: b,=b;a¿=a, (py) Trong hai trường hop c) và d) sau đây thì c) khơng xác định một hàm cịn d) lại xác định một hàm:

A B A : : B

c) d)

Những hàm thỏa mãn điều kiện p; được gọi là hàm tồn ánh, thỏa mãn điều kiện p„ được gọi là hàm đơn ánh, thỏa mãn cả hai điều kiện được gọi là hàm song ánh

Như vậy các điều kiện p; và p; chia tập hợp các hàm từ A đến B thành bốn lớp:

P3 Ps Dang ham

1 Sai Sai Hàm khơng tồn ánh và khơng đơn ánh 2 ‘| Sai Đúng | Hàm đơn ánh khơng tồn ánh

3 | Đúng | Sai Hàm tồn ánh khơng đơn ánh

4 |Đúng | Đúng | Hàm song ánh

Trang 14

1.3.2 Dinh nghĩa theo cách rút gọn

Định nghĩa hàm theo cách rút gọn khơng xét nguồn và đích Khi ấy, một hàm hồn tồn được xác định bởi một tập hợp những cặp Cần chú ý rằng điều kiện p, khơng những phụ thuộc tập hợp những cặp mà cịn phụ thuộc cả nguồn và đích, vì vậy nĩ mất ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn Trái lại, điều kiện p; chỉ phụ thuộc tập hợp những cặp vì vậy nĩ vẫn cĩ ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn Do đĩ, ta cĩ định nghĩa hàm theo cách rút gọn như mục 1.2.2.4 và từ định nghĩa này ta cĩ:

Một tập hợp những cặp sẽ là một hàm khi và chỉ khi nĩ thỏa mãn điều kiện p Tương tự như vậy, điều kiện p; mất ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn trong khi điều kiện p„ vẫn cịn cĩ ý nghĩa trong định nghĩa đĩ Vì thế, theo định nghĩa rút gọn khơng cĩ khái niệm hàm tồn ánh nhưng vẫn cĩ khái niệm hàm đơn ánh

Néu F 1a mot ham theo định nghĩa rút gọn thì (F, pr;F, pr;F) bao giờ cũng là một hàm theo định nghĩa đây đủ, thậm chí bao giờ cũng là hàm tồn ánh

1.3.3 Hàm và những hình thức biểu diễn khác nhau

Ta cĩ thể gặp những hàm được diễn tả bằng bảng, bằng lời lẽ hay bằng biểu

thức giải tích, bằng một hay nhiều biểu thức, dưới dạng tường minh hay ẩn tàng,

cũng cĩ khi khơng biểu thị được bằng biểu thức giải tích Nhưng dù là hàm được cho bằng bất kỳ cách nào, dưới bất kỳ hình thức nào, dù là theo định nghĩa đầy đủ hay rút gọn thì thơng qua những dạng khác nhau này vẫn phải thấy được thực chất của khái niệm hàm là một sự tương ứng được thiết lập giữa các phần tử của hai tập hợp và thỏa mãn một số điều kiện nhất định

Trong lịch sử tốn học đã cĩ lúc người ta coi hàm là một đường, lại cĩ khi coi hàm là một biểu thức giải tích, nhưng thực ra đĩ chỉ là những dạng biểu diễn khác nhau của hàm mà thơi Ta khơng nên để cho học sinh lâm lẫn hàm với phương tiện

biểu diễn nĩ

1.3.4 Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp dưới gĩc độ giảng dạy tốn học

Trang 15

đánh giá khuynh hướng hiện đại so với khuynh hướng cổ điển dưới gĩc độ giảng dạy tốn học

Định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp cĩ những ưu điểm rất cơ bản:

Thứ nhất, một định nghĩa như thế là tổng quát nhất Ta nhìn nhận ưu điểm này

khơng phải chỉ đứng trên quan điểm khoa học tốn học đơn thuần mà cịn xét cả về mặt giáo dục tốn học nữa Nếu theo quan điểm cổ điển dựa vào đại lượng biến thiên thì khái niệm hàm làm sao bao gồm được những phép biến hình trong hình học Nhờ tính tổng quát cao của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp mà tính thống nhất của giáo trình tốn học ở trường phổ thơng được tăng cường Tồn bộ chương trình tốn học đều xoay quanh khái niệm trung tâm là khái niệm hàm và ta cĩ thể vận dụng khái niệm này để nghiên cứu những vấn đề rất khác nhau trong chương trình Cần chú ý rằng việc tăng cường tính thống nhất của tốn học xĩa bỏ ranh giới giả tạo giữa các phân mơn của nĩ là một trong những xu hướng của việc cải cách mơn tốn ở nước ta cũng như trên thế giới

Tính tổng quát của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp cịn làm cho khái niệm này bao gồm hàng loạt ví dụ hay gặp trong thực tế hàng ngày: học sinh — tuổi của học sinh đĩ, thành phố — số dân Nhờ đĩ khái niệm hàm cĩ một phạm vi ứng dụng rộng rãi và đồng thời ta cũng cĩ một nguồn tài liệu phong phú để minh họa cho khái niệm này

Trang 16

đối với trường hợp tổng quát hay sao? Điều nĩi về sự khơng phù hợp giữa định nghĩa hình thức của hàm theo lý thuyết tập hợp với hình dung trực giác về hàm như đại lượng biến thiên (Dorofeev, sách đã dẫn, trang21, 22) [7] cũng khơng xác đáng Tại sao lại khơng phù hợp? Chẳng nhẽ một trường hợp riêng lại khơng phù hợp với trường hợp tổng quát hay sao? Đương nhiên, do tính trừu tượng của định nghĩa cho nên giữa sự hiểu biết trực giác thơng qua những tình huống cụ thể và việc nắm vững định nghĩa cĩ thể cĩ khoảng cách nhất định Nhưng chính Dorofeev cũng phải thừa nhận rằng khoảng cách như thế khơng phải chỉ cĩ trong trường hợp định nghĩa hiện

đại về hàm mà cịn cĩ ngay ở những định nghĩa cổ điển về hàm nữa

Thứ hai, định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp là chặt chẽ nhất, rõ ràng nhất Trong định nghĩa này khơng chứa thuật ngữ “đại lượng” biểu thị một khái niệm rất khĩ chính xác hĩa (sự chính xác hĩa khái niệm đại lượng dương vơ hướng trong từ điển bách khoa tốn học của Liên Xơ cũ đã cần tới một hệ gồm 10 tiên đề) Nếu theo khuynh hướng lý thuyết tập hợp một cách triệt để (dạng định nghĩa thứ tư, mục 1.2.2.4) thì ta cịn loại bỏ được nhiều thuật ngữ mơ hồ, khơng rõ nghĩa như “quy tác”, “ứng”

Dorofellv (sách đã dẫn trang 22) [7] cho rằng định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp cũng khơng chặt chẽ vì bản thân lý thuyết tập hợp ngây thơ cũng chứa đựng nhiều nghịch lý Tuy nhiên, ta khơng thể vì lý do đĩ mà cào bằng sự thiếu chặt chẽ của lý thuyết tập hợp với sự thiếu chính xác của các định nghĩa khác Rõ ràng là tốn học ở trường phổ thơng đứng trên lập trường thừa nhận lý thuyết tập hợp ngây thơ, và vì vậy khơng cĩ lý do gì để cơng kích tính chặt chẽ của định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp

Trang 17

lại khơng thể coi là mục đích đối với việc giảng dạy tốn học, nhất là trong nhà trường phổ thơng Theo ơng thì việc lựa chọn một số khái niệm nào đĩ làm khái niệm khơng định nghĩa với mục đích đơn giản hĩa việc nghiên cứu chúng trong dạy học cĩ thể hiệu quả hơn là xu hướng cố gắng định nghĩa tất cả những gì khơng được định nghĩa Quan điểm khơng cần thiết phải cố gắng định nghĩa tất cả những gì cĩ thể định nghĩa trong nhà trường phổ thơng của Dorofellv là hồn tồn đúng đắn, nhưng vận dụng quan điểm này để phê phán khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp lại khơng thích hợp Thật vậy, trong nhà trường phổ thơng, việc xây dừng khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp khơng phải nhằm giảm bớt số những khái niệm khơng định nghĩa mà điều quan trọng là giảm bớt những khái niệm mơ hồ, thay bằng những khái niệm khác rõ ràng hơn (rõ ràng hơn khơng nhất thiết là phải định nghĩa

mà cĩ thể trên cơ sở hình dung trực giác) Chẳng hạn khái niệm “tập hợp” rõ ràng

hơn khái niệm “đại lượng” trong khuynh hướng cổ điển, khái niệm “cặp” (trong định nghĩa triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp) rõ ràng hơn khái niệm “quy tắc tương ứng” mặc dầu “tập hợp” và “cặp” ở nhà trường phổ thơng cũng chỉ được mơ tả chứ khơng hề được định nghĩa như Dorofellv e ngại

Về mặt nhược điểm thì phải thừa nhận rằng cĩ sự khơng phù hợp giữa định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp với nhiều thuật ngữ thường dùng (Dorofellv, sách đã dẫn, trang 23,24) [7] Nếu như nghiêm ngặt tuân theo quan điểm tập hợp thì liên quan tới khái niệm hàm, ta phải sử dụng hàng loạt những ký hiệu và thuật ngữ khơng thơng dụng, gây nên một sự thay đổi lớn trong ngơn ngữ tốn học Chẳng hạn, ta sẽ phải dùng những thuật ngữ và ký hiệu sau đây:

“(x, y) e f, “Ham{(ssins)/xe{-2.4 hn hàm con don ánh của hàm

{(x.sinx)/xeR}”, "Í(x.x')/xeR] ={(x,2x)/xeR} ,

Trái lại nhiều thuật ngữ và ký hiệu thơng dụng lại trở thành quy ước, khơng tự nhiên, khơng lơgic, khơng chính xác và cĩ khi vơ nghĩa nữa Ví dụ như cơng thức quen thuộc (sinx)'= cosx trở thành khơng hồn tồn chính xác Thực vậy sinx là

ee

Trang 18

để chỉ phép lấy đạo hàm, khơng dùng được đối với những số Cũng cĩ thể hợp pháp

hĩa những cách viết như trên bằng sự giải thích như sau: Trong thực tế thay cho ký hiệu đầy đủ về hàm, người ta thường dùng ký hiệu vắn tắt là f(x) Tuy nhiên sự giải thích này lại làm cho ký hiệu f(x) trở thành cĩ hai nghĩa: Một mặt nĩ là giá trị của hàm f ứng với giá trị x (nĩi chính xác), mặt khác nĩ lại là bản thân hàm f (nĩi một cách khơng hồn tồn chính xác) Đương nhiên đối với hàm số sin và hàm số cos thì cũng cĩ thể viết cơng thức trên dưới dạng hồn tồn chính xác là sin' =cos Nhưng đối với hàng loạt hàm số khác như {(x, x )/xeR} chẳng hạn thì làm sao cĩ cách viết vừa đơn giản vừa chính xác như thế được?

Ký hiệu lim ƒ() và í ƒ(z) dx cũng liên hệ với biểu thức f(x) hơn là với hàm f

Để định nghĩa giới hạn trong lý thuyết tập hợp, ta phải dùng một khái niệm đặc biệt gọi là loc x -› a và kí hiệu là o(a) chứ khơng dùng chữ cụ thể để ký hiệu cho biến, và giới hạn của hàm theo loc o(a) được ký hiệu là lim ý Nhưng rõ ràng là ký hiệu như thế liên hệ với khái niệm o(a) vượt ra khỏi chương trình phổ thơng

Nhược điểm về sự khơng phù hợp giữa định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp với những thuật ngữ và ký hiệu thơng dụng cĩ thể khắc phục bằng cách chuyển những thuật ngữ và ký hiệu khơng thơng dụng sang những thuật ngữ và ký hiệu thơng dụng tương ứng nhờ những quy ước và dĩ nhiên phải chịu sự thiếu tự nhiên và cĩ khi cả sự thiếu chính xác của các quy ước đĩ

Trang 19

buộc phải phát biểu định nghĩa tương ứng một cách tường minh Ơng cho rằng học sinh cĩ thể dần dần lĩnh hội được nội dung cơ bản của khái niệm hàm nhờ những phát biểu sau đây qua những bậc lớp khác nhau, coi như những định nghĩa khơng tường minh của khái niệm đĩ:

1 Nếu cho một

hàm f với miền xác định D thì với mỗi x e D đều tương ứng một y = f(x) hồn tồn xác định

2 Một hàm với

miền xác định D được cho hồn tồn bằng cách chỉ ra đối với mỗi x e D phần tử tương ứng y = f(x)

Từ l và 2 suy ra:

3 Để cho một

hàm thì ắt cĩ và đủ là cho tập hợp những cặp M; = {(x.y)/y= /()} ứng

với nĩ Tập hợp này cĩ tính chất sau:

(F) Đối với x bất kỳ thì trong tập hợp M; chứa khơng quá một cặp (x, y) với phần tử ban đầu x cho trước

Rõ ràng miền xác định D của hàm f khơng gì khác hơn là tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp (x, y) e Mẹ

4 Một tập hợp bất

kỳ M gồm những cặp với tính chất (F) xác định một hàm (xem

Kolmogorov, sách đã dẫn, trang 28) [7]

Trang 20

Chuong 2: DAY HOC HAM SO

2.1 Nội dung và triển khai chủ đề hàm số trong chương trình tốn ở phổ thơng

Ở lớp 7 khái niệm hàm số được mơ tả thơng qua tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên và hai hàm số cụ thể y=ax, ya (a 0)

Chương trình lớp 9 xét tiếp các hàm số bậc nhất y=zøx+b (a 0), hàm số bậc hai đạng y=axŸ (a _ 0), hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Chương trình lớp 10 tổng kết về hàm số Học sinh được nghiên cứu đầy đủ hơn với các khái niệm: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số; đồng thời đưa ra các khái

niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số; hàm số chắn, lẻ

Chương trình lớp I1 học sinh học hàm số lượng giác (chương 1), hàm số với đối số tự nhiên (chương 3)

Trong chương 1 (Đại số và Giải tích 11 kể cả sách nâng cao), sách giáo khoa

giới thiệu các hàm số lượng giác của biến số thực

y=sinx, y= c0sx, y=tan x, y=cotx cùng với tính tuần hồn và tính chẵn lẻ của nĩ Các hàm sốy=sinx,y=tanx,y=cotx cùng là những hàm số lẻ và hàm Số y = cosx là ham s6 chan

Các hàm số y=sinx, y=cosx là những hàm số tuần hồn với chu kỳ 2_, các hàm y=tan x, y=cotx là những hàm số tuần hồn với chu kỳ

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 khơng đề cập đến khái niệm hàm số tuần

hồn tổng quát mà những hiểu biết tổng quát về hàm số tuần hồn được cung cấp

Trang 21

“Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hồn nếu cĩ sốT sao cho với mọi x e D ta cĩ

x+7eD,x-TeD và ƒ(x+T)=ƒ()

Nếu cĩ số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đĩ được gọi là một hàm số tuần hồn với chu kỳ T”

Trong chương 3, sách giáo khoa trình bày về khái niệm dãy số và nghiên cứu hai dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân Thực chất, dãy số chính là hàm số với đối số tự nhiên

Phần này được trình bày tương tự nhau ở sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 và sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Lớp 12 cĩ chương2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit Trước đây những hàm này được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích II — NXBGD 2000 Nhưng theo chương trình đổi mới nội dung giáo dục, chương đạo hàm được đưa vào từ lớp 11 nhằm phục vụ cho việc dạy học vật lý ở đầu lớp 12 và dạy học hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit một cách đây đủ theo các bước Nên các hàm số này đã được đưa vào chương trình lớp 12

Sách giáo khoa Giải tích 12 kể cả sách nâng cao trình bày định nghĩa hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit

Đối với hàm số ngược, SGK Giải tích 12 và SGK Giải tích 12 nâng cao khơng trình bày mà chỉ nĩi tới phép tốn ngược:

“Phép tốn lơgarit là phép tốn ngược của phép lũy thừa” 2.2 Mục đích, yêu cầu dạy học

a Nắm vững khái niệm hàm số, thấy được những dạng khác nhau muơn hình muơn vẻ của khái niệm này trong tất cả các phân mơn của tốn học và qua các chương mục khác nhau, từ đĩ thấy được vị trí trung tâm tồn bộ chương trình tốn phổ thơng và tập luyện phương thức tư duy hàm

b Nắm vững phương pháp khảo sát hàm số, thoạt đầu bằng phương pháp sơ cấp và về sau bằng cơng cụ đạo hàm, biết vận dụng những phương pháp đĩ để khảo

sát những hàm số cụ thể: hàm số bậc nhất, bậc hai, hàm nghịch biến; hàm số mi,

Trang 22

Thấy được những mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị và những ứng dụng của việc khảo sát hàm số, đặc biệt là trong việc giải phương trình và các bài tốn về cực trị

c Phát triển ở học sinh năng lực tư duy hàm thơng qua việc thực hiện các yêu

cầu (a) và (b) trong tồn bộ chương trình mơn tốn

Rèn luyện những thao tác tư duy, đặc biệt là trừu tượng hĩa và khái quát hĩa trong việc hình thành khái niệm hàm số từ những ví dụ muơn hình muơn vẻ

d Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, trước hết là tập dượt xem xét những sự vật và hiện tượng trong trạng thái động và trong những mối liên quan mật thiết với nhau

2.3 Hướng dẫn dạy học hàm số 2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số

2.3.1.1 Hình thành những biểu tượng về hàm số ngay từ các lớp dưới lớp 7

Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc tiểu học, học sinh đã được làm quen ngầm với khái niệm “tương ứng” Đĩ là những tương ứng đơn giản giữa các phần tử của hai tập hợp như: tương ứng giữa số học sinh và số ghế, tương ứng giữa số chén và số đĩa, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng khi cho cố định số hạng cịn lại

Ví dụ: Một biểu thức y=x+3sẽ cho tương ứng mỗi số x với một số y duy nhất nhận giá trị là x+3 Như vậy, khi x bằng 2 thì giá trị tương ứng của y là 5

Các em cũng được làm quen với một số bảng cộng, trừ các số tự nhiên Ví dụ: (sách giáo khoa Tốn 2, trang 89): Viết số thích hợp vào ơ trống:

Số hạng 32 12 25 Số hạng 8 25 35 Tổng 62 85

Từ lớp 4, sách giáo khoa bắt đầu giới thiệu về các biểu thức chứa chữ đơn giản, các bài tốn tìm x hay tìm giá trị của biểu thức với một hoặc hai biến

Trang 23

Ví dụ: (sách giáo khoa Tốn 4, trang 7): Một hình vuơng cĩ độ dài cạnh là a Gọi chu vi hình vuơng là P Ta cĩ: P=øx4 Hãy tính chu vi hình vuơng với: a =

3cm; a = 5dm; a = 8m

Ta cĩ: P=ax4 sẽ cho tương ứng mỗi số a với một số P duy nhất nhận giá trị là ax4 Như vậy, khi a bằng 3cm thì giá trị tương ứng của P là 12cm”, khi a bằng 5dm thì giá trị tương ứng của P là 20dm” và khi a bằng 8m thì giá trị tương ứng của Plà 32m!

Như vậy, sách giáo khoa tốn ở tiểu học bước đầu cho học sinh làm quen một cách ngầm ẩn, với những đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số như mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên, sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nhằm hình thành những biểu tượng ban đầu về khái niệm hàm số, làm cơ sở cho việc trình bày chính thức khái niệm này ở lớp 7

2.3.1.2 Khái niệm hàm số trong SGK các lớp 7, 9, 10

2.3.1.2.1 Ở lớp 7

Ở lớp 7 cĩ hẳn một chương về hàm số Trước khi đưa ra định nghĩa và ký hiệu về hàm số, sách đã khảo sát về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Việc giới thiệu những tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch cĩ ý nghĩa cho việc chuẩn bị nghiên cứu về hàm số Các ví dụ, các bài tốn thường xuất phát từ thực tế, từ những mối quan hệ giữa các đại lượng trong vật lý mà học sinh đã học biểu thị tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch cĩ tác dụng giúp học sinh hiểu việc nghiên cứu hàm số bắt nguồn từ thực tiễn Hàm số cĩ rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và trong các bộ mơn khoa học khác, tức là gợi động cơ đưa vào khái niệm hàm số

Trang 24

??

Mở đầu bài “Hàm số” sách giáo khoa nêu ra 3 ví dụ (sách giáo khoa trang 62,63):

Ví dụ 1: Nhiệt độ T (°C) tại các thời điểm t (giờ) trong cùng một ngày được cho trong bảng sau:

t (giờ) 0 4 8 12 16 20 TứC) 20 18 2 26 24 21

Ví dụ 2: Khối lượng m (g) của một thanh kim loại đồng chất cĩ khối lượng riêng là 7,8 g/cm' tỉ lệ thuận với thể tích V (cm?) theo cơng thức: m=7,8xV Tinh các giá trị tương ứng của m khi V = l1; 2; 3; 4

Ví dụ 3: Thời gian t (h) của một vật chuyển động đều trên quãng đường 50 km tỉ lệ nghịch với vận tốc v (km/h) của nĩ theo cơng thức: t=22 Tinh va lap bang gid

Vv

tri tuong tng cla t khi v = 5; 10; 25; 50

Sach gido khoa dua ra nhan xét: Trong vi du | ta thấy:

e Nhiệt độ T (°C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ)

e Với mỗi giá thị của t ta luơn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của T Ta nĩi T là hàm số của t

Tương tự, trong các ví dụ 2 và ví dụ 3 ta nĩi m là hàm số của V, t là hàm số của v

Trang 25

Định nghĩa khái niệm hàm số sách giáo khoa trang 63:

“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luơn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”

Hàm số ở đây được trình bày theo quan điểm: coi hàm số như một khái niệm tốn học mơ tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Định nghĩa này làm ẩn đi đặc trưng biến thiên của khái niệm hàm số, chỉ đề cập tới đặc trưng phụ thuộc và tương ứng Ở đây chưa nhắc tới thuật ngữ “biến thiên” và đặc trưng biến thiên của hàm số Cĩ lẽ để học sinh tiếp thu một cách tường minh đặc trưng này ngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là một việc khĩ, nĩ địi hỏi ở một mức độ cao hơn khi học sinh đã nắm được những vấn đề cơ bản về hàm số

Ta thấy khái niệm hàm số ở đây được định nghĩa tương tự như định nghĩa của các nhà tốn học thế kỷ XIX, chứ khơng dùng định nghĩa chặt chẽ nhờ lý thuyết tập hợp như trước đây Sách giáo khoa Đại số 7 — NXBGD năm 2001 trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một quy tắc tương ứng giữa hai phần tử của hai tập hợp số

Định nghĩa: (sách giáo khoa Đại số 7 — NXBGD nam 2001, trang 73): “Giả sử X và Y là hai tập hợp số

Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x e X một và chỉ một giá trị y Y, mà ta ký hiệu là y = f(x)

Người ta viết: f:X - Y

x> y =Ẩ(x) (đọc là x tương ứng với f(x))”

Định nghĩa này chỉ đề cập đến đặc trưng tương ứng và ẩn đi đặc trưng biến thiên, đặc trưng phụ thuộc của hàm số Một định nghĩa và ký hiệu về hàm số như vậy là quá khĩ đối với học sinh lớp 7 và cũng khơng dùng gì trong suốt giáo trình đại số ở trung học cơ sở

Trang 26

Vi du: (Bai 28 trang 64): Cho ham sO y= f(xy=2

x

a) Tính f(5), f(3)

b) Hãy điền vào bảng các giá trị tương ứng của hàm số:

X =6 —4 3 2 5 6 12 - 12 y=/Œ)=— x 2 oe pee 4 4 12;

Để làm bài tập này, học sinh phải hiểu thực chất cơng thức: y= ƒ(x)=— là

x

biểu thị mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y, trong đĩ x và y là các đại lượng thay đổi trong những tập hợp số nào đĩ: x nhận giá trị trong R”, y nhận các giá trị trong R

Khi cĩ cơng thức của hàm số thì với mỗi giá trị của biến số x ta tìm được một giá trị hồn tồn xác định của y và giá trị y tương ứng với x là duy nhất Do đĩ, bài tập này cĩ tác dụng giúp học sinh củng cố đặc trưng tương ứng của hàm số Ở đây,

Ae Rt ee ae * ⁄ ath ah? At oid tr 12

với mỗi giá trị xe R” cho tương ứng một và chỉ một giá trị yeR sao cho „=——

x

Ở đây, sách giáo khoa cũng khơng trình bày tường mỉnh các cách cho hàm số mà chỉ nêu nên chú ý: Hàm số cĩ thể được cho bằng bảng (ví dụ 1), bằng cơng thức (ví dụ 2 và ví dụ 3)

Trong sách giáo khoa các cách cho hàm số, hầu hết là cho bằng cơng thức điều đĩ dễ gây cho học sinh hiểu lâm rằng mọi hàm số đều cho bằng cơng thức Cách trình bày trong sách giáo khoa hiện hành sẽ đơn giản với học sinh Nhưng thực tế học sinh sẽ gặp khĩ khăn khi gặp phải các trường hợp hàm số cho bằng các dạng khác nhau mà khơng biểu diễn được dưới dạng cơng thức

Trang 27

sinh hiểu và nắm vững được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số một cách

chính xác, khoa học 2.3.1.2.2 Ở lớp 9

Ở lớp 7, học sinh đã được học về hàm số, đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số nhưng ở mức độ sâu rộng hơn Các vấn đề về hàm số được trình bày một cách khái quát hơn, chặt chế hơn trong chương 2 sách giáo khoa Tốn 9 tập I và chương 4 sách giáo khoa Tốn 9 tập 2

Định nghĩa hàm số được nhắc lại và cho ví dụ minh họa Định nghĩa trang 42 — sách giáo khoa Tốn 9 tập 1:

“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luơn xác định được chỉ một giá trị tưrơng ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”

Ở đây, hàm số được mơ tả là sự phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên Sách giáo khoa đưa ra các ví dụ về hàm số cho bằng bảng và cơng thức: a) y là hàm số của x được cho bằng bảng sau:

Dl wile al we wiry Nie

b) y la ham số của x được cho bằng cơng thức:

a

le

y=2x; y=2x+3; y=

Tuy khơng đưa ra khái niệm tập xác định của hàm số nhưng sách giáo khoa lưu ý rằng khi hàm số cho bằng cơng thức y = f(x) ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị mà tại đĩ f(x) xác định

Để nhấn mạnh lại đặc trưng tương ứng của hàm số sách giáo khoa đưa vào hoạt dong 1:

Trang 28

Cùng với định nghĩa hàm số, sách giáo khoa lớp 9 thêm khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

Sự đồng biến, nghịch biến được trình bày theo con đường quy nạp: xuất phát từ một hàm số cụ thể để khái quát lên thành định nghĩa

Hoạt động 3: Tính giá trị y tương ứng của các hàm số

y=2x+1va y=—2x+1 theo giá trị đã cho của biến x rồi điền vào bảng sau:

X 251 2 1,5 1 0,510 0,5 1 1,5 y=2x+l y=-2x+l Sau hoạt động 3 là nhận xét:

a) Xét hàm số y=2x+I xác định với mọi xeR :

Qua bảng trên ta thấy: khi cho x các giá trị tùy ý tăng lên thì các giá trị tương ứng của y=2x+l cũng tăng lên Ta nĩi rằng hàm số y=2x+1 đồng biến trên R Ta thấy đây là sự khái quát tính chất của tương quan tỉ lệ thuận mà học sinh đã được

học ở lớp dưới Nĩ ngầm ẩn đặc trưng phụ thuộc của hàm số và cho thấy sự biến đổi,

biến động của các đại lượng trong quan hệ hàm số Ở đây x và y cĩ mối quan hệ phụ

thuộc lẫn nhau, khi x biến đổi nhận các giá trị tùy ý tăng dần thì y cũng thay đổi và

tăng dần tương ứng

b) Tương tự xét hàm số y=-2x+l xác định trên R ta cũng rút ra được hàm số y=—2x+l nghịch biến trên R

Từ đĩ khái quát thành khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến: “Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị cuả x thuộc R

Trang 29

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến)

Nĩi cách khác: Với xạ, x; bất kỳ thuộc R

Nếu x, <x, mà ƒ(zx,)< ƒ(z,) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R Nếu x, <x,mà ƒ(x,)> ƒ(x,) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

Các định nghĩa này chỉ ra cách chứng minh một hàm số là đồng biến hoặc nghịch biến trên R

Ở đây, sách giáo khoa khơng trình bày hàm số đồng biến, nghịch biến trên (a, b) cụ thể do ở lớp 9, học sinh chỉ nghiên cứu các hàm số xác định với mọi xeR

Trong sách giáo khoa Tốn 9, các hàm số y=ax+b(a#0)vay=ax (a#0) được trình bày tương đối kỹ Việc trình bày các hàm số này đều xuất phát từ những bài tốn mở đầu liên quan đến những đại lượng vật lý như: quãng đường và thời gian cách giới thiệu này sẽ giúp cho học sinh thấy được sự cần thiết phải nghiên cứu hàm số, các hàm số luơn hiện diện trong thực tế, trong các ngành khoa học khác Điều đĩ cĩ tác dụng gợi động cơ, gây hứng thú học tập cho học sinh, cĩ thể phần nào giúp cho học sinh hình dung được hàm số hiện diện trong thực tế, trong các ngành khoa học khác như thế nào, và nghiên cứu hàm số là xuất phát từ yêu cầu của thực tế cuộc sống

Qua bài tốn cụ thể khái quát lên định nghĩa hàm số bậc nhất:

“Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cong thttc y=ax+b, trong dé a, b 1a các số thực xác định và (a0) ”

Như vậy, ở đây học sinh được nghiên cứu hàm số bậc nhất ở dạng tổng quát, cịn hàm số y=zx(z#0)mà học sinh đã hoc ở lớp 7 là một trường hợp riêng của hàm số bậc nhất

Ví dụ: (Bài 6 trang 45 — 46):

Cho các hàm số y=0,5x và y=0,5x+2

Trang 30

x 25] 225] 15 1L[Ị 0 | 1 | L5 [225] 25 y=0,5x y=0,5x+2

b) Cĩ nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số khi biến x lấy cùng giá trị?

Để làm được bài tập này, học sinh phải nắm vững định nghĩa khái niệm hàm số, hiểu được với mỗi giá trị của x hồn tồn xác định được giá trị tương ứng y dựa vào cơng thức biểu diễn hàm số Qua đĩ, nĩ cĩ tác dụng rèn luyện kỹ năng tính giá trị của hàm số tại giá trị của biến số và so sánh về các giá trị tương ứng của các hàm SỐ y=ax Và y=ax+b tại cùng một giá trị của x

Qua ví dụ về bài tốn cụ thể, sách giáo khoa khái quát:

“Hàm số bậc nhất y=øx+b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và cĩ tính chất sau:

a) Đồng biến trên R, khi a >0 b) Nghịch biến trên R, khi a <0”

Trong chương trình lớp 9 chỉ yêu cầu học sinh nắm được tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mà chưa yêu cầu kỹ năng xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và chưa yêu cầu vận dụng tính chất trên vào việc khảo sát hàm số và giải tốn nên sách giáo khoa khơng trình bày chứng minh tính chất trên

Ví dụ: (Bài 9 trang 48):

Cho hàm số bậc nhất y=(m—2)+5 Tim cdc gid tri của m để hàm số: a) Đồng biến

b) Nghịch biến

Trang 31

Ở chương 4, sách giáo khoa Tốn 9 tập 2, ham s6 y=ax? (a#0) duoc trình bay tương tự như cách trình bày về hàm số y=zx+b(ø+0),, cũng xuất phát từ bài tốn cụ

thể trong vật lý

Tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số y=zxŸ (z#0) được trình bày một cách cụ thể:

“Hàm số y=z+x” (a#0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R và cĩ tính chất: a) Nếu a >0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 b) Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0” Sách giáo khoa cũng khơng trình bày tính chất trên

2.3.1.2.3 Ở lớp 10

Đến lớp 10, học sinh vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số Do khái niệm đã được giới thiệu trong chương trình tốn lớp 7 nên ở đây, sách giáo khoa Đại số 10 khơng xuất phát từ ví dụ mà giới thiệu ngay định nghĩa và cho ví dụ minh họa

Sách giáo khoa Đại số I0 trang 32 trình bày định nghĩa dựa vào đại lượng biến thiên, cĩ bổ sung thêm tập xác định của hàm số vào định nghĩa:

“Giả sử cĩ hai đại lượng biến thiên x và y, trong đĩ x nhận giá trị thuộc tập D Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D cĩ một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta cĩ một hàm số Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số”

Sáck giáo khoa Đại số 10 nâng cao trang 35 trình bày định nghĩa dựa vào tập hợp:

“Cho một tập hợp khác rỗng Dc=R

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, ký hiệu là f(x), số f(x) đĩ gọi là giá trị của hàm số f tại x

Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f”

Trang 32

Trong định nghĩa hàm số sách giáo khoa lớp 10 đã đề cập đến tập xác định của hàm số, đĩ là một kiến thức trọng tâm của phần này Về nguyên tắc khi cho một hàm số là phải cho tập xác định của nĩ Nhưng với các hàm số cho bởi cơng thức ta cĩ quy ước riêng và từ đĩ cĩ các bài tốn tìm tập xác định của một hàm số Đĩ là bài tốn đầu tiên mà học sinh phải giải quyết khi nghiên cứu một hàm số

Sau khi định nghĩa, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao trình bày thêm:

“Để chỉ rõ ký hiệu biến số, hàm số f cịn được viết là y = f(x), hay đây đủ hơn là /#:D-›>R

xh y= f(x)”

Sau khi trình bày định nghĩa, sách giáo khoa đưa ra ví dụ về hàm số trong thực tế đĩ là hàm số cho bằng bảng

Hoạt động 1 (sách giáo khoa Đại số 10 trang 32) nhằm khuyến khích học sinh tự tìm các ví dụ về hàm số trong thực tiễn giúp học sinh thấy được ý nghĩa thực tiễn của khái niệm hàm

Về cách cho hàm số, sách giáo khoa Đại số 10 trình bày ba cách cho hàm số: hàm số cho bằng bảng, hàm số cho bằng biểu đồ, hàm số cho bằng cơng thức Trong các sách giáo khoa thường chỉ xét các hàm số được cho bằng cơng thức Tuy nhiên, trong thực tiễn thì thường gặp các hàm số cho bởi bảng hoặc biểu đồ

Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu hàm số được cho bởi biểu thức mà khơng nĩi tới các cách cho khác Điều này cĩ thể gây cho học sinh hiểu lầm rằng hàm số phải được cho bằng một biểu thức Để tránh gây hiểu lầm cĩ thể nhấn mạnh hàm số cĩ thể cho bằng nhiều cách như: cho bằng bảng, biểu đồ, đồ thị, biểu thức nhưng khi nghiên cứu hàm số và các tính chất của nĩ ta chủ yếu xem xét các hàm số cho bằng biểu thức

Trong phần này, sách giáo khoa đã đưa ra các ví dụ thực tế về hàm số và qua ví dụ củng cố khái niệm tập xác định, khái niệm giá trị của hàm số

Ở đây, sách giáo khoa đưa ra quy ước về tập xác định của hàm số được cho bởi cơng thức:

Trang 33

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa”

Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến cũng đã được trình bày trong sách giáo khoa lớp 9 Định nghĩa của khái niệm này cĩ hai cách diễn đạt, sách giáo khoa Đại số 10 chỉ diễn đạt theo cách thứ nhất, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao trình bày cả hai cách diễn đạt

Cách thứ nhất: “Cho hàm số f xác định trên k Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên k nếu:

Văn, xạ 6K, xi <x¿=> (8) </G)

Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: 1Xy EK, % <x, = f(a) > / 0) Cách thứ hai:

“Hàm số f đồng biến trên k khi và chỉ khi:

⁄Œ;)-/() `

X; —Xị

Vx,,x, k VÀ xị# x;, 0

Hàm số f nghịch biến trên k khi và chỉ khi:

⁄Œ;)~/() 0,

X*; =Xị

Vx,,x; ek Và x,# x;,

Ở đây, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao xem xét hàm số trên một khoảng kvới klà một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đĩ của R, cịn sách giáo khoa Đại số 10 thì xét trên khoảng (a, b)

Trong sách giáo khoa Đại số 10, khái niệm hàm số chắn và hàm số lẻ được đưa ra từ nhận xét trực giác về đồ thị các hàm số y=x”và y=x Trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, khái niệm hàm số chan va ham số lẻ được đưa ra trước rồi mới cho ví dụ minh họa

“Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D

Trang 34

Hàm số f gọi là ham số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta cĩ x cũng thuộc D và fC x)= f(x)”

Sau khi ơn tập nhằm giúp cho học sinh thấy được sự đa dạng của hàm số, SGK giới thiệu một hàm số khác như y=|x| (sách giáo khoa Đại số 10) và ở dạng tổng quát y=|ax+b| (sách giáo khoa Đại số 10 nang cao)

Trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, định nghĩa hàm số cĩ thuật ngữ “quy tác” nên khi dạy định nghĩa này cần phải đặc biệt lưu ý:

Thứ nhất, làm cho học sinh hiểu thuật ngữ “quy tác”:

Ở đây, sách giáo khoa khơng tìm cách định nghĩa thuật ngữ này mà chỉ mơ tả quy tắc thỏa mãn điều kiện: “mỗi giá trị của x ứng với một và chỉ một giá trị y là một hàm số”

Khơng nên để học sinh hiểu lầm rằng: quy tắc tương ứng đĩ bắt buộc phải biểu

thị bằng một cơng thức vì cĩ hàm số biểu thị bằng cơng thức nhưng cũng cĩ hàm số

biểu thị bằng bảng, đồ thị Cũng khơng để họ hiểu quy tắc bắt buộc phải là một

thuật giải, nếu khơng sẽ thu hẹp khái niệm hàm số

Cĩ thể làm cho học sinh hiểu “quy tắc” dựa vào biểu tượng về một tập hợp những cặp phần tử Ví dụ: f: X—> Y | xX xX, | X X X4 “| Y Mã yi Y2 Y3 Ya

Thứ hai, cần làm rõ cấu trúc hội trong tính chất đặc trưng của khái niệm hàm

số, cụ thể là cho học sinh thấy rõ tính chất đặc trưng này cĩ thể phân tách thành hội

Trang 35

(p,): Với mỗi phần tử xe R đều tồn tại một phần tử tương ứng ye R; (p;): Với mỗi phần tử xe R thì phần tử tương ứng yeR là duy nhất

Như vậy, ở lớp 10 các vấn đề về hàm số được trình bày khá đầy đủ, khái quát Đồng thời do thực hiện chương trình phân ban nên sách giáo khoa Đại số 10 cũng được phân làm hai ban: sách giáo khoa Đại số 10 dành cho ban cơ bản, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao dành cho ban khoa học tự nhiên Cách trình bày các vấn đề về hàm số của hai cuốn cĩ sự khác nhau và phù hợp với trình độ của học sinh Sách giáo khoa Đại số 10 trình bày các vấn đề một cách trọng tâm, cơ bản, đơn giản hĩa vấn đề Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao cĩ phần đi sâu hơn nhằm giúp học sinh hiểu được bản chất từ đĩ nắm vững kiến thức

2.3.1.3 Minh họa khái niệm hàm số bằng những ví dụ đa dạng

Cĩ thể nĩi rằng đây là một yêu cầu chung của việc hình thành một khái niệm khĩ và phức tạp Một khái niệm khĩ như khái niệm hàm cần được minh họa bởi những ví dụ cả về những quy tắc tương ứng thỏa mãn lẫn những quy tắc khơng thỏa mãn định nghĩa hàm số

Để xây dựng những ví dụ về những quy tắc tương ứng khơng thỏa mãn định nghĩa hàm số, ta cĩ thể căn cứ vào bảng ở mục 1.3.1 Theo bảng này thì cĩ thể dẫn ra 3 phản ví dụ (ứng với trường hợp 1, 2, 3) Nếu muốn hạn chế bớt số phản ví dụ thì ít nhất cũng nên đưa ra hai trường hợp: trường hợp chỉ p, bị vi phạm và trường hợp chỉ p; bị vi phạm

Ví dụ I1: ROR x>x

Đây khơng phải là một hàm số vì những số thực âm khơng cĩ căn bậc hai (vi phạm điều kiện p,)

Ví dụ 2: ROR

nb wéc clan

Đây khơng phải là một hàm số vì cĩ thể cĩ nhiều số tự nhiên cùng tương ứng với (là ước của) một số tự nhiên cho trước (vi phạm điều kiện p;)

Trang 36

Về phương diện quy tắc tương ứng ta nên đưa ra cả ví dụ hàm số thỏa mãn đặc điểm p„ lẫn hàm số khơng thỏa mãn đặc điểm này Làm như vậy khơng phải là nhằm giới thiệu cho học sinh thuật ngữ “hàm đơn ánh” mà chỉ là để cho họ thấy rõ tính đa dạng của khái niệm hàm về mặt quy tắc tương ứng

Về phương diện tập hợp ta nên đưa cả những tập hợp hữu hạn lẫn những tập hợp vơ hạn vào những ví dụ về hàm số Trong các hàm số gặp ở trường phổ thơng, các giá trị của hàm số cũng như của đối số đều là những số thực Cho nên để thể hiện tính đa dạng của các ví dụ, ta cũng nên đưa cả trường hợp các giá trị của hàm số hay của đối số chốn hết các số thực lẫn trường hợp các giá trị này khơng chốn hết các số thực

Về phương diện biểu diễn hàm ta nên đưa ra những ví dụ về những hàm số được cho bằng những phương pháp biểu diễn khác nhau: bảng, cơng thức, đồ thị, lời lẽ

Cuối cùng ta cũng nên lưu ý nêu ra cả những ví dụ thực tế bên cạnh những ví dụ cĩ tính chất lý thuyết

Ví dụ 3: Thống kê nhiệt độ cơ thể của một bệnh nhân trong một khoảng thời gian, ta được bảng sau:

Thời điểm 5 giờ 6 giờ 7 giờ 8 giờ 9 giờ 10 giờ

Nhiệt độ 36,0 36,6 37,5 36,0 37,7 38,1

Ta thấy, nhiệt độ là một hàm số của thời gian khi xét thời gian chỉ trên tập các giá trị được ghi ở dịng trên của bảng

Ví dụ 4: RoR x>2x-5 Đây là một hàm số

Trang 37

+ Một hàm số cĩ thể cho bằng bảng (ví dụ 3), nhưng cũng cĩ thể cho bằng

cơng thức (ví dụ 4)

Tuy cĩ những đặc điểm riêng như vậy, những quy tắc tương ứng trong ví dụ 3 và ví dụ 4 vẫn là những hàm số bởi vì chúng đều thỏa mãn điều kiện: “Với mỗi phần tử x e X đều ứng với một và chỉ một phần tử y e Y” Những đặc điểm riêng của từng ví dụ riêng lẻ khơng cĩ vai trị gì trong khi xét một quy tắc tương ứng cĩ phai là một hàm số hay khơng mà chỉ thể hiện tính đa dạng của khái niệm này

2.3.2 Dạy học khảo sát hàm số 2.3.2.1 Ở lớp 7

Trước khi trình bày về đồ thị hàm số, sách giáo khoa giới thiệu về mặt phẳng tọa độ, tọa độ của một điểm trong mặt phẳng tọa độ để làm cơ sở cho việc xây dựng khái niệm đồ thị hàm số

Sách giáo khoa đưa vào khái niệm đồ thị hàm số thơng qua hoạt động 1 Ở trang 69, sách giáo khoa Tốn 7 trình bày:

“Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị

tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ”

Việc lập các cặp số (x; y) để biểu diễn đồ thị của hàm số cĩ tác dụng củng cố

đặc trưng tương ứng, đặc trưng phụ thuộc và cả đặc trưng biến thiên (một cách ngầm ẩn)

Theo sách giáo viên lớp 7, trang 73: Mục đích của sách giáo khoa là “học sinh hiểu được khái niệm đồ thị của hàm số, đồ thị của hàm số y=ax(a#0) và biết được ý nghĩa của đồ thị trong nghiên cứu hàm số”

Vì vậy, ở lớp 7, học sinh chỉ được làm quen với việc vẽ đồ thị của hàm số y=ax(a#0) và y=“(a40) (thong qua bai doc thém)

x

Về hàm số y=azx(z#0), sách giáo khoa trình bày các ví dụ cụ thể rồi từ đĩ khái quát lên dạng đồ thị của nĩ: “Đồ thị của hàm số y=zøx(z#0) là một đường

Trang 38

Ở đây, sách giáo khoa muốn cho hoc sinh thấy rõ: đồ thị của hàm số cĩ thể là một số điểm rời rạc như trong ví dụ 1 (đồ thị của một hàm số cho bằng bảng) Trong tốn học, đồ thị của hàm số được cho bằng cơng thức thường là các đường như đồ thi ham s6 y=ax(a#0)

D6 thi ham s6 y=—(a#0) được giới thiệu dưới dạng bài đọc thêm để học sinh cĩ thể biết được các dạng khác nhau của đồ thị hàm số

Việc trình bày hai hàm số đơn giản nhất y=zx(a#0) và y=<(a #0) để minh họa cho khái niệm hàm số và khái niệm đồ thị hàm số một cách cụ thể cĩ tác dụng củng cố đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số và khái niệm đồ thị hàm số 2.3.2.1 Ở lớp 9

Ở lớp 7, học sinh đã được học về hàm số, đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số nhưng ở mức độ sâu hơn, rộng hơn Ở đây, học sinh bước đầu được nghiên cứu về tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số, xem xét các hàm SỐ y=ax+b(a#0)và y=ax” (a#0)

Qua hoạt động 2, sách giáo khoa Tốn 9 tập 1, trang 43 muốn rèn luyện cho học sinh cách biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số

Đặc biệt, ở lớp 9, học sinh được tiếp cận một cách tường minh với đặc trưng biến thiên của hàm số Tuy nhiên, ở lớp 9, học sinh chỉ làm quen bước đầu với đặc trưng biến thiên thơng qua việc nắm khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến và xét sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm số đơn giản, ở đây đặc trưng biến thiên chưa được ứng dụng vào việc vẽ đồ thị và giải tốn Sách giáo khoa cũng chưa chính thức đưa vào thuật ngữ “sự biến thiên của hàm số”

Qua hoạt động 1 và 2 sách giáo khoa Tốn 9 tập 1 trang 49 muốn củng cố việc biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên đồ thị của hai hàm số trong cùng một mặt phẳng tọa độ và sẽ giúp học sinh thấy được hai đồ thị của hai hàm số này là hai đường thẳng song song với nhau

Trang 39

“Đồ thị của hàm số y=ø x+b(ø0) là một đường thẳng:

+ Cất trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng b;

+ Song song với đường thắng y=zzx(z#0), nếu b 0; trùng với đường thang y=zx(z#0),nếub 0”

Đồng thời, sách giáo khoa Tốn 9 tập 1 trang 50 cũng giới thiệu cách vẽ đồ thị của hàm số y=øx+b(ø#0):

“+ Khi b= 0 thì y=zx Đồ thị của hàm số y=zx(z#0)_ là đường thẳng đi qua

gốc tọa độ 0 (0; 0) và điểm A (1; a)

+ Xét trường hợp y=øx+b với a z 0 vàb z 0:

Ta đã biết đồ thị của hàm số y=øzx+b là một đường thẳng Do đĩ, để vẽ đồ thị hàm số y=ax+b , ta chỉ cần xác định được hai điểm phân biệt nào đĩ thuộc đồ thị

rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đĩ

Ta thường xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:

Bước 1: Cho x =0 thì y = b, ta được điểm P (0; b) thuộc trục tung 0y Cho y = 0 thi ye ta được điểm Q (2 ¡ 0) thuộc trục hồnh 0x

a a

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P, Q ta được đồ thị của hàm số

y=ax+b

Đồ thị của hàm số y=øzx” (a0) được khái quát lên từ các ví dụ về đồ thị hàm

‹ tes 1 „

SỐ: y=2x và yaa :

“D6 thi cla ham s6 y=ax" (a#0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận 0y làm trục đối xứng Đường cong đĩ được gọi là một parabol với đỉnh 0

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh, 0 là điểm thấp nhất của đồ thị; Néu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh, 0 là điểm cao nhất của đồ thị” Ở đây, cách trình bày đồ thị của hàm số gồm các bước:

Trang 40

Bước 2: Viết các cặp điểm (x; y) thuộc đồ thị hàm số để nhận xét về tính chất của đồ thị

Bước 3: Vẽ đồ thị và nêu một số tính chất của đồ thị

Như vậy, đặc trưng biến thiên chỉ đề cập đến để bước đầu học sinh hình dung được một cách đầy đủ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số, ở đây, các hàm số chủ yếu được trình bày nhằm giúp học sinh nắm được cách vẽ đồ thị của chúng

2.3.2.3 Ở lớp 10

Giới thiệu một phương pháp nghiên cứu hàm số là khảo sát sự biến thiến và vẽ đồ thị của chúng Sách giáo khoa trình bày đầy di vé hai ham s6 y=ax+b(a#0) va hàm số y= zx°+bx+c(a#0), ngồi ra sách giáo khoa cịn giới thiệu về hàm số y=|ax+0| và cụ thể là y=|x|

Học sinh đã được học khái niệm đồ thị hàm số ở lớp 7, ở đây sách giáo khoa lớp 10 chỉ nhắc lại và minh họa bằng những ví dụ cụ thể

Hoạt động 7 (sách giáo khoa Đại số 10) và ví dụ 2 (sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao) nhằm giúp học sinh tập “đọc” đồ thị (đọc xuơi, đọc ngược) nghĩa là dựa vào đồ thị để tìm f(x) theo các giá trị của x và ngược lại tìm x theo f(x)

Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến cũng đã được trình bày trong sách giáo khoa Tốn 9 Sách giáo khoa đã chính thức đưa vào thuật ngữ “sự biến thiên của hàm số” và điểm mới ở đây là sách giáo khoa đưa ra bảng biến thiên để tổng kết kết quả xét chiều biến thiên của hàm số

Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến được nhắc lại một cách khái quát từ những nhận xét trực giác về đồ thị của hàm số y=x”trong các khoảng

(—=;0) và(0:+œ)

Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao trang 39 đề cập tới việc khảo sát sự biến thiên của hàm số trên một khoảng: