Minh họa khái niệm hàm số bằng những ví dụ đa dạng

R ,y nhận các giá trị trong

2.3.1.3. Minh họa khái niệm hàm số bằng những ví dụ đa dạng

Có thể nói rằng đây là một yêu cầu chung của việc hình thành một khái niệm khó và phức tạp. Một khái niệm khó như khái niệm hàm cần được minh họa bởi những ví dụ cả về những quy tắc tương ứng thỏa mãn lẫn những quy tắc không thỏa mãn định nghĩa hàm số.

Để xây dựng những ví dụ về những quy tắc tương ứng không thỏa mãn định nghĩa hàm số, ta có thể căn cứ vào bảng ở mục 1.3.1. Theo bảng này thì có thể dẫn ra 3 phản ví dụ (ứng với trường hợp 1, 2, 3). Nếu muốn hạn chế bớt số phản ví dụ thì ít nhất cũng nên đưa ra hai trường hợp: trường hợp chỉ p1 bị vi phạm và trường hợp chỉ p2 bị vi phạm.

Ví dụ 1: RR x x

Đây không phải là một hàm số vì những số thực âm không có căn bậc hai (vi phạm điều kiện p1).

Ví dụ 2: RR

n ước của n

Đây không phải là một hàm số vì có thể có nhiều số tự nhiên cùng tương ứng với (là ước của) một số tự nhiên cho trước (vi phạm điều kiện p2).

Để xây dựng những ví dụ đa dạng về những quy tắc thỏa mãn định nghĩa hàm số, ta cần phân tích khái niệm này theo nhiều phương diện:

37

Về phương diện quy tắc tương ứng ta nên đưa ra cả ví dụ hàm số thỏa mãn đặc điểm p4 lẫn hàm số không thỏa mãn đặc điểm này. Làm như vậy không phải là nhằm giới thiệu cho học sinh thuật ngữ “hàm đơn ánh” mà chỉ là để cho họ thấy rõ tính đa dạng của khái niệm hàm về mặt quy tắc tương ứng.

Về phương diện tập hợp ta nên đưa cả những tập hợp hữu hạn lẫn những tập hợp vô hạn vào những ví dụ về hàm số. Trong các hàm số gặp ở trường phổ thông, các giá trị của hàm số cũng như của đối số đều là những số thực. Cho nên để thể hiện tính đa dạng của các ví dụ, ta cũng nên đưa cả trường hợp các giá trị của hàm số hay của đối số choán hết các số thực lẫn trường hợp các giá trị này không choán hết các số thực.

Về phương diện biểu diễn hàm ta nên đưa ra những ví dụ về những hàm số được cho bằng những phương pháp biểu diễn khác nhau: bảng, công thức, đồ thị, lời lẽ...

Cuối cùng ta cũng nên lưu ý nêu ra cả những ví dụ thực tế bên cạnh những ví dụ có tính chất lý thuyết.

Ví dụ 3: Thống kê nhiệt độ cơ thể của một bệnh nhân trong một khoảng thời gian, ta được bảng sau:

Thời điểm 5 giờ 6 giờ 7 giờ 8 giờ 9 giờ 10 giờ Nhiệt độ 36,0 36,6 37,5 36,0 37,7 38,1

Ta thấy, nhiệt độ là một hàm số của thời gian khi xét thời gian chỉ trên tập các giá trị được ghi ở dòng trên của bảng.

Ví dụ 4: RR

x2x5 Đây là một hàm số.

Qua ví dụ 3 và ví dụ 4 ta thấy mỗi ví dụ có những đặc điểm riêng, chẳng hạn: + Với những giá trị khác nhau của đối số có thể luôn ứng với những giá trị khác nhau của hàm số (ví dụ 4), nhưng cũng có thể ứng với những giá trị bằng nhau của hàm số (ví dụ 3);

38

+ Một hàm số có thể cho bằng bảng (ví dụ 3), nhưng cũng có thể cho bằng công thức (ví dụ 4).

Tuy có những đặc điểm riêng như vậy, những quy tắc tương ứng trong ví dụ 3 và ví dụ 4 vẫn là những hàm số bởi vì chúng đều thỏa mãn điều kiện: “Với mỗi phần tử x  X đều ứng với một và chỉ một phần tử y  Y”. Những đặc điểm riêng của từng ví dụ riêng lẻ không có vai trò gì trong khi xét một quy tắc tương ứng có phai là một hàm số hay không mà chỉ thể hiện tính đa dạng của khái niệm này.