Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài: “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở Tiểu học” là kết quả mà em đã trực tiếp nghiên cứu, tìm tòi thông qua sự hướng dẫn của thầy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VŨ THỊ LAN HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TUỔI Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Hà Nội – 2013

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các giảng viên trong khoa Giáo dục Tiểu học và các bạn sinh viên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho em trong quá trình làm khóa luận này Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm

ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình

để em hoàn thành khóa luận

Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian nghiên cứu và năng lực của em có hạn nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế Vì vậy, em rất mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn bè để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Vũ Thị Lan Hương

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài: “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở Tiểu học” là kết quả mà em đã trực tiếp nghiên cứu, tìm tòi thông qua sự hướng dẫn của thầy cô, sự giúp đỡ của bạn bè

Trong quá trình nghiên cứu, em có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên cứu, một số tác giả đã được trích dẫn đầy đủ Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở để em rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình

Khóa luận này là kết quả của riêng cá nhân em, không trùng với các kết quả của các tác giả khác Những điều em nói ở trên là hoàn toàn đúng sự thật

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Vũ Thị Lan Hương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Dự đoán kết quả nghiên cứu

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

1.2 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

1.2.1 Khái quát phương pháp giải toán ở tiểu học

1.2.2 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

1.2.2.1 Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

1.2.2.2 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán ở tiểu học

1.2.2.3 Các bước tiến hành và cách trình bày lời giải bài toán sử

dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

1.2.2.4 Các dạng bài toán sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

1.3 Vấn đề chung về bài toán

1.3.1 Quan niệm về bài toán

1.3.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán

1.3.3 Lời giải của bài toán

1.3.4 Ý nghĩa của việc giải toán

1.3.5 Phân loại bài toán

1.3.6 Phương pháp tìm lời giải bài toán

1.4 Bài toán tuổi ở môn Toán Tiểu học

1.4.1 Kiến thức chung để giải dạng bài toán về tuổi

1.4.2 Phân loại bài toán về tuổi ở tiểu học

1.4.3 Một số bài toán về tuổi trong chương trình SGK tiểu học

1.4.4 Phương pháp thường dùng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

1.4.4.1 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

2.1 Phương pháp giải các bài toán đơn về tính tuổi

2.1.1 Khái quát chung

2.1.2 Một số ví dụ

22

22

22

2.2 Các bài toán hợp về tính tuổi và cách giải chúng

2.2.1 Khái quát các bài toán hợp về tính tuổi

2.2.2 Bài toán tuổi cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người

2.2.3 Các dạng bài toán cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người

2.2.3.1 Dạng trực tiếp của bài toán hiệu và tỉ số tuổi của hai người

2.2.3.2 Dạng bài toán phải giải một bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi

của hai người

2.2.3.3 Dạng bài toán cho biết tỉ số tuổi của hai người ở hai thời

điểm khác nhau

2.2.4 Bài toán cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người

2.2.5 Các bài toán tính tuổi với số thập phân

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài Với 9 môn học thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, học sinh tiểu học được đào tạo nhằm phát triển toàn diện cả trí thức, đạo đức, lao động, thể thao, mĩ học Giáo dục Tiểu học góp phần đào tạo những con người đủ đức, đủ tài để phục vụ xã hội Trong hệ thống các môn học đó, môn Toán là một môn học cơ bản, nó chiếm nhiều thời lượng giảng dạy của giáo viên và thời gian học tập của học sinh Có được sự đánh giá đó bởi môn Toán giúp trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức về khoa học tự nhiên, cơ bản làm nền tảng để học sinh hiểu biết và giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn Hơn nữa, với các kiến thức căn bản, Toán học còn góp phần quan trọng giúp các em có thể học tập tốt các môn học khác trong nhà trường Tiểu học cũng như ở các cấp học sau

Nội dung môn Toán ở tiểu học được chia thành các mạch kiến thức cơ bản là

số học, đại lượng, hình học và giải toán có lời văn Giải bài toán có lời văn là một mạch khó về kiến thức và phong phú về thể dạng mà học sinh được học tập trong suốt toàn bộ bậc học Tiểu học Vì vậy, việc định hướng cho học sinh xác định được dạng bài và lựa chọn phương pháp giải phù hợp là việc làm vô cùng quan trọng Qua việc định hình các phương pháp và sự luyện tập giải bài giúp học sinh phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong quá trình giải toán

Cùng với một số dạng toán có lời văn khác, các bài toán về tính tuổi là nội dung quan trọng, khá quen thuộc và gần gũi với học sinh bậc Tiểu học Tuy nhiên, việc giải các bài toán dạng tính tuổi như thế nào và lựa chọn phương pháp giải ra sao là vấn đề đã được các thế hệ giáo viên và học sinh cùng quan tâm Xuất phát từ đặc điểm nhận thức của học sinh, căn cứ vào hệ thống phương pháp giải toán ở Tiểu học và đặc trưng của dạng bài toán tính tuổi mà

nhiều thế hệ các nhà giáo nhận thấy rằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng có những hiệu lực nhất định trong việc giải các bài toán dạng này

Vì những lí do trên, được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hào em mạnh dạn chọn đề tài: “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi

ở tiểu học”, để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm chuyên ngành toán Tiểu học

2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của việc ứng dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán về tuổi trong nhà trường Tiểu học Qua đó, góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học giải toán ở tiểu học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đề tài nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề: Ứng dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

- Phân loại các bài toán về tính tuổi thường gặp ở tiểu học

- Nghiên cứu phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và nghiên cứu phương pháp chung để giải các dạng toán về tuổi Giải các bài toán cơ bản và nâng cao về tính tuổi, cụ thể là dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và ứng dụng của phương pháp này để giải các bài toán tính tuổi ở tiểu học

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán tuổi trong chương trình Tiểu học

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo, học tập kinh nghiệm các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm giảng dạy bậc Tiểu học

- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các sách chuyên khảo nâng cao

- Kiểm nghiệm qua thực tế giảng dạy trong đợt thực tập Sư phạm

6 Dự đoán kết quả nghiên cứu Sau quá trình nghiên cứu, đề tài góp phần phân rõ được các dạng toán dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và ứng dụng của phương pháp này để giải các bài toán tính tuổi trong từng dạng bài của toán tính tuổi

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học Đời sống tâm lí của học sinh tiểu học có những biến đổi và làm nên “chất tiểu học” trong mỗi học sinh Trong ba mặt của đời sống tâm lí con người gồm nhận thức, tình cảm, hành động thì nhận thức là tiền đề của hai mặt kia và chúng có mối quan hệ biện chứng với nhau cũng như các hiện tượng tâm lí khác Hoạt động nhận thức là hoạt động mà kết quả của nó con người có được các tri thức, hiểu biết

về thế giới xung quanh, về bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt động khác một cách có hiệu quả

Nhận thức của học sinh tiểu học được chia thành hai giai đoạn lớn là nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính Nhìn chung ở học sinh tiểu học, hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các tác động bên ngoài Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối bậc Tiểu học thì hệ thống tín hiệu thứ hai

đã phát triển nhưng còn ở mức độ thấp

Tri giác của học sinh tiểu học mang tính không chủ định, tính xúc cảm và tính chất đại thể Khả năng tri giác của học sinh tiểu học phụ thuộc vào chính đối tượng, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được tri giác rõ ràng hơn những hình ảnh tượng trưng sơ lược Sự phân tích một cách có mục đích, có tổ chức

và sâu sắc ở các em còn yếu Ở các lớp đầu tiểu học, tri giác của các em thường gắn với hành động và hoạt động thực tiễn Tri giác không gian và thời gian của các em còn hạn chế Tuy nhiên, tri giác của các em phát triển trong quá trình học tập, sự phát triển này diễn ra theo hướng ngày càng chính xác hơn, đầy đủ hơn, mang tính mục đích và có phương hướng rõ ràng bởi được hướng dẫn bằng các hoạt động nhận thức khác

Đặc điểm nổi bật trong tư duy của học sinh tiểu học là chuyển từ trực quan cụ thể sang trừu tượng khái quát Đó là kết quả của quá trình học sinh tiếp xúc với thực tế, trao đổi xã hội và học tập, đặc biệt là hoạt động học tập trong nhà trường Các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát

hóa của học sinh được hình thành và phát triển Khả năng lĩnh hội khái niệm phát triển, tư duy cụ thể ít mang tính trực tiếp đã tách nhiều ra khỏi tri giác trực tiếp và dần mang tính trừu tượng

Tưởng tượng của học sinh tiểu học được hình thành và phát triển trong hoạt động học tập và các hoạt động khác của các em Khuynh hướng tưởng tượng

ở học sinh là tiến dần đến phản ánh một cách đúng đắn và đầy đủ hiện thực khách quan trên cơ sở những tri thức tương ứng Hình ảnh tưởng tượng trở nên trọn vẹn hơn, phân biệt hơn bởi số lượng chi tiết nhiều hơn và sự sắp xếp chúng càng chặt chẽ hơn, có lí hơn

Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ logic

- từ ngữ Các em ghi nhớ, gìn giữ và nhớ lại các hiện tượng, hình ảnh tốt hơn

là các câu chữ, hình tượng khô khan Dưới ảnh hưởng của hoạt động học tập, trí nhớ có chủ định, trí nhớ từ ngữ - logic xuất hiện và phát triển nhưng không biệt lập với trí nhớ máy móc, trí nhớ trực quan - hình tượng

Chú ý không chủ định được phát triển mạnh và chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học Chú ý của học sinh chưa bền vững, nhất là học sinh lớp đầu tiểu học Do thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý của học sinh còn phân tán, lại thiếu khả năng phân tích nên dễ bị lôi cuốn vào hình ảnh trực quan gợi cảm Sự chú ý của học sinh thường hướng ra hoạt động bên ngoài chứ không có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy và hoạt động trí óc Chú ý có chủ định được phát triển cùng với sự phát triển của động cơ học tập mang tính chất xã hội cao và sự phát triển của ý thức đối với kết quả học tập

Như vậy, khả năng nhận thức của học sinh tiểu học luôn hình thành, biến đổi

và phát triển qua từng lớp của cấp học Vì vậy trong dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, để đạt được kết quả giáo dục tối ưu nhất ta cần căn cứ vào đặc điểm nhận thức của học sinh đã nêu trên và con đường nhận thức chân lí

mà Lê-nin đã nêu: “ Từ trực quan sinh động tới tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng quay trở lại thực tiễn” Quá trình hướng dẫn học sinh giải toán cần

sử dụng phương pháp trực quan hợp lí để thu hút sự chú ý của học sinh, giúp

học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải các bài toán một cách khoa học, logic và phát triển khả năng tư duy của học sinh

Do vậy, các bài toán dạng tính tuổi cần sử dụng cách tóm tắt bài toán một cách hợp lí để diễn đạt một cách trực quan các điều kiện của bài toán và cách tốt nhất là sơ đồ hóa bài toán dạng đoạn thẳng Qua đó, học sinh có thể loại bỏ được dấu hiệu không bản chất để tập trung vào cái bản chất toán học, tìm ra mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra cách giải quyết bài toán 1.2 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

1.2.1 Khái quát phương pháp giải toán ở tiểu học Trong hoạt động giải toán, học sinh tiểu học cần có các kĩ năng cơ bản là nhận dạng bài toán và lựa chọn phương pháp giải phù hợp Các bài toán khác nhau ở tiểu học được lựa chọn và sử dụng các phương pháp giải khác nhau Thông thường, phương pháp được lựa chọn sẽ là phương pháp tối ưu nhất trong hệ thống phương pháp giải toán ở tiểu học

Hiện nay, có rất nhiều ý kiến khác nhau về số lượng các phương pháp giải toán ở tiểu học Về mặt cơ bản, người ta thống nhất được là có 16 phương pháp giải các bài toán có lời văn đối với diện học sinh đại trà cũng như nâng cao ở tiểu học Trong 16 phương pháp trên thì việc sử dụng phương pháp nào

để giải bài tập là phụ thuộc vào dạng của bài toán Cá biệt có những bài toán

sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để giải và hầu hết mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau để dẫn tới một kết quả chung

Trong giải toán ở tiểu học, phương pháp sơ đồ đoạn thẳng giữ một vai trò quan trọng và được sử dụng phổ biến trong giải toán Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng giúp học sinh giải được nhiều dạng toán khác nhau, từ bài dễ tới bài khó, từ dạng đơn giản tới dạng phức tạp và giúp học sinh dễ hiểu, nhớ lâu kiến thức hơn các phương pháp khác Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là một hình thức trực quan trong giải toán, đáp ứng được nhu cầu tăng mức độ trừu tượng trong việc cung cấp kiến thức toán Qua đó, trực quan hóa các mối

quan hệ, dữ kiện của bài toán, trực quan hóa các suy luận để tìm ra lời giải của bài toán

1.2.2 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

1.2.2.1 Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là một phương pháp giải toán ở tiểu học Trong đó, mối quan hệ giữa đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài toán được biểu diễn bởi các đoạn thẳng

Việc lựa chọn độ dài các đoạn thẳng để biểu diễn các đại lượng và sắp thứ tự của các đoạn thẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp cho học sinh tìm được lời giải một cách tường minh Học sinh dễ dàng thấy được mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo ra hình ảnh cụ thể để giúp học sinh suy nghĩ, tìm tòi đưa đến cách giải bài toán

Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng dùng để giải nhiều dạng toán khác nhau, chẳng hạn: các bài toán đơn, các bài toán hợp và một số bài toán có lời văn điển hình

1.2.2.2 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán ở Tiểu học

Để giải được bài toán, học sinh cần thực hiện được thao tác phân tích mối liên

hệ và phụ thuộc trong bài toán đó Muốn làm được việc này thì ta thường dùng các hình thức vẽ thay cho các số để minh họa các quan hệ của bài toán

Ta phải chọn, sắp xếp các hình vẽ một cách hợp lý để dễ dàng thấy được mối liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy

ra cách giải

Việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có tác dụng rất lớn Nhìn vào

sơ đồ, học sinh sẽ định ra được cách giải, có khi nhận thấy ngay kết quả của bài toán Vì lẽ đó mà phương pháp sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng phổ biến, làm chỗ dựa cho kế hoạch giải toán của học sinh

Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trực quan, sinh động và phù hợp với tâm sinh

lí học sinh tiểu học Và sử dụng phương pháp này sẽ tránh được những lý luận

không phù hợp với học sinh, quan trọng là sẽ tránh được việc lập phương trình như sẽ học ở Trung học cơ sở và Trung học phổ thông

Đây là phương pháp hữu hiệu trong việc dùng để giải nhiều dạng toán ở tiểu học như giải toán có lời văn, giải toán có yếu tố hình học, giải toán có yếu tố đại số hay được sử dụng trong giảng dạy lý thuyết

Vì vậy, trong quá trình dạy giải toán, giáo viên cần sử dụng triệt để phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giúp các em nắm chắc bản chất của mỗi dạng toán, nhận dạng nhanh và phát huy được tính tích cực, chủ đạo của học sinh

1.2.2.3 Các bước tiến hành và cách trình bày lời giải bài toán sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

Bước 1: Tìm hiểu đề toán

Ở bước này, giáo viên đặt các câu hỏi để tập trung chú ý của học sinh như: Bài toán đã cho gì? Bài toán hỏi gì? Khi đó, các câu hỏi do giáo viên đặt ra rất quan trọng, bởi học sinh thường bị phân tán vào các từ ngữ không quan trọng của đề bài

Bước 2: Phân tích các điều kiện của đề toán, biểu diễn các đại lượng đã cho trên sơ đồ đoạn thẳng

Bước 3: Dựa vào sơ đồ, lập kế hoạch giải

Bước 4: Thực hiện các thao tác giải và trình bày bài giải

Bước 5: Kiểm tra, đánh giá lời giải Ở bước này, các yêu cầu đạt được khi giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng gồm:

Học sinh được luyện tập, thực hành vẽ sơ đồ đoạn thẳng thông qua các bài toán điển hình Từ các đề toán đã cho, học sinh dùng sơ đồ đoạn thẳng thay cho các số, các đại lượng của bài toán Nhờ đó, học sinh có thể nói rõ cách vẽ

sơ đồ đoạn thẳng của mình và giải thích rõ tại sao, học sinh có thể từ quan sát

sơ đồ đoạn thẳng tự đặt đề toán và giải thích bài toán đó

Học sinh có óc phán đoán, suy luận nhanh, có tư duy và cách khái quát cao, rút ra được những kinh nghiệm cho bản thân trong quá trính giải toán

1.2.2.4 Các dạng bài toán sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

Dạng bài toán đơn Bài toán đơn là các bài toán khi giải chỉ dùng một bước tính (còn gọi là một phép tính) Các bài toán đơn ở tiểu học được phân làm bốn dạng Trong đó:

( )i Các bài toán đơn giải bằng một phép tính cộng Bài toán đơn với một

phép tính cộng xuất hiện ở tất cả các lớp ở bậc Tiểu học Căn cứ vào cấu trúc của sơ đồ đoạn thẳng trong lời giải của bài toán, ta có thể chia bài toán dạng này thành ba mẫu sau:

Mẫu 1 Sơ đồ có dạng nhiều hơn, ít hơn

… …

…?

Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, giáo viên dẫn dắt học sinh đến với đề toán theo các văn cảnh khác nhau

+ Theo sơ đồ thì bài toán trên giải bằng phép tính gì?

+ Trong bài toán giải bằng phép tính cộng thì câu lời giải là gì?

( )ii Bài toán đơn giải bằng một phép tính trừ Bài toán đơn giải bằng một

phép tính trừ xuất hiện trong tất cả các lớp của bậc Tiểu học Căn cứ vào cấu trúc của sơ đồ đoạn thẳng trong lời giải của bài toán, ta có thể phân chia các bài toán dạng này thành bốn mẫu sau:

(iii Các bài toán đơn giải bằng một phép tính nhân Căn cứ vào cấu trúc của )

sơ đồ đoạn thẳng dùng trong lời giải, ta có thể phân chia các bài toán đơn giải bằng một phép tính nhân thành hai mẫu sau:

Mẫu 1 Sơ đồ có dạng sau

( )iv Bài toán giải bằng một phép tính chia Tương tự như bài toán giải bằng

một phép tính nhân, các bài toán giải bằng một phép tính chia gồm có các mẫu sơ đồ

Mẫu 1 Sơ đồ có dạng sau

Các bài toán hỗn hợp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

( )i Các bài toán hợp giải bằng hai phép tính cộng và trừ

( )ii Bài toán hợp giải bằng hai phép tính cộng và nhân Mẫu a+ a´ c sơ đồ có dạng

1.3 Vấn đề chung về bài toán

1.3.1 Quan niệm về bài toán Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết Theo G.Polya, bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp

để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.Polya cho ta thấy rằng: Bài toán là sự đòi hỏi đạt tới mục đích nào đó Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một

số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập…

1.3.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài toán gồm hai yếu tố chính hợp thành

- Bài toán cho biết gì? (là những gì bài toán đã cho)

- Bài toán yêu cầu tìm gì? (là mục đích của bài toán)

1.3.3 Lời giải của bài toán Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra Ta thống nhất giữa lời giải, cách giải, bài giải của bài toán

Một bài toán có thể có một lời giải, không có lời giải hoặc có nhiều lời giải Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải hoặc lí giải tại sao bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải Nhưng ở tiểu học, một bài toán thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp không có lời giải thường không có

1.3.4 Ý nghĩa của việc giải toán Giải toán có ý nghĩa to lớn và đóng vai trò quan trọng trong quá trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể:

- Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

- Rèn luyện, phát triển tư duy và kĩ năng vận dụng kiến thức của học sinh

- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh

1.3.5 Phân loại bài toán Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là sử dụng nó thuận lợi Ta có một số cách phân loại bài toán như sau:

( )i Phân loại theo hình thức của bài toán Dựa vào kết luận của bài toán đã

cho hay chưa để phân bài toán ra thành hai loại: Bài toán chứng minh và bài toán tìm tòi

Bài toán chứng minh là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách

rõ ràng trong đề bài toán

Bài toán tìm tòi là bài toán trong đó kết luận của nó vẫn chưa có sẵn trong đề bài toán

( )ii Phân loại theo phương pháp giải bài toán gồm hai loại

Bài toán có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một thuật toán chung nào đó, được mang tính chất angorit nào đó

Bài toán không có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một thuật toán nào hoặc không mang tính chất thuật toán nào

(iii) Phân loại theo nội dung bài toán Bài toán số học; Bài toán chuyển động đều; Bài toán về tuổi; Bài toán trồng cây; Bài toán cấu tạo số;…

( )iv Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hay một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

( )v Phân loại theo phép tính sử dụng trong bài giải Các bài toán ở tiểu học

được chia làm hai loại gồm bài toán đơn và bài toán hợp

Bài toán đơn là bài toán được giải bằng một phép tính

Bài toán hợp là bài toán giải bằng hai phép tính trở lên Bài toán hợp chứa đựng trong nó những bài toán đơn theo một cấu trúc, số phải tìm trong bài toán đơn này lại là số cho trước của bài toán đơn khác hay kết quả của phép tính trong bài toán đơn này sẽ trở thành một phần phép tính trong bài toán đơn tiếp sau đó

1.3.6 Phương pháp tìm lời giải của bài toán Theo G.Polya, quy trình giải một bài toán gồm bốn bước:

Bước 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán Trước khi giải một bài toán, ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán Bước này gồm các hoạt động sau:

- Phân biệt yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm của bài toán Tức là tìm hiểu những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán ?

- Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài

- Phân biệt những yếu tố thuộc về bản chất và không phải là bản chất

- Mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm Ta có thể biểu diễn mối quan hệ đó bằng cách tóm tắt hoặc nhắc lại bài toán

Bước 2: Tìm tòi lập kế hoạch giải toán Hoạt động này gắn với việc phân tích các dữ kiện và các yếu tố phải tìm của bài toán, nhằm xác lập mối quan

hệ giữa chúng và tìm được phép tính số học thích hợp Bước này cũng gồm các thao tác:

- Minh họa bài toán bằng cách tóm tắt, thường là dùng sơ đồ đoạn thẳng

- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trật tự giải quyết của phép tính

số học

Trong giải toán, đây là bước quyết định và cũng là bước khó khăn nhất Bước này đòi hỏi học sinh biết huy động kiến thức đã biết để nhận xét, so sánh, bác

bỏ, từ đó mới tiếp cận được lời giải của bài toán

Bước 3: Thực hiện giải toán Đây là bước tập hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dẫn tới kết luận của bài toán Thực hiện giải toán là thực hiện các phép tính đã nêu trong kế hoạch giải toán

và trình bày bài giải đó Trong chương trình Tiểu học hiện nay, học sinh có thể áp dụng một trong những cách riêng biệt hoặc trình bày dưới dạng biểu thức gồm một vài phép tính

Bước 4: Kiểm tra và đánh giá lời giải Việc kiểm tra nhằm phân tích cách giải đúng hoặc sai, phát hiện sai ở đâu và sửa lại cho đúng, ghi đáp số Ngoài

ra, tìm hiểu việc trình bày lời giải đã đầy đủ chưa, kiểm tra tính hợp lí của lời giải

1.4 Bài toán tuổi ở môn toán tiểu học

1.4.1 Kiến thức chung để giải dạng bài toán về tuổi Các bài toán về tính tuổi thuộc dạng toán có lời văn điển hình Trong chương trình toán bậc Tiểu học, các bài toán về tính tuổi được đưa vào từ lớp 2 tới lớp 5

Đối tượng được nói đến trong các bài toán dạng này là tuổi tác Các bài toán đưa ra tình huống có vấn đề với nội dung chính là tuổi tác của các đối tượng rất gần gũi với học sinh như tuổi của ông, bà, cha, mẹ, anh, chị, em… của học sinh đó Các bài toán này có thể được đưa ra dạng tường minh hoặc dạng ẩn Việc giải các bài toán dạng này cũng giống như các dạng toán về tìm số Khi giải các bài toán về tính tuổi cần lưu ý:

Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng tuổi trong từng thời kì (trước đây, hiện nay, sau này)

Hiệu số tuổi giữa hai người không thay đổi theo thời gian

Trong các bài toán về tính tuổi, ta thường gặp các đại lượng sau:

+ Tuổi của A và B

+ Tổng (Hiệu) số tuổi của A và B

+ Tỉ số tuổi của A và B

Các thời điểm tính tuổi của A và B (trước đây, hiện nay, sau này)

Mỗi năm thì mỗi người tăng thêm một tuổi Tổng số tuổi của hai người thay đổi trước hoặc sau 1,2 năm là 2,4…năm

1.4.2 Phân loại bài toán về tuổi ở tiểu học Ta có thể phân loại bài toán về tuổi như sau:

Các bài toán đơn về tính tuổi: là các bài toán mà học sinh thực hiện một phép tính để giải trong một bài toán Đây là những bài toán tuổi nằm trong chương trình toán lớp 2,3

Các bài toán hợp về tính tuổi: là các bài toán mà việc giải nó đòi hỏi học sinh phải thực hiện từ hai phép tính trở lên Đây chính là các bài toán có lời văn điển hình, gồm các loại bài sau:

+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

+ Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó

+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

+ Bài toán có số thập phân

+ Một số bài toán khác

1.4.3 Một số bài toán về tuổi trong chương trình SGK tiểu học

1.4.3.1 Lớp 2 và lớp 3 Gồm các bài toán giải bằng một phép tính

Ví dụ 1 Anh 7 tuổi, anh hơn em 5 tuổi Hỏi anh bao nhiêu tuổi?

Ví dụ 4 Năm nay ông 70 tuổi, bố kém ông 32 tuổi Hỏi năm nay bố bao nhiêu tuổi?

1.4.3.2 Lớp 4 và lớp 5 Gồm các bài toán giải bằng hai phép tính trở lên

Ví dụ 7 Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi Bố hơn con 38 tuổi Hỏi

bố bao nhiêu tuổi? Con bao nhiêu tuổi?

Ví dụ 8 Tuổi chị và tuổi em cộng lại được 36 tuổi Em kém chị 8 tuổi Hỏi

em bao nhiêu tuổi? Chị bao nhiêu tuổi?

Ví dụ 9 Mẹ hơn con 25 tuổi Tuổi con bằng 2

7 tuổi mẹ Hãy tìm tuổi của mỗi người?

Ví dụ 10 Năm nay tuổi con ít hơn tuổi bố 35 tuổi và bằng 2

9 tuổi bố Hỏi năm nay con bao nhiêu tuổi?

Ví dụ 11 Một lớp học sinh có 32 học sinh, trong đó học sinh 10 tuổi chiếm

75%, còn lại là học sinh 11 tuổi Tính số học sinh 10 tuổi của lớp?

Ví dụ 12 Mẹ hơn con 27 tuổi Sau 3 năm nữa mẹ sẽ gấp 4 lần tuổi con Tính tuổi mỗi người hiện nay?

Ví dụ 13 Tuổi của con gái bằng 1

4 tuổi mẹ, tuổi của con trai bằng

1

5 tuổi mẹ Tuổi của con trai cộng với tuổi của con gái là 18 tuổi Hỏi mẹ bao nhiêu tuổi?

Nhận xét Trong chương trình môn toán ở tiểu học, các bài toán về tính tuổi được đưa vào dạy học bắt đầu từ lớp 2 Các bài toán được đưa vào trong sách giáo khoa là những bài toán hết sức cơ bản, đơn giản, bước đầu khai thác tỉ số

và đều áp dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải

1.4.4 Phương pháp thường dùng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

1.4.4.1 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng Căn cứ vào đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học và đặc trưng của dạng bài toán tuổi thì việc giải bài toán dạng này sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là phù hợp và đạt kết quả cao

Dùng sơ đồ đoạn thẳng để tóm tắt bài toán sẽ thể hiện được các yếu tố của bài toán, thấy được yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm

Các bước giải bài toán tuổi có sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng:

Bước 1: Chọn 1 đoạn thẳng tùy ý làm đơn vị

Bước 2: Căn cứ vào tỉ số tuổi của mỗi người tính số phần bằng nhau theo đơn

vị chỉ số tuổi của từng người

Bước 3: Vẽ sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tuổi trong bài toán

Sau khi vẽ được sơ đồ đoạn thẳng của bài toán thì tùy vào từng dạng toán điển hình mà thực hiện các bước tính toán tiếp theo Có thể thấy, tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tính tuổi là một việc làm quan trọng và không thể thiếu

1.4.4.2 Các phương pháp khác

( )i Phương pháp thử chọn Phương pháp thử chọn dùng để giải các bài toán

về tìm một số khi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Ta có thể sử dụng phương pháp thử chọn để giải các bài toán tính tuổi Khi giải bài toán bằng phương pháp này, trước hết ta phải xác định các số thỏa mãn một số trong các điều kiện mà đề bài yêu cầu Để lời giải ngắn gọn và chặt chẽ, ta cần cân nhắc chọn điều kiện để liệt kê sao cho các số liệt kê theo điều kiện là ít nhất

Sau đó, lần lượt kiểm tra mỗi số vừa liệt kê ở trên có thỏa mãn các điều kiện còn lại mà đề bài yêu cầu hay không? Số nào thỏa mãn là số phải tìm Số nào không thỏa mãn một trong các điều kiện còn lại thì ta loại bỏ

( )ii Phương pháp dùng chữ thay số Trong khi giải nhiều bài toán, số cần tìm

được kí hiệu bởi một biểu tượng nào đó, có thể là chữ số a b A B x y, , , , , , Từ cách chọn kí hiệu nói trên theo điều kiện của đề bài, người ta đưa về một phép tính hay dãy tính chứa các biểu tượng này Dựa vào quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính, ta tính được số cần tìm

Phương pháp dùng chữ thay số cũng được dùng để giải các bài toán có lời văn Đối với bài toán về tính tuổi việc sử dụng phương pháp này cũng cho ta kết quả của bài toán

Trong khuôn khổ khóa luận của mình, em xin đi sâu tìm hiểu các bài toán tuổi

có sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TUỔI Ở TIỂU HỌC

2.1 Phương pháp giải các bài toán đơn về tính tuổi

2.1.1 Khái quát chung các bài toán đơn về tính tuổi Các bài toán đơn về tính tuổi là các bài toán đưa ra tình huống có vấn đề với nội dung chính là tuổi tác Và để giải các bài toán này, ta chỉ cần sử dụng một phép tính Các bài toán đơn về tính tuổi nằm trong hệ thống chương trình học của học sinh tiểu học lớp 2,3

2.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 ([10]- SGK Toán 2- trang 26) Em 7 tuổi, anh hơn em 5 tuổi Hỏi anh bao nhiêu tuổi?

Phân tích Ta sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để tóm tắt bài toán trên: Vẽ tuổi của

em là một đoạn thẳng tương ứng với 7 tuổi và tuổi anh là một đoạn thẳng dài hơn thế gồm hai phần Một phần bằng tuổi em và một phần hơn tương ứng với 5 tuổi Bài toán đưa về dạng bài toán về nhiều hơn

Lời giải Theo bài ra ta có sơ đồ sau