ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TUỔI Ở TIỂU HỌC
2.1. Phương pháp giải các bài toán đơn về tính tuổi
2.1.1. Khái quát chung các bài toán đơn về tính tuổi. Các bài toán đơn về tính tuổi là các bài toán đưa ra tình huống có vấn đề với nội dung chính là tuổi tác. Và để giải các bài toán này, ta chỉ cần sử dụng một phép tính. Các bài toán đơn về tính tuổi nằm trong hệ thống chương trình học của học sinh tiểu học lớp 2,3.
2.1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1 ([10]- SGK Toán 2- trang 26). Em 7 tuổi, anh hơn em 5 tuổi. Hỏi anh bao nhiêu tuổi?
Phân tích. Ta sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để tóm tắt bài toán trên: Vẽ tuổi của em là một đoạn thẳng tương ứng với 7 tuổi và tuổi anh là một đoạn thẳng dài hơn thế gồm hai phần. Một phần bằng tuổi em và một phần hơn tương ứng với 5 tuổi. Bài toán đưa về dạng bài toán về nhiều hơn.
Lời giải. Theo bài ra ta có sơ đồ sau 7 tuổi
Tuổi em : 5 tuổi Tuổi anh :
? tuổi Số tuổi của anh là
Đáp số: Anh 12 tuổi. Ví dụ 2 ([10]- SGK Toán 2- trang 90 ). Năm nay bà 65 tuổi, mẹ kém bà 27 tuổi. Hỏi năm nay mẹ bao nhiêu tuổi?
Phân tích. Ta sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị tuổi bà và tuổi mẹ. Tuổi bà biểu diễn là một đoạn thẳng dài hơn tuổi của mẹ. Tuổi bà là đoạn thẳng gồm hai phần với một đoạn thẳng bằng tuổi mẹ và một đoạn thẳng tương ứng với 27 tuổi. Quan sát sơ đồ, học sinh dễ dàng thấy đây chính là dạng bài toán ít hơn và xác định phép tính để giải bài toán.
Lời giải. Theo bài ra ta có sơ đồ sau ? tuổi Tuổi mẹ : 27 tuổi Tuổi bà : 65 tuổi Tuổi của mẹ là 65- 27 = 38( tuổi) Đáp số: Tuổi mẹ 38 tuổi. Ví dụ 3. Năm nay em 6 tuổi, tuổi chị gấp 2 lần tuổi em. Hỏi năm nay chị bao nhiêu tuổi?
Phân tích. Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng biểu thị mối quan hệ giữa tuổi chị và tuổi em. Nếu biểu diễn tuổi chị là một đoạn thẳng thì đoạn thẳng biểu diễn tuổi chị là hai phần bằng nhau như thế. Dựa vào sơ đồ đoạn thẳng, học sinh nhận ra đây chính là bài toán tuổi dạng gấp một số lên nhiều lần.
6 tuổi Tuổi em : Tuổi chị : ? tuổi Số tuổi của chị là 6´ 2= 12 ( tuổi) Đáp số: Tuổi chị 12 tuổi Nhận xét. Như vậy để giải các bài toán đơn về tính tuổi, ta sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để sơ đồ hóa các đại lượng và biểu thị mối quan hệ giữa chúng. Khi vẽ được sơ đồ đoạn thẳng, học sinh sẽ nhận ra ngay được phép tính cần thực hiện và kết quả của bài toán. Các bài toán đơn về tuổi là những bài toán khá đơn giản của hệ thống các bài toán tuổi nói riêng và của của bài toán có lời văn nói chung. Việc đưa các bài toán đơn này vào hệ thống bài tập của học sinh là căn cứ vào khả năng nhận thức, trình độ tư duy của học sinh giai đoạn đầu tiểu học. Việc giải các bài toán đơn về tuổi này chính là nền tảng để học sinh có thể giải các bài toán hợp về tuổi ở các lớp cao hơn.
2.2. Các bài toán hợp về tính tuổi và cách giải chúng
2.2.1. Khái quát các bài toán hợp về tính tuổi. Ở cuối lớp 3 và lớp 4,5 khi tư duy trừu tượng và khả năng nhận thức của học sinh phát triển tốt hơn thì cũng đòi hỏi các bài toán cần giải ở mức độ cao hơn, tăng dần độ khó và phức tạp với số lượng phép tính nhiều hơn.
Các bài toán hợp về tính tuổi là các bài toán yêu cầu tìm lời giải từ hai phép tính trở lên. Các bài toán này vẫn sử dụng phương pháp chung là sơ đồ đoạn thẳng để giải.
Căn cứ vào dữ kiện đã cho của đầu bài, các bài toán hợp về tuổi được phân thành các dạng chính như sau:
+ Bài toán tuổi cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người. + Bài toán tuổi cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người. + Bài toán tuổi cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người. + Bài toán tuổi có số thập phân.
+ Các bài toán khác.
2.2.2. Bài toán tuổi cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người
Cách giải. Khi giải bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta thường tiến hành theo bốn bước sau:
Bước 1: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Sử dụng các đoạn thẳng để biểu thị các số phải tìm. Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó tương ứng với tỉ số tuổi của các số tuổi cần tìm.
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau. Bước 3: Tìm giá trị của một phần.
Bước 4: Xác định số tuổi cần tìm của mỗi người.
Ví dụ 1 ([9]- trang 27, bài 9 ). Tuổi của hai mẹ con năm nay cộng lại bằng 85 tuổi. Trước đây, khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện nay thì tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Phân tích. Bài toán cho biết tuổi của hai mẹ con ở hai thời điểm là trước đây và hiện nay. Khi tuổi mẹ trước đây bằng tuổi con hiện nay thì tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con, có nghĩa là ta coi tuổi con trước đây là một phần thì tuổi mẹ trước đây là 6 phần như thế. Hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên luôn bằng: 6- 1= 5( phần)
Sơ đồ biểu diễn tuổi của hai mẹ con hiện nay là tuổi mẹ gồm 11 phần, tuổi
con là 6 phần. Bài toán cho biết tổng số tuổi của hai mẹ con là 85 tuổi. Tới đây, bài toán đưa về dạng tìm số tuổi của hai mẹ con biết tổng và tỉ số
tuổi của hai người.
Lời giải. Vì hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tuổi con trước đây : Tuổi mẹ trước đây :
? tuổi
Tuổi con hiện nay : 85 Tuổi mẹ hiện nay :
? tuổi Tuổi con hiện nay là
85 : (6+ 11)´ 6= 30( tuổi) Tuổi mẹ hiện nay là
85- 30= 55( tuổi)
Đáp số: Tuổi con 30 tuổi; Tuổi mẹ 55 tuổi Ví dụ 2 ([9]- trang 5 , ví dụ 1 ). Cách đây 8 năm tổng số tuổi của hai chị em bằng 24 tuổi. Hiện nay, tuổi em bằng 3
5 tuổi chị. Tìm tuổi của mỗi người hiện nay.
Phân tích. Mỗi năm mỗi người tăng thêm 1 tuổi. Vậy sau 8 năm thì cả chị và em đều tăng thêm mỗi người 8 tuổi. Vậy tổng số tuổi tăng lên sau 8 năm của cả hai chị em là 16 tuổi.
Tổng số tuổi của hai chị em hiện nay là
24+ 8´ 2= 40( tuổi) Hiện nay, tuổi em bằng 3
5 tuổi chị. Nếu biểu diễn số tuổi của em là 3 phần bằng nhau thì tuổi của chị gồm 5 phần bằng nhau như thế. Với sơ đồ biểu diễn bài toán như vậy, ta tìm số tuổi của hai chị em theo dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số tuổi của hai người.
Lời giải. Mỗi năm, mỗi người tăng thêm 1 tuổi. Sau 8 năm, chị tăng thêm 8 tuổi và em cũng tăng thêm 8 tuổi. Vậy sau 8 năm, tổng số tuổi của chị và em tăng số tuổi là
8+ 8 = 16( tuổi) Tổng số tuổi của hai chị em hiện nay là
24+ 8´ 2= 40( tuổi) Theo bài ra, ta có sơ đồ sau
? tuổi
Tuổi em hiện nay: 40 tuổi Tuổi chị hiện nay:
? tuổi Tuổi em hiện nay là
40 : (3+ 5)´ 3= 15( tuổi) Tuổi chị hiện nay là
40- 15= 25( tuổi)
Ví dụ 3 ([9] - trang 27, bài 10). Năm nay tuổi hai cha con cộng lại bằng 42 tuổi. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi con lúc đó bằng 6
11 tuổi cha. Tìm tuổi mỗi người hiện nay.
Phân tích. Bài toán cho tuổi của hai cha con ở hai thời điểm là hiện nay và sau này.
Ở thời điểm sau này, khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi con lúc đó bằng 6
11 tuổi cha, có nghĩa là tuổi con sau này chiếm 6 phần và tuổi cha sau này chiếm 11 phần như thế. Hiệu số tuổi của hai cha con là 5 phần.
Vì vậy, sơ đồ đoạn thẳng biểu thị tuổi cha hiện nay bằng tuổi con sau này và bằng 6 phần, tuổi con hiện nay là 1 phần như thế. Tổng số tuổi của hai cha con hiện nay là 42 tuổi.
Lời giải. Vì hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ
?
Tuổi con hiện nay : ? tuổi 42 tuổi Tuổi cha hiện nay :
Tuổi con sau này : Tuổi cha sau này : Tuổi của con hiện nay là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
42 : (1+ 6)´ 1= 6( tuổi) Tuổi của cha hiện nay là
Đáp số: Tuổi con 6 tuổi; Tuổi cha 36 tuổi 2.2.3. Các dạng bài toán cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người
2.2.3.1. Dạng trực tiếp của bài toán hiệu và tỉ số tuổi của hai người. Ta tiến hành giải bài toán theo các bước sau:
Bước 1: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Dùng các đoạn thẳng để biểu thị các số cần tìm. Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó tương ứng với tỉ số của các số cần tìm.
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.
Hiệu số tuổi của hai người chính là hiệu số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng.
Bước 3: Xác định số tuổi tương ứng với 1 phần bằng nhau trên sơ đồ. Bước 4: Tìm số tuổi của mỗi người.
Ví dụ 1. Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng 2
7 tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người.
Phân tích. Mẹ hơn con 25 tuổi, nghĩa là bài toán cho biết hiệu số tuổi giữa tuổi mẹ và tuổi con là 25 tuổi. Và tuổi con bằng 2
7 tuổi mẹ chính là tỉ số tuổi của hai người.
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng như sau:
Ta biểu diễn số tuổi của con là 2 phần bằng nhau thì tuổi mẹ gồm 7 phần bằng nhau như vậy. Biểu diễn các dữ liệu trên sơ đồ, bài toán trở về dạng tìm số tuổi của 2 người khi biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người.
? tuổi
Tuổi con : 25 tuổi Tuổi mẹ : ? tuổi Hiệu số phần bằng nhau là 7- 2= 5( phần) Tuổi con là 25 : 5´ 2= 10( tuổi) Tuổi mẹ là 10+ 25= 35( tuổi)
Đáp số: Con 10 tuổi; Mẹ 35 tuổi. Ví dụ 2 ([9] - trang 11, ví dụ 9). Cách đây 5 năm, em 5 tuổi và kém chị 6 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em?
Phân tích. Bài toán cho biết em kém chị 6 tuổi nên 6 tuổi chính là hiệu số tuổi của hai chị em. Hiệu số tuổi của 2 chị em không thay đổi theo thời gian. Tuổi em hiện nay là
5+ 5= 10( tuổi)
3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em có nghĩa là tỉ số giữa tuổi chị so với tuổi em là 4
3. Coi tuổi em là 3 phần bằng nhau thì tuổi chị là 4 phần bằng nhau. Như thế, ta đưa bài toán về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó. Lời giải. Tuổi em hiện nay là
Vì hiệu số tuổi hai chị em không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ biểu thị tuổi của hai chị em khi 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em như sau:
? tuổi
Tuổi em : 6 tuổi Tuổi chị :
Tuổi em khi 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em là 6 : (4- 3)´ 3 = 18( tuổi).
Thời gian từ nay cho đến khi 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em là 18- 10= 8(năm)
Đáp số: 8 năm Ví dụ 3 ([9]- trang 10, ví dụ 7). Năm nay anh 17 tuổi và em 8 tuổi. Hỏi cách đây mấy năm thì tuổi anh gấp 4 lần tuổi em?
Phân tích. Anh 17 tuổi và em 8 tuổi nên dễ dàng tìm được hiệu số tuổi của hai anh em là 9 tuổi. Khi tuổi anh gấp 4 lần tuổi em thì tỉ số tuổi của em và anh là 1
4. Ta dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu diễn tỉ số tuổi này, với tuổi em là 1 phần thì tuổi anh là 4 phần bằng nhau như thế.
Khoảng thời gian để tuổi anh gấp 4 lần tuổi em sẽ bằng tuổi em hiện nay trừ đi tuổi em ở thời điểm tuổi anh gấp 4 lần tuổi em. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lời giải. Hiệu số tuổi của anh và em là
17- 8= 9( tuổi)
Vì hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời gian nên theo bài ra ta có sơ đồ biểu thị tuổi của anh và tuổi em khi tuổi anh gấp 4 lần tuổi em.
Tuổi em : 9 tuổi Tuổi anh :
Tuổi em khi tuổi anh gấp 4 lần tuổi em là
9 : (4- 1)´ 1= 3( tuổi) Thời gian khi tuổi anh gấp 4 lần tuổi em cho đến nay là
8- 3 = 5( năm)
Đáp số: 5 năm 2.2.3.2. Dạng bài toán phải giải một bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi của hai người. Trước hết, ta giải bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi của hai người. Sau đó, thực hiện giải bài toán tương tự như dạng trên.
Ví dụ 1 ([9]- trang 11, ví dụ 10). Cách đây 8 năm tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con và tổng số tuổi của hai mẹ con lúc đó bằng 32 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con?
Phân tích. Để tìm được khoảng thời gian từ nay đến khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con thì ta phải biết được hiệu số tuổi của hai mẹ con.
Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên ta sẽ xác định hiệu số tuổi của hai mẹ con ở thời điểm cách đây 8 năm. Tức là khi tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi con và tổng số tuổi của hai mẹ con là 32 tuổi.
Nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ khi đó là 7 phần như vậy và tổng số tuổi của hai mẹ con là 32 tuổi. Ta tính được tuổi con cách đây 8 năm là 4 tuổi, tuổi mẹ cách cách đây 8 năm là 28 tuổi. Nên hiệu số tuổi của hai mẹ con là 24 tuổi.
Với hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian và tỉ số tuổi là 1
2 ta tìm được lời giải của bài toán.
Lời giải. Ta có sơ đồ biểu thị tuổi mẹ và tuổi con cách đây 8 năm: Tuổi mẹ : 32 tuổi
Tuổi con :
Tuổi con cách đây 8 năm là
32 : (7+ 1)´ 1 = 4 (tuổi) Tuổi mẹ cách đây 8 năm là
32- 4= 28(tuổi) Mẹ hơn con số tuổi là
28- 4 = 24( tuổi) Tuổi con hiện nay là
4+ 8 = 12( tuổi)
Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ biểu thị tuổi mẹ và tuổi con khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con như sau :
Tuổi mẹ :
Tuổi con : 24 tuổi
Tuổi con khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con là
24 : (2- 1)´ 1= 24( tuổi) Thời gian từ nay cho đến khi tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con là
24- 12= 12( năm)
Ví dụ 2 ([9]- trang 12, ví dụ 11). Mẹ sinh con năm mẹ 28 tuổi. Tổng số tuổi của hai mẹ con năm nay bằng 38 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi con bằng 5
12 tuổi mẹ.
Phân tích. Tổng số tuổi của hai mẹ con bằng 38 tuổi, cho ta biết hai lần tuổi con bằng 10 tuổi. Vì từ khi sinh con ra, mỗi năm mẹ và con đều tăng 1 tuổi. Vậy tuổi con hiện nay là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
10 : 2 = 5( tuổi) Vậy tuổi mẹ hiện nay là
385 33(tuổi) Hiệu số tuổi của hai mẹ con là
33- 5= 28( tuổi)
Ta dùng sơ đồ đoạn thẳng biểu diễn khi tuổi con bằng 5
12 tuổi mẹ. Nếu tuổi con là 5 phần bằng nhau thì tuổi mẹ là 12 phần như vậy.
Số năm kể từ tuổi con hiện nay tới khi tuổi con bằng 5
12 tuổi mẹ được tính bằng hiệu số tuổi con ở thời điểm tuổi con bằng 5
12 tuổi mẹ trừ đi tuổi con hiện nay.
Lời giải. Tuổi con hiện nay là
(38- 28) : 2 = 5( tuổi).
Ta có sơ đồ biểu thị tuổi của hai mẹ con khi tuổi con bằng 5