Liên phân số và xấp xỉ tốt

Liên phân số (Continued fractions) (and) Xấp xỉ tốt (good approxmations) Trần Thị Thu Hiền ĐH Thái Nguyên-ĐHKH Ngày 15 tháng 04 năm 2015 Mục lục Nhắc lại vành Z 1.1 Vành Z 1.2 Phép chia với dư 1.3 Số nguyên tố Định lý số học Liên phân số-Continued fractions 2.1 Liên phân số 2.1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước 2.1.2 Liên phân số hữu hạn 2.1.3 Liên phân số vô hạn 2.2 Biểu diễn qua liên phân số hữu hạn 2.2.1 Phương trình ax + by + c = 2.2.2 Biểu diễn dãy truy hồi 2.2.3 Biểu diễn tổng hữu hạn qua liên phân số 2.2.4 Biểu diễn liên phân số hữu hạn qua định thức 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn 2.4 Một vài vận dụng 4 9 13 15 21 21 22 27 32 33 40 Lời nói đầu Trong thực tế, làm việc với số vô tỷ người ta thường phải dùng phân số gần với để sử dụng Chẳng hạn để tính toán với số π, nhà toán học thời xưa dùng phân số gần 355 22 tính toán, chẳng hạn: 113 Vấn đề đặt ra: Có thể tìm phân số gần khác số π mà mẫu số nằm khoảng hay không ? Nên dùng phân số mà mẫu số tử số không vượt số điều kiện mà sai số với π lại đủ nhỏ? Thông thường, người ta xét phân số với tử số số nguyên, mẫu số số nguyên dương Ta gọi khoảng cách số vô tỷ p p α với phân số trục số sai số tuyệt đối α ký q q p − α Thông thường chọn phân số có mẫu số lớn hiệu q sai số nhỏ, điều lúc Do vậy, nên chọn sai số gần theo tiêu chuẩn có sai số nhỏ nhiều phân số biết? Những câu hỏi vậy, đòi hỏi phải xây dựng khái niệm phân số gần tốt để tìm cần xét đến phân số kề trước phân số Chính lý trên, việc nghiên cứu liên phân số cần thiết Vấn đề mà tác giả tập trung nghiên cứu liên phân số xấp xỉ tốt Ngoài phần mở đầu kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương với mục Chương tập trung nghiên cứu vành Z, gồm ba mục Mục 1.1 nhắc lại khái niệm vành Z vài tính chất Mục 1.2 tập trung trình bày lại phép chia hết Mục 1.3 trình bày kết số nguyên tố định lý số học Chương hai tập trung trình bày liên phân số xấp xỉ tốt, gồm mục Mục 2.1 trình bày lý thuyết liên phân số ,Mục 2.2 Trình bày biểu diễn qua liên phân số hữu hạn , Mục 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn cuối Mục 2.4 vài ứng dụng liên phân số Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ Qua bày tỏ lòng kính trọng biết ơn chân thành thầy hướng dẫn , người tận tình bảo quan tâm động viên giúp đỡ hoàn thành luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cô cán khoa toán cán quản lý khoa học - Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hết lòng giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Cuối xin cảm ơn anh, chị bạn lớp cao học Toán K7Q trường Đại học Khoa học Thái Nguyên động viên tinh thần, chia sẻ khó khăn giúp đỡ hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 04 năm 2015 Tác giả Trần Thị Thu Hiền Chương Nhắc lại vành Z 1.1 Vành Z Ta bắt đầu khái niệm vành Euclide Định nghĩa 1.1.1 Cho miền nguyên R Ánh xạ δ : R∗ → N, x → δ(x), từ tập phần tử khác R đến tập số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (1) Với a, b ∈ R∗ a|b δ(a) δ(b) (2) Với a, b ∈ R, b = 0, có tồn q, r ∈ R cho a = qb + r với r = δ(r) < δ(b) r = gọi ánh xạ Euclide Định nghĩa 1.1.2 Miền nguyên R gọi vành Euclide có ánh xạ Euclide tác động lên tập R∗ Định nghĩa 1.1.3 Miền nguyên R gọi vành iđêan R iđêan Bổ đề 1.1.4 Mọi vành Euclide vành Chứng minh: Giả sử R vành Euclide với ánh xạ Euclide δ : R∗ → N Vì R vành Euclide nên miền nguyên Giả sử I iđêan R Nếu I = I = (0) iđêan Nếu I = có phần tử a ∈ I, a = Đặt I ∗ = I \ {0} Vì δ(I ∗ ) ⊂ N nên có a0 ∈ I ∗ thỏa mãn δ(a0 ) δ(x) với x ∈ I ∗ Vì a0 ∈ I nên iđêan (a0 ) ⊆ I Bây ta I = (a0 ) Thật vậy, giả sử a ∈ I Do a0 = R vành Euclide nên tồn q, r ∈ R ch a = qa0 + r với r = δ(r) < δ(a0 ) Nếu r = r ∈ I ∗ δ(r) < δ(a0 ) : mâu thuẫn Vậy r = a = qa0 Từ suy a ∈ (a0 ) Do a lấy tùy ý nên I = (a0 ) R vành iđêan Hệ 1.1.5 Vành Z vành Chứng minh: Vành Z miền nguyên Ánh xạ δ : Z∗ → N, n → |n|, ánh xạ Euclide Do vậy, vành Z vành Euclide Theo Bổ đề 1.1.4, vành Z vành iđêan 1.2 Phép chia với dư Định nghĩa 1.2.1 Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b = Số a gọi chia hết cho số b hay b chia hết a có c ∈ Z thỏa mãn a = bc Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a b nói b chia hết a viết b|a Khi a = bc b gọi ước a Các tính chất sau quan hệ chia hết hiển nhiên (1) | a với a ∈ Z (2) a | a với a ∈ Z, a = (3) Nếu a | b b | c a | c với a, b, c ∈ Z, a, b = (4) Nếu a | b |a| (5) Nếu a | bi với a, bi ∈ Z, i = 1, , n, a | |b| với a, b ∈ Z, a, b = n bi xi với xi ∈ Z i=1 (6) Nếu a | b b | a a = b a = −b với a, b ∈ Z, a, b = Hiển nhiên, quan hệ chia hết Z có tính phản xạ, không có tính bắc cầu, chẳng hạn 5, tính phản đối xứng, chẳng hạn | −5, −5 | 5, = −5 Do quan hệ chia hết quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự Z Định lý 1.2.2 Với cặp số nguyên a, b ∈ Z, b = 0, luôn tồn cặp số nguyên q, r ∈ Z cho a = qb + r, r < |b| Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b| cho n|b| a, n ∈ Z} Vì |b| nên −|a||b| −|a| a Do −|a||b| ∈ T Vậy T = ∅ Vì T tập bị chặn nên T có số lớn m|b| Từ m|b| a ta suy r = a − m|b| r ∈ Z Ta lại có (m + 1)|b| = m|b| + |b| > m|b| Do tính lớn m|b| T nên (m + 1)|b| > a Như |b| > a − m|b| = r ta có a = qb + r với r < |b| Tính nhất: Giả sử có hai biểu diễn a = qb + r với r < |b| a = q1 b + r1 với r1 < |b| Trừ vế cho vế, ta có r − r1 = b(q1 − q) Từ |r − r1 | < |b| ta suy |q1 − q||b| < |b| Vậy q = q1 hiển nhiên r = r1 Biểu diễn a = qb + r, r < |b| Nếu r = q gọi thương a chia cho b Nếu r = q gọi thương hụt, r số dư phép chia a cho b 1.3 Số nguyên tố Định lý số học Định nghĩa 1.3.1 Số tự nhiên p > ước số dương khác gọi số nguyên tố Số tự nhiên q > có ước số dương khác gọi hợp số Nếu có số tự nhiên d để n = d2 n gọi số phương Hiển nhiên ta có định lý sau đây: Định lý 1.3.2 Cho số nguyên tố p số nguyên m, a, b Khi (1) (m, p) = p p | m p m (2) Mọi số m > có ước nguyên tố (3) Nếu p | ab p | a p | b Ta thấy luôn tồn khoảng bao gồm số nguyên liên tiếp với độ dài tùy ý số nguyên tố Tuy vậy, định lý sau tập số nguyên tố tập vô hạn Định lý 1.3.3 [Euclid] Tập tất số nguyên tố tập vô hạn Chứng minh: Ký hiệu P tập tất số nguyên tố giả sử P tập hữu hạn, chẳng hạn P = {p1 , , ps } Xét số nguyên s dương q = pi + > Mọi ước nguyên tố q khác pi i=1 không chia hết cho pi Vậy có số nguyên tố không thuộc P Điều chứng tỏ P tập vô hạn Định lý 1.3.4 Tồn nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n − với n ∈ N Tương tự, tồn nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n + với n ∈ N Chứng minh: Giả sử có số hữu hạn số nguyên tố p1 , , ps s pi − > Khi q số lẻ Nhận xét (*) dạng 4n − Đặt q = i=1 : Sử dụng quy nạp theo r ta dễ dàng tích r (4ni + 1) số i=1 nguyên dương dạng 4h + số nguyên dương dạng 4m + Nếu ước nguyên tố q có dạng 4k + q phải có dạng 4m + Vì q có dạng 4m − nên q phải có ước nguyên tố p dạng 4k − Từ điều giả sử ta suy p = pi với i Vậy p |(−1) Điều Như có nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n − Định lý 1.3.5 Với số nguyên dương n tồn số nguyên tố lớn n Chứng minh: Xét số n!+1 Khi chia số cho số nguyên dương nhỏ n cho số dư Do ước nguyên tố n! + không thuộc tập {1, 2, , n} phải lớn n Định lý 1.3.6 [Định lý số học] Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích hữu hạn thừa số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số Chứng minh: Xét tập F gồm tất số nguyên dương không biểu diễn thành tích số hữu hạn thừa số nguyên tố Ta cần F = ∅ Thật vậy, giả sử F = ∅ Ta thấy m ∈ F m > 2, F tập bị chặn Khi có số nguyên dương nhỏ m thuộc F Vì m ∈ F nên m phải hợp số Khi có hai số nguyên dương q1 , q2 > để m = q1 q2 Vì q1 , q2 < m nên q1 , q2 ∈ / F Như ta có phân tích q1 = t1 t2 th , q2 = u1 u2 uk , ti , uj số nguyên tố Khi m = q1 q2 = t1 t2 th u1 u2 uk Điều mâu thuẫn với giả thiết m ∈ F Như F phải tập rỗng Khi phân tích số tự nhiên q > thành tích thừa số nguyên tố, số nguyên tố xuất nhiều lần Nếu số nguyên tố p1 , , ps xuất theo thứ tự α1 , , αs lần, ta viết q = pα1 pα2 pαs s ta gọi tích dạng phân tích tắc hay dạng phân tích tiêu chuẩn q Khi hai số a, b có dạng phân tích tắc a = pα1 pα2 pαs s q1u1 qrur , b = pβ1 pβ2 pβs s tv11 tvhh , thừa số nguyên tố qi a, thừa số nguyên tố tj có b Ta có min(α ,β ) 2 (a, b) = p1 min(α1 ,β1 ) p2 ps min(αs ,βs ) [a, b] = p1 max(α1 ,β1 ) p2 max(α2 ,β2 ) ps max(αs ,βs ) q1 u1 qr ur t1 v1 th vh p Chú ý 1.3.7 Q tập tất số dạng với p, q hai số nguyên q q = Với phép cộng phép nhân, tập Q lập thành trường Các phần tử thuộc Q gọi số hứu tỷ Những số thực số hữu tỷ gọi số vô tỷ Chương Liên phân số-Continued fractions 2.1 2.1.1 Liên phân số Liên phân số từ hai dãy số cho trước Định nghĩa 2.1.1.1 Cho hai dãy số {ai } = a0 , a1 , a2 , a3 , , {bi } = b0 , b1 , b2 , b3 , với , bi > i > Dãy biểu thức N0 = a0 , N1 = b0 b0 , , gọi giản phân, biểu a0 + , N2 = a0 + b1 a1 a1 + a2 thức b0 a0 + b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 + an−2 + bn−1 an−1 + gọi liên phân số hai dãy số cho trước {ai }, {bi } Hiển nhiên biểu thức Ni tồn Với hai dãy số cho {ai } {bi } ta xây dựng hai dãy số P−1 , P0 , P1 , P2 , Q−1 , Q0 , Q1 , Q2 , sau: P−1 = Q−1 = P = a0 Q0 = Pn+1 = an+1 Pn + bn Pn−1 Qn+1 = an+1 Qn + bn Qn−1 , n 38 n+1 n+1 k=1 (−1)k−1 = a1 ak n−1 k=1 n−1 (−1)k−1 1 + (−1)n−1 − a1 ak a1 an a1 an an+1 (−1)k−1 + (−1)n−1 = an an+1 a1 ak a1 an−1 k=1 an+1 − 1 = a1 a1 + a2 a2 − + a3 a3 − + + an−1 an−1 − + an an+1 −1 an+1 − 1 = a1 a1 + a2 a2 − + a3 a3 − + + an an − + an+1 − Vì chuỗi hội tụ nên n → +∞ ta có biểu diễn dạng liên phân số ∞ (−1)k−1 = a1 k=1 a1 ak a1 + a2 a2 − + a3 a3 − + + an−1 an−1 − + an an − + e qua liên phân số vô hạn Ví dụ 2.3.5 Biểu diễn số e, e−1 e−1 ∞ Bài giải: Theo Mệnh đề 2.3.1, e = + biểu diễn thành k=1 k! 39 dạng (1!)2 (2!)2 (3!)2 e=1+ 1! − 3.1! − 4.2! − − n.(n − 2)! − (n − 1)! (n!)2 (n + 1).(n − 1)! − ∞ Theo Mệnh đề 2.3.3, e = + biểu diễn thành dạng k! k=1 e=1+ 1− 3− 4− n−1 − n− Theo Mệnh đề 2.3.2, e −1 1− 1! + 1.1! + 2.2! + + n n+1− (−1)k = 1+ e−1 biểu diễn thành k! k=1 ∞ (1!)2 (2!)2 (3!)2 (n − 2).(n − 2)! + (n − 1)! (n!)2 (n − 1).(n − 1)! + 40 e−1 = 1− Từ có biểu diễn 1+ 1+ 2+ + n−2+ e e qua liên phân số = 1+ e−1 e−1 n−1 n n−1+ 1+ 2+ + n−2+ n−1 n n−1+ Ví dụ 2.3.6 Biểu diễn số π π −1 qua liên phân số vô hạn ∞ (−1)n π Bài giải: Theo Mệnh đề 2.3.2, = biểu diễn thành n=0 2n + 22 12 −1 dạng: π = ,π = 32 22 1+ 0+ 52 32 2+ 1+ 72 52 2+ 2+ 72 2+ + (2n + 1)2 2+ 2.4 Một vài vận dụng Ví dụ 2.4.1 Xác định tất số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình 55(x3 y + x2 + y ) − 229(xy + 1) = Bài giải: Ta có 55(x3 y + x2 + y ) = 229(xy + 1) Từ biểu diễn 41 x2 + 1 xy + y 2, y = = 4+ 1 6+ suy x2 = 4, xy = 6, y = Vậy x = Ví dụ 2.4.2 Xác định tất số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình 13xyz − 25yz + 13(x + z) − 25 = Bài giải: Ta có 13(xyz+x+z) = 25(yz+1) Từ biểu diễn 25 suy + 13 = x+ 1 1+ y+ 12 z nghiệm x = 1, y = 1, z = 12 xyz + x + z yz + Do phương trình có Ví dụ 2.4.3 Xác định tất số nguyên dương y, z, t số nguyên x thỏa mãn phương trình 30xyzt + 17yzt + 30(xy + xt + zt) + 17(y + t) + 30 = Bài giải: Ta có 30(xyzt + xy + xt + zt + 1) = −17(yzt + y + t) Từ xyzt + xy + xt + zt + −17 biểu diễn suy −1 + = yzt + y + t 30 2+ 3+ x+ Do phương trình có nghiệm x = −1, y = y+ z+ t 2, z = 3, t =   x1 + x1 x2 =      x2 + x2 x3 = Ví dụ 2.4.4 Giải hệ phương trình sau đây: · · ·     x2010 + x2010 x2011 =    x2011 + x2011 x1 = Bài giải: Dễ dàng kiểm tra tất xi khác khác −1 42 Biểu diễn qua liên phân hữu hạn sau: x1 = = + x2 1 1+ + x3 = ··· = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1 + x1 Thay x1 xi với i = 1, 2, , 2011 ta nhận kết tương tự Như tất xi nghiệm phương trình x= 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ Qua quy đồng, vế phải có dạng 1+x ax + b ta có phương trình x = cx + d ax + b hay cx2 + (d − a)x − b = 0, c = Phương trình có nhiều cx + d hai nghiệm Xét trường hợp x1 = x2 = · · · = x2011 √ Khi nghiệm hệ phương −1 ± trình x1 = x2 = · · · = x2011 = Xét trường hợp√có i j với i = j xi = xj Kiểm tra trực √ tiếp, −1 + −1 + x2011 (1 + x1 ) = hay x2011 (1 + ) = x1 = √ √ 1+ −1 + Như x2011 ( ) = suy x2011 = Tương tự 2 43 −1 + = · · · = x2 = x1 = √ x2010 = x2009 Kiểm tra, x1 = √ √ −1 − −1 − x2011 (1 + x1 ) = hay x2011 (1 + ) = Như √ √ 1− −1 − x2011 ( ) = suy x2011 = Tương tự x2010 = 2 √ −1 − Tóm lại, có xi = xj x2009 = · · · = x2 = x1 = √ −1 ± hai nghiệm cx2 + (d − a)x − b = 0, c = Vậy hệ √ −1 ± cho có hai nghiệm x1 = x2 = · · · = x2011 =  x1 x2 − 3x1 = −2       x2 x3 − 3x2 = −2 Ví dụ 2.4.5 Giải hệ phương trình sau đây: · · ·    x2010 x2011 − 3x2010 = −2     x2011 x1 − 3x2011 = −2 Bài giải: Dễ dàng kiểm tra tất xi khác khác Biểu diễn qua liên phân hữu hạn sau: x1 = = − x2 2 3− − x3 = ··· = 3− 3− 3− 3− 3− 3− 3− − x1 Thay x1 xi với i = 1, 2, , 2011 ta nhận kết tương tự 44 Như tất xi nghiệm phương trình x= 3− 3− 3− 3− 3− 3− 3− Qua quy đồng, vế phải có dạng 3−x ax + b ta có phương trình x = cx + d ax + b hay cx2 + (d − a)x − b = 0, c = Phương trình có nhiều cx + d hai nghiệm Xét trường hợp x1 = x2 = · · · = x2011 Khi nghiệm hệ phương trình x1 = x2 = · · · = x2011 = x1 = x2 = · · · = x2011 = Xét trường hợp có i j với i = j xi = xj Kiểm tra trực tiếp, x1 = x2 = Tương tự x2010 = x2009 = · · · = x2 = x1 = Kiểm tra, x1 = x2 = x3 = · · · = x2011 = Tóm lại, có xi = xj và hai nghiệm cx2 + (d − a)x − b = 0, c = Vậy hệ cho có hai nghiệm x1 = x2 = · · · = x2011 = x1 = x2 = · · · = x2011 = √ √ √ √ 29 − 29 + 29 n 29 + 29 − 29 n Ví dụ 2.4.6 Số an = + 58 2 a58 n+1 qua liên phân số nguyên với số nguyên n biểu diễn an số hữu hạn √ √ + 29 − 29 Bài giải: Ta thấy x1 = , x2 = hai nghiệm 2 phương trình x2 − 7x + = Dễ dàng kiểm tra a0 = a1 = Xét dãy số (an ) với a0 = 1, a1 = an+2 = 7an+1 − 5an với n Từ phương trình đặc trưng x2 − 7x + 5√= ta suy an√= axn1 + bxn2 29 + 29 29 − 29 ,b = Như Với n = 0, xác định a = 58 58 45 √ √ √ √ 29 − 29 + 29 n 29 + 29 − 29 n an = + thỏa mãn dãy 58 58 số (an ) với a0 = 1, a1√= a√ n+2 = 7an+1 − 5a √n với mọi√n Từ 29 − 29 + 29 n 29 + 29 − 29 n + số suy số 58 58 nguyên với số nguyên n Ta lại có an+1 7an − 5an−1 = ··· = = − an = − an an − an−1 an−1 an−2 = 7− Tóm lại có 7− 7− 7− 7− 7− 7− 7− 7− an+1 =7− an 7− 7− 7− 7− 7− 7− 7− 7−   a0 = 1, a1 = −1 Ví dụ 2.4.7 Dãy (an ) xác định an+2 = 6an+1 + 5an   n (i) Chứng minh a2012 − 2010 ˙: 2011, [VMO 2011] 46 √ √ n+1 √ √ n+1 14 − + 14 + 14 + − 14 √ √ n √ n √ (ii) Biểu diễn T = 14 − + 14 + 14 + − 14 qua liên phân số hữu hạn Từ suy T số hữu tỷ Bài giải: (i) Dãy (bn ) xác định sau b0 = a0 = 1, b1 = a1 = −1 bn+2 = 6bn+1 + 2016bn với số nguyên Hiển nhiên  n  bn+1 = 6bn + 2016cn an ≡ bn (mod 2011) Đặt cn+1 = bn Khi cn+1 = bn , n   b1 = −1, c1 = Như bn+1 + tcn+1 = 6bn + 2016cn + tbn = (6 + t)bn + 2016cn Chọn t cho 2016 = t(6 + t) Giải t1 = 42, t2 = −48 Từ bn+1 + tcn+1 = (6 + t)(bn + tcn ) = · · · = (6 + t)n (b1 + tc1 ) ta suy bn+1 − 48cn+1 = (−42)n (−1 − 48) = −49(−42)n bn+1 + 42cn+1 = 48n (−1 + 42) = 41.48n Như 90cn+1 = 41.48n + 49.(−42)n Đặc biệt 90a2012 = 41.482012 + 49.(−42)2012 Vì 482010 ≡ ≡ 422010 (mod 2011) theo Định lý Fermat nên 90a2012 ≡ 41.482 + 49.422 ≡ 41.293 − 49.247(mod 2011) Vậy 90a2012 ≡ 12013 − 12103 ≡ −90(mod 2011) Ta suy a2012 − 2010 ˙: 2011 √ √ n √ √ n 14 − + 14 + 14 + − 14 √ (ii) Dễ dàng có an = 14 47 6an + 5an−1 5 an+1 = = + an = + = ··· an an + an−1 an−1 an−2 Tóm lại ta có = 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ + a1 a0 √ √ n+1 √ √ n+1 14 − + 14 + 14 + − 14 √ n √ n √ √ thương T = 14 − + 14 + 14 + − 14 biểu thị qua T = + 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+5 Ví dụ 2.4.8 Biểu diễn số π qua liên phân số vô hạn π4 Bài giải: Theo Mệnh đề 2.3.2, = 90 ∞ biểu diễn qua liên n=1 n 48 90 phân số vô hạn π = 18 14 − 24 + 14 28 − 34 + 24 38 − − n4 + (n − 1)4 n8 − Ví dụ 2.4.9 Giả sử f (x) = arctan x Đặt an (x) = f (n) (x) với số tự nhiên n Khi ta có (i) (1 + x2 )an (x) + 2(n − 1)xan−1 (x) + (n − 2)(n − 1)an−2 (x) = (ii) an (0) = (iii) n = 2k (−1)k (2k)! n = 2k + π 11 11 11 11 = ( − + − · · · ) + ( − + − · · · ) biểu diễn 32 52 33 53 π qua tổng hai liên phân số vô hạn Bài giải: (i) Vì (1 + x2 )f (x) = nên (1 + x2 )f ”(x) + 2xf (x) = Ta nhận (1+x2 )an (x)+2(n−1)xan−1 (x)+(n−2)(n−1)an−2 (x) = quy nạp theo n (ii) Từ a0 (0) = 0, a1 (0) = an (0) + (n − 2)(n − 1)an−2 (0) = suy n = 2k hệ thức an (0) = (−1)k (2k)! n = 2k + x+y (iii) Vì arctan x + arctan y = arctan nên chọn x, y thỏa − xy x+y π mãn = hay (x + 1)(y + 1) = ta có = arctan x + arctan y − xy 1 π 11 Với x = y = có biểu diễn tổng = ( − + 23 11 11 π 11 − · · · ) + ( − + − · · · ) Như biểu diễn thành 52 33 53 49 tổng hai liên phân số vô hạn 2+ 3.23 32 26 −2+ 5.25 − 3.23 52 210 + 32 3+ + 22 32 36 3.33 − + 5.35 − 3.33 + 52 310 Chú ý 2.4.10 Biểu diễn số vô tỷ hay số chuỗi hội tụ qua liên phân số để sử dụng giản phân tính gần giá trị thực hy vọng phát tính chất lạ liên quan đến số vô tỷ chuỗi xét Khi ta có Giả sử biểu diễn e = + 1− 3− 4− − n−1 n− n n+1− 163 Ví dụ 2.4.11 Ta có |e − |< 60 28800 Giả sử dãy Fibonacci {fn } với f0 = f1 = fn+2 = fn+1 +fn , n ta có Pn = fn+1 Qn = fn Khi ta có √ √ + fn+1 fn+1 1+ Ví dụ 2.4.12 Ta có | − | < lim = n→+∞ fn fn 2fn √ √ + + · · ·, γ = + − + − · · · √ √ ta có phương trình β = + β γ = + − γ Giải √ 1+ β=γ=α= Từ suy hệ thức: Với β = 1+ 1+ 50  √ √  +   + + + + ··· =    √    √ 1+   + − + − ··· =    2√    1+   = +     +     +     +      1+  Ví dụ 2.4.13 Ta có 1+   +     √    1 +   =2−     +     −     +       −     +     2− Kết luận Trong luận văn trình bày kết sau: (1) Một số tính chất vành Z (2) Xây dựng liên phân số từ hai dãy số nguyên không âm Vận dụng kết đạt để xây dựng liên phân số hữu hạn vô hạn (3) Ứng dụng liên phân số vào biểu diễn dãy số, giải phương trình Diophante ax + by + c = 0, tổng hữu hạn liên quan liên phân số định thức (4) Một vài vận dụng giải phương trình nghiệm nguyên tính gần 51 Tài liệu tham khảo [1] Dương Quốc Việt Đàm Văn Nhỉ (2007),Giáo trình đại số sơ cấp, Nhà xuất ĐHSP Hà Nội [2] Dương Quốc Việt Đàm Văn Nhỉ (2008), Cơ sở lý thuyết số đa thức, Nhà xuất ĐHSP Hà Nội [3] Edwards D C (1971), Continued Fractions in Rational Approximations and Number Theory, Thesis for Master of Science Department of Mathematic McGill University [4] Khinchin A Ya (1997),Continued Fractions, With a preface by B V Gnedenko Translated from the third Russian edition Reprint of the 1964 translation Dover Publications, Inc., Mineola, NY 52 [...]... αn+1 αn − q n αn+1 không là số hữu tỉ và quá trình này kéo ra vô tận Đặt 1 α = q0 + q1 + 1 , 1 πn = q0 + 1 q2 + 1 q1 + 1 q2 + 1 q3 + qn−1 + 1 qn cho n = 0, 1, α được gọi là liên phân số liên tục hay liên phân số vô hạn, còn các πi được gọi là các liên phân số hữu hạn của liên phân số vô hạn α Đôi khi ta còn viết α = [q0 ; q1 , q2 , ] Dễ dàng chỉ ra, nếu hai liên phân số vô hạn mà bằng nhau [q0... diễn số hữu tỷ a qua liên phân số như sau: b 1 1 a = q0 + = q0 + 1 b b q 1 + r1 r1 r2 1 = ··· = q0 + 1 q1 + 1 q2 + r2 r3 1 = q0 + 1 q1 + 1 q2 + 1 q3 + qn−2 + qn−1 + 1 qn Như vậy, mỗi số hữu tỷ đều biểu diễn được thành một dạng liên phân 15 số Liên phân số của hai dãy số ở trên được viết trong dạng 1 q0 + 1 q1 + 1 q2 + 1 q3 + qn−2 + 1 qn−1 + qn và được gọi là liên phân số hữu hạn, với q0 là số nguyên,... hạn, với q0 là số nguyên, còn q1 , , qn là những số nguyên dương, qn > 1 Số n được gọi là độ dài liên phân số hữu hạn Để cho đơn giản, ta thường ký hiệu liên phân số hữu hạn a ở trên dưới dạng [q0 ; q1 , , qn ] Do đó có biểu diễn = [q0 ; q1 , , qn ] b và kết quả sau: Định lý 2.1.2.2 Mỗi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn 143 −231 Ví dụ 2.1.2.3 = [5; 3, 2, 1, 2],... nguyên của cùng một số hữu tỉ Khi đó a ta suy ra [0; q1 , , qn ] = − q0 = [0; p1 , , pm ] Do đó [q1 ; , qn ] = b [p1 ; , pm ] Theo giả thiết qui nạp, ta có n − 1 = m − 1 và qi = pi với mọi i = 1, , n 2.1.3 Liên phân số vô hạn Bây giờ ta áp dụng các kết quả đã đạt được ở Mục 2.1.1 để nghiên cứu về liên phân số vô hạn 16 Cho số thực α ∈ / Q Số [α] được định nghĩa là số nguyên với tính... 2)n+1 √ √ và suy ra thương luôn luôn là một số vô (1 + 2)n − (1 − 2)n tỷ với mọi số tự nhiên n √ √ 3 + 17 n 3 − 17 n Ví dụ 2.2.2.4 Chứng minh rằng + là số 2 2 √ 3 + 17 2n là số nguyên chẵn với mọi số nguyên nguyên lẻ và 2 dương n Ta còn có biểu diễn qua liên phân số √ √ 3 + 17 n+1 3 − 17 n+1 + 2 2 √ 2√ =3+ 2 3 − 17 n 3 + 17 n 3+ + 2 2 3+ 2 3+ 2 3+ 2 3+ 2 3+ 2 √ √ 3 + 17 n+1 3 − 17 n+1 + 2 √ 2√ và suy... minh: Ta có |α− Hệ quả 2.1.3.5 Nếu α là số vô tỷ thì tồn tại vô số cặp số nguyên a 1 (a, b) để |α − | < 2 b b Ph 1 Chứng minh: Theo Hệ quả 2.1.3.3 ta có |α − | < với mọi Qh Qh+1 Qh Ph 1 a Ph h Vì Qh+1 Qh nên |α − | < 2 Chọn = ta có điều phải Qh Qh b Qh chứng minh 19 p với q > 0 được gọi là xấp xỉ tốt nhất q x p x của số thực α nếu với mọi phân số , 0 < y q, và = ta đều có y q y p x |α − | < |α −... Biểu diễn mỗi số hữu tỉ thành một liên phân số hữu hạn dạng [q0 ; q1 , , qn ] là duy nhất a a Chứng minh: Cho số hữu tỉ Giả sử [q0 ; q1 , , qn ] = = [p0 ; p1 , , pm ] b b Bằng qui nạp theo n, ta chỉ ra m = n và qi = pi với i = 0, , n Nếu n = 0, thì q0 = [p0 ; p1 , , pm ] Vì p0 là phần nguyên của q0 , nên m = 0, q0 = p0 Nếu n > 0, ta giả sử kết luận là đúng cho mỗi liên phân số hữu hạn... < |pQh − Ph q| < q q Qh Qh+1 Qh Qh+1 Như chứng minh trên ta có Qh+1 h + 1 Ta chọn h để Qh+1 > q và như thế 0 < |pQh − Ph q| < 1 Điều này mâu thuẫn với hiệu pQh − Ph q là số nguyên Vậy α là số vô tỉ Vì |α− Hệ quả 2.1.3.4 Nếu α là số vô tỷ > 0 và n 1 thì tối thiểu một trong Pn 1 hai liên phân số hữu hạn liên tiếp của nó thỏa mãn |α − |< Qn 2Q2n Pn Pn+1 1 Ph |+|α− |= Nếu |α− | Qn Qn+1 Qn Qn+1 Qh 1... k=1 k Ví dụ 2.2.3.6 Cho dãy số Fibonacci a1 = a2 = 1 và an+2 = an+1 + an với mọi số nguyên n 1  Xét dãy số (xn ) với x1 ∈ [0; 1) và x2 , x3 , 0 nếu xn = 0 được cho như sau xn+1 = Khi đó với mọi 1 1  − nếu xn = 0 xn xn a1 a2 an số nguyên n > 1 có bất đẳng thức x1 +x2 +· · ·+xn < + +· · ·+ a2 a3 an+1 1 Bài giải: Với x ∈ [0; 1] ta xét hai hàm số sau đây là f (x) = và 1+x gn (x) = x + f (x) + f... mỗi số tự nhiên n ta có x = Pn , y = Qn là nghiệm nguyên của phương trình y 2 d − x2 = (−1)n 2.2 2.2.1 Biểu diễn qua liên phân số hữu hạn Phương trình ax + by + c = 0 Vận dụng kết quả đã đạt được vào việc xét phương trình nghiệm nguyên: Cho a, b, c ∈ Z, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 Xét phương trình hai ẩn dạng ax + by = c với x, y ∈ Z, (∗) Định lý 2.2.1.1 Cho a, b, c ∈ Z, trong đó a và b ... trung trình bày liên phân số xấp xỉ tốt, gồm mục Mục 2.1 trình bày lý thuyết liên phân số ,Mục 2.2 Trình bày biểu diễn qua liên phân số hữu hạn , Mục 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn cuối... tìm phân số gần khác số π mà mẫu số nằm khoảng hay không ? Nên dùng phân số mà mẫu số tử số không vượt số điều kiện mà sai số với π lại đủ nhỏ? Thông thường, người ta xét phân số với tử số số... phân 15 số Liên phân số hai dãy số viết dạng q0 + q1 + q2 + q3 + qn−2 + qn−1 + qn gọi liên phân số hữu hạn, với q0 số nguyên, q1 , , qn số nguyên dương, qn > Số n gọi độ dài liên phân số hữu