Đạo hàm riêng và xấp xỉ tuyến tính (bài tập lớn môn giải tích 2)

lOMoARcPSD|20597457 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH HKII 2021-2022 ĐỀ TÀI “ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ XẤP XỈ TUYẾN TÍNH” GVHD: Thầy: Lê Văn Lai Thầy: Đào Huy Cường Lớp: L34 Nhóm: 09 Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2022 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI “ĐẠO HÀM VÀ XẤP XỈ TUYẾN TÍNH” GVHD: Thầy: Lê Văn Lai Thầy: Đào Huy Cường Lớp: L34 Nhóm: 09 Họ tên Phạm Khánh Thư Lưu Văn Tuấn Võ Đức Thành Vinh Mai Nguyễn Lập Thành Nguyễn Đức Trí Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2022 MỤC LỤ Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) MSSV 2114961 2112579 2115312 2114779 2112511 lOMoARcPSD|20597457 LỜI CẢM ƠN .4 A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Đạo hàm riêng .1 Định nghĩa: .1 Quy tắc Ý nghĩa .1 Đạo hàm cấp cao II Xấp xỉ tuyến tính Định nghĩa 2 Hàm ba biến trở lên B - BÀI TẬP I Đạo hàm riêng .3 II Xấp xỉ tuyến tính TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 LỜI CẢM ƠN Nhóm chúng em xin cám ơn q thầy tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức, hướng dẫn chúng em suốt trình học tập, giúp đỡ chúng em hồn thành tập lớn Do chưa có nhiều kinh nghiệm cịn có mặt hạn chế kiến thức nên khơng thể tránh khỏi sai sót làm Chúng em mong nhận ý kiến, đánh giá góp ý từ quý thầy để từ giúp chúng em hồn thành tốt đề tài Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Đạo hàm riêng Định nghĩa: Trong toán học, đạo hàm riêng hàm nhiều biến đạo hàm biến đó, với biến khác giữ số (trái ngược với đạo hàm tồn phần, tất biến phép thay đổi) Nói chung, f hàm hai biến x y, giả sử cho phép x thay đổi y giữ cố định, nói y=b số Sau đó, xem xét hàm với biến x, cụ thể là, g(x)= f(x,b) Nếu g có đạo hàm a, gọi đạo hàm riêng f x (a,b) ký hiệu fx(a,b) Như vậy: fx(a,b)= g’(a) với g(x)= f(x,b) (*) Theo định nghĩa đạo hàm, có G’(a)= Phương trình (*) trở thành: fx(a,b)= Tương tự, đạo hàm riêng f y (a, b), ký hiệu f y(a,b), thu cách giữ x cố định (x=a) tìm đạo hàm thông thường b hàm G(y)=f(a,y): fy(a,b)= Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm biến f(x,y), đạo hàm theo biến x hàm f điểm giới hạn (nếu có) Quy tắc Khi tính đạo hàm riêng hàm f(x,y) theo biến x, ta coi y số Ý nghĩa Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng hàm f(x,y) (a,b) Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Gọi S mặt cong z=f(x,y), giao S mặt phẳng y = b đạo hàm (a,b) hệ số góc tiếp tuyến hệ số góc mặt S theo phương Ox P(a,b,c) Tương tự, hệ số góc tiếp tuyến tức hệ số góc mặt S theo phương Oy (a,b) Đạo hàm cấp cao * Đạo hàm cấp hàm f(x,y) đạo hàm đạo hàm cấp Đạo hàm cấp theo x: Đạo hàm cấp theo y: Đạo hàm cấp hỗn hợp: *Tương tự, ta có đạo hàm riêng cấp (n+1) đạo hàm đạo hàm cấp n Chú ý: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp số lần lấy đạo hàm theo biến (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo biến) Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) đạo hàm riêng tồn liên tục miền mở chứa () () = () II Xấp xỉ tuyến tính Định nghĩa Phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với đồ thị hàm f hai biến điểm (a,b,f(a,b)) là: Z=f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Hàm tuyến tính có đồ thị mặt phẳng tiếp tuyến này, cụ thể L(x,y) = f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) gọi tuyến tính hóa f (a,b) xấp xỉ f(x,y) f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) gọi xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ mặt phẳng tiếp tuyến f (a,b) Hàm ba biến trở lên Xấp xỉ tuyến tính hàm ba biến trở lên phép gần tuyến tính là: F(x,y,z) f(a,b,c) + fx(a,b,c)(x-a) + fy(a,b,c)(y-b) + fz(a,b,c)(z-c) tuyến tính hóa L(x,y,z) mặt phải biểu thức Nếu w=F(x,y,z), gia số w là: Sự khác biệt dw định nghĩa theo nghĩa khác biệt dx, dy dz biến độc lập dw = B - BÀI TẬP I Đạo hàm riêng Bài 1: Cho hàm số Tìm ; Giải: Với hàm số này, ta khơng thể tìm hàm đạo hàm riêng , suy giá trị đạo hàm riêng , hai hàm ; xác định với khác Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị Ta có: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Tương tự, ta nhận Bài 2: Từ hàm số f ( x, y ) ; anh, chị có nhận xét giá trị Giải:  Với (x,y)(0;0); Ta có => Tại điểm (x,y) = (0;0) ta có Vậy => (1)  Với (x,y)(0;0); Ta có => Tại điểm (x,y) = (0;0) ta có Vậy => (2) Từ (1) (2) Ta thấy => Không phải lúc đạo hàm riêng hỗn hợp Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Ứng dụng thực tế đạo hàm riêng: Bài 3: Một đồi có hình dạng bề mặt mô tả hàm số z = 1000 – 0.005x2– 0.01y2 , x, y tính mét Tính z’x(20, -10), z’y (20, -10) cho biết thay đổi chiều cao đồi từ điểm (20, -10, 997) theo hướng trục Ox, Oy Giải z’x = -0.01 => z’y= -0.02y => z’y z’x (20, –10) = -0.2 (20, –10) = 0.2 Từ điểm (20, -10, 997) theo hướng trục Ox, chiều cao giảm 0.2 mét hoành độ tăng mét Từ điểm (20, -10, 997) theo hướng trục Oy, chiều cao tăng 0.2 mét tung độ tăng mét Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Bài 4: Nhiệt độ điểm kim loại mặt phẳng xác định hàm số Giả sử khoảng cách đo cen-ti-mét, tìm tỉ lệ nhiệt độ thay đổi khoảng cách điểm (1,2) di chuyển: a) Sang bên phải song song với trục hoành b) Hướng lên song song với trục tung Giải a) b) Bài 5: Cơng thức: cho biết diện tích S thể người (trên ) phụ thuộc khối lượng (tính kg) chiều cao (tính cm) Hãy tính và Giải Bài 6: Nếu xét hàm sản xuất Q = f(L, K) nhà kinh tế gọi giá trị cận biên Q theo L, K Ta có: (L0,K0) mơ tả thay đổi sản lượng lượng lao động tăng từ Lo lên L0 +1 với điều kiện K = K0 giá trị cố định Tương tự cho mơ hình kinh tế nhiều biến khác Cho hàm sản xuất sau Q(L, K) = 30 K2/3L1/3 Tìm giá trị cận biên theo K (64, 27), theo L (64, 27) nêu ý nghĩa kinh tế Giải Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 + Khi L = 64 Q(L, K) = Q(64, K) = 30 K2/3641/3 = 120 K2/3 nên (64,K)= 80K-1/3 Vậy, (64, 27) = Điều nghĩa là: Với L = 64 cố định, tăng lượng lao động từ 27 lên 28 đơn vị ta có sản lượng tăng 27 đơn vị + Khi K cố định, ta có Vậy (L,K)=10K2/3L-2/3 (64,27) = Điều nghĩa với lượng vốn cố định 27, tăng lượng lao động từ 64 lên 65 sản lượng tăng đơn vị Bài 7: Một cuộn dây có điện trở R = 10Ω điện cảm L = 0, 1(H) đóng vào nguồn điện chiều U = 10V) Tính dịng điện q độ i(t, điện áp qua độ uL(t)trên điện cảm Giả thiết iL(t)= Tính giá trị i(t) uL(t) thời điểm t=1T, 2T, 3T, 5T ,10T với T số thời gian mạch Vẽ đường cong i(t) uL(t) Giải Phương trình đạo hàm riêng mạch viết cho dòng điện i(t) R i(t) + L = U Hay 10 i(t) + 0.1 = (*) Phương trình đặc trưng (*) là: R + PL=0 Suy 10+0.1P=0 có nghiệm là: P= - Hằng số thời gian mạch điện là: T= Dòng điện tự có dạng: itd(t)=k Ở chế độ xác lập: ixl(t)= I= =-1(A) I(t)= ixl(t) + itd(t)= + = (1+ k Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Dòng điện độ với điều kiện đầu: i(0)= + k=1+ k suy k= - =-1(A) Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 Vây: i(t)= (1-)=(1-)A Điện áp độ điện cảm bằng: Ul(t) = L Kết luận: *Hình(a) Hàm i(t) có giá trị biến đổi theo thời gian t tuân theo hàm mũ, thời gian t tăng giá trị i(t) tiệm cận giá trị Ixl=1A *Hình(b) Hàm u(t) có giá trị biến đổi theo thời gian t theo hàm mũ Ul(t) = L thời gian tăng giá trị u(t) tiệm cận giá trị Bài 8: Doanh nghiệp Amazon năm 2015 sản xuất thêm loại mặt hàng gồm bàn nhựa (Q1), ghế nhựa (Q2) chén bát nhựa (Q3) Với tổng chi phí sản xuất quý đâu tiền xác định theo dựa hàm Để đạt lợi nhuận tối đa doang nghiệp cần kết hợp sản lượng sản phẩm cho hợp lý ? Biết giá sản phẩm , , 8, , Giải: Theo đề ta có hàm doanh thu doanh nghiệp bán sản phẩm: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 K= + 20 + 10 Vậy hàm lợi nhuận ta có là: G= + + 20 + 10 Ta có:   M (30;5;13) Xét: ; ; = -10; = 4;  2    4    10  H=  Ta thấy Vậy M cực đại G nên kết hợp sản lượng cần tìm Tức cần sản xuất: 30 bàn nhựa (Q1), ghế nhựa (Q2) 10 chén bát nhựa (Q3) doanh nghiệp đạt tối đa lợi nhuận II Xấp xỉ tuyến tính Bài 1: Đưa hàm số f(x;y)= , gần f(2.1;2.9) sử dụng điểm (x0,y0)=(2, 3) Gía trị gần f(2,1;2,9) đến bốn chữ số thập phân? Giải Để áp dụng phương trình trên, trước tiên phải tính tốn f(x0,y0), fx(x0,y0) fy(x0,y0) sử dụng x0=2 y0=3: f(x0,y0)=f(2;3)== = fx(x,y)= - fx(x0,y0) = fy(x,y)= - fy(x0,y0) = Bây thay giá trị vào phương trình đầu: Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 L(x,y)=f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x-x0) + fy(x0,y0)(y-y0) = 4-2(x-2) - (y-3) = Cuối cùng, x=2,1 y= 2,9 vào L(x,y): L(2,1;2,9)= Gía trị gẩn f(2,1;2,9) đến bốn chữ số thập phân f(2,1;2,9)= 3,8665 Bài 2: Cho hàm số a) Hãy tính b) Hãy tính vi phân toàn phần hàm số điểm c) Hãy tính gần cách áp dụng cơng thức tính xấp xỉ: Giải a) Có b) Theo cơng thức vi phân ta có: c) Áp dụng cơng thức tính xấp xỉ: Bài 3: Khơng sử dụng máy tính, trình bày cách tính A= arcsin (0,1) (có thể lấy giá trị gần đúng) Giải: Xét Ta có: (*) 10 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457  10 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457  => Do (*)  Hay ( Vậy với => Ứng dụng thực tế đạo hàm riêng: Bài 4: Chiều cao sóng h biển phụ thuộc vào tốc độ gió v khoảng thời gian t mà gió thổi với tốc độ đó, giả sử biển bắt đầu lặn Các giá trị h= f(v,t) cho bảng sau [ tốc độ gió v tính hải lý, thời gian t tính chiều cao sóng h tính feet] v\t 10 15 20 30 40 50 10 2 2 2 15 4 5 5 20 8 9 30 13 16 17 18 19 19 40 14 21 25 28 31 33 33 50 19 29 36 40 45 48 50 60 24 37 47 54 62 57 69 Một gió 40 hải lý thổi 30 giờ, sóng cao 31 feet Sau sức gió tăng lên 42 hải lý/ Khoảng sau độ cao sóng bao nhiêu? Để chứng minh f(42,31) câu trả lời hợp lí cho câu hỏi Chúng ta tính gần thay đổi f theo đạo hàm f(42,31) – f(40,30)f’(40,30) Tất nhiên phải tính gần đạo hàm: f’(40,30) Vì vậy, Và Vì 11 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 f’(40,30) Từ đó, f(42,31) – f(40,30) = Vậy, Vậy sau chiều cao sóng tăng lên thành 34 feet với v=42 hải lý t=31 12 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com) lOMoARcPSD|20597457 TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình Giải tích 2, Trường đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh James Stewart, Calculus early transcendentals, Cengage Learning (2012) Jon Rogawski, Calculus early transcendentals, W H Freeman and Company (2008) 13 Downloaded by hong chinh (vuchinhhp5@gmail.com)