tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 NỘI DUNG ĐẠO HÀM RIÊNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 NỘI DUNG ĐẠO HÀM RIÊNG MẶT PHẲNG TIẾP DIỆN VÀ SỰ XẤP XỈ TUYẾN TÍNH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 NỘI DUNG ĐẠO HÀM RIÊNG MẶT PHẲNG TIẾP DIỆN VÀ SỰ XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VI PHÂN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 NỘI DUNG ĐẠO HÀM RIÊNG MẶT PHẲNG TIẾP DIỆN VÀ SỰ XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VI PHÂN THỰC HÀNH MATL AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng Cho hàm số f : D ⊂ R2 → R (x0, y0) ∈ D Khi cho x thay đổi, y cố định (y = y0) ta hàm biến x: g(x) = f (x, y0) Nếu g(x) có đạo hàm x = x0 ta gọi đạo hàm riêng hàm f (x, y) điểm (x0, y0) theo biến x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng Cho hàm số f : D ⊂ R2 → R (x0, y0) ∈ D Khi cho x thay đổi, y cố định (y = y0) ta hàm biến x: g(x) = f (x, y0) Nếu g(x) có đạo hàm x = x0 ta gọi đạo hàm riêng hàm f (x, y) điểm (x0, y0) theo biến x ĐỊNH NGHĨA 1.1 g(x0 + h) − g(x0 ) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) = lim h→0 h→0 h h gọi đạo hàm riêng hàm số f (x, y) điểm ∂f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) ∈ G theo biến x Ký hiệu fx (x0 , y0 ) ∂x Số lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng HÌNH: Khái niệm đạo hàm riêng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng VÍ DỤ 1.1 Cho f (x, y) = x3 + x2y − 2y Hãy tính fx (2, 1) fy (2, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 Đạo hàm riêng Khái niệm đạo hàm riêng VÍ DỤ 1.1 Cho f (x, y) = x3 + x2y − 2y Hãy tính fx (2, 1) fy (2, 1) Giải Cho y = ta g(x) = f (x, 1) = x3 + x2 − ⇒ g (x) = 3x2 + 2x ⇒ g (2) = 3.22 + 2.2 = 16 = fx (2, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 / 40 Vi phân Định nghĩa hàm khả vi VÍ DỤ 3.2 Tìm hàm số z = f (x, y) để tính gần giá trị biểu thức 1, 022 + 0, 052 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 31 / 40 Vi phân Định nghĩa hàm khả vi VÍ DỤ 3.2 Tìm hàm số z = f (x, y) để tính gần giá trị biểu thức 1, 022 + 0, 052 x2 + y chọn x = 1.02; y = 0.05; x0 = 1; y0 = 0; ∆x = 0.02; ∆y = 0.05 Ta có f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y Vì fx (1, 0) = ; fy (1, 0) = nên Giải Chọn hàm f (x, y) = f (1.02, 0.05) = ≈ 3 1.022 + 0.052 ≈ 12 + 02 + × 0.02 + × 0.05 ≈ 1.013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 31 / 40 Vi phân Định nghĩa vi phân ĐỊNH NGHĨA 3.2 Biểu thức fx (x0, y0)∆x + fy (x0, y0)∆y gọi vi phân hàm số f (x, y) điểm (x0, y0) kí hiệu df (x0, y0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 32 / 40 Vi phân Định nghĩa vi phân ĐỊNH NGHĨA 3.2 Biểu thức fx (x0, y0)∆x + fy (x0, y0)∆y gọi vi phân hàm số f (x, y) điểm (x0, y0) kí hiệu df (x0, y0) ĐỊNH LÝ 3.2 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi điểm (x0 , y0 ) ∈ D f (x, y) có đạo hàm riêng df (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 (3) 32 / 40 Vi phân Định nghĩa vi phân Ý nghĩa hình học vi phân số gia tồn phần: HÌNH: Ý nghĩa hình học vi phân số gia tồn phần TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 33 / 40 Vi phân Định nghĩa vi phân VÍ DỤ 3.3 Cho f (x, y) = x2 + 3xy − y Tìm df Cho x thay đổi từ đến 2.05 y thay đổi từ đến 2.96, so sánh giá trị ∆f df TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 34 / 40 Vi phân Định nghĩa vi phân VÍ DỤ 3.3 Cho f (x, y) = x2 + 3xy − y Tìm df Cho x thay đổi từ đến 2.05 y thay đổi từ đến 2.96, so sánh giá trị ∆f df Giải Theo cơng thức vi phân ta có df = fx dx + fy dy = (2x + 3y)dx + (3x − 2y)dy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 34 / 40 Vi phân Định nghĩa vi phân Cho x0 = 2, dx = ∆x = 2.05 − = 0.05, y0 = 3, dy = ∆y = 2.96 − = −0.04 ta df (x0 , y0 ) = df (2, 3) = (2x0 + 3y0 )dx + (3x0 − 2y0 )dy = (2.2 + 3.3)0.05 + (3.2 − 2.3)(−0.04) = 0.65 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 35 / 40 Vi phân Định nghĩa vi phân Cho x0 = 2, dx = ∆x = 2.05 − = 0.05, y0 = 3, dy = ∆y = 2.96 − = −0.04 ta df (x0 , y0 ) = df (2, 3) = (2x0 + 3y0 )dx + (3x0 − 2y0 )dy = (2.2 + 3.3)0.05 + (3.2 − 2.3)(−0.04) = 0.65 ∆f (x0 , y0 ) = f (2.05, 2.96) − f (2, 3) = = [2.052 +3×2.05×2.96−2.962 ]−[22 +3×2×3−32 ] = 0.6449 Như ∆f ≈ df df dễ dàng tính tốn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 35 / 40 Vi phân Vi phân cấp hai ĐỊNH NGHĨA 3.3 Vi phân cấp hai hàm f (x, y) (x0, y0) d2 f (x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 )dx2 + 2fxy (x0 , y0 )dxdy +fyy (x0 , y0 )dy (4) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 36 / 40 Vi phân Vi phân cấp hai VÍ DỤ 3.4 Tìm vi phân cấp hai y f (x, y) = x2 y + y + x3 + x = 1, y = x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 37 / 40 Vi phân Vi phân cấp hai VÍ DỤ 3.4 Tìm vi phân cấp hai y f (x, y) = x2 y + y + x3 + x = 1, y = x y Giải fx = 2xy + 3x2 − ; x 2y fxx = 2y + 6x + ⇒ fxx (1, 2) = 14; x fxy = 2x − ⇒ fxy (1, 2) = 1; x fy = x2 + 3y + ; fyy = 6y ⇒ fyy (1, 2) = 12 x Vậy d f (1, 2) = 14dx2 + 2dxdy + 12dy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 37 / 40 Thực hành MatLab Tính giá trị hàm hai biến MATL AB: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN Tính giá trị hàm số z = f (x, y) điểm (a, b) subs(z, {x, y}, {a, b}) subs(z, [x, y], [a, b]) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 38 / 40 Thực hành MatLab Tính đạo hàm riêng MATL AB: TÍNH ĐẠO HÀM RIÊNG Cho hàm số z = f (x, y) Muốn tính tốn hình thức với biến hình thức ta phải khai báo syms x y diff (f , x) - tính đạo hàm riêng fx diff (f , y) - tính đạo hàm riêng fy diff (f , x, 2) - tính đạo hàm riêng cấp hai fxx diff (f , y, 2) - tính đạo hàm riêng cấp hai fyy diff (diff (f , x), y) - tính đạo hàm riêng cấp hai fxy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 39 / 40 Thực hành MatLab Tính đạo hàm riêng CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TP HCM — 2016 40 / 40