Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)

Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)Liên phân số và xấp xỉ tốt (Luận văn thạc sĩ)

Liên phân số (Continued fractions) (and) Xấp xỉ tốt (good approxmations) Trần Thị Thu Hiền ĐH Thái Nguyên-ĐHKH Ngày 15 tháng 04 năm 2015 Mục lục Nhắc lại vành Z 1.1 Vành Z 1.2 Phép chia với dư 1.3 Số nguyên tố Định lý số học Liên phân số-Continued fractions 2.1 Liên phân số 2.1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước 2.1.2 Liên phân số hữu hạn 2.1.3 Liên phân số vô hạn 2.2 Biểu diễn qua liên phân số hữu hạn 2.2.1 Phương trình ax + by + c = 2.2.2 Biểu diễn dãy truy hồi 2.2.3 Biểu diễn tổng hữu hạn qua liên phân số 2.2.4 Biểu diễn liên phân số hữu hạn qua định thức 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn 2.4 Một vài vận dụng 4 9 13 15 21 21 22 27 32 33 40 Lời nói đầu Trong thực tế, làm việc với số vơ tỷ người ta thường phải dùng phân số gần với để sử dụng Chẳng hạn để tính tốn với số π, nhà toán học thời xưa dùng phân số gần 355 22 tính tốn, chẳng hạn: 113 Vấn đề đặt ra: Có thể tìm phân số gần khác số π mà mẫu số nằm khoảng hay không ? Nên dùng phân số mà mẫu số tử số không vượt số điều kiện mà sai số với π lại đủ nhỏ? Thông thường, người ta xét phân số với tử số số nguyên, mẫu số số nguyên dương Ta gọi khoảng cách số vô tỷ p p α với phân số trục số sai số tuyệt đối α ký q q p − α Thông thường chọn phân số có mẫu số lớn hiệu q sai số nhỏ, điều khơng phải lúc Do vậy, nên chọn sai số gần theo tiêu chuẩn có sai số nhỏ nhiều phân số biết? Những câu hỏi vậy, đòi hỏi phải xây dựng khái niệm phân số gần tốt để tìm cần xét đến phân số kề trước phân số Chính lý trên, việc nghiên cứu liên phân số cần thiết Vấn đề mà tác giả tập trung nghiên cứu liên phân số xấp xỉ tốt Ngoài phần mở đầu kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương với mục Chương tập trung nghiên cứu vành Z, gồm ba mục Mục 1.1 nhắc lại khái niệm vành Z vài tính chất Mục 1.2 tập trung trình bày lại phép chia hết Mục 1.3 trình bày kết số nguyên tố định lý số học Chương hai tập trung trình bày liên phân số xấp xỉ tốt, gồm mục Mục 2.1 trình bày lý thuyết liên phân số ,Mục 2.2 Trình bày biểu diễn qua liên phân số hữu hạn , Mục 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn cuối Mục 2.4 vài ứng dụng liên phân số Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ Qua tơi bày tỏ lòng kính trọng biết ơn chân thành thầy hướng dẫn , người tận tình bảo quan tâm động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cán khoa tốn cán quản lý khoa học - Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hết lòng giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối xin cảm ơn anh, chị bạn lớp cao học Toán K7Q trường Đại học Khoa học Thái Nguyên động viên tinh thần, chia sẻ khó khăn giúp đỡ tơi hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 04 năm 2015 Tác giả Trần Thị Thu Hiền Chương Nhắc lại vành Z 1.1 Vành Z Ta bắt đầu khái niệm vành Euclide Định nghĩa 1.1.1 Cho miền nguyên R Ánh xạ δ : R∗ → N, x → δ(x), từ tập phần tử khác R đến tập số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (1) Với a, b ∈ R∗ a|b δ(a) δ(b) (2) Với a, b ∈ R, b = 0, có tồn q, r ∈ R cho a = qb + r với r = δ(r) < δ(b) r = gọi ánh xạ Euclide Định nghĩa 1.1.2 Miền nguyên R gọi vành Euclide có ánh xạ Euclide tác động lên tập R∗ Định nghĩa 1.1.3 Miền nguyên R gọi vành iđêan R iđêan Bổ đề 1.1.4 Mọi vành Euclide vành Chứng minh: Giả sử R vành Euclide với ánh xạ Euclide δ : R∗ → N Vì R vành Euclide nên miền nguyên Giả sử I iđêan R Nếu I = I = (0) iđêan Nếu I = có phần tử a ∈ I, a = Đặt I ∗ = I \ {0} Vì δ(I ∗ ) ⊂ N nên có a0 ∈ I ∗ thỏa mãn δ(a0 ) δ(x) với x ∈ I ∗ Vì a0 ∈ I nên iđêan (a0 ) ⊆ I Bây ta I = (a0 ) Thật vậy, giả sử a ∈ I Do a0 = R vành Euclide nên tồn q, r ∈ R ch a = qa0 + r với r = δ(r) < δ(a0 ) Nếu r = r ∈ I ∗ δ(r) < δ(a0 ) : mâu thuẫn Vậy r = a = qa0 Từ suy a ∈ (a0 ) Do a lấy tùy ý nên I = (a0 ) R vành iđêan Hệ 1.1.5 Vành Z vành Chứng minh: Vành Z miền nguyên Ánh xạ δ : Z∗ → N, n → |n|, ánh xạ Euclide Do vậy, vành Z vành Euclide Theo Bổ đề 1.1.4, vành Z vành iđêan 1.2 Phép chia với dư Định nghĩa 1.2.1 Cho hai số nguyên a, b ∈ Z, b = Số a gọi chia hết cho số b hay b chia hết a có c ∈ Z thỏa mãn a = bc Trong nhiều trường hợp, thay cho việc nói a chia hết cho b ta viết a b nói b chia hết a viết b|a Khi a = bc b gọi ước a Các tính chất sau quan hệ chia hết hiển nhiên (1) | a với a ∈ Z (2) a | a với a ∈ Z, a = (3) Nếu a | b b | c a | c với a, b, c ∈ Z, a, b = (4) Nếu a | b |a| (5) Nếu a | bi với a, bi ∈ Z, i = 1, , n, a | |b| với a, b ∈ Z, a, b = n bi xi với xi ∈ Z i=1 (6) Nếu a | b b | a a = b a = −b với a, b ∈ Z, a, b = Hiển nhiên, quan hệ chia hết Z có tính phản xạ, khơng có tính bắc cầu, chẳng hạn 5, khơng có tính phản đối xứng, chẳng hạn | −5, −5 | 5, = −5 Do quan hệ chia hết khơng phải quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự Z Định lý 1.2.2 Với cặp số nguyên a, b ∈ Z, b = 0, luôn tồn cặp số nguyên q, r ∈ Z cho a = qb + r, r < |b| Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n|b| cho n|b| a, n ∈ Z} Vì |b| nên −|a||b| −|a| a Do −|a||b| ∈ T Vậy T = ∅ Vì T tập bị chặn nên T có số lớn m|b| Từ m|b| a ta suy r = a − m|b| r ∈ Z Ta lại có (m + 1)|b| = m|b| + |b| > m|b| Do tính lớn m|b| T nên (m + 1)|b| > a Như |b| > a − m|b| = r ta có a = qb + r với r < |b| Tính nhất: Giả sử có hai biểu diễn a = qb + r với r < |b| a = q1 b + r1 với r1 < |b| Trừ vế cho vế, ta có r − r1 = b(q1 − q) Từ |r − r1 | < |b| ta suy |q1 − q||b| < |b| Vậy q = q1 hiển nhiên r = r1 Biểu diễn a = qb + r, r < |b| Nếu r = q gọi thương a chia cho b Nếu r = q gọi thương hụt, r số dư phép chia a cho b 1.3 Số nguyên tố Định lý số học Định nghĩa 1.3.1 Số tự nhiên p > khơng có ước số dương khác gọi số nguyên tố Số tự nhiên q > có ước số dương khác gọi hợp số Nếu có số tự nhiên d để n = d2 n gọi số phương Hiển nhiên ta có định lý sau đây: Định lý 1.3.2 Cho số nguyên tố p số nguyên m, a, b Khi (1) (m, p) = p p | m p m (2) Mọi số m > có ước ngun tố (3) Nếu p | ab p | a p | b Ta thấy luôn tồn khoảng bao gồm số nguyên liên tiếp với độ dài tùy ý khơng có số ngun tố Tuy vậy, định lý sau tập số nguyên tố tập vô hạn Định lý 1.3.3 [Euclid] Tập tất số nguyên tố tập vô hạn Chứng minh: Ký hiệu P tập tất số nguyên tố giả sử P tập hữu hạn, chẳng hạn P = {p1 , , ps } Xét số nguyên s dương q = pi + > Mọi ước nguyên tố q khác pi i=1 khơng chia hết cho pi Vậy có số nguyên tố khơng thuộc P Điều chứng tỏ P tập vô hạn Định lý 1.3.4 Tồn nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n − với n ∈ N Tương tự, tồn nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n + với n ∈ N Chứng minh: Giả sử có số hữu hạn số nguyên tố p1 , , ps s pi − > Khi q số lẻ Nhận xét (*) dạng 4n − Đặt q = i=1 : Sử dụng quy nạp theo r ta dễ dàng tích r (4ni + 1) số i=1 nguyên dương dạng 4h + số nguyên dương dạng 4m + Nếu ước nguyên tố q có dạng 4k + q phải có dạng 4m + Vì q có dạng 4m − nên q phải có ước nguyên tố p dạng 4k − Từ điều giả sử ta suy p = pi với i Vậy p |(−1) Điều khơng thể Như có nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n − Định lý 1.3.5 Với số nguyên dương n tồn số nguyên tố lớn n Chứng minh: Xét số n!+1 Khi chia số cho số nguyên dương nhỏ n cho số dư Do ước nguyên tố n! + không thuộc tập {1, 2, , n} phải lớn n Định lý 1.3.6 [Định lý số học] Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích hữu hạn thừa số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số Chứng minh: Xét tập F gồm tất số ngun dương khơng biểu diễn thành tích số hữu hạn thừa số nguyên tố Ta cần F = ∅ Thật vậy, giả sử F = ∅ Ta thấy m ∈ F m > 2, F tập bị chặn Khi có số nguyên dương nhỏ m thuộc F Vì m ∈ F nên m phải hợp số Khi có hai số nguyên dương q1 , q2 > để m = q1 q2 Vì q1 , q2 < m nên q1 , q2 ∈ / F Như ta có phân tích q1 = t1 t2 th , q2 = u1 u2 uk , ti , uj số nguyên tố Khi m = q1 q2 = t1 t2 th u1 u2 uk Điều mâu thuẫn với giả thiết m ∈ F Như F phải tập rỗng Khi phân tích số tự nhiên q > thành tích thừa số nguyên tố, số nguyên tố xuất nhiều lần Nếu số nguyên tố p1 , , ps xuất theo thứ tự α1 , , αs lần, ta viết q = pα1 pα2 pαs s ta gọi tích dạng phân tích tắc hay dạng phân tích tiêu chuẩn q Khi hai số a, b có dạng phân tích tắc a = pα1 pα2 pαs s q1u1 qrur , b = pβ1 pβ2 pβs s tv11 tvhh , thừa số nguyên tố qi a, thừa số nguyên tố tj có b Ta có min(α ,β ) 2 (a, b) = p1 min(α1 ,β1 ) p2 ps min(αs ,βs ) [a, b] = p1 max(α1 ,β1 ) p2 max(α2 ,β2 ) ps max(αs ,βs ) q1 u1 qr ur t1 v1 th vh p Chú ý 1.3.7 Q tập tất số dạng với p, q hai số nguyên q q = Với phép cộng phép nhân, tập Q lập thành trường Các phần tử thuộc Q gọi số hứu tỷ Những số thực số hữu tỷ gọi số vô tỷ Chương Liên phân số-Continued fractions 2.1 2.1.1 Liên phân số Liên phân số từ hai dãy số cho trước Định nghĩa 2.1.1.1 Cho hai dãy số {ai } = a0 , a1 , a2 , a3 , , {bi } = b0 , b1 , b2 , b3 , với , bi > i > Dãy biểu thức N0 = a0 , N1 = b0 b0 , , gọi giản phân, biểu a0 + , N2 = a0 + b1 a1 a1 + a2 thức b0 a0 + b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 + an−2 + bn−1 an−1 + gọi liên phân số hai dãy số cho trước {ai }, {bi } Hiển nhiên biểu thức Ni tồn Với hai dãy số cho {ai } {bi } ta xây dựng hai dãy số P−1 , P0 , P1 , P2 , Q−1 , Q0 , Q1 , Q2 , sau: P−1 = Q−1 = P = a0 Q0 = Pn+1 = an+1 Pn + bn Pn−1 Qn+1 = an+1 Qn + bn Qn−1 , n ... trung trình bày liên phân số xấp xỉ tốt, gồm mục Mục 2.1 trình bày lý thuyết liên phân số ,Mục 2.2 Trình bày biểu diễn qua liên phân số hữu hạn , Mục 2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn cuối... tìm phân số gần khác số π mà mẫu số nằm khoảng hay khơng ? Nên dùng phân số mà mẫu số tử số không vượt số điều kiện mà sai số với π lại đủ nhỏ? Thông thường, người ta xét phân số với tử số số... 2.1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước 2.1.2 Liên phân số hữu hạn 2.1.3 Liên phân số vô hạn 2.2 Biểu diễn qua liên phân số hữu hạn