Môđun và tính chất hầu tựa nội xạ

5 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH THANH HNG MễUN U V TNH CHT HU TA NI X LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 05 Ngi hng dn khoa hc PGS.TS NGễ S TNG Ngh An 08 - 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH THANH HNG MễUN U V TNH CHT HU TA NI X LUN VN THC S TON HC Ngh An 08 - 2013 MC LC Trang Mc lc Bng kớ hiu Li m u Chng KIN THC C S 1.1 Mụun u 1.1.1 Hng t trc tip, n cu, ton cu ch 1.1.2 Mụ un ct yu 1.1.3 Cỏc iu kin Ci ca mụun, mụun úng 1.1.4 Mụun u 11 1.2 Mụun hu ta ni x 16 1.2.1 Mụun t ni x 16 1.2.2 CS mụun 16 1.2.3 Mụun ta liờn tc 17 Chng MễUN U V TNH CHT HU TA NI X 20 2.1 Mụun u v tớnh cht ni x 20 2.1.1 Mụun A ni x 20 2.1.2 Mụun ni x 24 2.1.3 Bao ni x 27 2.2 Mụ un u v tớnh cht hu ta ni x 28 2.2.1 Mụun ta ni x 28 2.2.2 Mụun hu N ni x 30 Kt lun 33 Ti liu tham kho BNG K HIU MR A M m R mụun phi M Quan h bao hm A l ca M A M A l mụun ca mụun M A * M A l mụun ct yu ca mụun M Ai A M M N f X Ai , i = 1, n M N E(M) Imf Kerf Hom(M,N) End(M) LI M U Tng trc tip cỏc mụun Tớch trc tip cỏc mụun Ai ( i I ) A l hng t trc tip ca mụun M Mụun thng ca M trờn N Thu hp ca ỏnh x f trờn X Giao ca cỏc Ai mụun (i = 1, , n.) Mụun M ng cu vi mụun N Bao ni x ca mụun M nh ca ng cu f Ht nhõn ca ng cu f Tp hp cỏc ng cu t mụun M n mụun N Tp hp cỏc t ng cu ca mụun M Kt thỳc mt chng minh Cựng vi s phỏt trin ca toỏn hc, lý thuyt mụun c quan tõm nghiờn cu v ó t c nhiu kt qu Trong lý thuyt mụun, lp mụun ni x ó c m rng theo nhiu hng khỏc nh mụun ta ni x, mụun liờn tc, Trong cỏc hng m rng mụun ni x, mụun hu ni x l mt nhng mụun c quan tõm nghiờn cu nhiu nhng nm gn õy, chỳng ta cú th k n cỏc tỏc gi nh A Alahmadi, Y Baba, Lun ca chỳng tụi da trờn bi bỏo [3] ca A Alahmadi v S K Jain (2009), A note on almost injective modules, Math J Okyama Univ, 51, 101109 tỡm hiu, mt s tớnh cht ni x v hu ta ni x ca lp mụun u Vỡ vy ti lun l : Mụun u v tớnh cht hu ta ni x Ngoi phn m u, kt lun, ni dung ca lun c trỡnh by hai chng Chng Kin thc c s Trỡnh by nhng kin thc chun b, cỏc khỏi nim ca mụun nh: mụun ct yu, mụun úng, mụun u, mụun bự v mt s dng m rng ni x nh: M- ni x, ta ni x, t ni x, CS-mụun, ta liờn tc Chng Mụun u v tớnh cht hu ta ni x Trỡnh by v mụun A- ni x, mụun ni x, mụun hu N ni x, i vi lp cỏc mụun u, gi chung l cỏc dng yu hn ca tớnh cht ni x v xem xột mi liờn h gia chỳng Trong ú quan trng l mnh 2.2.2.2 v nh lớ 2.2.2.3 phỏt biu tớnh cht c trng ca mụun hu ta ni x Cỏc kt qu ny ó c A Alahmadi v S K Jain a cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca mỡnh 10 Lun c hon thnh di s hng dn, giỳp tn tỡnh ca PGS TS Ngụ S Tựng Nhõn dp ny tỏc gi xin chõn thnh by t li cm n sõu sc n PGS.TS Ngụ S Tựng, th cỏc thy giỏo, cụ giỏo b mụn i s v Lý thuyt s, Ban ch nhim khoa Toỏn, Phũng qun lý Sau i hc trng i hc Vinh ó úng gúp nhiu ý kin quý bỏu, to mi iu kin giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Cui cựng, tụi xin chõn thnh cm n ti gia ỡnh, bn bố ó ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc ca mỡnh Trong quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v vit lun vn, mc dự ó c gng, n lc Song vỡ thi gian v kin thc cũn hn ch nờn cú th cũn nhiu thiu sút Kớnh mong s gúp ý chõn tỡnh ca thy cụ v cỏc bn bn lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n ! 11 CHNG KIN THC C S Trong chng ny, chỳng ta s trỡnh by mt s khỏi nim, kt qu ó bit v mụun u, mụun ta ni x, CS mụun, mụun ta liờn tc, l cỏc lp mụun m rng lp mụun ni x v xem xột mi liờn h gia chỳng Trc ht ta nhc li mt s kin thc c bn v mụun ct yu, mụun úng, cỏc iu kin ( Ci ) ca mụun, hng t trc tip, phn bự, Ta quy c nu núi mụun M m khụng núi gỡ thờm, ta hiu ú l mụun phi M unita, cỏc vnh u c gi thit l vnh cú n v, kớ hiu 1.1 MễUN U 1.1.1 Hng t trc tip, n cu, ton cu ch m 1.1.1.1 nh ngha Cho R mụun M A M , A c gi l hng t trc m tip ca M nu tn ti B M m A B = M Kớ hiu A M m m 1.1.1.2 H qu Cho A M ú A M v ch tn ti B M A + B = M v A B = m 1.1.1.3 nh lớ Cho R mụun M A M, ú A M v ch tn ti ng cu ly ng f : M M m Imf = A Chng minh ng cu f : M M ly ng nu f = f m Cho A M suy tn ti B M M = A B Xột f : M = A B M = A B xỏc nh bi x = a + b Khi ú: + f l ng cu v Imf = A + f = f vỡ f ( x ) = f ( f ( x )) = f ( a ) = a = f ( x ) Ngc li, gi s tn ti f : M M m f = f v Imf = A a a 12 Khi ú M = Imf + Kerf vỡ: + Mi x M cú x = f(x) + ( x f(x) ) m f(x) Imf ; x f(x) Kerf M = Imf + Kerf f(x)=0 = f ( x ) = f 2( y ) = f ( y ) = x + x Imf Kerf x = f ( y ) Suy Imf Kerf = M = Imf Kerf m Imf = A A M 1.1.1.4 nh ngha Cho f : M N l n cu mụun Ta núi f l ch nu Imf N Cho g : A B l ton cu mụun Ta núi g l ch nu Kerg A 1.1.1.5 Mnh (1) n cu f : M N ch tn ti ng cu k : N M m k.f = 1M (2) Ton cu g : A B ch tn ti ng cu h : B A m g.h = 1B 1.1.2 Mụun ct yu 1.1.2.1 nh ngha Mụun A ca mụun M c gi l mụun ct yu ca M nu vi mi mụun khỏc khụng B ca M ta luụn cú A B ( hay A B = B = ) Khi ú M c gi l m rng ct yu ca A Kớ hiu A * M ( Ta cũn gi A l mụun ln ca M ) 1.1.2.2 Vớ d (a) Cho M l R mụun Ta luụn cú M * M (b) Vi Z l Z - mụun Mi iờan khỏc khụng ca Z u ct yu vỡ vi a Z; b Z khỏc khụng ta u cú ab a Z b Z 1.1.2.3 Mnh Gi s A l mụun ca R mụun M ú A * M v ch m M , m 0, r R, mr m mr A Chng minh 13 ( ) Nu m thỡ mR Vỡ A * M nờn A mR Tn ti r R cho mr A ( ) Gi s B l mụun khỏc khụng ca M Ly m B suy tn ti r R cho mr A Vỡ mr B nờn mr A B suy A B Vy A * M 1.1.2.4 Mnh n 1) Ai * M , i = 1, , n I Ai * M 2) Nu mụun M cú dóy cỏc mụun A B C thỡ A * M kộo theo B * C 3) Nu : M N l ng cu mụun v B * N thỡ 1( B ) * M Chng minh n 1) Ta chng minh * I Ai M bng quy np theo n i =1 Vi n = mnh ỳng theo gi thit Gi s mnh ỳng vi n tc l A= n1 * I Ai M Ta gi s E l mt mụun ca M, vỡ An * M nờn An i =1 n1 * E v A = I Ai M nờn i =1 ( I A ) I E Do ú A I n i =1 i ( An I E ) Suy A An * M Vy Ai * M , i = 1, n 2) Gi s E l mụun khỏc khụng ca C Khi ú E cng l mụun ca M Vỡ A * M nờn A E suy B E ( A B ) iu ny chng t B * C 3) Gi s E l mụun ca M v E 1( B ) = Khi ú B ( E ) = Vỡ vy ( E ) = B * N Suy E ker 1( B ) E = E 1( B ) = iu ny chng t 1( B ) * M 14 m 1.1.2.5 Mnh Cho R mụun M, A M Khi ú tn ti mụun B ca M cho A B * M Chng minh Xột = { B / A I B =0 ,B m M } Ta cú Quan h th t l quan h Ta d dng kim tra c thừa b Zorn Vy cú phn t ti i, ta kớ hiu l B Ta cú: + A B + B ti i m A B = m Ta phi chng minh A B * M Tht vy ly X M ( X ) Nu (A B) A I ( B X ) = m X = B X = Suy tn ti B X M v ta cú B B X iu ny mõu thun tớnh ti i ca B m A B = m m Ai v Ai * M i 1.1.2.6 Mnh Cho Ai Mi M ( i I ) Nu tn ti I Ai * M i v tn ti I M i ( i I ) thỡ I I * Trng hp | I | = n hu hn Dựng quy np ta ch cn chng minh vi n = Tc l cho A1 * M ; A2 * M2 v tn ti A1 A2 ta cn phi + Chng minh tn ti M M Tht vy, dựng tớnh cht giao hu hn ta cú A1 A2 * M1 M2 * M1 M2 M1 M2 = + Chng minh A1 A2 * M M Xột cỏc ng cu chiu f1 : M M M1 v f2 : M M M2 x1 + x2 a x1 x1 + x2 a x2 Do A1 * M suy f ( A1 ) * M M A1 M * M M (1) Tng 32 2.1.1.7 nh lớ Cho h cỏc mụun { M / } Khi ú cỏc iu sau tng ng (i) M l A ni x M i l A ni x vi mi m c I (ii) i I (iii) M l A ni x vi mi , v mi mi M i ( i I ) tựy ý, phõn bit o i m I mio a o vi a A thỡ dóy tng I mi ( n N) l dng in i =1 2.1.2 Mụun ni x Nh ó gii thiu phn m u, mụun ni x l im xut phỏt i n nhng nghiờn cu ca lun Mc dự khụng l i tng nghiờn cu chớnh nhng tớnh cht ni x xut hin thng xuyờn cỏc kho sỏt ca chỳng tụi 2.1.2.1 nh ngha Mụun M c gi l ni x nu vi mi ng cu f : A M v mi n cu g : A B ca nhng R mụun, tn ti mt ng cu h : B M cho hg = f, ngha l biu sau giao hoỏn g A B h f Vớ d +  mụun Ô l ni x M +  mụun  khụng ni x 2.1.2.2 nh lớ Cho M = M i M l mụun ni x v ch M i l I mụun ni x Chng minh Gi s M l mụun ni x Ta chng minh M i l ni x Gi s g : A B l mt n cu v f : A M i l mt ng cu vi mi i I Gi ài : M i M 33 l phộp nhỳng chớnh tc, ta cú ài f : A M l mt ng cu Do M ni x nờn tn ti ng cu k : B M cho biu sau giao hoỏn g A B f ài Mi k M Ngha l kg = ài f Ta xột ng cu h = i k, ú i : M M i l phộp chiu chớnh tc, ta cú hg = ( i k)g = i ( ài f) = f iu ny chng t M i l ni x Mi Ngc li, gi s M i l mụun ni x vi i I Ta chng minh M = I Xột biu giao hoỏn sau g A B f M i hi Mi Trong ú g n cu, f l ng cu, i l phộp chiu chớnh tc, hi l ng cu cú c tớnh ni x ca M i , i f = hi g Khi ú tn ti ng cu h : B M cho i h = hi g, c th vi b B ta cú h( b )i = hi ( b ) , i I Mt khỏc ta cú f = h.g , tht vy, vi a A cú f ( a )i = i ( f ( a )) = hi g( a ) = i ( hg( a )) = hg( a )i i I Suy f(a) = hg(a) f = hg 2.1.2.3 Mnh (i) Mi hng t trc tip ca mt mụun ni x l mụun ni x (ii) Tng trc tip hu hn cỏc mụun ni x l ni x 34 2.1.2.4 nh lớ (Tiờu chun Baer ) Mụun M l ni x v ch i vi mi iờan phi U RR v mi ng cu f : U M u tn ti ng cu h: RR M cho hi = f, ú i l phộp nhỳng U vo R 2.1.2.5 Mnh Nu : M N l mt n cu v N l mụun ni x thỡ i vi mi n cu ct yu : M P u tn ti mt n cu ,: P N cho biu sau giao hoỏn M P , N , Ngha l = Núi cỏch khỏc, mi m rng ct yu ca M c nhỳng vo mt m rng ni x bt kỡ Chng minh Do N ni x nờn tn ti ng cu ,: P N cho = , t K = ker , Do n cu nờn K Im = Ker , Im = Ker( , ) = Ker = Do l ct yu nờn K = Vy , l n cu 2.1.3 Bao ni x 2.1.3.1 nh ngha Cho M, N l cỏc R mụun n cu : M N c gi l ct yu nu Im l mụun ct yu N 2.1.3.2 Mnh Nu : M N v : N P l nhng n cu thỡ l ct yu v ch v l ct yu 2.1.3.3 nh ngha Cho mụun M R n cu : M N gi l bao ni x ca M nu N l mụun ni x v l n cu ct yu Khi : M N l bao ni x ta cng thng gi mụun N l bao ni x ca M v kớ hiu N = E(M) 35 Chỳ ý (i) Bao ni x ca mụun M luụn tn ti, E(M) l ln nht mi m rng ct yu ca M, tc l nu M * T thỡ T E(M) (ii) E( M ) l m rng ni x nht ca M, tc l nu D l ni x v M D thỡ E(M) D Vớ d Mi mụun ni x M cú E(M) = M Vớ d n cu chớnh tc i :  Z Ô Z l bao ni x ca  vỡ Ô Z l ni x ( nhúm chia c ) v  Z l mụun ct yu Ô Z 2.1.3.4 nh lớ Cho M R l mụun ni x, M R Khi ú cỏc iu kin sau tng ng (a) M khụng phõn tớch c (b) M l bao ni x ca mụun bt kỡ ca nú (c) Mi mụun M l u (d) M l bao ni x ca mt mụun u khỏc khụng no ú Chng minh (a) (b) Gi s A l mụun khỏc khụng ca M , v E(A) l bao ni x ca A, cha M Do E(A) l mụun ni x ca M nờn E(A) l hng t trc tip M Mt khỏc M khụng phõn tớch c suy M = E(A) (b) (c) Gi s U l mụun ca M v A 0, B l hai mụun ca U Do M = E(A) nờn A l ct yu M Bi vy A B (c) (d) Do gi thit M l mụun u, hn na M l ni x nờn M = E(M) (d) (a) Gi s M = E(U), vi U l mụun u v M = A B , A ; B Do U l ct yu M nờn A U v B U Mt khỏc U l mụun u nờn (A U) ( B U) suy A B iu ny mõu thun vi A B = Vy M khụng phõn tớch c 2.2 Mễ UN U V TNH CHT HU TA NI X 2.2.1 Mụun ta ni x 36 2.2.1.1 Mnh A mụun N l A ni x v ch ( A ) N , vi mi Hom(E(A), E(N)) Chng minh Trc ht ta cú E(N) l mụun ni x v nu Hom(E(A), E(N)) thỡ Hom(A,E(N)) Ta xột biu sau X A N E(N) Gi s ( A ) N vi mi Hom(E(A), E(N)); X A v : X N l ng cu Do E(N) l mụun ni x nờn cú th m rng ti : A E( N ) : A N l m rng ca Mt khỏc ( A ) N Vy N l A ni x Ngc li, gi s X ={ a A : ( a ) N } v N l A ni x, ú X c m rng thnh : A N Ta chng minh N ( )( A ) = Tht vy, ly n N v a A cho n = ( )( a ) , suy ( a ) = ( a ) n N , vỡ vy a X Hn na n = ( a ) ( a ) = ( a ) ( a ) = Vy N ( )( A ) = = Do ú ( )( A ) = 0, kt hp vi N * E(N) ta cú ( A ) = ( A ) N 2.2.1.2 H qu A mụun M l ta ni x nu v ch nu f(M) M vi mi f EndE(M) M 2.2.1.3 Mnh Cho tng trc tip mụun M = Khi ú cỏc iu kin sau tng ng (i) M l ta ni x (ii) M l ta ni x v M ( ) l M - ni x, vi mi 37 T mnh trờn ta cú h qu sau 2.2.1.4 H qu n (i) M i l ta ni x nu v ch nu M i l M j ni x ( i, j = 1,2, .,n) i =1 (ii) M n l ta ni x nu v ch nu M l ta ni x 2.2.1.5 Mnh Mụun ta ni x l mụun liờn tc Chng minh Gi s M l mụun ta ni x, nu N M thỡ bao ni x E(M) ca M cha bao ni x E(N) = E ca N v E(M) = E G vi mi mụun G Ta cú M = (M E ) (M G) Hn na N * E nờn N * (M E) iu ny chng t M thừa iu kin C1 Ta s chng minh M thừa iu kin C2 Tht vy gi A l mụun ca M v l hng t trc tip ca M, ta cú M = A A,, gi ,i ln lt l cỏc phộp chiu : A A, A ; i : A M Gi f : A M l n cu v t N = f(A) Ta xột s sau i M A f h M Theo gi thit ta cú M l t ni x nờn tn ti h : M M cho hf = i Khi ú hf = 1A Do ú N l hng t trc tip ca M Gi s N P M Do M l M ni x nờn P l P ni x v ú N l M ni x Khi ú ỏnh x ng nht 1N : N N cú th m rng thnh ng cu : M N v ú nú ch ra, tc l M = N Ker( ) suy M thừa iu kin C2 Vy M thừa iu kin C1 v C2 nờn M l mụun liờn tc 2.2.2 Mụun hu N ni x 38 Trong phn ny chỳng tụi a nh lớ 2.2.2.3, nh lớ ny c a bi bỏo [3] ca A Alahmadi v S K Jain 2.2.2.1 nh ngha Gi s M v N l hai R - mụun M c gi l mụun hu N ni x nu vi mi mụun X ca N v mi ng cu f : X M thỡ hoc l tn ti mt ng cu g : N M cho biu (1) sau õy giao hoỏn hoc tn ti mt hng t trc tip N1 ca N v mt ng cu h : M N1 cho biu sau õy giao hoỏn i i X N X g f N = N1 N2 h M M (1) N1 (2) Nu mụun M l hu M ni x thỡ ta gi M l mụun hu t ni x 2.2.2.2 Mnh Mụun hu t ni x v khụng phõn tớch c u l mụun ta liờn tc, ú l mụun u Chng minh Ta cú M l hu t ni x v khụng phõn tớch c nờn M ch cú hai hng t trc tip l v M Gi s M , M l hai mụun ca M m M M = Khi ú phộp chiu chớnh tc pi : M M M i u m rng thnh t ng cu ca M Tht vy, nu cú mt M i = , chng hn M = ú p1 = v p2 = 1M Nờn m rng ca p1 l ng cu 0, m rng ca p2 l 1M Gi s M1 v M2 v pi khụng m rng c thnh t ng cu ca M 39 Vỡ M l mụun hu t ni x nờn tn ti ng cu h : M M cho hp1 = 1M Suy p1 l n cu Nhng p1 khụng phi l n cu vỡ kerp1 = M2 Mõu thun ny chng t p1 m rng c thnh t ng cu ca M Tng t i vi p2 Vy M l mụun ta liờn tc Do ú mi mụun khỏc khụng ca M l mụun ct yu ca M Do vy M l mụun u 2.2.2.3 nh lớ Gi s M v N l hai mụun u Khi ú M l mụun hu N - ni x v ch vi mi f : E(N) E(M) ta cú f(N) M hoc f l mt ng cu v f (M) N Chng minh Gi s M l mụun hu N ni x Vi f Hom( E( N ), E( M )) v X = { n N | f( n ) M } Khi ú f X : X M Do M l mụun hu N ni x nờn M thừa hoc biu (1) hoc biu (2) Nu M thừa (1) thỡ tn ti g : N M cho g X =f X Ta s chng minh M (g f )(N) = Ly m M, ú m = (g f )(n) vi n N suy f(n) = g(n) m M Do ú n X Nh vy m = g(n) f( n) = Nhng M * E( M ) Do ú (g f )(N) = Vy f ( N ) M Nu M thừa (2) Khi ú tn ti h : M N cho h.f = 1X Nh vy f l ng cu, E(N) l mụun ni x, E(M) l mụun khụng phõn tớch c Rừ rng ta cú h f(X ) = f f(X ) Ta s chng minh N ( f h )( M ) = 40 Ly n , N cho n , = ( f h )( m , ) vi m , M suy f ( m , ) = h( m , ) + + n , N ff 1( m , ) = f ( h( m , ) + n , ) Chng t m , f ( X ) Vy n , = ( f h )( m , ) = vỡ h f(X ) =f f(X ) v m , f ( X ) Mt khỏc N * E( N ) , ( f h )( M ) = Suy f 1( M ) = h( M ) N KT LUN 41 Lun ó trỡnh by mt s iu kin mt mụun l M - ni x, mụun ta liờn tc, CS - mụun, mụun ta ni x, mụun u v mi quan h gia chỳng Lun ó thc hin c mc ớch ra: Tỡm hiu mt s tớnh cht hu ta ni x i vi lp cỏc mụun u Ni dung c bn ca lun c trỡnh by chng vi ni dung chớnh l mnh 2.2.2.2 v nh lý 2.2.2.3 TI LIU THAM KHO Ting Vit 42 [1] Nguyn Tin Quang Nguyn Duy Thun (2001), C s lớ thuyt mụun v vnh, NXB Giỏo dc [2] Dng Quc Vit (2009), Lớ thuyt module, NXB i hc s phm Ting Anh [3] A Alahmadi and S K Jain (2009), A note almost injective modules, Math J Okayama Univ, 51, 101 109 [4] Y Baba (1989), Note on almost M injective, Osaka J Math, 26, 687 698 [5] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman, London, 1994 [6] K Hanada, Y Kuratomi, and K Oshiro, On Direct Sums of Extending Module and Internal Exchange Property, J Algebra, 250, (2002), 115 133 [7] F Kasch (1982), Modules and rings, Academic Press Inc (LonDon) Ltd [8] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge Univ Press, Cambridge 43 44 45 46