Môđun chéo và một vài mở rộng của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TẠ MINH THANH MÔĐUN CHÉO VÀ MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TẠ MINH THANH MÔĐUN CHÉO VÀ MỘT VÀI MỞ RỘNG CỦA NÓ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN TIẾN QUANG Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các quy ước ký hiệu luận văn Môđun chéo nhóm môđun chéo vành 1.1 Môđun chéo nhóm 1.2 Phân lớp mở rộng nhóm kiểu môđun chéo 10 1.3 Môđun chéo vành 19 Môđun chéo đại số 27 2.1 Môđun chéo đại số số ví dụ 27 2.2 Một số tính chất môđun chéo đại số 30 2.3 Môđun chéo, iđêan chéo môđun chéo thương 34 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Cấu trúc môđun xuất hầu hết lý thuyết toán học đại, có khả thống cách chất cấu trúc vành, iđêan, nhóm Abel, không gian vectơ Tính linh hoạt phổ quát cấu trúc môđun mang lại ứng dụng to lớn Môđun chéo (trên nhóm) lần xây dựng J H L Whitehead vào năm 1949, công trình ông dựa tính đồng luân lý thuyết tổ hợp Ông đưa nhiều vấn đề quan trọng (bao gồm lý thuyết đồng luân, tính đồng điều đối đồng điều nhóm, lý thuyết đồng điều Kđại số, lý thuyết tổ hợp nhóm hình học vi phân) R Brown O Mucuk [6] tồn phân lớp đối đồng điều mở rộng nhóm kiểu môđun chéo phương pháp phức chéo Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết cản trở Gr− hàm tử, gần Nguyễn Tiến Quang giải toán Sự phân lớp đối đồng điều mở rộng xem hệ lý thuyết Schreier cho mở rộng nhóm kiểu môđun chéo nhờ vào Gr- hàm tử nhóm phạm trù liên kết Mỗi môđun chéo nhóm xem nhóm phạm trù chặt chẽ chúng nghiên cứu nhiều dạng Năm 2002 H -J Baues giới thiệu môđun chéo k-đại số (k trường) Các môđun chéo k - đại số k- chẻ có hạt nhân M đối hạt nhân B (B, M) Năm 2004 H -J Baues phân lớp đối đồng điều Hochschild HHoch đồng tác giả thay trường k vành giao hoán K thu khái niệm gọi song môđun chéo Đặc biệt, thay vành giao hoán K vành số nguyên Z thu khái niệm song môđun chéo vành Hơn nữa, môđun chéo nhóm xác định vành theo cách khác mà gọi chúng E− hệ Trong trường hợp đặc biệt E− hệ, E− hệ quy trùng với khái niệm song môđun chéo vành Do khái niệm E− hệ phiên yếu khái niệm song môđun chéo vành Môđun chéo đại số tổng quát hóa hai khái niệm môđun iđêan Những kết lý thuyết này, bao gồm cấu trúc con, iđêan môđun chéo, môđun chéo thương, Z Arvasi trình bày [4] Nội dung luận văn trình bày khái niệm môđun chéo nhóm, vành, đại số đưa lời giải chi tiết toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo Dựa theo tài liệu tham khảo [2], [3] N T Quang P.T Cúc [4] Z Arvasi số tài liệu liên quan Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, thầy hướng dẫn tận tình truyền cho em niềm say mê nghiên cứu khoa học Hơn nữa, thầy người tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Phạm Thị Cúc trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ, hướng dẫn để nội dung luận văn hoàn thiện Hơn nữa, tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Khoa Toán giảng dạy lớp Cao học k21 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả CÁC QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN d M, (B, D, d, θ), B −→ D, (B, D, d) Ob(P) DisQ ExtB−→D = π0 G A = π1 G (F, F ) SP PB−→D Hom(ψ,0) [DisQ, PB−→D ] (P, ⊗) H i (Q, kerd) : : : : môđun chéo, E− hệ tập vật phạm trù P Gr− phạm trì kiểu (Q, 0, 0) tập lớp tương đương mở rộng nhóm kiểu môđun chéo : tập lớp vật đẳng cấu G :tập tự đẳng cấu vật đơn vị I : hàm tử monoidal : phạm trù thu gọn P : Gr− phạm trù liên kết môđun chéo : tập lớp đồng luân hàm tử kiểu (ψ, 0) từ DisQ đến PB−→D : nhóm phạm trù chặt chẽ :các nhóm đối đồng điều nhóm CHƯƠNG MÔĐUN CHÉO TRÊN NHÓM VÀ MÔĐUN CHÉO TRÊN VÀNH 1.1 Môđun chéo nhóm Khái niệm môđun chéo (trên nhóm) lần đưa J H C Whitehead vào năm 1949 [5] nhiều tác giả trình bày theo nhiều cách khác Trong phần trình bày khái niệm môđun chéo nhóm theo dạng khác tác giả N.T Quang P.T Cúc với số tính chất liên quan 1.1.1 Định nghĩa Một môđun chéo bốn (B, D, d, θ), d : B −→ D θ : D −→ AutB đồng cấu nhóm thỏa mãn điều kiện sau: C1 ) θd = µ, C2 ) d(θx(b)) = µx (d(b)), x ∈ D, b ∈ B µx đẳng cấu sinh x d Ta kí hiệu môđun chéo (B, D, d, θ) B −−−→ D đơn giản B −→ D Để cho tiện, ta ký hiệu phép toán B phép cộng phép toán D phép nhân Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa 1.1.2 Mệnh đề Cho (B, D, d, θ) môđun chéo, đó: i) Kerd ⊂ CB , với CB = {c ∈ B|µc = 0} tâm B ii) Imd nhóm chuẩn tắc D iii) Đồng cấu θ cảm sinh đồng cấu ϕ : D −→ Aut(Kerd) xác định ϕx = θ|Kerd iv) Kerd Cokerd- song môđun với tác động sa = ϕx a, as = a.ϕx , a ∈ Kerd, ∀x ∈ s ∈ Cokerd Chứng minh i) Ta chứng minh phần tử thuộc kerd thuộc CB với CB = {c ∈ B|µc = 0} Thật vậy, với b ∈ Kerd d(b) = Vì (B, D, d, θ) môđun chéo nên có: µ = θd ⇒ µ(b) = (θd)(b) = θ(d(b)) = θ(0) = ⇒ µ(b) = 0, ∀x ∈ D, b ∈ Kerd b ∈ CB Vậy Kerd ⊂ CB ii) Với ∀b ∈ B ⇒ d(b) ∈ Imd ⊂ D Hơn nữa, (B, D, d, θ) môđun chéo nên d(θx (b)) = µx (d(b)) tức ∀x ∈ D d(θxb) = µx (d(b)) = xd(b)x−1 ( µ đẳng cấu sinh x), ta có: d(θx(b)) ∈ Imd ⇒ xd(b)x−1 ∈ Imd Do Im(d) nhóm chuẩn tắc D iii) Từ điều kiện (C2 ), với a ∈ Kerd ta có d(θx(a)) = µx (d(a)) = µx (0) = Do θx (a) ∈ Kerd Bây giờ, giả sử x, y thuộc lớp s ∈ Cokerd Thế x = d(b) + y , suy ϕx (a) = ϕd(b)+y (a) = ϕd(b) [ϕy (a)] = θ(db) [ϕy (a)] = µb [ϕy (a)] = ϕy (a) ϕy (a) thuộc tâm B iv) Dễ thấy kerd Cokerd- môđun trái với tác động sa = θx (a) = ϕx (a), a ∈ Kerd, x ∈ s ∈ Cokerd Các nhóm Cokerd, Kerd ký hiệu πo M, π1 M 1.1.3 Ví dụ 1) Xét (B, AutB, d, θ) Trong B nhóm, AutB tự đẳng cấu nhóm B , với d : B −→ AutB ánh xạ tự đẳng cấu nhóm B , θ : AutB −→ AutB ánh xạ đồng Khi đó, dễ dàng thấy (B, AutB, d, θ) môđun chéo Thật vậy, với d : B −→ AutB µ : B −→ AutB hiển nhiên có θd = µ Hơn nữa, AutB tập tự đẳng cấu B θ đồng cấu đồng nên với b ∈ B có fb d(fb) = d(θf (b)) = fbd(b)fb−1 tức d(θf (b)) = µf (d(b)), ∀f ∈ AutB, b ∈ B 2) Xét (B, D, 0, θ) B D- môđun, với đồng cấu : B −→ D biến phần tử B thành đơn vị D θ : D −→ AutB Khi (B, D, 0, θ) môđun chéo Thật vậy, dễ thấy C1 thỏa mãn ( B D- môđun) Ta lại có: 0(θx(b)) = = µx (0(b)) Do đó, (B, D, 0, θ) môđun chéo 3) Xét B nhóm chuẩn tắc nhóm D i ánh xạ bao hàm từ B vào D, với θ cho liên hợp Khi (B, D, i, θ) môđun chéo Thật vậy, với cách xác định hiển nhiên có θi = µ Vì B nhóm chuẩn tắc D nên µx (b) = xbx−1 ∈ B θ cho liên hơp nên i(θx (b)) = µx (b) Theo R Brown, môđun chéo xem G−goupoid ( gọi nhóm phạm trù chặt chẽ) Với mục đích để tìm hiểu phân lớp mở rộng nhóm, phần trình bày rõ chi tiết kết theo ngôn ngữ nhóm phạm trù Tức cho trước môđun chéo xây dựng nhóm phạm trù chặt chẽ, ngược lại Với môđun chéo (B, D, d, θ) ta xây dựng nhóm phạm trù chặt chẽ PB−→D := P gọi nhóm phạm trù liên kết với môđun chéo B −→ D sau: Ob(P) = D Hom(x, y) = {b ∈ B|x = d(b)y} với hai vật x, y ∈ D Hợp thành mũi tên cho : b c b+c (x − →y− → z) = (x −−→ z) Phép toán tenxơ vật cho phép nhân nhóm D với b′ b → y ′ ) hai mũi tên (x − → y), (x′ − b ′ ′ b ′ ′ b+θy b → y ) = (xx −−−→ yy ′ ) (x − → y) ⊗ (x − ′ Theo định nghĩa môđun chéo với cách xác định P kiểm tra P nhóm phạm trù chặt chẽ với ràng buộc chặt chẽ Ngược lại, với nhóm phạm trù chặt chẽ (P, ⊗) ta xác định môđun chéo liên kết MP = (B, D, d, θ) sau Lấy b D = Ob(P), B = (x − → 1)|x ∈ D Các phép toán D, B cho xy = x ⊗ y, b + c = b ⊗ c Khi D nhóm với đơn vị 1, nghịch đảo x x−1 (x ⊗ x−1 = 1) B id b nhóm với đơn vị mũi tên (1 −→ 1) nghịch đảo mũi tên (x − → 1) b mũi tên (x−1 − → 1) với b ⊗ b = id1 Các đồng cấu d : B −→ D θ : D −→ AutB xác định 28 Điều kiện (C2 ) gọi đồng thức Peiffer Kí hiệu R- môđun chéo (C, R, ∂) ∂ : C −→ R Nhận xét Với cấu trúc R- đại số C ta xem C R- song môđun, đồng cấu R- đại số xem đồng cấu R- song môđun Từ điều kiện (C2 ) : ∂c.c′ = cc′ = c.∂c′ định nghĩa môđun chéo đại số ta thấy môđun chéo đại số song môđun chéo vành Do khái niệm môđun chéo đại số tổng quát khái niệm song môđun chéo vành Cũng tương tự phần môđun chéo nhóm vành từ định nghĩa ta suy rằng: Im∂ iđêan R, ker∂ chứa linh hóa tử R, ker∂ R/∂C - song môđun ( kết luận xem mệnh đề chứng minh phần tiếp theo) 2.1.2 Định nghĩa Một đồng cấu hai R-môđun chéo, từ (C, R, ∂) vào (C ′, R′, ∂ ′) cặp đồng cấu k - đại số θ : C −→ C ′, ψ : R −→ R′ thỏa mãn: T1) ∂ ′θ(c) = ψ∂(c) T2) θ(r.c) = ψ(r).θ(c), θ(c.r) = θ(c).ψ(r) Điều kiện T1 nghĩa biểu đồ sau giao hoán: C θ ∂ /   C′ R / ∂′ ψ R′ Trong trường hợp R = R′ ta nói θ đồng cấu R- môđun chéo ψ ánh xạ đồng 2.1.3 Ví dụ ( Một số ví dụ môđun chéo đại số) 29 1) Cho I iđêan k - đại số R Xét ánh xạ bao hàm sau: i : I −→ R Khi (I, R, i) R− môđun chéo Ngược lại R- môđun chéo với ∂ : C −→ R ∂C iđêan R Chứng minh Với ∀a, a′ ∈ I, x ∈ R i : I −→ R ( với i phép chiếu từ I xuống R) I iđêan R nên xa ∈ I ⊂ R nên i(xa) = xa = x.i(a) i(a.x) = ax = i(a).x i(a).a′ = a.a′ , ai(a′ ) = a.a′ , ∀a, a′ ∈ I Do (I, R, i) môđun chéo Ngược lại (C, R, ∂) R- môđun chéo ∂C iđêan R Thật vậy, với ∀a ∈ C, x ∈ R ∂(ax) ∈ ∂(C) mà (C, R, ∂) R- môđun chéo, suy (C, R, ∂) tiền môđun chéo, đó: ∂(C) ∋ ∂(ax) = ∂(a).x, ∀x ∈ R ∂(C) ∋ ∂(ax) = ∂(x).∂(a) = x.∂(a), ∀x ∈ R Do ∂(C) iđêan R 2) Cho M song môđun bất kì, đồng cấu : M −→ R cho 0(b)b′ = = b0(b′) (M, R, 0) R-môđun chéo ( với cách xác định phép toán xem M R- đại số) Ngược lại, cho môđun chéo với ∂ : C −→ R, lúc Ker∂ R/∂C -môđun Thật vậy, Với ∀a ∈ Ker∂ ⇒ ∂(a) = 0.c ∈ ∂(C) Khi đó, ∂c.a = c.a = c∂a = c.0 = (vì theo giả thiết ∂ : C −→ R môđun chéo) Do vậy, ∂C tác động tầm thường Ker∂ Từ xác định ánh xạ R/∂C × Ker∂ −→ Ker∂ (c + ∂C, a) → ra, ∀c ∈ C, a ∈ Ker∂, r ∈ R 30 Dễ dàng kiểm tra điều kiện giao hoán nhóm R/∂C Ker∂ môđun Do R/∂C Ker∂ -môđun 2.2 Một số tính chất môđun chéo đại số Không Nhóm hay vành mà cấu trúc đại số khác, đồng cấu thường đóng vai trò quan trọng Các đồng cấu thường định số tính chất đặc trưng không gian Trong phần chúng tối trình bày số bổ đề định lý liên quan nhằm mô tả số tính chất mối quan hệ đồng cấu môđun chéo 2.2.1 Mệnh đề Giả sử (C, R, ∂) R- môđun chéo, đó: i) Ker∂ iđêan C , ii) Cả C/C Ker∂ có cấu trúc R/∂C - môđun tự nhiên Chứng minh i) Với ∀c ∈ C, a ∈ Ker∂ , : ac = ∂a.c = 0.c = = c.0 = c.∂a = c.a ⇒ ac = ca ∈ Ker∂ Suy Ker∂ iđêan C ii) Dễ thấy ∂C tác động tầm thường ker∂ C/C Thật vậy, Với a ∈ Ker∂, ∂c ∈ ∂C xác định ∂c.a = c.a = c.∂a = c.0 = 0, ∂C tác động tầm thường lên Ker∂ Ta có với ∂c ∈ ∂C, c′ + C ∈ C/C thì: ∂c.(c′ + C 2) = ∂c.c′ + C = c.c′ + C = 0, vậy, ∂C tác động tầm thường lên C/C Từ ta xác định ánh xạ: R/∂C × Ker∂ −→ Ker∂, (c + ∂C, a) −→ ra, R/∂C × C/C −→ C/C 2, (cr + ∂c, c + C ) −→ rc + C 31 dễ dàng đễ kiểm tra tính giao hoán nhóm Ker∂ C/C R/∂C -môđun Vì Ker∂ C/C có cấu trúc R/∂C -môđun 2.2.2 Định lí Giả sử f : C −→ B đồng cấu R- môđun chéo Khi đó, C/Kerf ∼ = Imf Chứng minh Xét ánh xạ sau: θ : C/Kerf −→ Imf c + Kerf −→ f (c) Ta chứng minh θ đẳng cấu θ đồng cấu, thật vậy: ∀x = c + Kerf ∈ C/kerf, x′ = c′ + Kerf ∈ C/Kerf Khi f đồng cấu R- môđun chéo nên θ(x + x′ ) = θ(c + c′ + Kerf ) = f (c + c′ ) = f (c) + f (c′) Suy θ đồng cấu θ đơn cấu toàn cấu thật vậy, ta có Kerθ = {x ∈ C/Kerf |θ(x) = 0} = {x ∈ C/kerf |f (c) = 0} = {0 + Kerf } = 0C/kerf Do θ đơn cấu Hơn nữa, Imθ = {b ∈ Imf |θ(x) = b, ∀x ∈ C/Kerf } ={b ∈ Imf |f (c) = b, ∀c ∈ C} = Imf Do θ toàn cấu Vậy θ ánh xạ đẳng cấu, hay C/Kerf ∼ = Imf Đối với môđun chéo đại số, tính chất dãy phức khớp lý thuyết đồng điều có kết hoàn toàn tương tự Ở mệnh đề sau trình bày tính chất dãy khớp cho đồng cấu môđun chéo Trước hết nhắc lại lý thuyết quan trọng đại số đồng điều 32 Cho M, M ′ M ′′ đại số Chuỗi ánh xạ f g M ′ −−→ M −→ M ′′ gọi khớp M Imf = Kerg Một chuỗi ánh xạ (có thể dài vô hạn) fn+1 fn Mn+1 −−→ Mn −−−−→ Mn−1 −−−→ dãy khớp cặp ánh xạ liền kề ánh xạ khớp Từ kết có hai dãy khớp −→ Ker∂ −→ C −→ Im∂ −→ 0 −→ Im∂ −→ R −→ R/Im∂ −→ Từ kết ta có mệnh đề sau 2.2.3 Mệnh đề Dãy khớp −→ Ker∂ −→ C −→ Im∂ −→ cảm sinh dãy khớp sau: ∂ Ker∂ −→ C/C −−−−→ I/I −→ I = Im∂ Chứng minh Trước hết, I = Im∂ nên đồng cấu ∂ : C/C −→ I/I ánh xạ lên ( hay toàn ánh) tức ∂(C/C ) = I/I Tiếp theo, ta thấy Ker∂ hạt nhân ánh xạ lên ∂ tức phần tử c + C hạt nhân ∂ có dạng k + C , với k ∈ Ker∂ Ta thấy biểu đồ sau giao hoán: / Kerf / ∂ C C/C ∂ / I /  / I/I / 33 ∂ ánh xạ lên, ∂ ánh xạ lên ảnh Ker∂ −→ C/C chứa Ker∂ (1) Hơn nữa, c + C ∈ Ker∂ , thì: ∂(c + C 2) = ∂(c) + I = I ( ∂(c) ∈ I2 ) Do ∂(c) = ∂(b)∂(b′) = ∂(bb′), với b, b′ ∈ C Điều có nghĩa : (c − bb′ ) ∈ Ker∂ tức (c − bb′) = k, k ∈ Ker∂ , mà c + C = k + C Ker∂ −→ Ker∂ ánh xạ lên (2) ∂ Từ (1) (2) suy Ker∂ −→ C/C −−−−→ I/I −→ khớp 2.2.4 Mệnh đề Giả sử ψ : (C, R, ∂) −→ (B, R, β) đồng cấu Rmôđun chéo (C, B, ψ) B -môđun chéo, B tác động lên C β Chứng minh Vì ψ : (C, R, ∂) −→ (B, R, β) đồng cấu hai R-môđun chéo, nên ta có biểu đồ sau giao hoán C ∂ / R ψ   B / β id R ψ(cr) = ψ(c).id(r) ψ(r.c) = id(r).ψ(c) (1) Từ biểu đồ ta suy biểu đồ sau giao hoán : C ❅❅ ❅❅ ❅❅ ∂ ❅❅ ψ R /B ⑦ ⑦ ⑦⑦ ⑦⑦β ⑦ ⑦ ψ cấu xạ R- đại số Do (B, R, β) R- môđun chéo nên β(b).b′ = bb′ (2) B tác động lên C β tức ∀c ∈ C b ∈ B có cb = c.β(b) bc = β(b).c Bây giờ, kiểm tra ψ đồng cấu B - đại số 34 thỏa mãn hai điều điều kiện (C1 ) (C2 ) môđun chéo đại số Thật vậy, với c ∈ C, b ∈ B ta có: (1) (2) ψ(c.b) = ψ(c.β(b)) = ψ(c)id(β(b)) = ψ(c)β(b) = ψ(c)b Tương tự ta có ψ(b.c) = b.ψ(c) Hơn nữa,∀c, c′ ∈ C (1) ψ(c).c′ = β(ψ(c)).c′ = (βψ)(c).c′ = (id∂)(c).c′ = ∂(c).c′ = c.c′ (1) c.ψ(c′ ) = c.β(ψ(c′)) = c.(βψ)(c′) = c.(id∂)(c′) = c.∂(c′) = c.c′ Vậy (C, B, ψ) B - môđun chéo 2.2.5 Mệnh đề Cho (C, B, ∂) B -môđun chéo (B, R, β) Rmôđun chéo cho tác động từ R vào C tương thích với tác động từ B vào C , (C, R, β∂) R- môđun chéo Chứng minh Trước tiên, ta thấy với c ∈ C, r ∈ R, ta có β∂(r.c) = β(∂(r.c)) = β(r∂(c)) = r.β(∂(c)) = r.β∂(c) β∂(c.r) = β(∂(c.r)) = β(∂(c)r) = β(∂(c).r) = β∂(c).r Tiếp theo, ta kiểm tra đồng thức Peiffer, với ∀c, c′ ∈ C , c.(β∂c′) = c.β(∂c′) = c.∂c′ = c.c′ Tương tự (β∂c).c′ = c.c′ Do (C, R, β∂) R- môđun chéo 2.3 Môđun chéo, iđêan chéo môđun chéo thương Ta biết cấu trúc dàn con, nhóm con, trường con, không gian không gian tôpô, thông thường chúng đóng vai trò quan trọng Vì nghiên cứu môđun chéo việc xác định định nghĩa môđun chéo iđêan chéo cần thiết quan trọng 35 Phần trình bày khái niệm môđun chéo, iđêan chéo, môđun chéo thương, mối quan hệ khái niệm số tính chất liên quan 2.3.1 Định nghĩa Môđun chéo (C ′, R′, ∂ ′) R-môđun chéo (C, R, ∂) R-môđun chéo C ′ đại số C ∂ ′ = ∂|C ′ : C ′ −→ R thu hẹp ∂ C ′ Nhận xét i) Nếu không nói thêm nói môđun chéo C ta hiểu (C, R, ∂) C ′ tương ứng môđun chéo (C ′, R, ∂ ′) Giả sử C ′ môđun chéo C , ∀c ∈ C, x ∈ C ′ cx = ∂c.x ∈ C ′, tương tự xc ∈ C ′ Do C ′ iđêan C Như môđun chéo C ′ iđêan C với ánh xạ thu hẹp: ∂ ′ = ∂|C ′ : C ′ −→ R ii) Một môđun chéo phải vật ý nghĩa phạm trù 2.3.2 Ví dụ i) Cho I iđêan vành R, (I, R, i) môđun chéo môđun chéo (R, R, idR) Trong i ánh xạ bao hàm từ I vào R, idR ánh xạ đồng từ R vào R ii) Các môđun M ′ môđun M R đó, ta xem môđun chéo (M ′ , R, 0) môđun chéo (M, R, ∂) Một khái niệm quan trọng đại số iđêan Để tìm hiểu mối liên hệ khái niệm iđêan môđun chéo môđun chéo đưa vào khái niệm iđêan chéo Trong phần tiếp theo, mô tả iđêan chéo môđun chéo đại số Như biết khái niệm iđêan hạt nhân sử dụng lý thuyết vành Theo lý thuyết vành iđêan vành R hạt nhân đồng cấu tắc v : R −→ R/I đó, hạt nhân đồng cấu vành iđêan vành 36 Giả sử xác định iđêan chéo môđun chéo C ′ C hạt nhân đồng cấu R -môđun chéo: v C ❃❃ ❃❃ ❃❃ ∂ ❃❃ R / C/C ′ ②② ②② ② ② ′ |②② ∂ v(c) = c + C ′ ∂(c + C ′) = ∂(c), ∀c ∈ C Rõ ràng ∂ xác định C ′ chứa Ker∂ Thật vậy, C ′ iđêan C nên theo lý thuyết vành C ′ = Kerv với v : C −→ C/C ′ Khi đó, với ∀x ∈ C ′ ⇒ x ∈ Kerv ⇒ v(x) = Mặt khác, x ∈ C ′ ⊂ C nên ∂(x) = ∂(x + C ′) = ∂(v(x)) = ∂(0) = Suy ∂(x) = ⇒ x ∈ Ker∂, ∀x ∈ C ′ Do C ′ ∈ Ker∂ Như vậy, iđêan chéo môđun chéo ∂ : C −→ R môđun chéo C ′ C Hơn nữa, môđun chéo môđun chéo hạt nhân đồng cấu C ❅❅ ❅❅ ❅❅ ∂ ❅❅ f R /B ⑦ ⑦ ⑦⑦ ⑦⑦ ⑦⑦ β chứa Ker∂ βf = ∂ Từ ta có kết sau: 2.3.3 Mệnh đề Cho (C, R, ∂) R-môđun chéo (C ′, R′, ∂ ′) môđun chéo (C, R, ∂) (C/C ′, R, ∂ ′) gọi R-môđun chéo thương C ′ chứa Ker∂ , với ∂ cho ∂ ′(c+C ′) = ∂c , ∀c ∈ C ′ Lưu ý lúc xác định môđun chéo thương, ví dụ điển hình biểu đồ giao hoán sau C ❅❅ ❅❅ ❅❅ ∂ ❅❅ idc R /C ⑦ ⑦ ⑦⑦ ⑦⑦ ⑦⑦ ∂ 37 thương (C/C, R, ∂) R- môđun chéo Còn f : C −→ B đồng cấu R-môđun chéo cho (B/Imf, R, β) môđun chéo thương B - môđun Imf Imf ⊆ Kerβ 2.3.4 Mệnh đề Mỗi đồng cấu R-môđun chéo biểu diễn dạng tích toàn cấu tắc đơn cấu Chứng minh Giả sử f : C −→ B đồng cấu R-môđun chéo.Từ Kerf ⊆ Ker∂ xác định đồng cấu: ∂ : C/Kerf −→ R ∂(c + Kerf ) = ∂(c) C/Kerf có cấu trúc R- môđun chéo Theo Mệnh đề 2.3.2 tồn đồng cấu tắc: p : C −→ C/Kerf R-môđun chéo Đặt: T = C × Kerf = {(c, m) : c ∈ C} m ∈ Ker∂ tích trực tiếp C Kerf , xác định cấu trúc Rmôđun chéo T với phép toán đưa vào sau Xác định phép nhân: với (c, m), (c′, m′ ) ∈ T (c, m)(c′, m′ ) = (cc′ , cm′ + mc′ ) = (cc′ , 0) mc′ = ∂m c = = cm′ Rõ ràng vành R tác động lên T cấu xạ τ : T −→ R với τ (cm) = ∂(c) thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Hơn τ (c, m).(c′, m′ ) = ∂c.(c′, m′ ) = (∂c.c′, ∂c.m′) = (cc′ , 0) = (c, m)(c′, m′ ) Do (T, R, τ ) R- môđun chéo Xác định hai đồng cấu s, t : T −→ C xác định s(c, m) = c t(c, m) = c + m Hai đồng cấu đồng cấu R-môđun chéo thỏa mãn 38 ps = pt Mặt khác s((c, m)(c′, m′ )) = s(cc′ , 0) = cc′ = s(c, m)s(c′, m′ ) t((c, m)(c′, m′ )) = s(cc′ , 0) = cc′ = cc′ + mm′ + cm′ + mc′ = (c + m)(c′ + m′ ) = t(c, m)t(c′ , m′ ) Do s t hai đồng cấu R- đại số Tiếp theo, giả sử có đồng cấu g : C −→ D R-môđun chéo thỏa mãn gs = gt tồn đồng cấu g ′ : C/Kerf −→ D thỏa mãn g ′ (c + Kerf ) = g(c) Lưu ý đồng cấu f : C −→ B thỏa mãn điều kiện f s = f t tồn đồng cấu µ : C/Kerf −→ B xác định µ(c + Kerf ) = g(c) Bây kiểm tra đồng cấu µ đơn cấu Thật vậy, giả sử có hai đồng cấu h, h′ : X −→ C/Kerf R-môđun chéo cho µh = µh′ , giả sử h = h′ đó, ∃x ∈ X để h(x) = x + Kerf = h′ (x), ∀x, x′ ∈ X µh(x) = µh′ (x) tức µ(x + Kerf ) = µ(x′ + Kerf ) suy (x − x′ ) ∈ Kerf x = x′ + m với m ∈ Kerf Suy x + Kerf = (x′ + m) + x′ + Kerf Do µ đơn cấu Vậy f = µp 2.3.5 Ví dụ (1) Với iđêan I vành R Khi đó, (I, R, 0) môt R -môđun chéo xem iđêan chéo R-môđun chéo (R, R, 0), i : I −→ R ánh xạ bao hàm từ I vào R 39 (2) Với M môđun R- môđun, xem (M, R, 0) iđêan chéo R-môđun chéo , với ánh xạ tầm thường (3) Mỗi môđun chéo chưa iđêan chéo Thật vậy, với (Z, Z, idZ ) (nZ, Z, i) môđun chéo (Z, Z, ∂) Z - môđun chéo, với n ∈ Z biểu đồ sau giao hoán i nZ❇❇ ❇❇ ❇❇ ∂ ❇❇ Z /Z ⑧ ⑧ ⑧⑧ ⑧⑧ β ⑧ ⑧ Ta thấy nZ chưa hạt nhân đồng cấu Z-môđun chéo nên (Z, Z, ∂) chưa iđêan chéo Từ kết cho thấy rằng: Một môđun chéo môđun chéo (C, R, ∂) bao gồm: (i) C ′ đại số C R′ vành vành R (ii) Một tác động R lên C cảm sinh tác độngtừ R′ vào C ′ (iii) (C ′, R′ , ∂ ′) môđun chéo (iv) Sơ đồ cấu xạ môđun chéo sau giao hoán: C′ ∂′ u /  C R′  v / ∂ R u v phép nhúng Nhận xét Một môđun chéo (C ′, R′ , ∂ ′) môđun chéo (C, R, ∂) gọi iđêan chéo nếu: (i) C ′ C ∪ CC ′ ⊆ C ′ R′ iđêan R (ii) CR′ ∪ R′ C ⊆ C ′ (iii) C ′ đóng tác động R, tức RC ′, CR′ ⊆ C ′ Môđun chéo (R, R, i) có môđun chéo cho tất cặp (I, J) I iđêan R, J vành R I ⊆ J với i ánh xạ bao 40 hàm từ R vào R Cho I iđêan vành R, (I, I, i) iđêan chéo (R, R, i) Nếu I, I ′ iđêan hai phía R ta xem (I, R, i) (I ′, R, i) hai môđun chéo Khi ((I ∩I ′), I, v) ((I ∩I ′), I ′, v ′) tương ứng iđêan (I ′ , R, i1) (I ′, R, i2 ), i1 : I −→ R, i2 : I ′ −→ R tương ứng đồng cấu bao hàm 2.3.6 Mệnh đề Giao họ tùy ý môđun chéo (tương ứng iđêan chéo){Ii , Ji, ∂i} môđun chéo môđun chéo (tương ứng iđêan chéo) (C, R, ∂) Chứng minh Giả sử tập hợp số, Xét (I, J, S) = (IiJi, ∂i) i∈ Hiển nhiên I iđêan R, J vành R x, y ∈ I c ∈ C x − y ∈ J xc ∈ C, x, y ∈ Ji ⊂ R với i ∈ Hơn nữa, dễ dàng thấy I đại số C Do giao họ tùy ý môđun chéo ( iđêan cheo) tương ứng môđun chéo( iđêan chéo) 41 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo [2],[3] [4] số tài liệu liên quan môđun chéo, luận văn tìm hiểu trình bày kết sau: • Từ tài liệu tham khảo có Hệ thống khái niệm môđun chéo cấu trúc đại số Đưa cách nhìn tổng quan môđun chéo • Xây dựng khái niệm môđun chéo nhóm, phân lớp mở rộng nhóm kiểu môđun chéo theo ngôn ngữ lý thuyết cản trở Gr− hàm tử nhóm phạm trù chặt chẽ • Mở rộng khái niệm môđun chéo nhóm cho trường hợp vành, đưa khái niệm E - hệ • Xây dựng môđun chéo đại số, mô tả cấu trúc gồm: iđêan chéo, môđun chéo môđun chéo thương số mối quan hệ chúng • Một số kết Luận văn nhận đăng tạp chí khoa học trường đại học Vinh tập 44 năm 2015 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang, Cở sở lý thuyết Môđun vành, NXB Giáo dục (2001) Tiếng Anh [2] N T Quang and P T Cuc (2012), Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math Commun., 17(2), 575-598 [3] N T Quang, P T Cuc and N T Thuy (2014), Crossed modules and strict Gr-categories, Communications of the Korean Mathematical Society, 29(1), 9-22 [4] Zekeiya Arvasi, Crossed module of algebras Mathematical and Computation Applications, Vol, No 2, pp 173-182,2004 [5] J.H.C Witehead, Combinatorial homotopy II Bulletin American Mathematics Society, 55, 453-496, 1949 [6] R Brown and O Mucuk, Covering groups of nonconnected topological groups revisited, Math Proc Cambridge Philos Soc 115 (1994), no 1, 97–110 [7] N T Quang and P T Cuc, Equivariant crossed modules and Cohomology of group with operators, arXiv:1320.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013 [...]... niệm về môđun con chéo, iđêan chéo, môđun chéo thương, và mối quan hệ giữa các khái niệm này cùng một số tính chất liên quan 2.3.1 Định nghĩa Môđun con chéo (C ′, R′, ∂ ′) của một R -môđun chéo (C, R, ∂) là một R -môđun chéo trong đó C ′ là đại số con của C và ∂ ′ = ∂|C ′ : C ′ −→ R là thu hẹp của ∂ trong C ′ Nhận xét i) Nếu không nói gì thêm khi nói một môđun chéo C thì ta hiểu đó là (C, R, ∂) và C ′... niệm mở rộng nhóm kiểu môđun chéo theo R Brown và O Mucuk [6] d 1.2.1 Định nghĩa Cho M = (B −−−→ D) là một môđun chéo Cho nhóm Q, một mở rộng của B bởi Q kiểu M là sơ đồ đồng cấu nhóm sau đây: E: 0 / j B p / /E Q / 1, ε d / B  D trong đó, dòng trên là khớp, hệ (B, E, j, θ ′) là một môđun chéo với θ′ được sinh bởi liên hợp và (idB , ε) là đồng cấu của các môđun chéo Hai mở rộng của B bởi Q kiểu môđun chéo. .. (I, R, i) là một môđun con chéo của môđun chéo (R, R, idR) Trong đó i là ánh xạ bao hàm từ I vào R, idR là ánh xạ đồng nhất từ R vào R ii) Các môđun con M ′ của môđun M bất kì trên R khi đó, ta có thể xem môđun chéo (M ′ , R, 0) như môđun con chéo của (M, R, ∂) Một khái niệm khá quan trọng trong đại số đó là iđêan Để tìm hiểu mối liên hệ giữa khái niệm iđêan và môđun con chéo của một môđun chéo chúng... rằng khái niệm của E− hệ có thể xem như phiên bản yếu hơn của khái niệm môđun chéo trên vành 27 CHƯƠNG 2 MÔĐUN CHÉO TRÊN ĐẠI SỐ 2.1 Môđun chéo đại số và một số ví dụ Môđun chéo trên đại số là tổng quát hóa của hai khái niệm môđun và iđêan Những kết quả đại số của lý thuyết này bao gồm các cấu trúc con, iđêan của môđun chéo, môđun chéo thương đã được Arvasi trình bày trong [4] Cho K là vành giao hoán... là một R- song môđun, đồng cấu R- đại số có thể được xem như đồng cấu giữa các R- song môđun Từ điều kiện (C2 ) : ∂c.c′ = cc′ = c.∂c′ của định nghĩa môđun chéo trên đại số ta có thể thấy được rằng một môđun chéo trên đại số là một song môđun chéo trên vành Do vậy khái niệm môđun chéo trên đại số là tổng quát của khái niệm song môđun chéo trên vành Cũng tương tự như phần môđun chéo trên nhóm và trên vành... Brown và O Mucuk [6] đã chỉ ra về sự tồn tại và phân lớp đối đồng điều các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo bằng phương pháp phức chéo Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết cản trở của Gr− hàm tử gần đây Nguyễn Tiến Quang đã xây dựng các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo Sự phân lớp đối đồng điều của các mở rộng có thể xem như là hệ quả của lý thuyết Schreier 11 cho các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo nhờ vào Gr-... tương ứng là môđun chéo (C ′, R, ∂ ′) Giả sử C ′ là một môđun con chéo của C , khi đó ∀c ∈ C, x ∈ C ′ thì cx = ∂c.x ∈ C ′, tương tự xc ∈ C ′ Do đó C ′ là một iđêan của C Như vậy một môđun con chéo C ′ là một iđêan của C cùng với ánh xạ thu hẹp: ∂ ′ = ∂|C ′ : C ′ −→ R ii) Một môđun con chéo phải là một vật con trong cùng một ý nghĩa của phạm trù 2.3.2 Ví dụ i) Cho I là iđêan bất kì của vành R, khi... cấp Sau đó môđun chéo trên các k- đại số đã được sử dụng để định nghĩa các mở rộng chéo của một đại số B bởi B− song môđun Năm 2004 J -H Baues và các đồng tác giả đã chỉ ra rằng khi thay thế các trường k bởi các vành giao hoán K và gọi các môđun chéo trên K− đại số là các song môđun chéo Nói riêng, nếu ta thay K bởi vành số nguyên Z thì thu được khái niệm mới và gọi là song môđun chéo trên vành Trước... c.c′ Do vậy (C, R, β∂) là R- môđun chéo 2.3 Môđun con chéo, iđêan chéo và môđun chéo thương Ta biết rằng các cấu trúc như dàn con, nhóm con, trường con, và không gian con của không gian tôpô, thông thường chúng đóng vai trò khá quan trọng Vì vậy trong các nghiên cứu của môđun chéo việc xác định được định nghĩa của các môđun con chéo và các iđêan chéo là rất cần thiết và quan trọng 35 Phần này chúng... tôi nhắc lại khái niệm song môđun chéo và đồng cấu song môđun chéo 1.3.1 Định nghĩa [2] Một song môđun chéo là một bộ ba (B, D, d) trong đó D là một K− đại số kết hợp, B là một D−song môđun cùng với một đồng cấu D− song môđun d : B −→ D thỏa mãn d(b)b′ = b.d(b′), ∀b, b′ ∈ B 1.3.2 Định nghĩa Một đồng cấu (k1 , k0 ) : (B, D, d) −→ (B ′ , D′ , d′) của hai song môđun chéo là một cặp đồng cấu k1 : B −→ B ... Mục lục Mở đầu Các quy ước ký hiệu luận văn Môđun chéo nhóm môđun chéo vành 1.1 Môđun chéo nhóm 1.2 Phân lớp mở rộng nhóm kiểu môđun chéo 10 1.3 Môđun chéo vành ... Mở rộng khái niệm môđun chéo nhóm cho trường hợp vành, đưa khái niệm E - hệ • Xây dựng môđun chéo đại số, mô tả cấu trúc gồm: iđêan chéo, môđun chéo môđun chéo thương số mối quan hệ chúng • Một. .. 19 Môđun chéo đại số 27 2.1 Môđun chéo đại số số ví dụ 27 2.2 Một số tính chất môđun chéo đại số 30 2.3 Môđun chéo, iđêan chéo môđun chéo thương