Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, môđun nội xạ là điểm xuất phát đi đến những vấn đề nghiên cứu của luận văn. Mặc dù không là đối tượng nghiên cứu chính nhưng tính chất nội xạ xuất hiện thường xuyên trong các khảo sát của chúng tôi.
2.1.2.1 Định nghĩa. MôđunM được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A
→M và mỗi đơn cấu g: A→Bcủa những R – môđun, tồn tại một đồng cấu
h : B→M sao cho hg = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
0 → A →g B f h M Ví dụ. + ¢ – môđun ¤ là nội xạ.
+ ¢ – môđun ¢ không nội xạ.
2.1.2.2 Định lí. ChoM = ∏I M .i M là môđun nội xạ khi và chỉ khi M lài môđun nội xạ.
Chứng minh.
Giả sử M là môđun nội xạ. Ta chứng minhMi là nội xạ. Giả sử g : A → B là
là phép nhúng chính tắc, ta có µi.f : A →M là một đồng cấu. Do M nội xạ
nên tồn tại đồng cấu k : B→M sao cho biểu đồ sau giao hoán 0 → A →g B f Mi µi k M
Nghĩa là kg =µif . Ta xét đồng cấu h = πik, trong đó πi: M →Mi là phép
chiếu chính tắc, ta có hg = (πik)g = πi(µif) = f . Điều này chứng tỏ Mi là nội xạ.
Ngược lại, giả sửMilà môđun nội xạ với i∈I. Ta chứng minh M =∏I M .i
Xét biểu đồ giao hoán sau
0 → A →g B f M πi hi Mi
Trong đó g đơn cấu, f là đồng cấu, πilà phép chiếu chính tắc, hi là đồng cấu có được do tính nội xạ của Mi,πif = hig. Khi đó tồn tại đồng cấu h : B → M
sao cho πih = hig, cụ thể với b ∈ B ta có h( b )i = h ( b )i ,∀ ∈i I. Mặt khác ta có f =h.g, thật vậy, với ∀a ∈A có f ( a )i =πi( f ( a )) h g( a )= i =πi( hg( a ))
= hg( a )i ∀ i∈I . Suy ra f(a) = hg(a) ⇒f = hg. □
2.1.2.3 Mệnh đề.
(i) Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là môđun nội xạ.
2.1.2.4 Định lí (Tiêu chuẩn Baer ). Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan phải U ⊆ RR và mỗi đồng cấu f : U →M đều tồn tại đồng cấu h:
R
R →M sao cho hi = f, trong đó i là phép nhúng U vào R.
2.1.2.5 Mệnh đề. Nếu α :M → N là một đơn cấu và N là môđun nội xạ thì
đối với mỗi đơn cấu cốt yếu : Mϕ →P đều tồn tại một đơn cấu α,: P→N
sao cho biểu đồ sau giao hoán
M →ϕ P
α α,
N
Nghĩa là α=α ϕ, . Nói cách khác, mỗi mở rộng cốt yếu của M được nhúng
vào một mở rộng nội xạ bất kì.
Chứng minh.
Do N nội xạ nên tồn tại đồng cấu α,: P→N sao choα =α ϕ, . Đặt K = kerα,
.
Do α đơn cấu nên K ∩ Imϕ= Kerα,∩ Imϕ = Ker(α ϕ, ) = Kerα = 0. Do ϕ
là cốt yếu nên K = 0. Vậy α, là đơn cấu. □