2.2.1.1 Mệnh đề. A môđun N là A – nội xạ khi và chỉ khi ( A )ψ ⊆ N, với
mọi ψ ∈Hom(E(A), E(N)).
Chứng minh.
Trước hết ta có E(N) là môđun nội xạ và nếu ψ ∈Hom(E(A), E(N)) thì ψ ∈
Hom(A,E(N)). Ta xét biểu đồ sau
X → A ϕ N ψ E(N)
Giả sử ψ( A )⊆ Nvới mọi ψ ∈Hom(E(A), E(N)); X ⊆A và ϕ: X →Nlà đồng cấu. Do E(N) là môđun nội xạ nên ϕ có thể mở rộng tới ψ : A→E( N )
⇒ψ : A→N là mở rộng của ϕ. Mặt khác ψ( A ) ⊆ N . Vậy N là A – nội xạ. Ngược lại, giả sử X ={ a∈A : ψ( a ) N∈ } và N là A – nội xạ, khi đó ψ X được mở rộng thành ν : A→N . Ta chứng minhN∩(ν ψ− )( A )= 0. Thật vậy, lấy
n ∈N và a ∈A sao cho n = (ν ψ− )( a ), suy ra ψ( a )=ν( a ) n N− ∈ , vì vậy
a∈X . Hơn nữa n = ν( a ) – ( a )ψ = ψ( a ) – ( a )ψ = 0. Vậy N ∩(ν ψ− )( A )
=
= 0. Do đó (ν ψ− )( A )= 0, kết hợp với N ⊂*E(N) ta có ψ( A )= ν( A )⊆ N .□ 2.2.1.2 Hệ quả.
A môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu f(M) ⊆M với mọi f ∈ EndE(M).
2.2.1.3 Mệnh đề. Cho tổng trực tiếp môđun M = α Λ⊕∈ Mα. Khi đó các điều
kiện sau tương đương. (i) M là tựa nội xạ.
Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau.
2.2.1.4 Hệ quả.
(i) n i
i 1M
=
⊕ là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là i M nội xạ. ( i, j = 1,2,...,n)j .
(ii) M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là tựa nội xạn .
2.2.1.5 Mệnh đề. Môđun tựa nội xạ là môđun liên tục.
Chứng minh.
Giả sử M là môđun tựa nội xạ, nếu N ⊆M thì bao nội xạ E(M) của M chứa
bao nội xạ E(N) = E của N và E(M) = E ⊕ G với mỗi môđun con G.
Ta có M = (M ∩ E ) ⊕ (M ∩ G). Hơn nữa N ⊂*E nên N ⊂*(M ∩ E). Điều này chứng tỏ M thõa mãn điều kiện C1. Ta sẽ chứng minh M thõa mãn điều kiện C2. Thật vậy gọi A là môđun con của M và là hạng tử trực tiếp của M, ta có M = A⊕ A,, gọi π,i lần lượt là các phép chiếu π : A⊕ A,→A; i : A→M
.
Gọi f :A →M là đơn cấu và đặt N = f(A).
Ta xét sơ đồ sau
0 → A →i M f
h
M
Theo giả thiết ta có M là tự nội xạ nên tồn tại h : M →M sao cho hf = i. Khi
đó πhf =1A. Do đó N là hạng tử trực tiếp của M . Giả sử N ≅ ⊂P ⊕ M . Do M
là M – nội xạ nên P là P – nội xạ và do đó N là M – nội xạ. Khi đó ánh xạ đồng nhất 1 :N N →N có thể mở rộng thành đồng cấu λ: M →N và do đó nó chẻ ra, tức là M = N ⊕Ker(λ) suy ra M thõa mãn điều kiện C2 . Vậy M thõa mãn điều kiện C1 và C2nên M là môđun liên tục. □