Đại số tenxơ và đại số ngoài

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Hà NộI KHOA TOÁN ********** dƣơng nga đại số tenxơ đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S Nguyễn huy hƣng Hà Nội - 2010 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ngày nay, với phát triển nhanh chóng ngành khoa học công nghệ, Toán học đánh dấu đƣợc bƣớc tiến đáng kể Đặc biệt chuyên ngành Đại số, tƣ tƣởng phƣơng pháp kết Đại số thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực toán học, từ tôpô, hình học tới giải tích xác suất, nhƣ số lĩnh vực khoa học khác: học, vật lí lí thuyết, hóa lƣợng tử…Trong đó, Đại số đa tuyến tính, cụ thể ba đại số đa tuyến tính trƣờng tùy ý, là: đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số đóng vai trò quan trọng Hơn nữa, việc nghiên cứu vấn đề giúp cho ngƣời học phát triển tƣ logic, sáng tạo có tầm nhìn sâu rộng toán học Từ niềm yêu thích thân với môn này, với giúp đỡ tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hƣng mạnh dạn thực khóa luận tốt nghiệp với tiêu đề: “Đại số tenxơ đại số ngoài” Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức ba đại số đa tuyến tính trƣờng tùy ý, là: đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu + Đối tƣợng: Các kiến thức đại số tenxơ đại số + Phạm vi: Nội dung kiến thức phạm vi đại số tuyến tính đại số đa tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết đại số tenxơ đại số Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tài liệu có liên quan, tổng hợp kinh nghiệm thân… CHƢƠNG NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong chƣơng trình bày số kiến thức đại số tuyến tính nhƣ: không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, tích tenxơ không gian vectơ, đại số đồng cấu đại số 1.1 Ánh xạ tuyến tính Cho p  không gian véctơ Ei  i  1, , p  , G Một ánh xạ  : E1   E p  G đƣợc gọi p- tuyến tính i 1  i  p    x1 , , xi 1,  xi   yi , xi 1, , x p     x1 , , xi 1, xi , xi 1, , x p     x1, , xi 1, yi , xi 1, , x p  xi , yi  Ei ;  ,  * Với p   đƣợc gọi ánh xạ song tuyến tính * G    đƣợc gọi p - hàm số tuyến tính 1.2 Tích tenxơ * Tính chất phổ dụng Cho E F không gian véctơ  ánh xạ song tuyến tính từ E  F vào không gian véctơ T Ta nói  có tính chất phổ dụng thỏa mãn điều kiện sau: 1 : Các véctơ x  y  x  E, y  F  sinh T , tƣơng đƣơng Im   T 2 : Nếu  ánh xạ song tuyến tính từ E  F vào không gian véctơ H , tồn ánh xạ tuyến tính f : T  H cho biểu đồ sau giao hoán:  EF H  f T Hai điều kiện tƣơng đƣơng với điều kiện sau:  : Với ánh xạ song tuyến tính  : E  F  H tồn ánh xạ tuyến tính f : T  H cho biểu đồ (1.1) giao hoán * Định nghĩa tích tenxơ Tích tenxơ hai không gian véctơ E F cặp T ,  ,  : E  F  T ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng T đƣợc gọi tích tenxơ E F Kí hiệu: E  F Tích tenxơ giao hoán với nghĩa E  F  F  E 1.3 Không gian vectơ thƣơng * Tích tenxơ không gian Cho ánh xạ song tuyến tính  : E  F  T có tính chất phổ dụng hai không gian E1  E F1  F Cho ' kí hiệu ánh xạ thu hẹp  lên E1  F1 T1  Im' Khi đó, T1, '  tích tenxơ E1 F1 * Tích tenxơ không gian thƣơng: Cho E1  E F1  F không gian T  E1, F1   E1  F  E  F1 Ánh xạ song tuyến tính  : E  F   E  F / T  E1, F1  đƣợc định nghĩa   x, y     x, y  ,  phép chiếu tắc  cảm sinh ánh xạ tuyến tính:  : E/E1  F / F1   E  F  / T  E1, F1    x , y     x, y  , x  E/E1, y  F / F1 cho Từ đó, ta có đẳng cấu sau:  E / E1  F / F1    E  F  /  E1  F  E  F1  1.4 Tích tenxơ vectơ sở Cho  a I b    J lần lƣợt sở không gian véctơ E F Khi đó, tích  a  b I ,J sở E  F Đặc biệt, E F hữu hạn chiều E  F hữu hạn chiều dim  E  F   dimE.dimF 1.5 Tích tenxơ ánh xạ tuyến tính Cho bốn không gian véctơ E , E ' , F , F ' hai ánh xạ tuyến tính:  : E  E',  : F  F' Khi đó, ánh xạ tuyến tính E  F  E '  F ' đƣợc xác định bởi:  x, y    ( x)  ( y) Do đó, tồn ánh xạ tuyến tính  : E  F  E '  F ' cho   x  y    ( x)  ( y) Ánh xạ tuyến tính  : L  E; E '   L  F , F '   L  E  F ; E '  F '  đƣợc cho nhƣ sau:  ,    1.6 Tích tenxơ nhiều không gian vectơ * Tính chất phổ dụng:   Ei i  i, p p- không gian  : E1   E p  T p- ánh xạ tuyến tính Ta nói  có tính chất phổ dụng thỏa mãn điều kiện sau: 1 : Các véctơ x1   x p ,  x1  E1  sinh T 2 : Với p- ánh xạ tuyến tính  : E1   E p  H (H không gian véctơ bất kì) viết:   x1, , x p   f  x1   x p  f : T  H ánh xạ tuyến tính * Định nghĩa   Tích tenxơ không gian véctơ Ei i  1, p cặp T ,   : E1   E p  T p - ánh xạ tuyến tính có tính chất phổ dụng Kí hiệu: E1   E p 1.7 Không gian tích - Một tích trong không gian véctơ E hàm số song tuyến tính đối xứng (,) không suy biến E - Không gian tích E  F đƣợc gọi tích tenxơ hai không gian tích E F 1.8 Các không gian đối ngẫu * Ánh xạ song tuyến tính: Cho hai hệ ba không gian véctơ E , E ' , E '' F , F ' , F '' hai ánh xạ song tuyến tính:  : E  E '  E ''  : F  F '  F '' Khi tồn ánh xạ song tuyến tính:  :  E  F    E '  F '   E"  F " cho:   x  y, x'  y '     x, x'    y, y '  ; x  E, x '  E' , y  F , y'  F ' * Hàm số song tuyến tính: Với cặp hàm số song tuyến tính   E  E ' F  F ' cảm sinh hàm số song tuyến tính    E  F    E '  F '  cho:     x  y, x'  y'     x, x' .  y, y '  Ta có   không suy biến   không suy biến Cho E * , E F* , F hai cặp không gian đối ngẫu tích vô hƣớng đƣợc kí hiệu , Khi đó, tồn hàm số song tuyến tính , E *  F * E  F cho: x*  y* , x  y  x* , x y* , y Do đó, hàm số song tuyến tính không suy biến có tính chất đối xứng   Giả sử Ei* , Ei i  1, p cặp không gian đối ngẫu tất tích vô hƣớng đƣợc kí hiệu , ta có tích vô hƣớng E1*   E*p E1   E p là: x*1   x* p , x1   x p  x*1, x1 x* p , x p * Các ánh xạ đối ngẫu: Cho Ei , Ei* Fi , Fi*  i  1,2  bốn cặp không gian véctơ đối ngẫu  : E1  E2  * : E2*  E1*  :F1  F2  * : F2*  F1* hai cặp ánh xạ đối ngẫu Khi đó, ánh xạ:   : E1  F1  E2  F2  *  * : E2*  F2*  E1*  F1* Đối ngẫu với quan hệ tích vô hƣớng Ta có,      *  * * 1.9 Định nghĩa đại số Một đại số trƣờng K tập hợp khác rỗng A với ba phép toán gồm: (a) Phép cộng:  : A A  A  x, y   x  y (b) Phép nhân: : A A  A  x, y   xy (c) Phép nhân vô hƣớng(trong K) : K  A  A  , x    x Các phép toán thỏa mãn điều kiện sau:  A1  A với hai phép toán công nhân lập thành vành  A2  A với phép cộng phép nhân vô hƣớng lập thành không gian véctơ K  A3  Hai cấu trúc vành không gian véctơ A ràng buộc điều kiện:   xy    x  y  x  y  ;   K; x, y  A 1.10 Đại số Giả sử A đại số K Một tập A đƣợc gọi đại số vừa vành vừa không gian véctơ A Tập S  A Giao tất đại số chứa đại số A sinh S Đó đại số nhỏ A chứa S 1.11 Đại số thƣơng Tập B  A đƣợc gọi iđêan đại số A vừa iđêan vành A vừa không gian véctơ A Đại số thƣơng A B với ba phép toán sau tập lớp kề B A  x  B   y  B   x  y  B  x  B  y  B    xy   B   x  B    x   B x, y  A;  K 1.12 Đồng cấu đại số Giả sử A , A' đại số K , ánh xạ  : A  A' đƣợc gọi đồng cấu đại số vừa đồng cấu vành vừa đồng cấu K- không gian véctơ 1.13 Đại số phân bậc * Vành phân bậc: Vành phân bậc A vành phân tích đƣợc thành tổng trực tiếp nhóm công tính A   An n cho phép nhân thỏa mãn: As  Ar  Asr Tức là: x  as , y  Ar Do  xy  Asr As Ar  Asr * Đại số phân bậc: Đại số phân bậc vành phân bậc A A-đại số E cho E   Ei thảo mãn: i 1 Ai E j  Ei j   Ei E j  Ei j 10 E / N  E      p E  p Và E / N  E  đại số phân bậc Vì N  E   N  E   0, đặc biệt   1 E    0 E  lần lƣợt đẳng cấu với 1 E  E 0 E   Do đó, ta đồng   1 E    0 E  tƣơng ứng với E  Từ (3.13) ta có hệ thức giao hoán:  v   1 vu , pq (3.16) với hai phần tử bậc p q đại số E / N  E  3.2.3 Các tenxơ phản đối xứng Ta định nghĩa không gian véctơ X  E   E nhƣ sau: X E   X p E p p p Mở rộng phép chiếu  A :  E   E (trong 1 E 0 E  A  i ) tới ánh xạ tuyến  A : E  E Khi đó, ta có : Ker A  N  E  Im A  X  E  Hơn nữa,  A phép chiếu E  N  E   X  E  Nếu  ánh xạ thu hẹp phép chiếu  lên không gian véctơ X  E   : X  E   E / N  E  đẳng cấu tuyến tính bậc không Cho  X : E  X  E  ánh xạ thu hẹp  A Khi đó, biểu đồ sau X giao hoán: E   X E  (3.17) E / N  E  39 3.2.4 Tích vô hƣớng Cho cặp không gian véctơ đối ngẫu E , E * Khi đó, tồn tích vô hƣớng E * E Từ (3.7) ta suy hạn chế tích vô hƣớng tới không gian véctơ X  E  X  E*  không suy biến Vì   : X  E    E / N  E  đẳng cấu tuyến tính, tích vô hƣớng ,  cặp E / N  E  , E* / N  E *  đƣợc cho nhƣ sau: u* , u  p! u* , u , u  X p  E*  , u  X p  E  (3.18) Rõ ràng, tích vô hƣớng (3.18) phụ thuộc vào phân bậc Hơn nữa, từ (3.13) (3.18) suy  u* ,  u   X u* ,  X u   Au* ,  Au  p !  Au* ,  Au (3.19) * p * p Với u  E , u  E Bây giờ, ta giả sử u u * phân tích đƣợc u  x1   x p , u*  x*1   x* p Kết hợp (3.8) (3.19) ta có   x*1   x* p  ,   x1   x p   det  x*i , x j  (3.20) Bây giờ, cho u u * không gian tích Khi đó, E đối ngẫu với theo quan hệ tích ta đặt E*  E Hơn nữa, tích vô hƣớng E không suy biến Do đó, tích đƣợc xác định không gian thƣơng E / N  E  là:  u, uv   p! u, v  u, v  X  E  Từ (3.20) ta có:   x1   x p  ,   y1   y p   det  xi , y j  , xi  E, y j  E 40 3.3 TENXƠ ĐỐI XỨNG 3.3.1 Không gian M p ( E ) Giả sử không gian M p ( E )  p E đƣợc sinh tenxơ u  u u  p E  phép chuyển trí Không gian M p ( E ) ổn định phép chuyển trí Thật vậy, v  u   u  M p ( E )  phép chuyển trí ta có: '  'v   'u  u    'u  u    'u   ' u   M p  E  Với u  p E hoán vị  ta có: u u M p E (3.21) 3.3.2 Toán tử đối xứng hóa Một tenxơ u  p E đƣợc gọi đối xứng  u  u;   S p Tập tenxơ đối xứng không gian Y p  E   p E Tiếp đó, cho ánh xạ tuyến tính  :  E   E đƣợc cho công thức: p S  q  p!  (3.22) Từ định nghĩa, ta suy với   S p  S  Vậy  S   S ; 1      S  p!  p !   Sp Tƣơng tự, ta có  S  S ;  Sp Bây giờ, ta chứng minh rằng: Ker S  M p  E  Và Im  A  Y p  E  (3.23) (3.24) 41 Thật vậy, v  M p  E  v  u  u ,  phép chuyển trí Vì  S   S   S v   S v Mà  S v   S  u   u    S  u   u    S  u  u    S v p Vậy  S v   S v   S v  hay v  Ker S  M  E   Ker S Ngƣợc lại, giả sử v  Ker S   S v  ta có: Sv  v  1  v   u  u       u   u    u  u    M p  E   p!  p!  p P Hay v  M  E   Ker S  M  E  Vậy, công thức (3.23) đƣợc chứng minh Để chứng minh (3.24) ta có: p Vì  S   S nên u  E ta có:  S u   su   S u  Y p  E  hay Im  S  Y p  E  Ngƣợc  su  lại, u  Y p  E  ta có : u  u , ta lại 1  u  u  u  p!  p!   u  Im  s hay Y p  E   Im  s Vậy, công thức (3.24) đƣợc chứng minh Hơn nữa,  s phép chiếu nên  s2   s (3.25) Do vậy, ta có tổng trực tiếp: p E  Y p  E   M p  E  (3.26) 42 có Toán tử  s đƣợc gọi toán tử đối xứng hóa  p E  su đƣợc gọi phần tử đối xứng u 3.3.3 Không gian đối ngẫu Giả sử E , E * cặp đối ngẫu cho  s toán tử đối xứng  p E *  p     S p , u*  p E* , u  p E , ta có:   1 phép toán đối ngẫu nhau, tức là: u* su   1u* , u Mà  s  1 1   s      p!  p!  p!  Nên ta có: u* , su   su* , u , u*  p E* , u  p E (3.27) Hay  s  s toán tử đối ngẫu Từ (3.26) ta suy thu hẹp cúa tích vô hƣớng ,  tới không gian Y p  E*  , Y p  E  không suy biến Cho u*  x*1   x* p u  x1   x p tenxơ phân tích đƣợc Từ (3.25) (3.27) ta có:  s  x*1   x* p  , s  x1   x p   x*1   x* p , s  x1   x p   x*1   x* p ,  s  x1   x p   x*1 , x 1 x* p , x  p   p!  43 (3.28) perm( ij )  1 1 p p   (3.28) đƣợc viết dƣới dạng:  s  x*1   x* p  ,  s  x1   x p    perm x*1 , x j p!  (3.29) 3.3.4 Phần tử đối xứng tích Cho E đại số tenxơ E không gian vectơ M p  E    p E Ta có M  E   M  E   định nghĩa  s ánh xạ đồng 0 E 1 E Trong trƣờng hợp công thức xây dựng Bây giờ, cho v  u  u phần tử M p E, p  w q E tenxơ Khi ta có: v  w  u  w   u  w  u  w   u  w  Ở   S pq phép chuyển trí đƣợc cho bởi:   v   v  p  v   v p+1  v  p+q Suy ra: M p  E   q E  M p  q  E  (3.30a) Tƣơng tự, ta có:  p E  M p  E   M p q  E  , u  p E v q E Ta viết: u   su  u1; u1  M p  E  , v   s v  v1; v1  M q  E  44 (3.30b) Do đó: u  v   su   sv   su  v1  u1   sv  u1  v1  s  u  v    s  s u   s v  Hay Vì  s phép chiếu nên  s  su  v    s  u  v    s u   sv  với u  p E v q E Vậy  s  u  v    s  s u   s v  = s  u   s v    s  su  v  (3.31) với u  p E v q E 3.4 ĐẠI SỐ THƢƠNG E / M  E  3.4.1 Iđêan M  E  Cho tổng trực tiếp M E  M p E p Công thức (3.30a) (3.30b) chứng tỏ M  E  iđêan phân bậc đại số phân bậc E p q Giả sử u  E v  E hai tenxơ Khi đó, ta có u  v  v  u  M p q  E  Thật vây,  hoán vị cho bởi: 1, , p, p  1, , p  q    q  1, , p  q, , q   u  v   v  u Thì Ta có u  v  v  u  u  v   u  v   M pq  E  Mở rộng ra, u E v E hai tenxơ thì: u v  v u M E (3.32) 3.4.2 Đại số E / M  E  Cho phép chiếu tắc 45  : E   E / M  E  Vì M  E  iđêan đại số E , phép nhân sinh E / M  E  đƣợc cho :   a  b    a. b a, b   E (3.33) Từ (3.33) ta có phép nhân có tính chất kết hợp  1 phần tử đơn vị Từ (3.32) suy phép nhân có tính chất giao hoán Vì M  E  phân bậc, phân bậc sinh đại số thƣơng  E / M  E  là: E / M  E       p E  p Và  E / M  E  đại số phân bậc Vì M  E   M  E   Khi đó, thu hẹp  lên 1 E   0 E   đẳng cấu Do đó, ta đồng   1 E  với E   0 E  với  3.4.3 Các tenxơ đối xứng Cho Y  E   E không gian đƣợc cho Y  E   Y p  E  p p p Mở rộng phép chiếu  S :  E   E (  S  i 1 E 0 E ) tới ánh xạ tuyến tính  S : E  E Khi đó, ta có Ker S  M ( E ) , Im  S  Y  E  E  M  E   Y  E  Ánh xạ thu hẹp   lên không gian Y  E  đẳng cấu bậc không  : Y  E   E / M  E  46 Nếu  Y : E  Y  E  ánh xạ thu hẹp  S tới E,  Y  E  , ta có biểu đồ sau giao hoán : E  Y (3.34) Y (E)  E / M ( E ) 3.4.4 Tích vô hƣớng Cho E E * cặp không gian véctơ đối ngẫu tích  E  E * Theo (3.11), hạn chế thích vô hƣớng tới không gian Y  E  Y  E *  không gian suy biến Do đó, có tích vô hƣớng không gian véctơ E / M  E  , E* / M  E*  là:  u* ,  u  p ! u* , u , u*  Y  E *  , u  Y p  E  (3.35) Rõ ràng, tích vô hƣớng (3.33) phụ thuộc vào phân bậc Hơn nữa, từ (3.33) (3.34) ta có:  u* ,  u  p !  su* ,  su , u*   E * , u   E (3.36) Cho u u * phân tích đƣợc u  x1   x p , u*  x*1   x* p Từ (3.36) (3.29) tacó:     x*1   x* p  ,  x1   x p   prem x*i , x j 47 KẾT LUẬN Đề tài vừa trình bày ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ý nghĩa mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết ba đại số đa tuyến tính trƣờng, là: đại số tenxơ, đại số đại số đối xứng Qua đó, có ứng dụng đại số vào hình học, giải tích, vật lí… Tuy nhiên thời gian có hạn trình độ hạn chế nên đề tài tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đƣợc đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để đề tài ngày đƣợc hoàn thiện 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Nguyễn Hữu Việt Hƣng, Đại số đại cƣơng, Nhà xuất giáo dục, 1999   Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cƣơng, Nhà xuất giáo dục, 1994 Tiếng Anh 1 W Greub, Multilinear Algebra, Springer- verlag, 1978 49 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số, ngƣời tận tình dạy dỗ, giúp đỡ bốn năm học vừa qua nhƣ tạo điều kiện cho trình hoàn thành khóa luận Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hƣng, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian thực khóa luận Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2010 Sinh viên Dương Thanh Nga 50 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, đƣợc quan tâm tạo điều kiện thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hƣớng dẫn thầy giáo Nguyễn Huy Hƣng Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin cam đoan kết đề tài “Đại số tenxơ đại số ngoài” trùng lặp nhƣ chép đề tài khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Ngƣời cam đoan Sinh viên Dương Thanh Nga 51 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ CHƢƠNG ĐẠI SỐ TENXƠ 10 2.1 Các véctơ 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Đại số tenxơ 11 2.1.3 Tính chất phổ dụng E cặp phổ dụng 13 2.1.4 Đồng cấu 14 2.2 Tenxơ cặp không gian đối ngẫu 16 2.2.1 Định nghĩa 16 2.2.2 Đồng cấu 17 2.3 Tenxơ hỗn hợp 18 2.3 Địnhnghĩa 18 2.2.4 Đại số tenxơ hỗn hợp 19 2.2.5 Ánh xạ thu hẹp 19 2.1.6 Ánh xạ tenxơ 21 2.4 Đại số tenxơ không gian tích 22 2.4.1 Tích 22 2.4.2 Đẳng cấu   23 2.5 Đại số đa tuyến tính 23 2.5.1 Đại số T   E  24 2.5.2 Phép 24  T p  E  25 2.5.3 Đẳng cấu  p E  2.5.3 Đại số T  E  27 52 2.5.4 Tính đối ngẫu T p  E  Tp  E  28 2.5.6 Đại số T  E  29 CHƢƠNG ĐẠI SỐ TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG ĐẠI SỐ TENXƠ ĐỐI XỨNG 31 3.1 Tenxơ phản đối xứng 31 3.1.1 Không gian N p  E  31 3.1.2 Toán tử thay phiên 32 3.2.3 Không gian đối ngẫu 34 3.3.4 Phần tử phản đối xứng tích 35 3.2 Đai số thƣơng E / N  E  36 3.5 Iđêan N  E  36 3.6 Đại số E / N  E  37 3.7 Các tenxơ phản đối xứng 38 3.8 Tích vô hƣớng 39 3.3 Tenxơ đối xứng 40 3.3.1 Không gian M p  E  40 3.3.2 Toán tử đối xứng hóa 40 3.3.3 Không gian đối ngẫu 42 3.3.4 Phần tử đối xứng tích 43 3.4 Đại số thƣơng E / M  E  44 3.4.1 Iđêan M  E  44 3.4.2 Đại số E / M  E  44 3.4.3 Các tenxơ đối xứng 45 3.4.4 Tích vô hƣớng 46 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 53 [...]...CHƢƠNG 2 ĐẠI SỐ TENXƠ Nội dung chủ yếu của chƣơng này là khái niệm đại số tenxơ, tính chất của đại số này Tiếp đó, tôi trình bày về tenxơ trên cặp không gian đối ngẫu, tenxơ hỗn hợp, đại số tenxơ trên không gian tích trong 2.1 CÁC VÉCTƠ 2.1.1 Định nghĩa Cho E là không gian véctơ trên trƣờng  và p  2 cho cặp  p E,  p  ở đó  p E   E   E p Trƣờng hợp p  0 và p  1 ta có 1 E  E và 0 E...  U sao cho f i   Vì là đại số phân bậc, sự phân bậc đƣợc sinh ra trong U bởi đẳng cấu f Với sự phân bậc đó đại số U đã cho là đại lƣợng phân bậc và f : E  U là đẳng cấu thuần nhất bậc không Theo định lí về tính duy nhất, đại số phổ dụng U cũng đƣợc gọi là đại số tenxơ trên E và đƣợc kí hiệu E 2.1.4 Đồng cấu Cho  : E  F là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ E vào không gian véctơ F Khi... gian bất kỳ  p ( E , E ) và qp ( E* , E ) là đối ngẫu nhau Đặc biệt, không gian q ( E , E ) là tự đối ngẫu Cuối cùng ta chú ý rằng: p z1, z2  z2 , z1 , * z1 qp ( E* , E ), z2 qp ( E* , E ) 2.3.2 Đại số tenxơ hỗn hợp Đại số tenxơ hỗn hợp trên cặp E * , E là tích tenxơ của các đại số  E * và E Kí hiệu ( E* , E ) ( E* , E )   E*    E  * Do đó ( E , E ) là đại số kết hợp (không giao...  tr.tr 31 CHƢƠNG 3 ĐẠI SỐ TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG ĐẠI SỐ TENXƠ ĐỐI XỨNG Trong chƣơng này tôi trình bày khái niệm và tính chất của hai đại số là đại số tenxơ phản đối xứng và đại số tenxơ đối xứng 3.1 TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG 3.1.1 Không gian N p  E  Cho E là không gian véctơ và p  lũy thừa tenxơ  p E S p là kí hiệu nhóm hoán vị của p phần tử Khi đó, mỗi hoán vị   S p xác định một tự đồng cấu của ... của E Giả sử A là đại số kết hợp bất kỳ, với phần tử đơn vị e và một ánh xạ tuyến tính  : E  A Khi đó, tồn tại duy nhất một đồng cấu h : E  A sao cho h 1  e và h.i   ; tức biểu đồ sau giao hoán:  E A j h E trong đó j là phép nhúng của E vào E b) Cặp phổ dụng Cho U là đại số bất kì với phần tử đơn vị là 1 và  : E  U là ánh xạ tuyến tính Ta nói rằng   ,U  là đại số tenxơ có tính chất... một đẳng cấu đại số với   :  E *  T   E  2.5.4 Đại số T  E  Cho Tp  E  p  1 là kí hiệu của p-hàm số tuyến tính trong không gian đối ngẫu E * và qui ƣớc T0  E    Ta thấy không gian T0  E  đẳng cấu với E dƣới sự tƣơng ứng a  f a đƣợc cho bởi: 28 f a  x*   x* , a , a  E Với p  1 tích của p-hàm số tuyến tính đối ngẫu E * ,  và q-hàn số tuyến tính  là p  q -hàm số tuyến tính... tuyến tính từ E vào đại số A với phần tử đơn vị là e thì tồn tại một đồng cấu h : U  A sao cho h 1  e và biểu đồ sau giao hoán:  E A  (2.3) h U 14 Các tính chất i) và ii) tƣơng đƣơng với tính chất sau: Nếu  là anh xạ tuyến tính từ E vào đại số A với phần tử đơn vị e thì tồn tại duy nhất một đồng cấu h :U  A sao cho biểu đồ (2.3) giao hoán c) Định lí về tính chất duy nhất: Cho  ,U  và  ',U '... ta thấy  E là đại số phân bậc dƣơng  E đƣợc gọi là đại số tenxơ trên không gian véctơ E Từ bây giờ ta kí hiệu 0 E  , 1 E  E Khi đó,  và E là các không gian véctơ con của  E , các phần tử của E cùng với tích vô hƣớng 1 sinh ra đại số  E Nhận xét: ta thấy rằng nếu E  0 thì ánh xạ tuyến tính  :  E    E    E  đƣợc định nghĩa bởi phép nhân trên không là một tích tenxơ Thật vậy,...  , và cho E    p E và  E *    p E lần lƣợt là các đại số tenxơ trên E và * E * Ta có giữa  p E và  p E *  p  1 sinh ra duy nhất tích vô hƣớng sao cho: x*1   x* p , x1   x p  x*1 , x1 x* p , x p (2.6) Trong trƣờng hợp p  0 ta có:  ,    ;  ,  0 E   Các tích vô hƣớng  p E và  p E * có thể mở rộng một cách duy nhất tới tích vô hƣớng ,  giữa các không gian E và ... hệ thức trên hàm số song tuyến tính ,  không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở đối ngẫu e  , e  *v v  v  1, , n  và nó không suy biến Vì p vậy, nó là tích vô hƣớng giữa các không gian T  E  và Tp  E  Mặt khác, ta lại có tích vô hƣớng giữa các không gian  E và p *  p   p E Ta thấy rằng các đẳng cấu  p E *  Tp ( E )  p E và  E  bảo toàn tích vô hƣớng 2.5.6 Đại số T(E) Không gian ... tốt nghiệp với tiêu đề: Đại số tenxơ đại số ngoài Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức ba đại số đa tuyến tính trƣờng tùy ý, là: đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số Đối tƣợng phạm vi nghiên... x, y  A 1.10 Đại số Giả sử A đại số K Một tập A đƣợc gọi đại số vừa vành vừa không gian véctơ A Tập S  A Giao tất đại số chứa đại số A sinh S Đó đại số nhỏ A chứa S 1.11 Đại số thƣơng Tập... tr.tr 31 CHƢƠNG ĐẠI SỐ TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG ĐẠI SỐ TENXƠ ĐỐI XỨNG Trong chƣơng trình bày khái niệm tính chất hai đại số đại số tenxơ phản đối xứng đại số tenxơ đối xứng 3.1 TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG