Đại số tenxơ và đại số ngoài

Đặc biệt là chuyên ngành Đại số, những tư tưởng phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tôpô, hình học tới giải tích và xác suất, cũng nh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hà NộI 2

KHOA TOÁN

**********

dương thanh nga

đại số tenxơ và đại số ngoài

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học Th.S Nguyễn huy hưng

Hà Nội - 2010

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, cùng với sự phát triển của nhanh chóng của các ngành khoa học công nghệ, Toán học cũng đã đánh dấu được bước tiến đáng kể Đặc biệt

là chuyên ngành Đại số, những tư tưởng phương pháp và kết quả của Đại số

đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tôpô, hình học tới giải tích và xác suất, cũng như một số lĩnh vực khoa học khác: cơ học, vật lí lí thuyết, hóa lượng tử…Trong đó, Đại số đa tuyến tính, cụ thể là ba đại số đa tuyến tính trên một trường tùy ý, đó là: đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài đóng vai trò quan trọng Hơn nữa, việc nghiên cứu vấn đề còn giúp cho người học phát triển tư duy logic, sáng tạo và có tầm nhìn sâu rộng hơn về toán học

Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng tôi mạnh dạn thực hiện khóa luận

tốt nghiệp với tiêu đề: “Đại số tenxơ và đại số ngoài”

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp những kiến thức cơ bản về ba đại số đa tuyến tính trên một trường tùy ý, đó là: đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngoài

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về đại số tenxơ và đại số ngoài + Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết đại số tenxơ và đại số ngoài

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích tài liệu có liên quan, tổng hợp kinh nghiệm bản thân…

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính như: không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, tích tenxơ của các không gian vectơ, đại số và đồng cấu đại số

Cho E v Fà là các không gian véctơ và  là ánh xạ song tuyến tính từ

EF vào không gian véctơ T Ta nói rằng  có tính chất phổ dụng nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:

: Với mọi ánh xạ song tuyến tính : E F H thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f T: H sao cho biểu đồ (1.1) giao hoán

* Định nghĩa tích tenxơ

Tích tenxơ của hai không gian véctơ E v Fà là một cặp T,, trong

đó : E F  T là ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng

T cũng được gọi là tích tenxơ của E v Fà Kí hiệu: EF

Tích tenxơ là giao hoán với nghĩa là E  F F E

1.3 Không gian vectơ thương

* Tích tenxơ của không gian con

Cho ánh xạ song tuyến tính : E F  T có tính chất phổ dụng và hai không gian con E1E và F1F Cho ' là kí hiệu của ánh xạ thu hẹp của

 lên E1F1 và T1Im' Khi đó,  '

1,

T  là tích tenxơ của E và 1 F 1

* Tích tenxơ của không gian thương:

Cho E1E và F1F là các không gian con và

1.4 Tích tenxơ của các vectơ cơ sở

Cho  a I và  b J lần lƣợt là cơ sở của các không gian véctơ

E v Fà Khi đó, tích a b   I, J là một cơ sở của EF

Đặc biệt, nếu E và F là hữu hạn chiều thì EF cũng hữu hạn chiều và

 

dim EF dimE.dimF

1.5 Tích tenxơ của các ánh xạ tuyến tính

Cho bốn không gian véctơ ' '

1.6 Tích tenxơ của nhiều không gian vectơ

là p- ánh xạ tuyến tính Ta nói  có tính chất phổ dụng nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1.7 Không gian tích trong

- Một tích trong trong không gian véctơ E là hàm số song tuyến tính

đối xứng (,) không suy biến trong E

- Không gian tích trong EF đƣợc gọi là tích tenxơ của hai không gian tích trong E và F

1.8 Các không gian đối ngẫu

Ta có   không suy biến khi và chỉ khi và   đều không suy biến

Cho E E*, và F , F* là hai cặp không gian đối ngẫu và các tích vô hướng được kí hiệu là , Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm số song tuyến tính , trong E*F* và EF sao cho:

E E i p là cặp các không gian đối ngẫu và tất cả các tích

vô hướng đều được kí hiệu là , ta có tích vô hướng giữa * *

 

: ,

x y xy

  

(c) Phép nhân vô hướng(trong K)

 

: ,

 A 1 Acùng với hai phép toán công và nhân lập thành một vành

 A 2 A cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng lập thành một không gian véctơ trên K

 A Hai cấu trúc vành và không gian véctơ trên 3 A ràng buộc nhau bởi điều kiện:

   xy x y x y ; K; x, y A

CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ TENXƠ

Nội dung chủ yếu của chương này là khái niệm đại số tenxơ, tính chất của đại số này Tiếp đó, tôi trình bày về tenxơ trên cặp không gian đối ngẫu, tenxơ hỗn hợp, đại số tenxơ trên không gian tích trong

Tenxơ có dạng x1  x p,p1 và các tenxơ bậc không được gọi là

viết u v thay cho  u v, với up E và vq E Khi đó từ (2.1) ta có: x1  x p  x p1  x p q   x1 x p q (2.2)

Tenxơ u v được gọi là tích của các tenxơ u và v Tích (2.2) có tính chất kết hợp (điều này được suy ra từ định nghĩa)

Tuy nhiên, tích trên không giao hoán trừ trường hợp dimE 1 (thật

vậy, nếu x E và yE là các véctơ độc lập tuyến tính thì tích x y và





Vì cặp  ip   p E i , p   p cũng là p-lũy thừa tenxơ của E Ta kí hiệu p-ánh xạ

 là tích tenxơ Gọi pq là ánh xạ thu hẹp của  lên      E E ta có:

đó, E 0 (mâu thuẫn với giả thiết) Suy ra điều chứng minh là sai hay  không là một tích tenxơ

2.1.3 Tính chất phổ dụng của E và cặp phổ dụng

a) Tính chất phổ dụng của E

Giả sử A là đại số kết hợp bất kỳ, với phần tử đơn vị e và một ánh xạ tuyến tính  : E  A Khi đó, tồn tại duy nhất một đồng cấu h: E A sao cho h 1 e và h.i; tức biểu đồ sau giao hoán:

b) Cặp phổ dụng

Cho U là đại số bất kì với phần tử đơn vị là 1 và : E U là ánh

xạ tuyến tính Ta nói rằng ,U là đại số tenxơ có tính chất phổ dụng trên

E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Không gian Im cùng với phần tử 1 sinh ra U

ii) Nếu  là ánh xạ tuyến tính từ E vào đại số Avới phần tử đơn vị là

e thì tồn tại một đồng cấu :h U A sao cho h 1 e và biểu đồ sau giao hoán:

(2.3)

Các tính chất i) và ii) tương đương với tính chất sau:

Nếu  là anh xạ tuyến tính từ Evào đại số Avới phần tử đơn vị e thì tồn tại duy nhất một đồng cấu h U: A sao cho biểu đồ (2.3) giao hoán c) Định lí về tính chất duy nhất:

Cho ,U và ',U' là hai phép phổ dụng của E Khi đó, tồn tại duy nhất một đẳng cấu f U: U' sao cho: f.  '

Hoàn toàn tương tự, ta chỉ ra được g f i', i' là ánh xạ đồng nhất của U '

Do đó, f là đẳng cấu từ U vào 'U , g f 1 Định lí được chứng minh

Vì i,E là cặp phổ dụng trong E nên theo định lí về sự tồn tại duy nhất một đẳng cấu f :  E U sao cho f i  Vì là đại số phân bậc, sự phân bậc được sinh ra trong U bởi đẳng cấu f Với sự phân bậc đó đại số U

đã cho là đại lượng phân bậc và f : E U là đẳng cấu thuần nhất bậc không Theo định lí về tính duy nhất, đại số phổ dụng U cũng được gọi là đại

số tenxơ trên E và được kí hiệu E

2.1.4 Đồng cấu

Cho : EF là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ E vào không gian véctơ F Khi đó,  xác định duy nhất một đồng cấu : E F

    sao cho:

 1 1

 

Thật vậy, giả sử ánh xạ tuyến tính : EF đƣợc cho bởi   

(trong đó j là phép nhúng từ F vào F) Khi đó, theo phần (2.3) thì tồn tại duy nhất đồng cấu , ta có biểu đồ:

Rõ ràng đồng cấu  là thuần nhất bậc không Suy ra từ định nghĩa của :

Cho G là không gian véctơ thứ ba, G là đại số trên G và : FG

là ánh xạ tuyến tính Từ các định nghĩa ta suy ra

      (2.4) Nếu E F v I à là một ánh xạ đồng nhất thì i là ánh xạ đồng nhất của E,

Dễ thấy: Im  Im

Do đó,  là toàn ánh với là toàn ánh

2.2.TENXƠ TRÊN CẶP KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU

Bây giờ, giả sử E là hữu hạn chiều và cho ev, e*v là cặp cơ sở đối ngẫu của

E và E Khi đó, tích vô hướng giữa các véctơ cơ sở * 1

u u  

2.2.2 Đồng cấu

Giả sử F và F là hai cặp không gian đối ngẫu thứ hai với tích vô hướng *

được kí hiệu  , Cho  : E  F , *: E*  F* là cặp tuyến tính đối ngẫu Đồng cấu  * * *



    sinh bởi *, kí hiệu 

Khi đó ta có:  *2 *  * *1 * *

      y*1F* (2.8) Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng các đồng cấu

đều là thuần nhất bậc không, ta có thể giả sử và v* là các phần

tử thuần nhất cùng bậc p Hơn nữa, giả sử u và v* là phân tích được :

 và q p(E E*, ) là đối ngẫu nhau

Đặc biệt, không gian q p( E E*, ) là tự đối ngẫu Cuối cùng ta chú ý rằng:

1, 2 2, 1 ,

z z  z z z1q p(E E z*, ), 2q p(E E*, )

2.3.2 Đại số tenxơ hỗn hợp

Đại số tenxơ hỗn hợp trên cặp *

E , E là tích tenxơ của các đại số E* và

 là đại số kết hợp (không giao hoán) với phần tử đơn vị là

1 1 Nó đƣợc sinh bởi các phần tử 1 1 , x*1 và 1x với xE* và

,

v v

e e là cặp cơ sở đối ngẫu của E và *

E Khi đó, các tích:

1 1

q p

Cho E không gian véctơ n - chiều Khi đó mọi tự đồng cấu  của E

xác định với mỗi cặp  p,q một tự đồng cấu T của q p( E E*, ) đƣợc cho bởi:

Ví dụ: Cho ánh xạ chỉ số Ci j Để cho đơn giản, ta cho i j 1 và kí hiệu

 cũng trở thành không gian Euclide

Tích trong trong các không gian p E xác định một tích trong trong

Trong đó:

p p

Thật vậy, cho u x1 x p và v  y1 y p là các tenxơ phân tích đƣợc Khi đó, ta có:

2.5 ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH

Trong phần này, ta xét E là không gian véctơ hữu hạn chiều

trở thành đại số kết hợp (không giao hoán) với phần tử đơn vị là 1

Một ánh xạ tuyến tính : EF cảm sinh đồng cấu

khi v p+1

v v

Ta thấy rằng ánh xạ trên có tính chất phổ dụng Giả sử e1, ,e là cơ sở n

*

*, , , , p

p

v v

 

1 1

v v v

*

* , , , 1 p, 0

p

v v

v v

Bây giờ, giả sử ánh xạ tuyến tính *  

là một đại số kết hợp (không giao hoán)

Ánh xạ tuyến tính  : E  F sinh ra một đồng cấu

Cuối cùng, ta chú ý T E đẳng cấu với E

2.5.5 Tính đối ngẫu giữa p 

T E và T p E

Cho cặp cơ sở đối ngẫu  *  

,

v v

e e trong *

E và E và giả sử hàm số song tuyến tính  , :T p E T E p   đƣợc cho bởi

v v v

*

* 1

p p

v v

vậy, nó là tích vô hướng giữa các không gian p 

Giả sử T E là tổng trực tiếp của các không gian   p 

T E là tích tenxơ của đại số T  E và T E 

Cuối cùng, cho  : E F là đẳng cấu tuyến tính Khi đó, nó cảm sinh đẳng cấu T T E : ( )  T F ( ) xác định bởi:

CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG

ĐẠI SỐ TENXƠ ĐỐI XỨNG

Trong chương này tôi trình bày khái niệm và tính chất của hai đại số là

đại số tenxơ phản đối xứng và đại số tenxơ đối xứng

3.1 TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG

3.1.1 Không gian p 

N E Cho E là không gian véctơ và plũy thừa tenxơ p

Bây giờ, giả sử không gian véctơ con p 

N E của p E sinh bởi tất cả các phần tử x1  x p sao cho x i x j với ít nhất một cặp i  j Rõ ràng,

 

p

N E là ổn định đối với  với   S p

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi p

Trước tiên, giả sử trong trường hợp của phép chuyển vị trí  : i j Khi đó,

u  uN E với mọi hoán vị  là tích của m

chuyển trí Và giả sử hoán vị   (trong đó  là phép chuyển trí và  là tích của m chuyển trí)

Bằng phương pháp quy nạp thì (3.1) được chứng minh

3.1.2 Toán tử thay phiên

Một tenxơ up E được gọi là phản đối xứng nếu  u  u với

Toán tử thay phiên trong p

Thật vậy, cho u     x1 xp Np  E Khi đó, xét phép chuyển trí sao

cho  .u  u Từ công thức (3.2) ta có A u A u Do vậy A u0 Điều

tenxơ vA u đƣợc gọi là phần tử đối của u

3.1.3 Không gian đối ngẫu

Giả sử E E*, là cặp không gian đối ngẫu và A là toán tử thay phiên của p E p, 2 Nếu x*1  x*p và x1  xp lần lƣợt

là các tenxơ phân tích đƣợc trong p E* và p E Ta có với bất kì

Từ tính chất đối ngẫu của A và A thì sự hạn chế của tích vô hướng

lên các không gian con ImA  X p E và  *

3.1.4 Phần tử phản đối xứng của một tích

Cho

0

p p

Bây giờ, cho p

u E và vq E là các tenxơ bất kì Khi đó, ta có thể viết

p A

q A

Tác động phép chiếu A vào đẳng thức trên và các công thức (3.9) và (3.4) ta

có công thức Au v  A A uA v Vì A là phép chiếu nên suy ra:  A A u v Au v AuA v (3.11)

Bây giờ, giả sử rằng p

Từ công thức (3.15) suy ra phép nhân trên có tính chất kết hợp và  1 là

phần tử đơn vị Vì iđêan dược phân bậc trong đại số phân bậc E , sự phân bậc này được sinh ra trong đại số thương  E N E /   bởi :

ImA  X E Hơn nữa, A là phép chiếu và  E N E X E 

Nếu  là ánh xạ thu hẹp của phép chiếu  lên không gian véctơ con

X E là không suy biến

Vì : X E E N E/   là một đẳng cấu tuyến tính, tích vô hướng  , trong cặp E N E/  , *  *

Rõ ràng, tích vô hướng (3.18) phụ thuộc vào sự phân bậc

Hơn nữa, từ (3.13) và (3.18) suy ra

Vậy, công thức (3.24) đƣợc chứng minh

Hơn nữa, s là phép chiếu nên

Toán tử s được gọi là toán tử đối xứng hóa trong p E và s u được gọi là

Hay s và s là các toán tử đối ngẫu nhau

Từ (3.26) ta suy ra sự thu hẹp cúa tích vô hướng  , tới các không gian con

 *  

, Y

Y E E là không suy biến

Cho u* x*1  x*p và u  x1 x p là các tenxơ phân tích được

   

1 1

( i j) p p



   (3.28) được viết dưới dạng:

Từ (3.33) ta có phép nhân trên có tính chất kết hợp và  1 là phần tử đơn vị

Từ (3.32) suy ra phép nhân trên có tính chất giao hoán Vì M E phân bậc,  

sự phân bậc sinh ra trong đại số thương E M E/  là:

Nếu Y : E Y E  là ánh xạ thu hẹp của S tới E, Y E , ta có biểu

đồ sau giao hoán :

Y E là không gian suy biến Do đó, có tích vô hướng giữa các

không gian véctơ E M E/  , *  *

KẾT LUẬN

Đề tài tôi vừa trình bày trên đây không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết

mà còn có ý nghĩa cả về mặt thực tiễn Nó cung cấp một phần lý thuyết về ba đại số đa tuyến tính trên một trường, đó là: đại số tenxơ, đại số ngoài và đại số đối xứng Qua đó, chúng ta có những ứng dụng của đại số vào hình học, giải tích, vật lí…

Tuy nhiên do thời gian có hạn và trình độ của tôi còn hạn chế nên đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong được sự đóng góp của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên để đề tài này ngày càng được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tôi trong bốn năm học vừa qua cũng như tạo điều kiện cho tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2010

Sinh viên

Dương Thanh Nga