Thông tin tài liệu
Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ bốn năm học vừa qua tạo điều kiện cho trình hoàn thành khóa luận Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo : Ths Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng ghóp nhiều ý kiến quý báu thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Nhƣ Thúy Vân Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết cá nhân trình học tập, tìm tòi học hỏi nghiên cứu Bên cạnh quan tâm tạo điều kiện thầy giáo, cô giáo khoa Toán, đặc biệt giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Ths Nguyễn Huy Hưng Tôi xin cam đoan kết khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Nhập môn đại số ten xơ” không trùng lặp hay chép kết đề tài khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiêm Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Nhƣ Thúy Vân Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số công cụ hữu hiệu toán học, học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phương pháp nghiên cứu đại số tenxơ ảnh hưởng đến số lĩnh vực khác toán học đời sống, nghiên cứu khoa học Với niềm yêu thích môn Đại số, giúp đỡ tận tình thầy giáo Ths Nguyễn Huy Hưng, mạnh dạn thực kháo luận tốt nghiệp với đề tài: “ Nhập môn đại số ten xơ ” Mục đích nghiên cứu Cung cấp nghiên cứu tích tenxơ không gian véctơ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Các kiến thức tính chất phổ dụng không gian véctơ + Phạm vi: Nội dung kiến thức phạm vi đại số tuyến tính 4.Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu lý thuyết tích tenxơ Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tài liệu có liên quan tổng hợp kinh nghiệm thân Cấu trúc khóa luận Chương 1, trình bày số kiến thức không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính Chương 2, nội dung khóa luận Các khái niệm tích tenxơ hai không gian, hai không gian con, hai không gian thương, tích tenxơ hai ánh xạ trình bày chi tiết Chương 3, trình bày kết mở rộng chương cho nhiều không gian Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Ở chương này, trình bày số kiến thức khái niệm không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính để dùng chương 1.1 Không gian véctơ 1.1.1 Định nghĩa : Cho V tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu , , , K trường Giả sử V trang bị hai phép toán, gồm: a) Phép cộng: + : V x V V, ( , ) + , b) Phép nhân: : K x V V, ( , ) , thỏa mãn điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây: (V1) ( + ) + = + ( + ), , , V (V2) V : + = + = , V V, ' V : + ' = ' + = (V3) (V4) + = + , , V (V5) ( + ) = + , , K, V (V6) ( + ) = + , K, , V (V7) ( ( )) = ( ) , , K, V (V8) = , V Khi đó, V với hai phép toán cho gọi không gian véctơ trường K hay K – không gian véctơ (gọi tắt không gian véctơ) Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán 1.1.2 Ví dụ Tập X tập khác rỗng, V K - không gian véctơ Tập gồm tất ánh xạ : X V với phép toán: ( + )(x) = (x) + (x), ( )(x) = (x) Với , , K K - không gian véctơ 1.1.3 Cơ sở, chiều Tập S V gọi độc lập tuyến tính với phận hữu hạn phần tử s1, s2, s3….,sn thuộc S, từ điều kiện n i 1 i si = i =0, i= 1, n Tập S V sở không gian V nếu: (i) S độc lập tuyến tính (ii) S sinh V Định lý : Trong không gian véctơ tồn sở, hai sở có lực lượng Lực lượng gọi số chiều không gian véctơ Tổng trực tiếp không gian véctơ: Cho V, W hai không gian véctơ trường : Tổng trực tiếp V W tạo thành từ cặp (v , w) ,v V, w W với phép toán định nghĩa theo thành phần: (v, w) +(v’, w’) = (v+v’, w+w’), = ( , w) (v, w) Nếu e = {ei}i I sở V, h = {hi}j J sở W e h sở V W Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán Không gian con: W V gọi không gian W nhóm kW W Mệnh đề : Nếu W V không gian U V không gian cho W U V Không gian thương: cho V không gian véctơ trường , W không gian véctơ V Tập V/W = { [ v ]=v+W,v+W,v V} thỏa mãn: [v1]+[v2] = (v1 + v2) + W , v1 ,v2 V [v] = v+W, v V không gian véctơ trường , gọi không gian véctơ thương V theo không gian véctơ W Không gian tuyến tính ánh xạ tuyến tính: Xét tập hợp tất ánh xạ tuyến tính: V W ( giả thiết V, W hữu hạn chiều), ký hiệu là: L(V, W) L(V, W) không gian véctơ K, với phép toán : (f + f’)(v) = f(v) + f’(v) ( f)(v) = f(v) Không gian đối ngẫu : cho V không gian véctơ, không gian đối ngẫu V L(V, ), ký hiệu V* 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Cho hai không gian véctơ trường V, W Ánh xạ f: V W gọi ánh xạ - tuyến tính f (v w) f (v) f (w) Ánh xạ - tuyến tính f đẳng cấu tồn ánh xạ f 1 - tuyến tính ff-1 = idv , f-1 = idw Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán 1.2.2 Ví dụ Ánh xạ : R R, x (x) = 2010x ánh xạ tuyến tính R không gian Thật vậy, r, s R, x, y R, ta có (r.x + s.y) = 2010(r.x + s.y) = 2020r.x + 2010s.y = r (x) + s (x) 1.2.3 Ánh xạ song tuyến tính Giả sử E, F, G ba không gian véctơ bất kỳ, xét ánh xạ :E F G gọi ánh xạ song tuyến tính thỏa mãn: ( x1 x2 , y) ( x2 , y) , x1, x2 E; y1, y2 F ( x, y1 y2 ) ( x, y1 ) ( x, y2 ) , x E; y F ; , Khi G= gọi hàm song tuyến tính Ta ký hiệu Im không gian véctơ G Bây giờ, ta xét B(E,F;G) gồm tất ánh xạ song tuyến tính từ E F đến G Bằng cách định nghĩa phép cộng ánh xạ 1 2 : (1 2 )( x; y) 1 ( x; y) 2 ( x; y), ánh xạ ( ) : ( x, y) ( x, y), x E, y F , , ta đưa cấu trúc không gian véctơ tập B(E,E;G) Không gian B(E, F; ) gồm tất hàm song tuyến tính viết gọi là: B(E, F) 1.2.4 Ví dụ Ánh xạ f: R2 R, (x, y) f(x, y) = x.y ánh xạ song tuyến tính R- không gian Thật vậy, , R , x1, x2, y1, y2 R , ta có f( x1+ x2, y1) = ( x1+ x2) y1 = x1y1 + x2y1 = f(x1, y1) + f(x2 + y1) Tương tự ta có f(x1, y1 + y2) = f(x1, y1) + f(x1, y2) Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán 1.2.5 Ánh xạ song tuyến tính không gian không gian thƣơng Cho ánh xạ song tuyến tính : E x F G cặp không gian E1 E F1 F Ánh xạ : E1 x F1 G xác định 1 (x1, y1) = 1 (x1, y1), 1 gọi hạn chế lên E1 x F1 Cho E E F F hai phân tích trực tiếp E F, giả sử với cặp ( , ) tồn ánh xạ song tuyến tính : : E x F G Khi đó, tồn ánh xạ song tuyến tính cho có hạn chế lên E x F Thật vậy: : E xác định bởi: (x, y) = E P : F F hai phép chiếu ( x , P y), x E , y F , có hạn chế lên , E x F ( 2)( x , y ) = 1( x , y ) 2( x , y ) = ( x , P y) = Do 1= Nếu E1 E F1 F hai không gian véctơ 1: E1 x F1 G ánh xạ song tuyến tính : E x F G, có hạn chế lên E1 x F1 Ta giả sử ánh xạ : E x F G song tuyến tính, với không gian E1 E G G , ( x 1, y ) G 1, với x E1 , y F1 Xét : E E / E1 : G G Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán Ta định nghĩa ánh xạ song tuyến tính : ( E / E1 ) )x F G / G1 bởi: ( x , y ) = ( x, y) , x E / E1 , y F Rõ ràng xác định Giả sử với không gian F1 F , ( x, y1 ) G1 , x E , y1 F , thì: ( x , y1 ) =0, x E / E1 , y1 F Gọi phép chiếu tắc từ F lên F / F1 , cảm sinh ánh xạ song tuyến tính : ( E / E1 ) )x F / F1 G / G1 thỏa mãn : ( x , y ) = ( x, y ) , x E / E1 , y F / F1 1.2.6 Ánh xạ đa tuyến tính Cho p + không gian véctơ Ei (i 1, p ), G Ánh xạ : E1 x…x E p G gọi p - tuyến tính với i( i p) : ( x1, , xi1, xi yi , xi1, , x p ) = ( x1, , xi1, xi , xi1, , x p ) ( x1, , xi1, yi , xi1, , x p ) , xi , yi Ei , , Nếu G gọi hàm p - tuyến tính Trong trường hợp p , không gian G gồm véctơ có dạng ( x1, , x p ) xi Ei biểu diễn Im Đặt L( E1, , E p ; G) tập ánh xạ tuyến tính : E1 x…x E p G , ta xác định phép toán tuyến tính: ( )( x1, , x p ) ( x1, , x p ) ( x1, , x p ) ( )( x1, , x p ) ( x1, , x p ) ta có cấu trúc không gian véctơ tập L( E1, , E p ; G) Không gian gồm tất hàm - tuyến tính từ E1 x…x E p viết gọn L( E1, , E p ; G) Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán CHƢƠNG TÍCH TENXƠ CỦA HAI KHÔNG GIAN VÉCTƠ Đây chương chứa khái niệm tích tenxơ hai không gian véctơ, tích tenxơ hai không gian con, hai không gian thương, tích tenxơ ánh xạ tuyến tính tính chất chúng 2.1 Tính chất phổ dụng Cho E F hai không gian véctơ ánh xạ song tuyến tính từ E x F vào không gian véctơ T Ta nói có tính chất phổ dụng thỏa mãn hai điều kiện sau: 1: véctơ x y ( x y, y F ) sinh T, tương đương Im T 2: ánh xạ song tuyến tính từ E x F vào không gian H, tồn ánh xạ tuyến tính f: T H cho biểu đồ sau giao hoán: ExF H (2.1) f T Hai điều kiện tương đương với điều kiện sau: : Với ánh xạ song tuyến tính :E x F H tồn ánh xạ song tuyến tính f: T H cho (2.1) giao hoán Thật giả sử thỏa mãn, cho hai ánh xạ tuyến tính: f : T H f : T H cho: ( x , y ) = f ( x y ); ( x , y ) = f ( x y ) thì: f ( x y ) = f2 ( x y ) x E , y F Ta áp dụng tính chất f = f , f xác định 10 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán =f(x x’) (y y’), = (x, x’) (y, y’) Do đó, ta biểu diễn 3.3 Hàm song tuyến tính Đặc biệt với cặp hàm song tuyến tính E xE’ F x F’ cảm sinh hàm song tuyến tính từ (E F) (E’ F’) cho: ( )(x y, x’ y’) = (x, x’) (y, y’) Ta được: không suy biến không suy biến Xét ánh xạ tuyến tính :E L(E’); :F L(F’); : E E’ L(E’ F’ xác định bởi: a x ' a, x ' , b y ' b, y ' , c z ' c, z ' (3.7) (Kí hiệu a , b , c a , b , c ) Ta có : E F L( E ') L( F ') Mặt khác L( E ') L( F ') không gian L( E ' F ') (Hệ mệnh đề 2.14) Khi i (3.8) với i đơn ánh L( E ') L( F ') lên L( E ' F ') Từ định nghĩa ta có: ab a b , a E, b F Do i ab x ' y ' a x '. b y ' a, x ' b, y ' Từ (3.1) ta có: ab ( x ' y ') ( )(a b, x ' y ') (a, x ')(b, y ') Suy i( )ab ab a E, b F 40 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán Vì i đơn ánh nên từ (2.17), ta được: Ker = ker( ) = ker F + F ker Các không gian không NE( ), NF( ) N EF ( ) liên hệ với công thức: N EF ( ) = NE( ) F + E NF( ) Tương tự: N E'F' ( ) = NE’( ) F’ + E’ NF’( ) (3.9) (3.10) Công thức (3.9), (3.10) , không suy biến Giả sử E * , E F*, F hai cặp không gian đối ngẫu hai tich vô hướng xác định < , > Từ kết suy tồn hàm song tuyến tính < , > E* F*, E F cho < x* y* ,x y > = < x*, x > (3.11) Và hàm song tuyến tính không suy biến Nếu E * , E F*, F cặp không gian đối ngẫu tính đối ngẫu E * , F* E F cảm sinh Nếu F = E* F* = E tích vô hướng E* E, F* F xác định bởi: < x* x, y y* > = < x*, y> Do đó, ánh xạ x* x x x* đẳng cấu E* E lên E E*, tích vô hướng cặp E E* E E* là: < x x*, y y* > = < x*, y> Do đó, ta coi E E* không gian đối ngẫu nó, tích vô hướng có tính chất đối xứng Bây giờ, giả sử Ei* , Ei cặp không gian đối ngẫu, tích vô hướng xác định < , > Tương tự với p = 2, ta có tích vô hướng cảm sinh E1* E*p E1 … Ep cho: = < x*1, x1 >…< x*p , xp > 41 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán 3.4 Ánh xạ đối ngẫu Cho Ei, Ei* Fi, Fi* ( i = 1, 2) hai cặp không gian đối ngẫu cho : E1 E2 * : E1* E2* , : F1 F2 *: F1* F2* hai ánh xạ đối ngẫu Thế ánh xạ: : E1 F1 E2 F2 * *: E1* F1* E2* F2* Là đối ngẫu với tương ứng cảm sinh tích vô hướng Thật vậy, x1 E1, y1 F1, x2* E2* , y2* F2* véctơ tùy ý: < x2* y2* , x1 y 1> = < x2* , x1 > < y2* , y 1> = < * x2* , x1 > < * y2* , y > = < * x2* * y2* , x1 y > Do ( )* = * * 3.5 Ví dụ Xét không gian đối ngẫu E* = L(E), F* = L(F) Cảm sinh tích vô hướng L(E) L(F) E F, cho : < f g, x y > = f(x).g(y) Mặt khác, không gian L(E F) không gian đối ngẫu đến E F với tích vô hướng: h L(E F) < h, x y > = h(x y) Xét đơn ánh 42 (3.13) Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán i: L(E) L(F) L(E F) xác định bởi: i(f g), (x y ) = f(x).g(y) (3.14) Từ (3.11), (3.13), (3.14) ta hệ thức < i(f g), (x y ) > = f(x).g(y) = < f g, x y > Do đơn ánh i bảo toàn tích vô hướng 3.6 Không gian tích Một không gian tích không gian véctơ E hàm song tuyến tính đối xứng không suy biến E, ký hiệu ( , ) Đặc biệt, không gian Euclide có không gian tích Giả sử E F không gian tích ký hiệu hai ( , ) Từ (3.2) suy có ánh xạ tuyến tính ( , ) E F thỏa mãn : (x1 y1, x2 y2) = (x1, x2 ) (y1, y2) Rõ ràng hàm song tuyến tính đối xứng Hơn ánh xạ không suy biến Không gian tích E F tích tenxơ không gian tích E F Bây giờ, giả sử E, F hai không gian Euclide n m chiều Chọn hệ sở trực chuẩn a ( 1,n ) b ( 1,m ) E F, ta có: ( a b , a b ) = , a b sở trực chuẩn E F Đặc biệt E F không gian Euclide 43 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán 3.7 Đại số kết hợp Cho E*, E cặp không gian véctơ đối ngẫu Ta định nghĩa phép nhân không gian E* E : (x* x) ( y* y) = < x*, y > < y* x > Dễ thấy rằng, tích từ E* E lên đại số kết hợp (không giao hoán) đại số giao hoán Xét ánh xạ tuyến tính T: E* E L(E, F), T(a* b)x < a*, a > b, x E T[( a* a1* b1 ) (a2* b2 ) ] = T( a1* b1 ) T (a2* b2 ) Thế T đẳng cấu đại số ta T đơn ánh Thật vậy, giả sử T(z) = 0, z E* E Chọn sở { e } E, z phân tích thành tổng hữu hạn : r z a* er , 1 a* E* r a , x e Với x E: * 1 suy < a* ,x > = Suy a* = ( 1,r ), z = Vậy T đơn ánh Chú ý hai trường hợp sau: Trường hợp 1: dimE < , giả sử dimE = n dim(E* E) = n2 = dimL(E, F) T đẳng cấu tuyến tính ( T đơn ánh) Do t = T -1(i) phần tử đơn vị đại số giao hoán tenxơ đơn vị E Để rõ ràng, ta xét tenxơ đơn vị * { e } , { e }, ( 1,n ) cặp sở kép E E Xét phần tử * ta có : n T( e* e )(x) = 1 n e , e = x * 1 44 x E n e e , * 1 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán n e e = t * 1 Đặc biệt, tổng n e e * không phụ thuộc vào cách chọn sở đối ngẫu 1 { e* }, { e }, ( 1,n ) Chú ý không gian E* E không gian L(E, F) đối ngẫu nó, với tích vô hướng cho bởi: < x* x, y y* > = < x*, y> , tr ( , ) Và , L(E; E) Từ phép tính < T(x* x), T(y y*) > = ( x* x, y* y ) Suy T bảo toàn tích vô hướng Trường hợp 2: dimE = Đại số hợp thành phần tử đợn vị Thật , giả sử e phần tử đơn vị E* E Lấy { e } sở E, e phân tích thành tổng hữu hạn e = r a e * 1 Với x E, x E * * a* E* r e(x x) =( a* e ) ( x* x) * 1 r = a* , x ( x* e ) 1 r = (x* e ) 1 Trong a , x e đơn vị nên * Do 45 r (x* e ) = x* x 1 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán r x= 1 e e1,….,er sinh E F hữu hạn chiều suy vô lý Từ kết ta có :nếu dimE = T không đẳng cấu , không song ánh Từ phần sau chương này, ta xét không gian hữu hạn chiều Cho E, F không gian n m chiều Thế dimE F = n.m Mệnh đề 3.7.1 Cho ánh xạ song tuyến tính: : E x F T , dim T = n.m Khi thỏa mãn Chứng minh: Xét ánh xạ cảm sinh f : E x F T +) Nếu f thỏa mãn f song ánh Khi dimT = n.m = dim(E F), suy f đẳng cấu nên thỏa mãn Mặt khác, thỏa mãn 2thì đơn ánh (mệnh đề 2.61) suy f đẳng cấu suy thỏa mãn +) Nếu : E E’; : F F’ ánh xạ tuyến tính; dimE’ = n’; dimF’ = m’ Thì từ (1.14), ánh xạ song tuyến tính : : L(E; E’) x L(F; F’) L(E F; E’ F’), x , Thỏa mãn Trong trường hợp số chiều hữu hạn : dimL(E F; E’ F’) = (nm).(n’m’) = (nn’).(mm’) = dimL(E; E’).dimL(F; F’) Từ định lý ta suy thỏa mãn Do có tính chất phổ dụng Ta viết: L(E F; E’ F’) = L(E; E’) ( F; F’), Nếu E’ = F’ = L(E F; ) = L(E; ) ( F; ) tức : (E F)* = E* F* 46 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán Do đó, tích tenxơ hàm tuyến tính f, g tương ứng E, F hàm tuyến tính E F, (f g)(x y) = f(x).g(y), x E, y F 3.8 Đẳng cấu T Cho E* không gian đối ngẫu E xét ánh xạ tuyến tính T : E* F L(E, F), T(a* b)x = < a*, x >b, x E, T có tính chất phổ dụng Thật ta có biểu đồ sau: E* F T L(E;F) L(E) L(F; ) Trong : E* L( E ) đẳng cấu tắc : F L( ; F) đẳng cấu thỏa mãn y ( ) y ; y F, , ánh xạ xác định phần (2.14) Khi ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng ( mệnh đề 3.17) suy T có tính chất phổ dụng, ta đồng E* F với L(E; F) T Từ biểu đồ ta được: T (a* b) , L(F; E) 47 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán T (a* b) T ( a* b) , L(F; E) Đặc biệt, a E; a* E*, b F, b F* thì: T (b* a) T (a* b) b* , b T (a* a) (3.15) Cuối xét vết tr: L(E, F) x L(F, E) , ( x ) tr(( ) Toán tử T thỏa mãn : Tr(T(b* a) T(a* b)) = < a* b, b* a> = < a*, a> < b*, b > (3.16) Do (3.15) trở thành: tr(T(b* a) T(a* b)) = < b*, b > trT(a*, a) Nhưng ánh xạ tuyến tính T(a* a) thỏa mãn T(a* a)x = < a*, x >a nên : Tr T(a* a) = < a*, a>, (3.17) Công thức (3.16) trường hợp đặc biệt vết không suy biến (phần 3.3) 3.9 Đại số biến đổi tuyến tính Để đơn giản, ta dùng đẳng cấu T (xác định ) để đồng a* a tương ứng với biến đổi tuyến tính Giả sử đại số kết hợp A = A(E; E) biến đổi tuyến tính : E E Ánh xạ : A A L(A, A) xác định ( , ) ( ), ( ) biến đổi thỏa mãn ( ) = (3.18) Mệnh đề 3.9.1 đẳng cấu Chứng minh: Ta biết A không gian đối ngẫu với vết tương ứng : < , > = tr< > Giả sử F liên hệ với hệ thức : = F Q, 48 (3.19) Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán Trong Q tự đẳng cấu tuyến tính L(A A) và: Q((a* a) ( b* b)) = (a* b) ( b* a)) (3.20) Lấy : E F biến đổi tuyến tính tùy ý Từ kết phần (3.8) ta được: Q((a* a) ( b* b)) = (a* a) (b* b) = ((a* a) (b* b) = < a*, b > b* a = < -*a*, b > b* a F((a* b) ( b* a)) = < a* b, > b* a = < *a*, b > b* a Suy (3.20) Từ phần (3, 7), F đẳng cấu tuyến tính Do Q tự đẳng cấu tuyến tính A A từ hệ thức (3.19) ta có đẳng cấu Hệ quả: Giả sử i , i ( i 1, r ) phần tử đẳng cấu A cho { i } độc lập tuyến tính Khi từ biểu thức = 0, A, ta có i i i = i ( i 1, r ) 3.10 Tự đồng cấu A Mọi tự đẳng cấu cảm sinh E cảm sinh tự đồng cấu h đại số A, cho bởi: h = i 1 Ngược lại, với tự đồng cấu khác đại số A có cách tương tự Nói cách khác, tự đồng cấu h đại số A viết dạng: h = i 1 , biến đỏi tuyến tính E Khi cặp (L(A; A), ) tích tenxơ A A, ta viết: 49 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán h = r , i , i A, i i 1 trongđó { i }, { i } độc lập tuyến tính Từ hệ thức: h( ) = h h , Ta có: i i ( i i j j ) =0 Do { i } độc lập tuyến tính, tùy ý A nên (hệ 3.10.1) : i i j j ) , i 1, r ( i 1, r ij i j ) j j Hệ { i } hệ độc lập tuyến tính nên : i j iji , i, j 1, r Với i j, từ (3.21) ta được: i j Với i = j i j i (3.21) Hệ thức r = Thay i , ta có: h = i 1 Phần tử xác định h lên hệ số không đổi Đặc biệt, tự đồng cấu h đại số A bảo toàn tích vô hướng: < h , h > = tr(h h ) = tr h( ) = tr( i 1 = tr( ) = < , > Do đó: < h , h > = < , >, 50 , A Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán KẾT LUẬN Đề tài ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ý nghĩa mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết ba đại số đa tuyến tính trường, là: Đại số ten xơ, đại số ngoài, đại số ten xơ đối xứng Qua đó, có ứng dụng đại số vào hình học, giải tích, học vật lý,… Tuy nhiên, thời gian hạn trình độ hạn chế nên đề tài tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đóng ghps ý kiến thầy, cô bạn sinh viên để đè tài ngày hòan thiện 51 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tiếng Việt: Đại số đại cương – Nguyễn Hữu Việt Hưng, NXB giáo dục Sách giáo trình đại số tuyến tính – Phan Hồng Trường Sách tiếng Anh: Multilinear Algebra – Werner Greub, Springer – Verlag 52 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán Mục lục MỞ ĐẦU CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Không gian véctơ 1.1.1 Định nghĩa : 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Cơ sở, chiều 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Ánh xạ song tuyến tính 1.2.4 Ví dụ 1.2.5 Ánh xạ song tuyến tính không gian không gian thƣơng 1.2.6 Ánh xạ đa tuyến tính CHƢƠNG TÍCH TENXƠ CỦA HAI KHÔNG GIAN VÉCTƠ 10 2.1 Tính chất phổ dụng 10 2.2 Những tính chất 11 2.3 Tính 14 2.4 Sự tồn 14 2.5 Tích tenxơ hai không gian véctơ 16 2.5.1 Định nghĩa 16 2.5.2 Ví dụ 17 2.6 Hạn chế ánh xạ song tuyến tính thành ánh xạ tuyến tính 17 2.7 Tích tenxơ hai không gian 19 2.7.1 Ví dụ 20 53 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán 2.8 Tích tenxơ hai không gian thƣơng 20 2.9 Tích tenxơ tổng trực tiếp 21 2.9.1 Ví dụ 23 2.10 Sự phân tích trực tiếp 23 2.11 Tích tenxơ véctơ sở 26 2.12 Áp dụng cho ánh xạ song tuyến tính 26 2.13 Giao tích tenxơ 28 2.14 Tích tenxơ các ánh xạ tuyến tính 29 2.15 Ví dụ 31 2.16 Phép hợp tích tenxơ 32 2.17 Ảnh tạo ảnh 33 CHƢƠNG III TÍCH TENXƠ CỦA NHIỀU KHÔNG GIAN VÉCTƠ 35 3.1 Tính chất phổ dụng 35 3.1.1 Định nghĩa 35 3.2 Ánh xạ song tuyến tính 39 3.3 Hàm song tuyến tính 40 3.4 Ánh xạ đối ngẫu 42 3.5 Ví dụ 42 3.6 Không gian tích 43 3.7 Đại số kết hợp 44 3.8 Đẳng cấu T 47 3.9 Đại số biến đổi tuyến tính 48 3.10 Tự đồng cấu A 49 KẾT LUẬN…… ……………………………………………………………49 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….………………50 54 [...]... tính có tính chất phổ dụng 2.5 Tích tenxơ của hai không gian véctơ 2.5.1 Định nghĩa: Tích tenxơ của hai không gian véctơ E và F là một cặp (T, ) trong đó : E x F T là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng Không gian được xác định duy nhất bởi E và F đến một đẳng cấu, và cũng được gọi là tích tenxơ của E và F, được ký hiệu bởi E F Ta chỉ ra tenxơ có tính chất giao hoán theo nghĩa... 0 nên r x y 0 , ( x E; y F ) i 1 i i (2.9) Bây giờ, ta chọn véctơ a E sao cho 1 a 0 Gọi p (p 1) là số lớn nhất các véctơ độc lập tuyến tính rút ra từ tập 1 a , ,r a (hệ con tuyến tính tối đại của hệ i ( i 1, r ) Đánh chỉ số lại, ta được hệ p véctơ độc lập tuyến tính 1 a ,2 a , , p a Ta có: p i a iji a , j p 1, r i 1... Hệ quả 1 Cặp (Im , ) là tích tenxơ của L(E, E’) và L(F, F’) Hệ quả 2 Ánh xạ song tuyến tính : L(E) x L(F) L(E F), cho bởi : ( f , g )( x y) f ( x).g ( y) Thế thì (Im , ) là tích tenxơ của L(E) và L(F) Hệ quả 3 Nếu E, F hữu hạn chiều và ( , ) , phần tử ( , ) sinh ra không gian L(E F, E’ F’) Thế thì cặp (L(E F, E’ F’), ) là tích tenxơ của L(E, E’) và (F, F’) 2.15... nên : Ker( ) = ker = T(ker , ker ) = ker F+E ker 34 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán CHƢƠNG III TÍCH TENXƠ CỦA NHIỀU KHÔNG GIAN VÉCTƠ Ở chương này, tôi trình bày một số kết quả mở rộng của chương 2 cho nhiều không gian véctơ và xem xét một số tính chất của chúng 3.1 Tính chất phổ dụng Nếu Ei ( i 1, p ) là p không gian véctơ bất kỳ và nếu : E1 x …x E p T là ánh xạ... F1 ) ( E2 F2 ) ( E1 E2 ) ( F1 F2 ) Suy ra (2.7) Tích tenxơ các các ánh xạ tuyến tính 2.14 Cho bốn không gian véctơ E, E’ ; F, F’ và hai ánh xạ tuyến tính : : E E' ; :F F’ Khi đó ta có một ánh xạ song tuyến tính : E x F E’ F’ xác định bởi : (x, y) x y Từ tính chất phân tích trực tiếp của tích tenxơ suy ra tồn tại một ánh xạ tuyến tính : E F E’ F’ sao cho... f((x, y) sao cho x y = hf(x y ) Do đó h f = idE x F Vì vậy, f là một đơn ánh 2.7 Tích tenxơ của hai không gian con Giả sử ánh xạ song tuyến tính : E x F T có tính chất phổ dụng và cho hai không gian con E1 F; F1 F , ' là hạn chế của lên E1 x F1 Đặt T1 = Im ' , ta chỉ ra rằng (T1 ' ,) là tích tenxơ của E1 và F1 Tính chất 1 được suy trực tiếp từ định nghĩa Chứng minh 2 ta giả sử... đó = f Suy ra thỏa mãn 2 và từ những kết quả trên, ta có đẳng cấu chính tắc sau: E/E1 F/F1 (E F)/ (E1 F+ E F1) 2.9 Tích tenxơ của tổng trực tiếp Giả sử có hai họ không gian tuyến tính E , I và với mọi cặp ( , ),( E F , ) là tích tenxơ của E và F Thế thì ánh xạ song tuyến tính E và F F là tổng trực tiếp G ( E F ) xác định bởi của E , ... tiếp E= E , F F , G và ánh xạ song tuyến tính : E F sao cho cặp ( G , ) là tích tenxơ của E và F Xác định một ánh xạ song tuyến tính : E x F G bởi E F , (x, y) = trong đó x x , x E và y y , y F Thế thì cặp (G, y) là tích tenxơ của E và F Tính chất 1 rõ ràng được thỏa mãn Để chứng minh 2 ta xét : E x F H là một ánh xạ song... p ), với f: T H là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ Định lý về sự tồn tại và duy nhất của được chứng minh tương tự như trường hợp p = 2 3.1.1 Định nghĩa Tích tenxơ của các không gian Ei ( i 1, p ) là cặp (T, ) trong đó: T được gọi là tích tenxơ của các không gian Ei , ký hiệu là : E1 … E p Nếu H là không gian véctơ bất kỳ thì tương ứng f biểu diễn bởi biểu đồ giao hoán sau: H E1 x …... F, G) 17 Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Toán Từ 2 ta dễ dàng chỉ ra là một toàn ánh vì nó cho biết bất kỳ một ánh xạ song tuyến tính : E x F G nào đều có thể phân tích thành tích tenxơ Ta chứng minh là một phép nội xạ Giả sử f = 0 với mọi ánh xạ f: E F G đã biết Từ 1 không gian E F được sinh ra bởi tích của x y do vậy f = 0 Mối quan hệ giữa ánh xạ song tuyến tính ... Lý chọn đề tài Đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số công cụ hữu hiệu toán học, học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phương pháp nghiên cứu đại số tenxơ ảnh hưởng đến số lĩnh vực khác... mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết ba đại số đa tuyến tính trường, là: Đại số ten xơ, đại số ngoài, đại số ten xơ đối xứng Qua đó, có ứng dụng đại số vào hình học, giải tích, học vật lý,…... toán học đời sống, nghiên cứu khoa học Với niềm yêu thích môn Đại số, giúp đỡ tận tình thầy giáo Ths Nguyễn Huy Hưng, mạnh dạn thực kháo luận tốt nghiệp với đề tài: “ Nhập môn đại số ten xơ ”
Ngày đăng: 31/10/2015, 08:28
Xem thêm: Nhập môn đại số tenxơ
