Nhập môn đại số đồng đều

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu thực khóa luận “Nhập môn đại số đồng điều’’, với say mê, cố gắng thân bảo tận tình, giúp đỡ thầy giáo Nguyễn Huy Hưng giúp em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy thầy cô tổ Đại số, thầy cô bạn sinh viên giúp đỡ em thời gian qua Do khuôn khổ thời gian trình độ chuyên môn thân hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013 Sinh viên thực Hà Thị Ngoan Hà Thị Ngoan K35G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu khóa luận “Nhập môn đại số đồng điều” em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành cố gắng nỗ lực việc tìm tòi, nghiên cứu thân với hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng thầy cô tổ Đại số Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013 Sinh viên thực hiện: Hà Thị Ngoan Hà Thị Ngoan K35G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Mở đầu Chương Môđun 1.1 Dãy khớp 1.2 Dãy nửa khớp 1.3 Tích tenxơ 13 1.4 Môđun đồng cấu 16 1.5 Phạm trù 23 1.6 Hàm tử 24 1.7 Phép biến đổi hàm tử 25 1.8 Hàm tử môđun 26 Chương Torn Extn 30 2.1 Phép giải 30 2.2 Hàm tử xoắn 34 2.3 Hàm tử mở rộng 42 Kết luận 50 Hà Thị Ngoan K35G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Đại số đồng điều ngày tràn ngập toàn Toán học Vì việc nghiên cứu môn cần thiết Nó nghiên cứu hai dãy vô hạn hàm tử Torn Extn (với n = 1, 2, …), nhờ hai hàm tử mà kéo dài dãy khớp hàm tử  hàm tử Hom tương ứng Trên sở kiến thức học Đại số đại cương, số kiến thức môđun, bảo tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, em mạnh dạn chọn đề tài “Nhập môn Đại số đồng điều” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Khóa luận em gồm chương Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, em trình bày khái niệm, tính chất có liên quan tới dãy khớp, dãy nửa khớp, đặc biệt cách chứng minh “săn biểu đồ” Từ ta xây dựng lên ánh xạ biểu đồ có dòng khớp, nửa khớp hình vuông giao hoán theo chiều khác Ngoài ra, em đề cập tới khái niệm phạm trù hàm tử đặc biệt phạm trù môđun Chương Các hàm tử Torn Extn Chương này, em tập trung tìm hiểu cách xây dựng phép giải xạ ảnh môđun, làm tảng xây dựng nên hàm tử xoắn Torn hàm tử mở rộng Extn Do khuôn khổ thời gian trình độ chuyên môn nên nhiều ứng dụng lí thú khác chưa trình bày đây, em hi vọng thời gian tới có dịp tìm hiểu sâu sắc Trong trình thực khóa luận, em sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết, đọc sách, tìm hiểu tài liệu Đại số đại, Đại số đồng điều, Đại số đại cương Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.DÃY KHỚP 1.1.1.Các định nghĩa Dãy đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn) f g    A   B   C   (1)  Dãy (1) gọi khớp môđun B Im f  Kerg  Một môđun dãy đồng cấu gọi môđun trung gian vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu  Dãy (1) gọi khớp khớp môđun trung gian  Dãy khớp ngắn dãy khớp có dạng     A   B   C  0 (2)  Dãy (1) gọi chẻ môđun B, Im f hạng tử trực tiếp B, tức tồn môđun B1 cho: B=Imf  B1  Một dãy khớp gọi chẻ chẻ môđun trung gian 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1: “Dãy khớp đồng cấu h : X  Y ’’ xác định sau: i h P   Kerh   X   Y   Y / Im h   0, i phép nhúng P phép chiếu mà tính khớp môđun trung gian: Kerh, X, Y Y/Imh gần hiển nhiên Để ý rằng: đồng cấu h đẳng cấu  Kerh  Y/Imf=0 Ví dụ 2: Cho h : X  Y đơn cấu mà không đẳng cấu Khi Kerh  “dãy khớp h” dãy khớp ngắn: h P   X   Y  Y / Im h  0 Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tương tự, h toàn cấu mà không đẳng cấu “dãy khớp h” dãy khớp ngắn Nó có dạng i h   Kerh   X   Y  0 Định lí 1.1.1 (Bổ đề mạnh bốn đồng cấu) Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu A f g B  D C  A’ h  B’ f’ g’ C’  h’ D’ hai dòng khớp,  toàn cấu  đơn cấu Khi ta có: i) Ker   g  Ker  ii) Im    g ' 1  Im   Chứng minh: (Phép chứng minh cách “ Săn biểu đồ’’) Trước hết ta nhắc lại rằng, biểu đồ đồng cấu giao hoán tích đồng cấu xuất phát từ nguồn tới đích có kết Bây giờ, ta chứng minh định lí i) * Chứng minh g  Ker   Ker Trước hết  g  g ' mà  g ( Ker )  g ' ( Ker ) = g'(0) = Suy g  Ker   Ker * Chứng minh Ker  g  Ker  Có nghĩa với c  Ker  C phải b  Ker mà g (b)  c Phần tử b tìm nhờ phép săn biểu đồ sau: Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b = b1 – f(a) f(a) a   a’ f ’ c b1 h    g’ b’ h’ c’ Mô tả bước săn:  Vì c  Ker nên  h(c)  h '  (c)  Do  đơn cấu nên h(c )  tức c  Kerh hay c  Im g  K er h dòng khớp Vậy tồn b1  B mà g (b1 )  c  Vì g ' (b1 )   g '(b1 )   (c)  nên b '   (b1 )  K er g '  Im f ' dòng khớp Vậy tồn a '  A ' mà f '( a ')  b '  Vì  toàn cấu nên tồn a  A mà  (a )  a ' Hiển nhiên, ta có:  f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b '  Chọn b  b1  f (a) b  Ker Vì (b)  (b1)  f (a)  b' b  Hơn nữa: g  b   g  b1   gf  a   c * Chứng minh ii) Để chứng minh đẳng thức ii) trước hết sử dụng g '   g ta được: g '(Im  )  Im(  g )  Im  Im   g '1 (Im  ) Để kết thúc ta cần phải chứng minh bao hàm ngược lại g '1 (Im  )  Im  , tức b '  g '1 (Im  )  B ' phải b  B cho  (b)  b ' Phần tử b tìm nhờ phép săn biểu đồ sau: Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b = b1 + f(a) g    b1' f ’  g’ b’ a’ h c b1 f(a) a h’ c’ b’- b1' Mô tả bước săn:  Vì b '  g '1 (Im  ) nên c  C mà  (c)  g '(b ')  Bởi  h(c)  h '  (c)  h ' g '(b ')   đơn cấu nên h(c )  Vậy c  ker h  Im g , b1  B mà g (b1 )  c  Đặt b '1   (b1 ) Vì g '(b ' b1 )  g '(b ')  g ' (b1 )  g ' (b1 )   g (b1 )   (c)  g '(b ') Vậy b ' b1'  K er g  Imf ' , nên a '  A ' mà f '(a ')  b ' b1'  Bởi  toàn cấu nên a  A mà  (a )  a ' Hiển nhiên, ta có  f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b ' b1'  Chọn b  b1  f (a) , ta có  (b)   (b1 )   f (a)  b1'  (b'  b1' )  b' Định lí chứng minh Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội * Hệ 1.1.2 (Bổ đề năm đồng cấu) Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu sau f1 A 1 A’ f2 B f3 D C 3 2 f1' B’ f4 C’ f2' 4 D’ f3' E 5 f 4' E’ đó: dòng khớp, 1 toàn cấu,  đơn cấu Khi đó,   đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)  đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Hệ 1.1.3 (Bổ đề năm ngắn) Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu sau, dòng khớp f A  g B  C  B’ C’ f g’ ’ Khi đó,  ,  đơn (toàn, đẳng) cấu  đơn (toàn, A’ đẳng) cấu 1.1.3 Bài tập BT 1.1.1: Xét hình vuông giao hoán sau R- đồng cấu R- môđun Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội h X Y   X’ h’ Y’ Chứng minh rằng: a)   ker(h)  ker(h ') b)   Im(h)   Im(h ') Lời giải: a, x  ker(h) h( x)  ta có   h( x)  (do  R- đồng cấu)    h  x     h '   x   (do hình vuông giao hoán)  h '   x       x   Ker  h '  Do x tùy ý thuộc Ker  h  nên   Ker  h    Ker  h ' (đpcm) b, y  Im( h) x  X : h( x)  y Ta có:   h  x      y  (  R- đồng cấu )    h  x     y    h '   x     y  (do hình vuông giao hoán) Hay h '   x      y  Do x  X nên   x   X ' Từ đó, ta suy   y   Im  h '  Vì y tùy ý Im  h  nên   Im  h    Im  h ' (đpcm) * Từ trên, ta thấy   xác định đồng cấu:  ' : Ker  h   Ker  h ' x   ' x     x  Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội g   g n : X n'  X n | n  0 , thỏa gf, fg đồng luân với phép biến đổi dây chuyền đồng hai phức X X ' Khi đó, ta có phép biến đổi dây chuyền f  i   f n  i : X n  B  X n'  B | n  0 , g  i   g n  i : X n'  B  X n  B | n  0 X  B X '  B Chúng cảm ứng đồng cấu         f* : H n X  B  H n X '  B , g* : H n X '  B  H n X  B Rõ ràng  g  i  f  i  f  i  g  i  đồng luân với phép biến đổi dây chuyền đồng X  B X ' B Do g* f*   f* g* đẳng cấu đồng H n ( X  B ) H n X '  B Do f* g* đẳng cấu Định lý chứng minh * Tính chất tích xoắn Định lý 2.2.2 : Nếu A hay B môđun xạ ảnh Torn  A, B   0, n  Chứng minh : a) Trong trường hợp A môđun phải B môđun trái tùy ý Do A môđun xạ ảnh nên tồn phép giải xạ ảnh    X :  Xn1   Xn   Xn1    X0   A  0 , n1 n X n  với n  , X  A   với n  ,  tự đồng cấu đồng môđun A Khi Torn  A, B)   H n ( X  B)  0, n  b) Trường hợp B môđun trái xạ ảnh A môđun phải tùy ý Hà Thị Ngoan 37 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Với A môđun phải tùy ý, tồn phép giải xạ ảnh    X :  Xn1   Xn   Xn1    X0   A  0 n1 n Dễ dàng chứng minh môđun xạ ảnh môđun dẹt Do đó, B môđun dẹt Suy hàm tử    B  chuyển dãy khớp ngắn thành dãy khớp ngắn Và    B  chuyển dãy khớp thành dãy khớp Như vậy, dãy X  B dãy khớp Do đó, X  B khớp X n  B với n  Vì vậy,   Torn  A, B   H n X  B  0, n  Định lý 2.2.3 : Cho A R- môđun phải f g   M   P   A  0 dãy khớp ngắn tùy ý P R- môđun phải xạ ảnh Khi đó, ta có Torn  A, B   Torn 1  M , B  , n  1, Tor  A, B   Ker  f  i  với R- môđun trái B Chứng minh : Gọi X phép giải xạ ảnh tùy ý M    X :  Xn1   Xn   Xn1    X0  M  0 n1 n Do  toàn cấu f đơn cấu nên ta có Ker  f    Ker Im  f    Im f Ta xây dựng phép giải xạ ảnh X * A sau  X n1 , nÕun   X   P, nÕu n   A, nÕu n  1  * n Hà Thị Ngoan 38 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  n 1 , nÕun      f  , nÕu n   g, nÕu n   * n có nghĩa   f g X * :    X n*1   X n*     X 2*   X 1*  P   A  0 Khi đó, với n > ta có n Torn  A, B   Ker   *n  i  / Im   *n 1  i   Ker   n 1  i  / Im   n  i   Torn 1  A, B  Để kết thúc chứng minh định lý ta phải chứng minh đẳng cấu thứ hai, ứng với n = Theo tính chất khớp phải tích tenxơ, từ tính chất khớp dãy   X   X   M  0 suy dãy  i  i X  B    X  B   M  B  0 khớp Vì vậy, ta có Tor  A, B   K  1*  i  / Im   *2  i   Ker  f   i  / Im  1  i  = Ker  f   i  / Ker    i  Xét ánh xạ  : Ker  f   i   Ker  f  i  x     i  x  Vì    i  đồng cấu nên dễ dàng suy  đồng cấu Hơn nữa, Hà Thị Ngoan 39 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ker  = Ker    i  Do đó, ta có đẳng cấu Ker  f   i  / Ker    i   Ker  f  i  Và vậy, ta Tor  A, B   Ker  f  i  Định lý chứng minh * Tích xoắn đồng cấu Cho h : A  A ' đồng cấu R- môđun phải k : B  B ' đồng cấu R- môđun trái Giả sử X X’ phép giải xạ ảnh môđun A A’ tương ứng Khi đó, tồn phép biến đổi dây chuyền giũa X X’ f   fn : X n  X n' | n  1 cho f1  h Xét f n : X n  X n' | n  0 phép biến đổi dây chuyền X X ' mà để đơn giản ta gọi f   fn : X n  X n' | n  0 Bằng cách lấy tích tenxơ với đồng cấu k ta có phép biến đổi dây chuyền f  k   fn  k : X n  B  X n'  B | n  0 X  B vào X '  B Vì f  k cảm sinh đồng cấu  f  k *n : Torn  A, B   Torn  A, B '  , n  Dễ thấy đồng cấu  f  k *n không phụ thuộc vào phép biến đổi dây chuyền f mà phụ thuộc vào đồng cấu h k Hà Thị Ngoan 40 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Đồng cấu Trường ĐHSP Hà Nội  f  k *n gọi tích xoắn n- chiều R đồng cấu h, k kí hiệu Torn  h, k  : Torn  A, B   Torn  A, B '  Với n = 1, ta sử dụng kí hiệu Tor  h, k  : Tor  A, B   Tor  A, B '  gọi tích xoắn R đồng cấu h k Với n = 0, ta có Tor0 ( h, k )  h  k Từ kết ta thu định lý sau Định lý 2.2.4: Torn hàm tử hiệp biến hai biến, n  Nói riêng, Torn(-, B) (tương ứng Torn(A, - ) hàm tử hiệp biến từ phạm trù MorR (tương ứng phạm trù RMod) tới phạm trù Ab, với môđun trái B (tương ứng môđun phải A) * Các dãy khớp hàm tử xoắn Giả sử A R- môđun phải f g   B '   B   B '' dãy khớp ngắn R- môđun trái A có phép giải xạ ảnh    X :  Xn1   Xn   Xn1    X0   A  0 n1 n Theo tính chất môđun xạ ảnh, ta có dãy khớp ngắn  X n  B '  X n  B  X n  B ''  với n  Vậy ta dãy khớp ngắn phức  X  B '  X  B  X  B ''  Do ta dãy đồng điều khớp      f     H n 1 X  B ''   H n X  B '   Hn X  B Hà Thị Ngoan 41 *  K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội     g    H n X  B ''   H n 1 X  B '   * f* g* xác định phép biến đổi dây chuyền i  f i  g  đồng cấu nối Theo định nghĩa   Torn  A, B   Hn X  B , n  ta có định lý sau Định lý 2.2.5 : Với R- môđun phải A dãy khớp ngắn R-môđun trái : f g   B '   B   B ''  0 ta có dãy khớp f g     Torn  A, B '   Torn  A, B    Torn  A, B ''   Torn 1  A, B  * *  i f i g     Tor  A, B ''    A  B '  A  B  A  B ''  0 f*  Torn  i, f  , g*  Torn  i, g  Bằng cách lập luận tương tự dễ dàng thu định lý sau Định lý 2.2.6 : Với R-môđun trái B dãy khớp ngắn f g   A '   A   A ''  0 R-môđun phải, ta có dãy khớp f g     Torn  A ', B    Torn  A, B    Torn  A '', B    Torn 1  A ', B  * *  f i g i     Tor  A '', B    A ' B  A  B  A '' B  0 2.3 HÀM TỬ MỞ RỘNG Định nghĩa 2.3.1 : Cho A B R-môđun trái   X :    X n 1   X n   X n1     X   A  0 phép giải xạ ảnh A Phức thu gọn tương ứng với X Hà Thị Ngoan 42 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội   X :    X n 1   X n   X n 1     X  0 Xét dãy nửa khớp    Hom X , B :   Hom  X , B    Hom  X , B        Hom  X n , B    Hom  X n 1 , B    đồng cấu   Hom  , i  , với i tự đồng cấu đồng môđun B Với số nguyên dương n, nhóm đối đồng Hn(Hom( X ,B)) gọi tích mở rộng n-chiều R môđun A B cho kí hiệu Ext Rn  A, B  Khi vành R rõ, ta sử dụng kí hiệu đơn giản Ext n  A, B  Với n =1, ta dùng kí hiệu Ext  A, B  , gọi tích mở rộng môđun A B Trường hợp n = 0, ta có    Ext  A, B   H Hom X , B  Ker    với  : Hom  X , B   Hom  X , B  Vì dãy X1  X  A  Vì dãy khớp hàm tử Hom (- , B) hàm tử khớp trái nên dãy sau khớp    Hom  A, B    Hom  X , B    Hom  X1, B  Suy Ker    Hom  A, B  Như vậy, ta có đẳng cấu Hà Thị Ngoan 43 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ext  A, B   Hom  A, B  Để chứng tỏ định nghĩa tích mở rộng hợp lí, ta phải chứng minh nhóm đối đồng điều Hn(Hom ( X , B )) không phụ thuộc vào cách chọn phép giải xạ ảnh môđun A, nghĩa X’ phép giải xạ ảnh A       H n Hom X , B  H n Hom X ', B Ta dễ dàng thiết lập phép chứng minh cách “lấy đối ngẫu” phép chứng minh định lí 2.2.1 Sau đây, nêu lên vài tính chất đơn giản tích mở rộng * Tính chất tích mở rộng Định lí 2.3.1: Nếu môđun trái A xạ ảnh Ext n  A, B  =0 với số nguyên dương n với R-môđun trái B Chứng minh: Vì A R-môđun trái xạ ảnh nên ta có phép giải xạ ảnh f g   M   P   A  0  n  với n  ,  tự đồng cấu đồng môđun A Do đó, với n    Ext n  A, B   H n Hom( X , B)  Định lý chứng minh Định lý 2.3.2: Nếu B R- môđun trái nội xạ Ext n  A, B   với số nguyên dương n R- môđun trái A Hà Thị Ngoan 44 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chứng minh: Gọi X phép giải xạ ảnh A Vì X dãy khớp B môđun xạ ảnh nên ta suy dãy Hom  X , B  dãy khớp Vậy ta có    Ext n  A, B   H n Hom X , B  H n  Hom  X , B    với số nguyên dương n Định lý 2.3.3: Cho A B R-môđun trái tùy ý, f g   M   P   A  0 dãy khớp ngắn tùy ý, P môđun trái xạ ảnh R Khi đó, ta có Ext n  A, B   Ext n1  M , B  , n  1, Ext  A, B   Co ker  Hom  f , i   Chứng minh: Xét phép giải xạ ảnh M    X :    X n 1  X n   X n 1     X   M   * Ta xây dựng phép giải xạ ảnh X môđun A sau: n 1 n   f g X * :  X n*1   X n*    X 2*   X1*  P   A  0 n  X nÕu n 1 X n*   n 1  P nÕun  Ta dễ dàng kiểm tra tính chất khớp X P dãy X * Thật vậy, Ker  f    Ker    (do f đơn cấu )  Im  1  Im  f   =Imf (do X khớp ) (do  toàn cấu ) = Kerg (do tính chất khớp dãy khớp ngắn ) Hà Thị Ngoan 45 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Do X * khớp X , P X * phép giải xạ ảnh môđun A Theo định nghĩa tích mở rộng, với n > ta có   Ext  A, B  = H n Hom X * , B  = H n  Hom  X * , B   = Ker  Hom  *n , i   / Im  Hom   *n 1 , i   = Ker  Hom   n 1 , i   / Im  Hom   n 2 , i   = Ext n1  M , B  Theo tính chất khớp trái hàm tử (- , B), từ tính chất khớp dãy   X   X   M  0 suy dãy sau khớp Hom  ,i  Hom  ,i    Hom  M , B    Hom  X , B    Hom  X , B  Do đó, ta có Hom   , i  đơn cấu Im Hom 0 , i    Ker  Hom 1, i   Vì vậy, ta có Ext  A, B  = Ker  Hom  *2 , i   / Im  Hom  1* , i   = Ker  Hom  1 , i   / Im  Hom  f  , i   = Im  Hom   , i   / Im  Hom  f  , i    Hom  M , B  / Im  Hom  f , i   = Co ker  Hom  f , i   Định lý chứng minh * Tích mở rộng đồng cấu Xét đồng cấu Hà Thị Ngoan 46 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội h : A'  A , k : B  B ' môđun trái R Giả sử X X’ phép giải xạ ảnh môđun A A’ tương ứng Khi đó, có phép biến đổi dây chuyền X’ X f   f n : X n'  X n | n  1 cho f 1  h Khi f n : X n'  X n | n  0 mà để đơn giản gọi f   f n : X n'  X n | n  0 phép biến đổi dây chuyền X ' X Theo tính chất hàm tử Hom có phép biến đổi dây chuyền Hom  f , k    Hom  f n , k  : Hom  X n , B   Hom  X n' , B '  | n  0    dãy Hom X , B vào dãy Hom X ', B '  Gọi đồng cấu cảm sinh *n Hom  f , k  : Ext n ( A, B)  Ext  A ', B ' tích mở rộng n-chiều R đồng cấu h, k kí hiệu Ext n  h, k  : Ext n  A, B   Ext n  A ', B ' Khi n = 1, ta dùng kí hiệu Ext  h, k  : Ext  A, B   Ext  A ', B '  gọi tích mở rộng đồng cấu h, k Đặc biệt n = 0, ta có Ext  h, k   Hom  h, k  Hà Thị Ngoan 47 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ta kiểm tra dễ dàng tích mở rộng n-chiều đồng cấu định nghĩa hoàn toàn không phụ thuộc vào lựa chọn phép giải xạ ảnh A A’ chọn phép biến đổi dây chuyền f : X '  X Như ta có định lý sau Định lý 2.3.4 : Tích mở rộng n-chiều Extn hàm tử hai biến, phản biến theo biến thứ hiệp biến theo biến thứ hai Nói riêng, Ext(- ,B) (tương ứng Extn(A, - ) hàm tử phản biến (tương ứng hiệp biến) từ phạm trù môđun đồng cấu tới phạm trù Ab nhóm aben, với môđun A (tương ứng môđun B) * Các dãy khớp hàm tử mở rộng Cho A môđun trái tùy ý R f g   B '   B   B ''  0 dãy khớp ngắn môđun trái R Giả sử   X :    X n 1  X n     X   A  0 n 1 phép giải xạ ảnh A Theo tính chất môđun xạ ảnh, ta có dãy khớp ngắn Hom i , f    Hom  X n , B '    Hom  X n , B  n Hom i , g    Hom  X n , B ''  0 n đó, thường lệ in đồng cấu đồng môđun Xn Từ đó, thu dãy khớp ngắn phức       Hom i , f  Hom i , g    Hom X , B '    Hom X , B  Hom X , B ''   Dãy khớp cảm sinh dãy đối đồng điều khớp     *   * f g    H n Hom X , B '   H n Hom X , B   *       g    H n Hom X , B ''   H n 1 Hom X , B '   Hà Thị Ngoan 48 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp  Trường ĐHSP Hà Nội  Lại Hn Hom X , B   Ext  A, B  nên ta có định lý sau n Định lý 2.3.5 : Nếu A môđun trái vành f g   B '   B   B ''  0 dãy khớp ngắn môđun trái R, ta có dãy khớp Hom  i , f  Hom  i , g    Hom  A, B '    Hom  A, B   Hom  A, B '' *  f   Ext  A, B '     Ext n  A, B '   Ext n  A, B  * g    Ext n  A, B ''   Ext n 1  A, B '   Định lý 2.3.6 : Nếu B môđun trái R f g   A '   A   A ''  0 dãy khớp ngắn môđun trái R, ta có dãy khớp Hom  g ,i  Hom  f ,i    Hom  A '', B   Hom  A, B     Hom  A ', B  *  g   Ext  A '', B      Ext n  A '', B    Ext n  A, B  * f    Ext n  A ', B    Ext n 1  A '', B    Hà Thị Ngoan 49 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Đại số đồng điều môn toán học có tính trừu tượng cao với việc nghiên cứu dãy hàm tử xoắn Torn hàm tử mở rộng Extn (với n = 1, 2, ) Trong chương 1, em trình bày khái niệm, tính chất có liên quan tới dãy khớp, dãy nửa khớp, đặc biệt cách chứng minh “săn biểu đồ” Từ xây dựng lên ánh xạ biểu đồ có dòng khớp, nửa khớp hình vuông giao hoán theo chiều khác Ngoài ra, em đề cập tới khái niệm phạm trù hàm tử đặc biệt phạm trù môđun Chương 2, em tập trung tìm hiểu cách xây dựng phép giải xạ ảnh môđun, làm tảng xây dựng nên hàm tử xoắn Torn hàm tử mở rộng Extn Do điều kiện thời gian trình độ chuyên môn hạn chế, nên nhiều ứng dụng lý thú chưa trình bày Em hi vọng thời gian tới tìm hiểu sâu sắc Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo Nguyễn Huy Hưng thầy cô giáo tổ Đại số Khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ em thời gian nghiên cứu thực khóa luận Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013 Sinh viên Hà Thị Ngoan Hà Thị Ngoan 50 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sze – Tsen Hu (1973), Nhập môn đại số đồng điều, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục [3] Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí Minh Hà Thị Ngoan 51 K35 – SP Toán [...]... Do đó fn cảm ứng sinh ra một đồng cấu H n  f  : H n  C   H n  D  của các môđun đồng điều n- chiều H n  C  vào H n  D  Đồng cấu H n  f  này gọi là đồng cấu cảm ứng n- chiều của f * Ta gọi đồng cấu đồng nhất i : C  C của dãy dưới C gọi là họ i  in : C  C | n   các đồng nhất i n của các môđun Cn Định nghĩa 1.2.4: * Giả sử f : C  D và g : D  E là những đồng cấu của những dãy dưới Khi... tuyến tính g : A  B  X đều tồn tại duy nhất đồng cấu h : T  X sao cho hf  g tức biểu đồ sau giao hoán f AB T g !h:h  f  g X Ta kí hiệu T  A  B hoặc A  B (A tenxơ với B) R 1.3.3 Tích tenxơ của hai đồng cấu Cho các đồng cấu sau f : A  A ' , g : B  B ' là các R- đồng cấu môđun Khi đó, đồng cấu h : A  B  A ' B ' x  y  f  x  g  y gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f, g Kí hiệu h ... Ta gọi đồng cấu tầm thường từ một dãy dưới C vào một dãy dưới D là đồng cấu h : C  D sao cho hn là đồng cấu tầm thường từ môđun Cn vào môđun Dn, n  Ta dùng kí hiệu h  0 để chỉ h là đồng cấu tầm thường Định nghĩa 1.2.5: * Hai đồng cấu f , g : C  D từ một dãy dưới C vào một dãy dưới D gọi là đồng luân nếu và chỉ nếu  một họ những đồng cấu h  hn : Cn  Dn 1 | n  , sao cho n  , ta có   hn...  X  Y   Z   những đồng cấu của những môđun trên R, môđun thương K er  g  / Im  f  gọi là môđun dẫn xuất của dãy C tại môđun Y * Các môđun của dãy nửa khớp C thường được chỉ số hóa bởi những số nguyên lùi hoặc những số nguyên tiến Hà Thị Ngoan 8 K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Định nghĩa 1.2.2: Nếu các số nguyên lùi được dùng làm chỉ số thì dãy nửa khớp C gọi là... : A  A và j : B  B là các đồng cấu đồng nhất của các môđun A và B trên R thì Hom  i, j  : Hom  A, B   Hom  A, B  là đồng cấu đồng nhất của môđun Hom  A, B  Nếu f : A '  A , f ' : A ''  A ' , g : B  B ' ; g ' : B '  B '' là những đồng cấu của những môđun trên R thì ta có: Hom  f  f ', g ' g   Hom  f ', g '   Hom  f , g  Mệnh đề 1.4.2: Với những đồng cấu tùy ý f : A '  A và... môđun X và M Với mỗi đồng cấu  : X  Y của những môđun trên R trong MR, gọi f   là tích tenxơ   i : X  M  Y  M của  và tự đồng cấu đồng nhất i của M và lúc này f là một hàm tử hiệp biến Ví dụ 2: Hàm tử Hom Với mỗi môđun X trên R trong MR, gọi f  X  là môđun Hom  X,M  tất cả các đồng cấu của X và M Với mỗi đồng cấu  : X  Y của những môđun trên R trong MR, gọi f   là đồng cấu Hom  ,... một đồng cấu của môđun Z n  E  vào môđun H n 1  C  * Theo bổ đề (1.2.5), đồng cấu  cảm ứng ra một đồng cấu  : H n  E   H n1  C  , n  Vậy, ta có một dãy f g     H n  C    H n  D    H n  E    H n1  C    * * trong đó: f*  H n  f  và g*  H n  g  Dãy này gọi là dãy đồng điều của dãy khớp ngắn  C   D   E  0  S  : 0  f g Định lý 1.2.6: Dãy đồng. .. n- chiều của C Môđun dẫn xuất của C tại môđun C n được kí hiệu là: H n (C )  Z n (C ) / Bn (C ) và gọi là môđun đồng điều n- chiều của C Định nghĩa 1.2.3: Khi các số nguyên tiến được dùng làm chỉ số, dãy nửa khớp C gọi là một dãy trên (hay phức hợp đối dây chuyền) và các đồng cấu của C đều được kí hiệu bằng cùng một chữ  Khi đó, mọi dãy trên C có dạng như sau:     C :    C n 1   C n ... biến đổi dây chuyền) f : C  D là một họ những đồng cấu f   f n : Cn  Dn | n  những R- môđun, chỉ số hóa bởi các số nguyên n   của sao cho quan hệ giao hoán   f n  f n 1   xảy ra trong hình chữ nhật  Cn Cn-1 fn fn-1 , n   Dn Dn-1 Bây giờ, ta xét một đồng cấu tùy ý cho trước f : C  D của dãy dưới C vào dãy dưới D Theo bài tập (1.1.1), đồng cấu f n : Cn  Dn chuyển Zn  C  vào Zn ... h1 f1 A 0 Imf 0 Do P xạ ảnh tồn tại đồng cấu  từ P vào A thỏa f1  h1 Với mọi x  P , ta có : f   a    f1   a    h1  a   h  a  Vậy f   h Đồng cấu  chính là đồng cấu phải tìm Bài tập 1.4.2: Cho biểu đồ các đồng cấu h k X P f A Y g B C trong đó hình vuông giao hoán, dòng dưới là khớp, kh  0 và P là môđun xạ ảnh Chứng minh rằng tồn tại đồng cấu  : P  A để hình vuông bên ... liệu Đại số đại, Đại số đồng điều, Đại số đại cương Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.DÃY KHỚP 1.1.1.Các định nghĩa Dãy đồng. .. Hom tương ứng Trên sở kiến thức học Đại số đại cương, số kiến thức môđun, bảo tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, em mạnh dạn chọn đề tài Nhập môn Đại số đồng điều” làm đề tài khóa luận tốt... : X n'  X n | n  1 X 1  A  X ' f 1 g 1 tự đồng cấu đồng A Khi gf đồng luân với tự đồng cấu đồng X, fg đồng luân với tự đồng cấu đồng X’ 2.2 HÀM TỬ XOẮN Định nghĩa 2.2.1 : Cho A R- môđun