THÔNG TIN TÀI LIỆU
Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ********** Cấn thị nga Đại số tenxơ đại số Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Họ tên người hướng dẫn khoa học Th.S Nguyễn huy hưng Hà nội – 2009 Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em bốn năm học vừa qua tạo điều kiện cho em trình hoàn thành khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khoá luận Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2009 Sinh viên Cấn Thị Nga Lời cam đoan Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, quan tâm tạo điều kiện thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng Trong trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết đề tài “Đại số tenxơ đại số ngoài” trùng lặp chép kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Người cam đoan Sinh viên Cấn Thị Nga Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức bổ trợ Chương đại số tenxơ ………………………………………………….6 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Đại số tenxơ 14 2.3 Tính chất phổ dụng E 15 2.4 Cặp phổ dụng 17 2.5 Đồng cấu 19 2.6 Định nghĩa 20 2.7 Đồng cấu 21 2.8 Định nghĩa 22 2.9 Đại số tenxơ hỗn hợp 23 2.10 ánh xạ thu hẹp ……………………………………………………………….23 2.11 ánh xạ tenxơ …………………………………………………………………25 2.12 Tích 26 2.13 Đẳng cấu 26 2.14 Tenxơ mêtric 27 2.15 Đại số T ( E ) 28 2.16 Phép 29 2.17 Đẳng cấu p E T p ( E ) 30 2.18 Đại số T ( E ) 32 2.19 Tính đối ngẫu T p ( E ) Tp ( E ) 32 2.20 Đại số T ( E ) 33 Chương Đại số tenxơ phản đối xứng Đại số tenxơ đối xứng 35 3.1 Không gian N p ( E ) 35 3.2 Toán tử thay phiên 36 3.3 Không gian đối ngẫu 38 3.4 Phần tử phản đối xứng tích 39 3.5 Iđêan N ( E ) 40 3.6 Đại số E / N ( E ) 40 3.7 Các tenxơ phản đối xứng 41 3.8 Tích vô hướng 41 3.9 Không gian M p ( E ) 42 3.10 Toán tử đối xứng hoá 42 3.11 Không gian đối ngẫu 44 3.12 Phần tử đối xứng tích 45 3.13 Iđêan M ( E ) 46 3.14 Đại số E / M ( E ) 46 3.15 Các tenxơ đối xứng 47 3.16 Tích vô hướng 48 Kết luận ……………………………………………………………………… 49 Tài liệu tham khảo 50 Mở đầu Lý chọn đề tài Ngày nay, tư tưởng, phương pháp kết Đại số thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực toán học, từ tô pô hình học tới giải tích xác suất, số lĩnh vực học, vật lý lý thuyết, hoá học lượng tử Trong đó, đại số đa tuyến tính, cụ thể ba đại số đa tuyến tính trường tuỳ ý, là: đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số đóng vai trò quan trọng Hơn nữa, việc nghiên cứu vấn đề giúp người học phát triển tư duy, có tầm nhìn sâu rộng toán học Từ niềm yêu thích thân với môn này, với giúp đỡ tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng em mạnh dạn thực khoá luận tốt nghiệp với tiêu đề: " Đại số tenxơ đại số ngoài" Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức ba đại số đa tuyến tính trường tuỳ ý, là: đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Các kiến thức đại số tenxơ đại số + Phạm vi: Nội dung kiến thức phạm vi đại số tuyến tính đại số đa tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết đại số tenxơ đại số Phương pháp nghiên cứu + Phân tích tài liệu có liên quan + Tổng hợp kinh nghiệm thân Chương kiến thức bổ trợ 1.1 ánh xạ đa tuyến tính Cho p+1 không gian véctơ Ei (i= 1,…,p), G Một ánh xạ : E1 E p G gọi p – tuyến tính i 1 i p x1 , , xi 1 , xi yi , xi 1 , , x p x1 , , xi 1 , xi , , x p x1 , , yi , , x p xi , yi Ei ; , * Với p=2 gọi ánh xạ song tuyến tính * Với G gọi p – hàm số tuyến tính 1.2 Tích tenxơ * Tính chất phổ dụng: Cho E F không gian véctơ ánh xạ song tuyến tính từ E F vào không gian véctơ T Ta nói có tính chất phổ dụng thỏa mãn điều kiện sau: 1 : Các véctơ x y x E, y F sinh T, tương đương Im T 2 : Nếu ánh xạ song tuyến tính từ E F vào không gian véctơ H, tồn ánh xạ tuyến tính f : T H cho biểu đồ sau giao hoán: EF H f T (1.1) Hai điều kiện tương đương với điều kiện sau: : Với ánh xạ song tuyến tính : E F H tồn ánh xạ tuyến tính f : T H cho biểu đồ (1.1) giao hoán * Định nghĩa tích tenxơ Tích tenxơ hai không gian véctơ E F cặp T , , : E F T ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng T gọi tích tenxơ E F Kí hiệu: E F Tích tenxơ giao hoán với nghĩa E F F E 1.3 Không gian không gian thương * Tích tenxơ không gian con: Cho ánh xạ song tuyến tính : E F T có tính chất phổ dụng hai không gian E1 E vµ F1 F Cho ' kí hiệu ánh xạ thu hẹp lên E1 F1 T1 Im' Khi đó, T , tích tenxơ ' E1 vµ F1 * Tích tenxơ không gian thương: Cho E1 E vµ F1 F không gian T E1, F1 E1 F E F1 ánh xạ song tuyến tính : E F E F / T E1, F1 định nghĩa x, y x y phép chiếu tắc cảm sinh ánh xạ tuyến tính: : E / E1 F / F1 E F / T E1, F1 cho x, y x, y , x E / E1, y F / F1 Từ đó, ta có đẳng cấu sau: E / E1 F / F1 E F /( E1 F E F1 ) 1.4 Tích tenxơ véctơ sở Cho a I vµ b F Khi tích a b sở không gian gian véctơ E J I , J sở E F Đặc biệt, E F hữu hạn chiều E F hữu hạn chiều dim E F dim E.dim F 1.5 Tích tenxơ ánh xạ tuyến tính Cho bốn không gian véctơ E , E ' , F , F ' hai ánh xạ tuyến tính: : E E' , : F F ' Khi đó, ánh xạ tuyến tính E F E ' F ' xác định bởi: x, y x y Do đó, tồn ánh xạ tuyến tính: : E F E' F ' cho x y x y ánh xạ tuyến tính : L E; E ' L F ; F ' L E F ; E ' F ' cho sau: , 1.6 Tích tenxơ nhiều không gian véctơ * Tính chất phổ dụng: Ei i 1, p p không gian véctơ : E1 E p T p - ánh xạ tuyến tính Ta nói có tính chất phổ dụng thỏa mãn điều kiện sau: 1 : Các véctơ x1 x p , xi Ei sinh T 2 : Với p - ánh xạ tuyến tính : E1 E p H (H không gian véctơ bất kì) viết: x1, , x p f x1 x p f : T H ánh xạ tuyến tính * Định nghĩa: Tích tenxơ không gian véctơ Ei i 1, p cặp T , : E1 E p T p - ánh xạ tuyến tính có tính chất phổ dụng Kí hiệu E1 E p 1.7 Không gian tích * Một tích trong không gian véctơ E hàm số song tuyến tính đối xứng (,) không suy biến E * Không gian tích E F gọi tích tenxơ hai không gian tích E F 1.8 Các không gian đối ngẫu * ánh xạ song tuyến tính: Cho hai hệ ba không gian véctơ E , E ' , E '' vµ F , F ' , F '' hai ánh xạ song tuyến tính: : E E ' E '' vµ : F F ' F '' Khi đó, tồn ánh xạ song tuyến tính: : E F E ' F ' E '' F '' cho x y, x' y ' x, x' y, y ' ; x E , x' E ' , y F , y ' F ' * Hàm số song tuyến tính: Với cặp hàm số song tuyến tính vµ E E ' F F ' cảm sinh hàm số song tuyến tính E F E ' F ' cho: 10 Vì N p E ổn định nên suy u u N p E Do u u N p E Mặt khác: u u N p E Vậy u u N p E Bằng phương pháp quy nạp (3.1) chứng minh 3.2 Toán tử thay phiên Một tenxơ u p E gọi phản đối xứng u u ví i Sp Tập tất tenxơ phản đối xứng bậc p không gian X p E p E Toán tử thay phiên p E ánh xạ tuyến tính A : p E p E xác định bởi: A p! Từ định nghĩa ta suy với S p 1 p! p! = A p! A Do đó, ta có: A. A , Sp (3.2) A A , Sp (3.3) Tương tự: Tiếp theo, ta thiết lập quan hệ sau: Và Ker A N p E (3.4) Im A X p E (3.5) 37 Thật vậy, cho u x1 x p N p E Khi đó, xét phép chuyển trí cho u u Từ công thức (3.2) ta có Au Au Do Au Điều chứng tỏ N p E Ker A Mặt khác, từ định nghĩa A suy với u p E Au u u u N p E p! Nếu Au u N p E hay Ker A N p ( E ) Vậy công thức (3.4) chứng minh Để chứng minh công thức (3.5), ta xét (3.3) có: Im A X p E Mặt khác với u X p E Au u X p E Im A Tiếp theo, từ công thức (3.3) ta có A2 A Thật 1 A A p! p! A A A2 p!. A p! Hay A2 A Vì A phép chiếu Từ hệ thức (3.4) (3.5) ta có tổng trực tiếp p E X p E N p E Do đó, tenxơ u p E phân tích dạng u v w, v X p E , w N p E Tenxơ v Au gọi phần tử đối u 38 (3.6) 3.3 Không gian đối ngẫu Giả sử E, E* cặp không gian đối ngẫu A toán tử thay phiên p E* , p Nếu x*1 x* p x1 x p tenxơ phân tích p E * vµ p E Ta có với S p x*1 x* p , x1 x p x*1 , x 11 x* p , x 1 p = x * 1 , x1 x * p , xp = 1 x*1 x* p , x1 x p Do đó, ta có đẳng thức u , u * 1u* , u , u* p E* ,u p E Chứng tỏ vµ 1 phép toán đối ngẫu Vì A 1 1 vµ A p! p! p! Nên suy A vµ A phép toán đối ngẫu, tức là: u* , A u = Au* , u , u* p E* ,u p E (3.7) Từ tính chất đối ngẫu A vµ A hạn chế tích vô hướng lên E không gian Im A X p E vµ Im A X p E* không suy biến Và ta có tính chất đối ngẫu X p E vµ X p * Giả sử u* x*1 x* p vµ u=x1 x p tenxơ phân tích p E * vµ p E Từ công thức (3.7) ta có: 39 A x*1 x* p , A x1 x p x*1 x* p , A2 x1 x p x*1 , x 11 x* p , x 1 p p! Do A x*1 x* p , A x1 x p det x*i , x j p! (3.8) 3.4 Phần tử phản đối xứng tích Cho E p E đại số tenxơ E không gian véctơ p 0 N p E p E, p Trường hợp p=1 p=0 ta quy ước N E N E Khi đó, A ánh xạ đồng 1 E 0 E công thức thiết lập trường hợp p=0 p=1 Theo định nghĩa Np(E) ta có: N p ( E) q E N p q ( E) p E N q ( E) N p q ( E) p 0, q (3.9) Bây giờ, cho u p E v q E tenxơ Khi đó, ta viết u Au u1, u1 N p ( E) v Av v1, v1 N q ( E) Do u v Au Av Au v1 u1 Av u1 v1 Tác động phép chiếu A vào đẳng thức từ công thức (3.9) (3.4) ta có công thức A (u v) A ( Au Av) Vì A phép chiếu nên suy A ( Au v) A (u v) A (u Av) 40 (3.11) Đại số thương E / N ( E) 3.5 Iđêan N(E) Cho tổng trực tiếp N ( E) N p ( E) Công thức (3.9) chứng tỏ N(E) p iđêan phân bậc đại số phân bậc E Bây giờ, giả sử u p E v q E tenxơ Khi đó, ta có: u v (1) pq v u N p q ( E) (3.12) Thật vậy, hoán vị cho (1, , p, p 1, , p q) (q 1, , p q,1, , q) Suy (u v) v u (1) pq Do đó, từ (3.1) ta có u v (1) pq v u u v (u v) N pq (E) Tác động toán tử A vào (3.12) ta có công thức A u v 1 A v u ; pq u p E; v q E (3.13) 3.6 Đại số E / N ( E ) Cho phép chiếu tắc : E E / N ( E) (3.14) Vì N(E) iđêan E , phép nhân E / N ( E) là: a. b a b ; a, b E (3.15) Từ công thức (3.15) suy phép nhân có tính chất kết hợp 1 phần tử đơn vị Vì iđêan N ( E ) phân bậc đại số phân bậc E , phân bậc sinh đại số thương E / N ( E ) bởi: E / N ( E ) p E p E / N ( E ) đại số phân bậc Vì N E N E , đặc biệt 1 E 0 E đẳng cấu với 1 E E 0 E Do đó, ta đồng 1 E 0 E tương ứng với E Từ (3.13) ta có hệ thức giao hoán: 41 uv 1 vu pq (3.16) với hai phần tử bậc p q đại số E / N ( E) 3.7 Các tenxơ phản đối xứng Ta định nghĩa không gian véctơ X E E sau: X E X p E p mở rộng phép chiếu A : p E p E (trong 1 E 0 E A i ) tới ánh xạ Ker A N E vµ Im A X E tuyến tính A : E E Khi đó, ta có: Hơn nữa, A phép chiếu E N E X E Nếu ánh xạ thu hẹp phép chiếu lên không gian véctơ X(E) : X E E / N E đẳng cấu tuyến tính bậc không Cho X : E X E ánh xạ thu hẹp A Khi đó, biểu đồ sau giao hoán: E X X E E / N E (3.17) 3.8 Tích vô hướng Cho cặp không gian vectơ đối ngẫu E,E* Khi đó, tồn tích vô hướng E E* Từ (3.7) ta suy hạn chế tích vô hướng tới không gian véctơ X(E) X(E*) không suy biến Vì : X E E / N E đẳng cấu tuyến tính, tích vô hướng cặp E / N E , E* / N ( E* ) cho sau: u* , u p! u* , u , u* X p E* , u X p E Rõ ràng, tích vô hướng (3.18) phụ thuộc vào phân bậc Hơn nữa, từ (3.17) (3.18) suy 42 (3.18) u* , u Xu* , Xu (3.19) Au* , Au p! Au* , Au với u* p E* , u p E Bây giờ, giả sử u u* phân tích u x1 xp , u* x* x* p Kết hợp (3.8) (3.19) ta có ( x* x* p ), ( x1 xp ) det x* i , x j (3.20) Bây giờ, cho E không gian tích Khi đó, E đối ngẫu với theo quan hệ tích ta đặt E*=E Hơn nữa, tích vô hướng E không suy biến Do đó, tích xác định không gian thương E / N E là: u, v p! u, v ; u, v X( E) Từ (3.20) ta có: ( x1 xp ), ( y1 yp ) det xi , yj ; x i E, yj E Tenxơ đối xứng 3.9 Không gian M p E Giả sử không gian M p E p E sinh tenxơ u u u p E phép chuyển trí Không gian M p E ổn định phép chuyển trí Thật vậy, v u u M p E ' phép chuyển trí ta có: ' v 'u u u u u ' u M p E Với u p E hoán vị ta có: u u M p E (3.21) 3.10 Toán tử đối xứng hóa Một tenxơ u p E gọi đối xứng u u; Sp Tập tenxơ đối xứng không gian Y p E p E Tiếp đó, cho ánh xạ tuyến tính S : p E q E cho bởi: 43 S p! (3.22) Từ định nghĩa ta suy với Sp S p! S S; Vậy Tương tự ta có = = S p! Sp S S; Sp Bây giờ, ta chứng minh Và Ker S M p ( E) (3.23) Im S Y p ( E) (3.24) Thật vậy, v M p E v u u , phép chuyển trí Vì S S S v Sv Mà S v S u u S u u S u u Sv Vậy Sv Sv Sv hay v Ker S M p E Ker S Ngược lại, giả sử v Ker S Sv ta có: v u u p! = u u u u M p E p! Sv v hay v M p E Ker S M p E Vậy công thức (3.23) chứng minh Để chứng minh (3.24) ta có: Vì S S nên u p E ta có: Su Su Su Y p E hay Im S Y p E Ngược lại, u Y p E ta có: u u ta lại có Su 1 u u u p! p! 44 u Im s hay Y p E Im s Vậy công thức (3.24) chứng minh Hơn nữa, S phép chiếu nên S2 S (3.25) Do vậy, ta có tổng trực tiếp: p E Y p E M p E (3.26) Toán tử S gọi toán tử đối xứng hóa p E Su gọi phần tử đối xứng u 3.11 Không gian đối ngẫu Giả sử E, E* cặp không gian đối ngẫu cho S toán tử đối xứng p E* ( p 2) Sp , u* p E* , u p E ta có: vµ 1 phép toán đối ngẫu nhau, tức là: u* , u 1u* , u Mà S 1 S 1 p! p! p! nên ta có: u* , Su Su* , u , u* p E* , u p E (3.27) hay S vµ S toán tử đối ngẫu Từ (3.27) ta suy thu hẹp tích vô hướng tới không gian Y p E* , Y p E không suy biến Cho u* x* x* p vµ u x1 xp tenxơ phân tích Từ (3.25) (3.27) ta có: S x* x* p , S x1 xp x x x* x* p , S2 x1 xp x* x* p , S p x* 1, x (1) x* p , x ( p) p! 45 (3.28) perm ij 1 (1) p( p) (3.28) viết dạng: S x*1 x* p , S x1 xp perm x* i , xj p! (3.29) 3.12 Phần tử đối xứng tích Cho E đại số tenxơ E không gian vectơ M p E p E Ta có M E M E định nghĩa S ánh xạ đồng 0 E 1 E Trong trường hợp công thức xây dựng Bây giờ, cho v u u phần tử M p E , p w q E tenxơ Khi đó, ta có: v w u w u w u w ' (u w) ' Sp q phép chuyển trí cho bởi: (v) nÕu v p ' (v) v nÕu p v p q Suy M p E q E M p q E (3.30a) p E M q E M p q E (3.30b) Tương tự ta có: với u p E vµ v q E Ta viết: u Su u1; u1 M p E vµ v Sv v1; v1 M q E Do : u v Su Sv Su v1 u1 Sv u1 v1 , hay S u v S Su Sv Vì S phép chiếu nên s su v s u v s u sv với u p E vµ v q E Vậy 46 S u v S Su Sv (3.31) = S u Sv S Su v với u p E vµ v q E Đại số thương E / M E 3.13 Iđêan M(E) Cho tổng trực tiếp M E M p E p Công thức (3.30a) (3.30b) chứng tỏ M(E) iđêan phân bậc đại số phân bậc E Giả sử u p E vµ v q E hai tenxơ Khi đó, ta có u v v u M p q E Thật vậy, hoán vị cho bởi: 1, , p, p 1, , p q q 1, , p q,1, , q u v v u Ta có: u v v u u v u v M p q E Mở rộng ra, u E vµ v E hai tenxơ thì: u v v u M E (3.32) 3.14 Đại số E / M E Cho phép chiếu tắc: : E E / M E Vì M(E) iđêan đại số E , phép nhân sinh E / M E cho bởi: a b a. b; a, b E Từ (3.33) ta có phép nhân có tính chất kết hợp 1 phần tử đơn vị 47 (3.33) Từ (3.32) suy phép nhân có tính chất giao hoán Vì M ( E ) phân bậc, phân bậc sinh đại số thương E / M ( E ) là: E / M ( E ) p E p Và E / M ( E ) đại số phân bậc Vì M E M E Khi đó, thu hẹp lên 1 E vµ 0 E đẳng cấu Do đó, ta đồng 1 E với E 0 E với 3.15 Các tenxơ đối xứng Cho Y E E không gian cho Y E Y p E p Mở rộng phép chiếu S : p E p E( S i 1 E 0 E ) tới ánh xạ tuyến tính S : E E Khi đó, ta có: Ker S M ( E ) Im S Y ( E ) E M ( E ) Y ( E ) ánh xạ thu hẹp lên không gian Y(E) đẳng cấu bậc không : Y( E) E / M E Nếu Y : E Y( E) ánh xạ thu hẹp S tới E, Y( E) , ta có biểu đồ sau giao hoán: Y E Y (E) E / M ( E ) (3.34) 48 3.16 Tích vô hướng Cho E E* cặp không gian véctơ đối ngẫu tích E vµ E* Theo phần 3.11, hạn chế tích vô hướng tới không gian Y ( E ) Y ( E * ) không suy biến Do đó, có tích vô hướng không gian véctơ E / M ( E ) , E* / M E* là: u* , u p! u* , u (3.35) u Y ( E ), u Y ( E ) * p * p Rõ ràng, tích vô hướng (3.35) phụ thuộc vào phân bậc Hơn nữa, từ (3.35) (3.34) ta có: u* , u p! su* , su , u* E* , u E (3.36) Cho u* u phân tích u x1 xp , Từ (3.36) (3.29) ta có: u* x* x* p x* x* p , x1 xp perm x* i , x j 49 Kết luận Đề tài ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ý nghĩa mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết ba đại số đa tuyến tính trường, là: đại số tenxơ, đại số ngoài, đại số tenxơ đối xứng Qua đó, có ứng dụng đại số vào hình học, giải tích, học, vật lí,… Tuy nhiên, thời gian có hạn trình độ hạn chế nên đề tài tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1].Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1999 [2] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1994 Tiếng Anh [1] W Greub, Multilinear Algebra, Springer- Verlag, 1978 51 [...]... trúc vành và không gian véctơ trên A ràng buộc nhau bởi điều kiện: xy x y x y ; K ; x, y A 1.10 Đại số con Giả sử A là một đại số trên K Một tập con của A được gọi là đại số con nếu nó vừa là một vành con vừa là một không gian véctơ con của A Tập con S A Giao của tất cả các đại số con của A chứa S là đại số con của A sinh bởi S Đó là đại số con nhỏ nhất của A chứa S 1.11 Đại. .. đồng cấu đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa là một đồng cấu K – không gian véctơ 1.13 Đại số phân bậc *Vành phân bậc: Vành phân bậc A là vành có thể phân tích được thành tổng trực tiếp các nhóm cộng tính A An n sao cho phép nhân thỏa mãn: As Ar Asr x As , y Ar tức là: xy Asr As Ar Asr Do đó *Đại số phân bậc: Đại số phân bậc trên vành phân bậc A là một A -đại số E sao... 2 Đại số Tenxơ Các tenxơ 13 2.1 Định nghĩa Cho E là không gian véctơ trên trường và p 2 cho cặp p E , p ở đó p E E E P Trường hợp p=0 và p=1 ta có 1 E E vµ 0 E Cặp p E , p được gọi là p – lũy thừa tenxơ của E Không gian p E cũng được gọi là p – lũy thừa tenxơ của E và các phần tử của nó gọi là các tenxơ bậc p Tenxơ có dạng x1 x p , p 1 và các tenxơ. .. E * , E p q Hệ thức trên được suy ra từ định nghĩa 2.9 Đại số tenxơ hỗn hợp Đại số tenxơ hỗn hợp trên cặp E*, E là tích tenxơ của các đại số E * vµ E Kí hiệu E * , E E * , E E * E Do đó E * , E là đại số kết hợp (không giao hoán) với phần tử đơn vị là 1 1 Nó được sinh bởi các phần tử 1 1 , x* 1 và 1 x với x* E * vµ x E Cho i p : p E * E * ,... 2.4 Cặp phổ dụng Cho U là đại số bất kỳ với phần tử đơn vị là 1 và : E U là ánh xạ tuyến tính Ta nói rằng cặp ,U là đại số tenxơ có tính chất phổ dụng trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: T1: Không gian Im cùng với phần tử 1 sinh ra U T2: Nếu là ánh xạ tuyến tính từ E vào đại số A với phần tử đơn vị là e thì tồn tại một đồng cấu h : U A sao cho h(1)=e và biểu đồ sau giao hoán: ... đẳng cấu từ U vào U ' , g f 1 Định lý được chứng minh Vì i, E là cặp phổ dụng trong E nên theo định lý về sự tồn tại duy nhất một đẳng cấu f : E U sao cho f i Vì E là đại số phân bậc, sự phân bậc được sinh ra trong U bởi đẳng cấu f Với sự phân bậc đó đại số U đã cho là đại số phân bậc và f : E U là đẳng cấu thuần nhất bậc không Theo định lý về tính duy nhất, đại số phổ dụng U... A chứa S 1.11 Đại số thương Tập con B A được gọi là một iđêan của đại số A nếu nó vừa là một iđêan của vành A vừa là không gian véctơ con của A Đại số thương A B với 3 phép toán sau trên tập các lớp kề của B trong A x B y B x y B x B . y B xy B x B x B 12 trong đó x, y A; K 1.12 Đồng cấu đại số Giả sử A, A' là các đại số trên K, ánh xạ... , y , x* , y* E* Đại số của các hàm số đa tuyến tính Trong phần 2.15 – 2.20 ta xét E là không gian véctơ hữu hạn chiều 2.15 Đại số T ( E ) Giả sử với mỗi p 1 không gian Tp(E) của các p – hàm số tuyến tính : E E T p Đặc biệt T1(E)= E * Trường hợp p=0 ta quy ước T E Tích của một p – hàm số tuyến tính và một q – hàm số tuyến tính là một (p+q) – hàm số tuyến tính được... cấu đại số với : E * T E 32 2.18 Đại số T.(E) Cho Tp E p 1 là kí hiệu của các p – hàm số tuyến tính trong không gian đối ngẫu E* và quy ước T E Ta thấy không gian T1 E đẳng cấu với E dưới sự tương ứng a f a được cho bởi: f a x* x* , a , a E Với p 1 tích của p – hàm số tuyến tính trong không gian đối ngẫu E* và q – hàm số tuyến tính là p+q – hàm số. .. nhân này làm cho E trở thành một đại số kết hợp (không giao hoán nếu dim E 2 ) với phần tử đơn vị là (1,0,…) Rõ ràng, từ định nghĩa trên ta thấy E là đại số phân bậc dương E được gọi là đại số tenxơ trên không gian véctơ E Từ bây giờ ta ký hiệu 0 E , 1 E E Khi đó, vµ E là các không gian véctơ con của E , các phần tử của E cùng với vô hướng 1 sinh ra đại số E Nhận xét: Ta thấy rằng nếu ... tốt nghiệp với tiêu đề: " Đại số tenxơ đại số ngoài" Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức ba đại số đa tuyến tính trường tuỳ ý, là: đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số Đối tượng phạm vi nghiên... x, y A 1.10 Đại số Giả sử A đại số K Một tập A gọi đại số vừa vành vừa không gian véctơ A Tập S A Giao tất đại số A chứa S đại số A sinh S Đó đại số nhỏ A chứa S 1.11 Đại số thương Tập B... tượng: Các kiến thức đại số tenxơ đại số + Phạm vi: Nội dung kiến thức phạm vi đại số tuyến tính đại số đa tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết đại số tenxơ đại số Phương pháp nghiên
Ngày đăng: 31/10/2015, 08:06
Xem thêm: Đại số tenxơ và đại số ngoài