Đại số tenxơ và đại số ngoài

Trong đó, đại số đa tuyến tính, cụ thể là ba đại số đa tuyến tính trên một trường tuỳ ý, đó là: đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài đóng vai trò khá quan trọng.. Tích tenxơ * Tí

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa toán

**********

Cấn thị nga

Đại số tenxơ và đại số ngoài

Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Đại số

Th.S Nguyễn huy hưng

Hà nội – 2009

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trong bốn năm học vừa qua cũng như đã tạo điều kiện cho em trong quá trình hoàn thành khoá luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khoá luận này

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2009

Sinh viên

Cấn Thị Nga

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Huy Hưng

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận em có tham khảo một

số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan kết quả của đề tài “Đại số tenxơ và đại số ngoài” không

có sự trùng lặp cũng như sao chép kết quả của các đề tài khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Cấn Thị Nga

Mục lục

Mở đầu 5

Chương 1 Kiến thức bổ trợ ……….6

Chương 2 đại số tenxơ 13

2.1 Định nghĩa 13

2.2 Đại số tenxơ 14

2.3 Tính chất phổ dụng của E 15

2.4 Cặp phổ dụng 17

2.5 Đồng cấu 19

2.6 Định nghĩa 20

2.7 Đồng cấu 21

2.8 Định nghĩa 22

2.9 Đại số tenxơ hỗn hợp 23

2.10 ánh xạ thu hẹp ……….23

2.11 ánh xạ tenxơ ………25

2.12 Tích trong 26

2.13 Đẳng cấu  26

2.14 Tenxơ mêtric 27

2.15 Đại số T( )E 28

2.16 Phép thế 29

2.17 Đẳng cấu p p( ) E T E    30

2.18 Đại số T E( ) 32

2.19 Tính đối ngẫu giữa T p( )E và T E p( ) 32

2.20 Đại số T E( ) 33

Chương 3 Đại số tenxơ phản đối xứng

Đại số tenxơ đối xứng 35

3.1 Không gian N p( )E 35

3.2 Toán tử thay phiên 36

3.3 Không gian đối ngẫu 38

3.4 Phần tử phản đối xứng của một tích 39

3.5 Iđêan N E( ) 40

3.6 Đại số E N E/ ( ) 40

3.7 Các tenxơ phản đối xứng 41

3.8 Tích vô hướng 41

3.9 Không gian M p( )E 42

3.10 Toán tử đối xứng hoá 42

3.11 Không gian đối ngẫu 44

3.12 Phần tử đối xứng của một tích 45

3.13 Iđêan M E( ) 46

3.14 Đại số E M E/ ( ) 46

3.15 Các tenxơ đối xứng 47

3.16 Tích vô hướng 48

Kết luận ……… 49

Tài liệu tham khảo 50

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, những tư tưởng, phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tô pô và hình học tới giải tích và xác suất, cũng như một số lĩnh vực cơ học, vật lý lý thuyết, hoá học lượng tử Trong đó, đại

số đa tuyến tính, cụ thể là ba đại số đa tuyến tính trên một trường tuỳ ý, đó là: đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài đóng vai trò khá quan trọng Hơn nữa, việc nghiên cứu vấn đề còn giúp người học phát triển tư duy, có tầm nhìn sâu rộng hơn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về đại số tenxơ và đại số ngoài

+ Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số tuyến tính và đại số

đa tuyến tính

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết đại số tenxơ và đại số ngoài

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Phân tích tài liệu có liên quan

+ Tổng hợp kinh nghiệm bản thân

Chương 1 kiến thức bổ trợ 1.1 ánh xạ đa tuyến tính

Cho p+1 không gian véctơ Ei (i= 1,…,p), G Một ánh xạ :E1  E p G

được gọi là p – tuyến tính nếu i1 i p

* Với p=2 thì  được gọi là ánh xạ song tuyến tính

* Với G   thì  được gọi là p – hàm số tuyến tính

1.2 Tích tenxơ

* Tính chất phổ dụng:

Cho E và F là các không gian véctơ và  là ánh xạ song tuyến tính từ

EF vào không gian véctơ T Ta nói rằng  có tính chất phổ dụng nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1

 : Các véctơ xy x E y, F sinh ra T, hoặc tương đương Im   T

2

 : Nếu  là ánh xạ song tuyến tính từ EF vào không gian véctơ bất kỳ

H, khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính f T: H sao cho biểu đồ sau giao hoán:

(1.1) Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:

: Với mọi ánh xạ song tuyến tính  : E F   H thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f T: H sao cho biểu đồ (1.1) giao hoán

Tích tenxơ là giao hoán với nghĩa là E    F F E

1.3 Không gian con và không gian thương

* Tích tenxơ của không gian con:

Cho ánh xạ song tuyến tính  : E F   T có tính chất phổ dụng và hai không gian con E1 E vµ F1 F

Cho 'là kí hiệu của ánh xạ thu hẹp của  lên E1 F1 và T1Im' Khi đó,

1,

T  là tích tenxơ của E1 vµ F1

* Tích tenxơ của không gian thương:

Cho E1 E vµ F1 F là các không gian con và

1.4 Tích tenxơ của các véctơ cơ sở

Cho   I vµ  

J

a  b  lần lượt là cơ sở của các không gian gian véctơ E

và F Khi đó tích  a  b   I, J là một cơ sở của E  F

Đặc biệt, nếu E và F hữu hạn chiều thì E  F cũng hữu hạn chiều và

dim EF dim dimE F

1.5 Tích tenxơ của các ánh xạ tuyến tính

Cho bốn không gian véctơ E E F F, ', , 'và hai ánh xạ tuyến tính:

1.7 Không gian tích trong

* Một tích trong trong không gian véctơ E là hàm số song tuyến tính đối xứng (,) không suy biến trong E

* Không gian tích trong E  Fđược gọi là tích tenxơ của hai không gian

   ' '    ' '

Ta có    không suy biến khi và chỉ khi  vµ  đều không suy biến

Cho E E*, và F F*, là hai cặp không gian đối ngẫu và các tích vô hướng được kí hiệu là <, > Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm số song tuyến tính <, > trong

E E i  p là cặp các không gian đối ngẫu và tất cả các tích vô

hướng đều kí hiệu là <, > ta có tích vô hướng giữa * *

E E F F i là bốn cặp không gian véctơ đối ngẫu và

là hai cặp ánh xạ đối ngẫu

(a) Phép cộng:

 

:,

các phép toán này thỏa mãn các điều kiện sau:

(A 1 ) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành

(A 2 ) A cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng lập thành một không gian véctơ trên K

(A 3 ) Hai cấu trúc vành và không gian véctơ trên A ràng buộc nhau bởi điều kiện:

    xy  x yx  y ;   K x y; , A

1.10 Đại số con

Giả sử A là một đại số trên K Một tập con của A được gọi là đại số con nếu

nó vừa là một vành con vừa là một không gian véctơ con của A

Tập con S  A Giao của tất cả các đại số con của A chứa S là đại số con của

A sinh bởi S Đó là đại số con nhỏ nhất của A chứa S

1.12 Đồng cấu đại số

Giả sử A A, ' là các đại số trên K, ánh xạ : AA' được gọi là đồng cấu

đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa là một đồng cấu K – không gian véctơ

(2) E Ei. j  Ei j

Chương 2 Đại số Tenxơ Các tenxơ

 cũng được gọi là p – lũy thừa tenxơ của E

và các phần tử của nó gọi là các tenxơ bậc p

Tenxơ có dạng x1  x p,p1và các tenxơ bậc không được gọi là phân tích được

Với mỗi cặp (p,q) thì tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính:

Tuy nhiên, tích trên không giao hoán trừ trường hợp dimE 1(Thật vậy, nếu

xE vµ yE là các véctơ độc lập tuyến tính thì các tích xy vµ yxcũng độc lập tuyến tính và do đó xy  y x)

z Eđược viết dưới dạng tổng:

1 1

p p p

là đại số phân bậc dương  Eđược gọi là đại số tenxơ trên không gian véctơ E Từ

bây giờ ta ký hiệu 0E   , 1E E Khi đó,  vµ E là các không gian véctơ con của  E, các phần tử của E cùng với vô hướng 1 sinh ra đại số  E

Nhận xét: Ta thấy rằng nếu E  0thì ánh xạ tuyến tính

   

      được định nghĩa bởi phép nhân trên không là một tích tenxơ

Thật vậy, giả sử  là tích tenxơ

Gọi pqlà ánh xạ thu hẹp của  lên  p   q 

Suy ra E1  0 hoÆ c F1  0 (v× lµ tÝch tenx¬) 

Do đó E=0 (mâu thuẫn giả thiết)

Điều giả sử là sai hay  không là một tích tenxơ

2.3 Tính chất phổ dụng của  E

Giả sử A là đại số kết hợp bất kỳ, với phần tử đơn vị e và một ánh xạ tuyến

tính  : E  A Khi đó, tồn tại duy nhất một đồng cấu h :   E A sao cho

trong đó i là phép nhúng của E vào  E

Vì mỗi phần tử của  E là tổng của các tenxơ phân tích được và h là tuyến tính,

suy ra h bảo toàn các tích h vừa là đồng cấu vành vừa là đồng cấu trên không

gian véctơ  E h là đồng cấu đại số

thỏa mãn các điều kiện sau:

T 1: Không gian Im  cùng với phần tử 1 sinh ra U

T 2: Nếu  là ánh xạ tuyến tính từ E vào đại số A với phần tử đơn vị là e thì tồn tại

một đồng cấu h U :  A sao cho h(1)=e và biểu đồ sau giao hoán:

(2.3)

Các tính chất T1 và T2 tương đương với tính chất sau:

T: Nếu  là ánh xạ tuyến tính từ E vào đại số A với phần tử đơn vị là e thì tồn tại

duy nhất đồng cấu h U :  A sao cho biểu đồ (2.3) giao hoán

Để chứng minh tính chất T1, ta giả sử không gian véctơ con V của U là sinh

bởi Im  và phần tử đơn vị Khi đó, gọi v là ánh xạ tuyến tính từ E vào V

Do đó, tồn tại đồng cấu h U :  V sao cho h(1)=1 và h    v NÕu j V :  U là phép nhúng, ta có   j  Từ đó suy ra  ( ).j h 

Mà ta có biểu đồ giao hoán sau:

trong đó i là ánh xạ đồng nhất của U Vì j.h là tự đồng cấu của đại số U, theo tính chất duy nhất của T ta có j.h=i

Mà j là ánh xạ lên nên U=V Điều kiện T1 được chứng minh

*Bây giờ ta sẽ đi chứng minh định lý sau:

Định lý về tính chất duy nhất: Cho  ,U vµ  ',U' là hai cặp phổ dụng của E

Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu f U: U' sao cho: f.  '

Chứng minh

Theo T thì tồn tại duy nhất đồng cấu f U: U' và g U: 'U sao cho:

' vµ g '=

f    

Do đó, g f là tự đồng cấu của U mà ánh xạ thu hẹp trên Im  là ánh xạ đồng nhất

Vì không gian Im  sinh ra U nên g f i

Hoàn toàn tương tự ta chỉ ra được f g i', i 'là ánh xạ đồng nhất của U '

Do đó, f là đẳng cấu từ U vào U ', g f1 Định lý được chứng minh

Vì i,E là cặp phổ dụng trong E nên theo định lý về sự tồn tại duy nhất

một đẳng cấu f :  E Usao cho f i.  Vì  E là đại số phân bậc, sự phân

bậc được sinh ra trong U bởi đẳng cấu f Với sự phân bậc đó đại số U đã cho là đại

số phân bậc và f : E U là đẳng cấu thuần nhất bậc không Theo định lý về

tính duy nhất, đại số phổ dụng U cũng được gọi là đại số tenxơ trên E và được ký

Nếu F=E và i là ánh xạ đồng nhất thì i là ánh xạ đồng nhất của  E, ta có:

i i (2.5)

Từ (2.4) và (2.5) suy ra là đơn ánh (toàn ánh) nếu  là đơn ánh (toàn ánh)

Thật vậy, nếu  là đơn ánh thì  một ánh xạ tuyến tính  : F  E sao cho

i

   Theo (2.4) và (2.5) ta có:  .   i i Do đó, là đơn ánh

Dễ thấy:

Im   (Im ) 

Do đó,  là toàn ánh với  là toàn ánh

Tenxơ trên cặp không gian đối ngẫu

    vµ     lần lượt là các đại số tenxơ trên E và E* Ta

có giữa p E và p E* p 1 sinh ra duy nhất tích vô hướng sao cho:

, p, p , p, p

u v  u v u u vv

Bây giờ, giả sử E là hữu hạn chiều và cho e e v, *v là cặp cơ sở đối ngẫu của E

và E* Khi đó, tích vô hướng giữa các véctơ cơ sở

Công thức trên chứng tỏ các cơ sở 1

1

*

* vµ p

p

e  e e   e  là đối ngẫu Từ (2.7) suy ra tích vô hướng của hai tenxơ

u u   

2.7 Đồng cấu

Giả sử F, F* là cặp không gian đối ngẫu thứ hai với tích vô hướng được ký

hiệu <, > Cho :EF,*:F*E*là cặp ánh xạ tuyến tính đối ngẫu Đồng

 đều là thuần nhất bậc không, ta có thể giả sử u vµ v*là các

phần tử thuần nhất cùng bậc p Hơn nữa, giả sử u vµ v* là phân tích được:

p p p

được gọi là phân tích được

Tích vô hướng giữa E* và E sinh ra tích vô hướng giữa  * 

Đại số tenxơ hỗn hợp trên cặp E*

, E là tích tenxơ của các đại số E* vµ E

Do đó E E*,  là đại số kết hợp (không giao hoán) với phần tử đơn vị là 1 1 

Nó được sinh bởi các phần tử 1 1  ,x*1và 1  x với x*E* vµ xE

e e là cặp cơ sở đối ngẫu của E* và E

1 1 1

1 1

, ,

= = = =

với mọi tự đồng cấu  của E

Ví dụ: Cho ánh xạ hạ chỉ số Ci j Để cho đơn giản, ta cho i=j=1 và kí hiệu C11C Khi đó, ta có:

Cho E là không gian tích trong và p – lũy thừa tenxơ p E Tích trong trong E

cảm sinh một tích trong trong p E sao cho:

Cho E là không gian tích trong n – chiều với không gian đối ngẫu là E* Khi

đó, tích trong trong E xác định một đẳng cấu *

u v,  u v, , u v, E (2.11)

Thật vậy, cho u  x1 x p vµ v  y1 y p là các tenxơ phân tích được Khi đó, ta có:

Đại số của các hàm số đa tuyến tính

Trong phần 2.15 – 2.20 ta xét E là không gian véctơ hữu hạn chiều

E Trường hợp p=0 ta quy ước T E  

Tích của một p – hàm số tuyến tính  và một q – hàm số tuyến tính  là một

(p+q) – hàm số tuyến tính . được cho như sau:

   x1, ,x p q   x1, ,x p . x p1, ,x p q  (2.12)

Trong trường hợp p=0 hoặc q=0 ta định nghĩa tích trên là phép nhân thông thường

với vô hướng

Phép nhân trên làm cho tổng trực tiếp

0

p p

trở thành đại số kết hợp (không giao hoán) với phần tử đơn vị là 1

Một ánh xạ tuyến tính  : E  F cảm sinh đồng cấu *    

:T E T F

được cho bởi:

Hơn nữa, từ định nghĩa ta suy ra với p 

nÕu nÕu

v v

v p

T E Thật vậy, mỗi véctơ

x  E ta viết được dưới dạng:

 

v v

x   e x e , e  E Với p 

v v

 

1 1

v v v

e e



Khi đó:

 

1 1

v v v

T E Đặc biệt,dim p  p ví i dim

T E n n E Bây giờ, giả sử ánh xạ tuyến tính *  

: p E T p E

   được sinh bởi  Ta có biểu

đồ sau giao hoán:

q – hàm số tuyến tính  là p+q – hàm số tuyến tính  được cho như sau:

x , , x p q x , , x p x p , , x p q

Trong trường hợp p=0 hoặc q=0, ta có phép nhân trên là phép nhân thông thường

với vô hướng

Phép nhân trên làm cho tổng trực tiếp

0

p p

là một đại số kết hợp (không giao hoán)

ánh xạ tuyến tính  : E  F sinh ra một đồng cấu * :T F T E  được cho bởi:

 *  * *  * * * *  

y y y y T F

Cuối cùng, ta chú ý T E  đẳng cấu với  E

2.19 Tính đối ngẫu giữa p 

T E và Tp  E

Cho cặp cơ sở đối ngẫu  *  

,

v v

 

 

1 1

1 1 1

p p

p p

v v

v

v v

e e (v=1,…,n) và nó không suy biến Vì vậy, nó là

tích vô hướng giữa các không gian p 

T E và T p E Mặt khác, ta lại có tích vô hướng giữa các không gian p * vµ p

  Ta thấy rằng các đẳng cấu p * p  p  

Giả sử T(E) là tổng trực tiếp của các không gian p 

T(E) là tích tenxơ của các đại số T E vµ T E 

Cuối cùng, cho  : E F là đẳng cấu tuyến tính Khi đó, nó cảm sinh đẳng cấu T :T E  T F  xác định bởi:

Chương 3 Đại số tenxơ phản đối xứng

Đại số tenxơ đối xứng Tenxơ phản đối xứng

Bây giờ, giả sử không gian véctơ con p 

N E của p E sinh bởi tất cả các

phần tử x1  x p sao cho x i x jvới ít nhất một cặp i  j Rõ ràng, N p( )E là

ổn định đối với  với   S p

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi up E và mọi   S p thì

u  uN E với mọi hoán vị  là tích của m chuyển trí Và giả

sử hoán vị   (trong đó  là phép chuyển trí và  là tích của m chuyển trí) Giả thuyết rằng ta có:

 

p

u  uN E