Nhập môn đại số đồng đều

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận “Nhập môn đại số đồng điều’’, với say mê, cố gắng thân bảo tận tình, giúp đỡ thầy giáo Nguyễn Huy Hưng giúp em hồn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy thầy cô tổ Đại số, thầy cô bạn sinh viên giúp đỡ em thời gian qua Do khn khổ thời gian trình độ chun mơn thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để đề tài hồn thiện Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013 Sinh viên thực Hà Thị Ngoan Hà Thị Ngoan K35G – SP Toán LỜI CAM ĐOAN Trong q trình nghiên cứu khóa luận “Nhập mơn đại số đồng điều” em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành cố gắng nỗ lực việc tìm tòi, nghiên cứu thân với hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng thầy cô tổ Đại số Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013 Sinh viên thực hiện: Hà Thị Ngoan MỤC LỤC Mở đầu Chương Môđun .2 1.1 Dãy khớp 1.2 Dãy nửa khớp 1.3 Tích tenxơ 13 1.4 Môđun đồng cấu 16 1.5 Phạm trù 23 1.6 Hàm tử 24 1.7 Phép biến đổi hàm tử 25 1.8 Hàm tử môđun 26 n Chương Torn Ext 30 2.1 Phép giải 30 2.2 Hàm tử xoắn 34 2.3 Hàm tử mở rộng 42 Kết luận 50 MỞ ĐẦU Đại số đồng điều ngày tràn ngập tồn Tốn học Vì việc nghiên cứu môn cần thiết Nó nghiên cứu hai dãy vơ n hạn hàm tử Torn Ext (với n = 1, 2, …), nhờ hai hàm tử mà kéo dài dãy khớp hàm tử  hàm tử Hom tương ứng Trên sở kiến thức học Đại số đại cương, số kiến thức mơđun, bảo tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, em mạnh dạn chọn đề tài “Nhập môn Đại số đồng điều” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Khóa luận em gồm chương Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, em trình bày khái niệm, tính chất có liên quan tới dãy khớp, dãy nửa khớp, đặc biệt cách chứng minh “săn biểu đồ” Từ ta xây dựng lên ánh xạ biểu đồ có dòng khớp, nửa khớp hình vng giao hốn theo chiều khác Ngồi ra, em đề cập tới khái niệm phạm trù hàm n tử đặc biệt phạm trù môđun Chương Các hàm tử Torn Ext Chương này, em tập trung tìm hiểu cách xây dựng phép giải xạ ảnh môđun, làm tảng xây dựng nên hàm tử xoắn Torn hàm n tử mở rộng Ext Do khn khổ thời gian trình độ chun mơn nên nhiều ứng dụng lí thú khác chưa trình bày đây, em hi vọng thời gian tới có dịp tìm hiểu sâu sắc Trong q trình thực khóa luận, em sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết, đọc sách, tìm hiểu tài liệu Đại số đại, Đại số đồng điều, Đại số đại cương Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.DÃY KHỚP 1.1.1 Các định nghĩa Dãy đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn)   A f  B gC  (1) ● Dãy (1) gọi khớp môđun B Im f  Kerg ● Một môđun dãy đồng cấu gọi mơđun trung gian vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ● Dãy (1) gọi khớp khớp môđun trung gian ● Dãy khớp ngắn dãy khớp có dạng  A  B C 0 (2) ● Dãy (1) gọi chẻ môđun B, Im f hạng tử trực tiếp B, tức tồn môđun B1 cho: B=Imf  B1 ● Một dãy khớp gọi chẻ chẻ mơđun trung gian 1.1.2.Các ví dụ Ví dụ 1: “Dãy khớp đồng cấu h : X  Y ’’ xác định sau:  Kerh i X hY PY / Im h 0, i phép nhúng P phép chiếu mà tính khớp mơđun trung gian: Kerh, X, Y Y/Imh gần hiển nhiên Để ý rằng: đồng cấu h đẳng cấu  Kerh  Y/Imf=0 Ví dụ 2: Cho h : X  Y đơn cấu mà khơng đẳng cấu Khi Kerh  “dãy khớp h” dãy khớp ngắn:  X hY PY / Im h 0 Tương tự, h tồn cấu mà khơng đẳng cấu “dãy khớp h” dãy khớp ngắn Nó có dạng  Kerh i X hY 0 Định lí 1.1.1 (Bổ đề mạnh bốn đồng cấu) Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu f g B A h D C    A’ B’ C’ f’ g’  h’ D’ hai dòng khớp,  tồn cấu  đơn cấu Khi ta có: i) Ker  g  Ker  ii) Im   g '1  Im   Chứng minh: (Phép chứng minh cách “ Săn biểu đồ’’) Trước hết ta nhắc lại rằng, biểu đồ đồng cấu giao hoán tích đồng cấu xuất phát từ nguồn tới đích có kết Bây giờ, ta chứng minh định lí i) * Chứng minh g  Ker   Ker Trước hết  g  g ' mà  g(Ker )  g ' (Ker ) = g'(0) = Suy g  Ker   Ker * Chứng minh Ker  g  Ker  Có nghĩa với c  Ker  C phải b  Ker mà g(b)  c Phần tử b tìm nhờ phép săn biểu đồ sau: b = b1 – f(a) f(a) a   h c b1   f  g’ a’ b’ h’ c’ Mô tả bước săn: ● Vì nên  h(c)  h '  (c)  Do  c  Ker h(c)  tức c  Kerh hay c  Im g  K er h đơn cấu nên dòng khớp Vậy tồn b1  B mà g(b1 )  c ● Vì g ' (b )   g '(b )   (c)  nên b '   (b )  K er g '  Im f ' 1 dòng khớp Vậy tồn a ' A' mà f '(a ')  b ' ● Vì  tồn cấu nên tồn a  A mà  (a)  a ' Hiển nhiên, ta có:  f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b ' ● Chọn b  b1  f (a) b  Ker Vì (b) (b )  f (a) b'b  Hơn nữa: g  b   g  b1   gf  a   c * Chứng minh ii) Để chứng minh đẳng thức ii) trước hết sử dụng g '(Im )  Im( g)  Im  g '   g ta được: Im  g ' (Im  ) 1 Để kết thúc ta cần phải chứng minh bao hàm ngược lại g ' (Im  )  Im , tức 1 b ' g ' (Im  )  B ' 1 phải b  B cho  (b)  b ' Phần tử b tìm nhờ phép săn biểu đồ sau: b = b1 + f(a) g f(a) a b1    ' b1 f  g’ h’ b’ a’ h c c’ ' b’- b1 Mô tả bước săn:  Vì b ' g ' (Im  ) 1 nên c  C mà  (c)  g '(b ')  Bởi  h(c)  h '  (c)  h ' g '(b ')   đơn cấu nên h(c)  0 Vậy c  ker h  Im g , b1  B mà ● Đặt b '1   (b1 ) Vì g(b1 )  c g ' (b )   g(b )   (c)  g '(b ') g '(b ' b1 )  g '(b ')  g ' (b1 )  Vậy nên ' b ' b  K er g  Imf ' , a ' A' mà f '(a ')  b ' b' ● Bởi  toàn cấu nên a  A mà  (a)  a ' Hiển nhiên, ta có  f (a)  f ' (a)  f '(a ')  b ' b'  Chọn b  b  f (a) , ta có (b)  (b )   f (a)  b'  (b'  b' )  b' Định lí chứng minh 1 * Hệ 1.1.2 (Bổ đề năm đồng cấu) Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu sau f1 A 1 f2 B f3 C 2 A’ ' f2 đó: dòng khớp,   C’ ' f D 3 B’ ' f4 f3 5 D’ E f 4' E’ tồn cấu,  đơn cấu Khi đó,   đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)  đơn cấu (tồn cấu, đẳng cấu) Hệ 1.1.3 (Bổ đề năm ngắn) Cho biểu đồ giao hốn đồng cấu sau, dòng khớ p f A  g B   A’ f B’ C g’ C’ Khi đó,  , đơn (tồn, đẳng) cấu  đơn (tồn, đẳng) cấu 1.1.3.Bài tập BT 1.1.1: Xét hình vng giao hốn sau R- đồng cấu R- môđun h X Y   X’ h’ Y’ Chứng minh rằng: a)   ker(h)  ker(h ') b)  Im(h)  Im(h ') Lời giải: a, x  ker(h) h(x)  ta có   h(x)  (do  R- đồng cấu)    h   x     h '   x   h '   x       x   Ker h ' Do x tùy ý thuộc (do hình vng giao hốn) Ker  h  nên   Ker  h    Ker  h ' (đpcm) b, y  Im(h) x  X : h(x)  y Ta có:   h  x      y       h  x     y  (  R- đồng cấu )   h '   x    y  (do hình vng giao hốn) Hay h '   x      y  Do x  X nên  x  X '   Từ đó, ta suy  y  Im h ' Vì y tùy ý       Im  h    Im  h ' (đpcm) * Từ trên, ta thấy   xác định đồng cấu:  ' : Ker  h   Ker  h ' x   ' x     x  Im h nên , nÕun   n1 , nÕun    f *    g, nÕun  n có nghĩa * n * * 1 * * f 0 g X :  X n1  X n   X  X  P  A 0 Khi đó, với n > ta có Tor n A, B  Ker    in / Im  *  Ker   n1 * n   i  i / Im   i  Torn1  A, B Để kết thúc chứng minh định lý ta phải chứng minh đẳng cấu thứ hai, ứng với n = Theo tính chất khớp phải tích tenxơ, từ tính chất khớp dãy 1 0 X  X  M 0 suy dãy 0 i 1 i X  B  X  B  M  B 0 khớp Vì vậy, ta có     Tor A, B K *    *   i / Im i  Ker  f  0 i / Im   i = Ker  f  0 i / Ker    i Xét ánh xạ  : Ker  f  0 i  Ker  f  i x     i x  Vì    i  nữa, đồng cấu nên dễ dàng suy  đồng cấu Hơn Ker = Ker   0 i Do đó, ta có đẳng cấu Ker  f   i / Ker   i  Ker  f  i Và vậy, ta Tor  A, B   Ker  f  i Định lý chứng minh * Tích xoắn đồng cấu Cho h : A  A' đồng cấu R- môđun phải k : B  B ' đồng cấu R- môđun trái Giả sử X X’ phép giải xạ ảnh mơđun A A’ tương ứng Khi đó, tồn phép biến đổi dây chuyền giũa X X’ f   f : X  X | n  1 ' n f1  h Xét cho n f:X n n  X | n  0 ' n n phép biến đổi dây chuyền X X ' mà để đơn giản ta gọi f   f : X  X ' | n  0 n n n Bằng cách lấy tích tenxơ với đồng cấu k ta có phép biến đổi dây chuyền fkf  k: X n X  B vào X '  B Vì  Hà Thị Ngoan fk  *n  B  X  B | n  0 ' n n f  k cảm sinh đồng cấu : Tor  A, B   Tor  A, B'  , n  55 K35 – SP Toán Hà Thị Ngoan 56 K35 – SP Toán n fk Dễ thấy đồng cấu *n không phụ thuộc vào phép biến đổi dây chuyền f mà phụ thuộc vào đồng cấu h k Hà Thị Ngoan 57  K35 – SP Toán  Đồng cấu  fk  *n gọi tích xoắn n- chiều R đồng cấu h, k kí hiệu Torn  h, k  : Torn A, B   Tor  A, B'  n Với n = 1, ta sử dụng kí hiệu Tor  h, k  : Tor  A, B   Tor  A, B'  gọi tích xoắn R đồng cấu h k Với n = 0, ta có Tor0 (h, k)  h  k Từ kết ta thu định lý sau Định lý 2.2.4: Torn hàm tử hiệp biến hai biến, n  Nói riêng, Torn(-, B) (tương ứng Torn(A, - ) hàm tử hiệp biến từ phạm trù MorR (tương ứng phạm trù RMod) tới phạm trù Ab, với môđun trái B (tương ứng môđun phải A) * Các dãy khớp hàm tử xoắn Giả sử A R- môđun phải  B ' f  B g B '' dãy khớp ngắn R- môđun trái A có phép giải xạ ảnh n1 n 0 X :Xn1 Xn Xn1 X0 A0 Theo tính chất mơđun xạ ảnh, ta có dãy khớp ngắn  X n  B '  X n  B  X n  B ''  với n  Vậy ta dãy khớp ngắn phức  X  B '  X  B  X  B ''  Do ta dãy đồng điều khớp   H n1  X  B '   H n X  B '  f*    H n X  B  g  H * n  X  B '  H n1  X  B '  f g xác định phép biến đổi dây chuyền i  f * * i  g  đồng cấu nối Theo định nghĩa   Torn  A, B   Hn X  B , n  ta có định lý sau Định lý 2.2.5 : Với R- môđun phải A dãy khớp ngắn R-mơđun trái :  B ' f  B g B '' 0 ta có dãy khớp Tor  A, B ' f* Tor  A, B  g* Tor  A, B '' Tor n n n n1  A, B  Tor  A, B ''  A  B ' i f  A  B i g  A  B '' 0 f  Tor  i, f  , g  Tor  i, g  * n * n Bằng cách lập luận tương tự dễ dàng thu định lý sau Định lý 2.2.6 : Với R-môđun trái B dãy khớp ngắn  A' f  A g A'' 0 R-mơđun phải, ta có dãy khớp  Tor  A', B  f* Tor  A, B  g* Tor  A'', B  Tor n n n n1  A', B  Tor  A'', B   A' B f i  A  B gi  A'' B 0 2.3 HÀM TỬ MỞ RỘNG Định nghĩa 2.3.1 : Cho A B R-môđun trái X :  X n1  X n   X n1   X  A 0 phép giải xạ ảnh A Phức thu gọn tương ứng với X X :  X n1  X n  X n1   X 0 Xét dãy nửa khớp Hom  X , B  :  Hom  X  , B   Hom  X , B    Hom  X n , B   Hom  X n , B    đồng cấu   Hom ,i  , với i tự đồng cấu đồng mơđun B Với số ngun dương n, nhóm đối đồng n H (Hom( X ,B)) gọi tích mở rộng n-chiều R mơđun A B cho kí hiệu ExtnR A, B Khi vành R rõ, ta sử dụng kí hiệu đơn giản Extn  A, B Với n =1, ta dùng kí hiệu Ext  A, B  , gọi tích mở rộng mơđun A B Trường hợp n = 0, ta có Ext0  A, B  H với  : Hom X 0  Hom X , B   Ker   , B  Hom X1, B Vì dãy X1  X  A  Vì dãy khớp hàm tử Hom (- , B) hàm tử khớp trái nên dãy sau khớp  Hom A, B  Hom X , 0B   Hom X , B 1 Suy Ker   Như vậy, ta có đẳng cấu   Hom A, B Ext0  A, B  Hom A, B Để chứng tỏ định nghĩa tích mở rộng hợp lí, ta n phải chứng minh nhóm đối đồng điều H (Hom ( X , B )) không phụ thuộc vào cách chọn phép giải xạ ảnh môđun A, nghĩa X’ phép giải xạ ảnh A H n  Hom X , B   H  Hom X ', B  n Ta dễ dàng thiết lập phép chứng minh cách “lấy đối ngẫu” phép chứng minh định lí 2.2.1 Sau đây, nêu lên vài tính chất đơn giản tích mở rộng * Tính chất tích mở rộng Định lí 2.3.1: Nếu mơđun trái A xạ ảnh Extn  A, B =0 với số nguyên dương n với R-mơđun trái B Chứng minh: Vì A R-mơđun trái xạ ảnh nên ta có phép giải xạ ảnh  M f  P g A 0   với n  1,  tự đồng cấu đồng môđun n A Do đó, với n  Ext n  A, B  H n  Hom( X , B)  Định lý chứng minh Định lý 2.3.2: Nếu B R- mơđun trái nội xạ Ext n  A, B  với số nguyên dương n R- môđun trái A Chứng minh: Gọi X phép giải xạ ảnh A Vì X dãy khớp B môđun xạ ảnh nên ta suy dãy Hom X , B dãy khớp Vậy ta có Ext  A, B  H n n  Hom X , B   H  Hom X , B   n với số nguyên dương n Định lý 2.3.3: Cho A B R-môđun trái tùy ý,  M f  P g A 0 dãy khớp ngắn tùy ý, P mơđun trái xạ ảnh R Khi đó, ta có Ext n  A, B  Ext n1  M , B  , n  1, Ext  A, B   Co ker  Hom  f ,i   Chứng minh: Xét phép giải xạ ảnh M n1 n 0 X :  X n1  X  X M 0 n n1   X  Ta xây dựng phép giải xạ ảnh X * môđun A sau: * * n * * 1 * f 0 g X :Xn1 X n X2 X1 P A0  X nÕun1 * Xn   n1 P nÕun  Ta dễ dàng kiểm tra tính chất khớp X P dãy X * Thật vậy, Ker  f    Ker   (do f đơn cấu )  Im 1  Im f   =Imf (do X khớp ) (do  toàn cấu ) = Kerg (do tính chất khớp dãy khớp ngắn ) Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Do X * khớp X1 , P X * phép giải xạ ảnh mơđun A Theo định nghĩa tích mở rộng, với n > ta có   X , B  Ext  A, B = H n Hom *  Hom X , B  = Ker  Hom   ,i   / Im =H n * * n Ho m   ,  * n1 i = Ker  Hom   n1 ,i  / Im Hom  n2 ,i  = Ext n1  M , B Theo tính chất khớp trái hàm tử (- , B), từ tính chất khớp dãy 1 0 X  X  M 0 suy dãy sau khớp  Hom  M , B  Hom0 ,i  Hom  X Do đó, ta có , B  Hom1 ,i  Hom1  X , B Hom 0 ,i  đơn cấu Im Hom 0 ,i   Ker  Hom 1,i  Vì vậy, ta có Ext  A, B = Ker  Hom  ,i  * / Im    ,i   * Ho m = Ker  Hom  ,i   / Im  Hom  f 0 ,i   = Im Hom  ,i   / Im  Hom  f 0 ,i    Hom M , B / Im  Hom  f ,i  = Co ker  Hom  f ,i   Định lý chứng minh * Tích mở rộng đồng cấu Xét đồng cấu h : A'  A , k : B  B ' môđun trái R Giả sử X X’ phép giải xạ ảnh môđun A A’ tương ứng Khi đó, có phép biến đổi dây chuyền X’ X f   f : X  X | n  1 ' f1  h Khi n n n cho f :X n ' n  X | n  0 n mà để đơn giản gọi f   f : X '  X | n  0 n n n phép biến đổi dây chuyền X ' X Theo tính chất hàm tử Hom có phép biến đổi dây chuyền  Hom f , k   Hom f n dãy Hom  X , B vào dãy Hom  , B  Hom X , B ' | n  , k  : Hom X ' n n  X ', B ' Gọi đồng cấu cảm sinh Hom f , k *n : Extn ( A, B)  Ext  A', B ' tích mở rộng n-chiều R đồng cấu h, k kí hiệu Extn  h, k  : Extn  A, B  Extn  A', B ' Khi n = 1, ta dùng kí hiệu Ext  h, k  : Ext  A, B  Ext  A', B ' gọi tích mở rộng đồng cấu h, k Đặc biệt n = 0, ta có Ext0  h, k   Hom h, k  Ta kiểm tra dễ dàng tích mở rộng n-chiều đồng cấu định nghĩa hoàn toàn không phụ thuộc vào lựa chọn phép giải xạ ảnh A A’ chọn phép biến đổi dây chuyền f : X '  X Như ta có định lý sau n Định lý 2.3.4 : Tích mở rộng n-chiều Ext hàm tử hai biến, phản biến theo biến thứ hiệp biến theo biến thứ hai Nói riêng, Ext(- ,B) n (tương ứng Ext (A, - ) hàm tử phản biến (tương ứng hiệp biến) từ phạm trù môđun đồng cấu tới phạm trù Ab nhóm aben, với mơđun A (tương ứng môđun B) * Các dãy khớp hàm tử mở rộng Cho A môđun trái tùy ý R  B ' f  B g B '' 0 dãy khớp ngắn môđun trái R Giả sử X :  X  n1     X n   X 0   A 0 n1 phép giải xạ ảnh A Theo tính chất mơđun xạ ảnh, ta có dãy khớp ngắn  Hom  X n , B ' Homin , f  , B Hom  X Homin , g  Hom  X n , B '' 0 đó, thường lệ in đồng cấu đồng mơđun Xn Từ đó, thu dãy khớp ngắn phức  Hom  X , B '     Hom H om i,f  X , B    H om i ,g   Hom  X , B '' 0 Dãy khớp cảm sinh dãy đối đồng điều khớp  Hom X , B '   *  H  Hom X , B   *   *  H  Hom  X , B ''    H  Hom  X , B '    H g n f n  n g n1 Lại H  Hom X , B   Extn  A, B n nên ta có định lý sau Định lý 2.3.5 : Nếu A môđun trái vành  B ' f  B g B '' 0 dãy khớp ngắn môđun trái R, ta có dãy khớp  Hom  A, B ' Homi , f  Hom  A, B  Homi , g   Hom  A, B ''  Ext  A, B '   Ext n  A, B ' f * Ext n  A, B  g* Ext n  A, B ''  Ext n1  A, B '  Định lý 2.3.6 : Nếu B môđun trái R  A' f  A g A'' 0 dãy khớp ngắn môđun trái R, ta có dãy khớp  Hom  A'', B  Homg ,i   Hom  A, B  Homf ,i  Hom  A', B   Ext  A'', B    Ext n  A'', B  g* Ext n  A, B  f * Ext n  A', B   Ext n1  A'', B   KẾT LUẬN Đại số đồng điều mơn tốn học có tính trừu tượng cao với việc nghiên cứu dãy hàm tử xoắn Torn hàm tử mở rộng n Ext (với n = 1, 2, ) Trong chương 1, em trình bày khái niệm, tính chất có liên quan tới dãy khớp, dãy nửa khớp, đặc biệt cách chứng minh “săn biểu đồ” Từ xây dựng lên ánh xạ biểu đồ có dòng khớp, nửa khớp hình vng giao hốn theo chiều khác Ngồi ra, em đề cập tới khái niệm phạm trù hàm tử đặc biệt phạm trù mơđun Chương 2, em tập trung tìm hiểu cách xây dựng phép giải xạ ảnh môđun, làm tảng xây dựng nên hàm tử xoắn Torn hàm n tử mở rộng Ext Do điều kiện thời gian trình độ chun mơn hạn chế, nên nhiều ứng dụng lý thú chưa trình bày Em hi vọng thời gian tới tìm hiểu sâu sắc Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo Nguyễn Huy Hưng thầy cô giáo tổ Đại số Khoa Toán - Trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ em thời gian nghiên cứu thực khóa luận Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2013 Sinh viên Hà Thị Ngoan Hà Thị Ngoan 67 K35 – SP Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sze – Tsen Hu (1973), Nhập môn đại số đồng điều, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục [3] Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nxb Đại học quốc gia Tp.Hồ Chí Minh ... sách, tìm hiểu tài liệu Đại số đại, Đại số đồng điều, Đại số đại cương Hà Thị Ngoan K35 – SP Toán CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.DÃY KHỚP 1.1.1 Các định nghĩa Dãy đồng cấu (hữu hạn hay vô... Hom tương ứng Trên sở kiến thức học Đại số đại cương, số kiến thức mơđun, bảo tận tình thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, em mạnh dạn chọn đề tài Nhập môn Đại số đồng điều” làm đề tài khóa luận tốt... môđun dãy nửa khớp C thường số hóa số nguyên lùi số nguyên tiến Định nghĩa 1.2.2: Nếu số nguyên lùi dùng làm số dãy nửa khớp C gọi dãy (hay phức hợp dây chuyền) đồng cấu C kí hiệu chữ  Khi