Nhập môn đại số Tenxơ

Khóa luận tốt nghiệp Như Thúy Vân K32E SP-Tốn LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo giáo khoa Tốn, thầy tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tơi bốn năm học vừa qua tạo điều kiện cho q trình hồn thành khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo : Ths Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng ghóp nhiều ý kiến q báu tơi thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Nhƣ Thúy Vân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết cá nhân tơi q trình học tập, tìm tòi học hỏi nghiên cứu Bên cạnh quan tâm tạo điều kiện thầy giáo, cô giáo khoa Toán, đặc biệt giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Ths Nguyễn Huy Hưng Tơi xin cam đoan kết khóa luận tốt nghiệp tơi với đề tài “Nhập môn đại số ten xơ” không trùng lặp hay chép kết đề tài khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiêm Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Nhƣ Thúy Vân MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số tenxơ, đại số đối xứng đại số cơng cụ hữu hiệu tốn học, học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phương pháp nghiên cứu đại số tenxơ ảnh hưởng đến số lĩnh vực khác toán học đời sống, nghiên cứu khoa học Với niềm u thích mơn Đại số, giúp đỡ tận tình thầy giáo Ths Nguyễn Huy Hưng, mạnh dạn thực kháo luận tốt nghiệp với đề tài: “ Nhập môn đại số ten xơ ” Mục đích nghiên cứu Cung cấp nghiên cứu tích tenxơ khơng gian véctơ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Các kiến thức tính chất phổ dụng khơng gian véctơ + Phạm vi: Nội dung kiến thức phạm vi đại số tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu lý thuyết tích tenxơ Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tài liệu có liên quan tổng hợp kinh nghiệm thân Cấu trúc khóa luận Chương 1, tơi trình bày số kiến thức không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính Chương 2, nội dung khóa luận Các khái niệm tích tenxơ hai khơng gian, hai khơng gian con, hai khơng gian thương, tích tenxơ hai ánh xạ trình bày chi tiết Chương 3, tơi trình bày kết mở rộng chương cho nhiều không gian CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Ở chương này, tơi trình bày số kiến thức khái niệm không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính để dùng chương 1.1 Khơng gian véctơ   1.1.1 Định nghĩa : Cho V tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu α , β ,  γ , K trường Giả sử V trang bị hai phép toán, gồm:     a) Phép cộng: + : V x V → V, ( α , β ) → α + β ,   b) Phép nhân: : K x V → V, ( λ , α ) → λ α , thỏa mãn điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:         (V1) )+γ (α + β  (V2)  + γ ), ∀ = α +( β    ∃ ∈V : + α =α     + =   α , β , γ ∈V  α , ∀   α ∈V  = +α '= ∀ α ∈V, (V3) α'+α ∃ α ' ∈V : α       + α , ∀ α , β ∈V (V4) α + β =β     = λ + µ α , ∀ λ , µ ∈K, (V5) (λ + α ∀ α ∈V µ )α       (V6) λ (α + β ) = λ α + λ β , ∀ λ ∈K, ∀ α , β ∈V    (V7) ( λ ( µ α )) = ( λ µ ) α , ∀ µ ∈K, ∀ α ∈V    = α , ∀ α ∈V (V8) 1.α λ , Khi đó, V với hai phép tốn cho gọi không gian véctơ trường K hay K – không gian véctơ (gọi tắt khơng gian véctơ) 1.1.2 Ví dụ Tập X tập khác rỗng, V K - không gian véctơ Tập Ω gồm tất ánh xạ ϕ : X → V với phép toán: ( ϕ +ψ )(x) = ϕ (x) +ψ (x), ( λ ϕ )(x) = λ ϕ (x) Với ϕ ,ψ ∈ Ω , λ ∈K K - không gian véctơ 1.1.3 Cơ sở, chiều Tập S ⊂ V gọi độc lập tuyến tính với phận hữu hạn phần tử s1, s2, s3….,sn thuộc S, từ điều kiện ∑λ n i si = ⇒ λ i =0, ∀ i= 1, n i=1 Tập S ⊂ V sở không gian V nếu: (i) S độc lập tuyến tính (ii) S sinh V Định lý : Trong không gian véctơ tồn sở, hai sở ln có lực lượng Lực lượng gọi số chiều không gian véctơ Tổng trực tiếp không gian véctơ: Cho V, W hai không gian véctơ trường Γ : Tổng trực tiếp V W tạo thành từ cặp (v , w) ,v ∈ V, w ∈ W với phép toán định nghĩa theo thành phần: (v, w) +(v’, w’) = (v+v’, w+w’), λ (v, w) = ( λν , λ w) Nếu e = {ei}i∈I sở V, h = {hi}j∈J sở W e h sở V ⊕ W Không gian con: W ⊂ V gọi khơng gian W nhóm kW ⊆ W Mệnh đề : Nếu W ⊂ V không gian ∃U không gian ⊂V cho W⊕U ≅ V Khơng gian thương: cho V không gian véctơ trường Γ , W không gian véctơ V Tập V/W = { [ v ]=v+W,v+W,v∈V} thỏa mãn: [v1]+[v2] = (v1 + v2) + W , v1 ,v2 ∈ V [v] =λv+W, v ∈V không gian véctơ trường Γ , gọi không gian véctơ thương V theo không gian véctơ W Khơng gian tuyến tính ánh xạ tuyến tính: Xét tập hợp tất ánh xạ tuyến tính: V →W ( giả thiết V, W hữu hạn chiều), ký hiệu là: L(V, W) L(V, W) khơng gian véctơ K, với phép tốn : (f + f’)(v) = f(v) + f’(v) ( λ f)(v) = λ f(v) Không gian đối ngẫu : cho V không gian véctơ, không gian đối ngẫu * V L(V, Γ ), ký hiệu V 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Cho hai không gian véctơ trường Γ V, W Ánh xạ f: V → W gọi ánh xạ Γ - tuyến tính f (λv + µw) = λ f (v) + µ f (w) Ánh xạ Γ - tuyến tính f đẳng cấu tồn ánh −1 xạ f -1 -1 ff = idv , f = idw Γ - tuyến tính 1.2.2 Ví dụ Ánh xạ ϕ : R → R, x → ϕ (x) = 2010x ánh xạ tuyến tính R khơng gian Thật vậy, ∀ r, s ∈R, ∀ x, y ∈R, ta có ϕ (r.x + s.y) = 2010(r.x + s.y) = 2020r.x + 2010s.y = r.ϕ (x) + s ϕ (x) 1.2.3 Ánh xạ song tuyến tính Giả sử E, F, G ba không gian véctơ bất kỳ, xét ánh xạ ϕ : E × F → G ϕ gọi ánh xạ song tuyến tính thỏa mãn: ϕ(λ x1 + µx2 , y) = λϕ(x2 , y) , x1, x2 ∈ E; y1, y2 ∈ F ϕ(x, λ y1 + µ y2 ) x ∈ E; y ∈ = λϕ(x, y1 ) + µϕ(x, y2 ) , λ ∈Γ F; µ, Khi G= Γ ϕ gọi hàm song tuyến tính Ta ký hiệu Imϕ không gian véctơ G bởiϕ Bây giờ, ta xét B(E,F;G) gồm tất ánh xạ song tuyến tính từ E ×F đến G Bằng cách định nghĩa phép cộng ánh xạ ϕ1 ϕ2 : (ϕ1 + ϕ2 )(x; y) = ϕ1 ( x; y) + ϕ2 (x; y), ánh xạ ( λϕ) : λϕ(x, y) = λϕ(x, y), x ∈ E, y ∈ F, λ ∈Γ , ta đưa cấu trúc không gian véctơ tập B(E,E;G) Không gian B(E, F; Γ ) gồm tất hàm song tuyến tính viết gọi là: B(E, F) 1.2.4 Ví dụ Ánh xạ f: R →R, (x, y) →f(x, y) = x.y ánh xạ song tuyến tính R- khơng gian Thật vậy, ∀ λ , µ ∈ R , ∀ x1, x2, y1, y2∈ R , ta có f( λ x1+ µ x2, y1) = ( λ x1+ µ x2) y1 = λ x1y1 + µ x2y1 = λ f(x1, y1) + µ f(x2 + y1) Tương tự ta có f(x1, λ y1 + µ y2) = λ f(x1, y1) + µ f(x1, y2) Nếu E’ = F’ = Γ L(E ⊗ F; Γ ) = L(E; Γ ) ⊗( F; Γ ) tức : * * * (E ⊗ F) = E ⊗F Do đó, tích tenxơ hàm tuyến tính f, g tương ứng E, F hàm tuyến tính E⊗F, (f ⊗g)(x ⊗y) = f(x).g(y), x∈E, y∈F 3.8 Đẳng cấu T * Cho E không gian đối ngẫu E xét ánh xạ tuyến tính * * * T : E ⊗ F → L(E, F), T(a ⊗ b)x = < a , x >b, ∀ x∈E, T có tính chất phổ dụng Thật ta có biểu đồ sau: * E ⊗F T α ⊗ β ≅ L(E;F) ⊗ L(E) ⊗L(F; Γ ) Trong α : E ≅ L(E) đẳng cấu tắc β : F → L( Γ ; F) đẳng cấu thỏa * mãn β (λ) = λ y ; y∈F, y phần (2.14) Khi λ ∈Γ , ⊗là ánh xạ xác định ánh xạ song tuyến tính ⊗có tính chất phổ dụng ( mệnh đề 3.17) suy * T có tính chất phổ dụng, ta đồng E ⊗F với L(E; F) T Từ biểu đồ ta được: ψ  T (a ⊗ ϕb) , * ψ ∈L(F; E) b) ψ * T (a ⊗ = T (ψ a* ⊗ ϕb) , ψ ∈L(F; E) * * Đặc biệt, a∈E; a ∈E , b∈F, b∈F thì: * * (3.15) * T (b ⊗ a) T (a ⊗ b) =< * * b ,b > T (a ⊗ a) Cuối xét vết tr: L(E, F) x L(F, E) → Γ, (ϕ x ψ ) →tr(( ϕ  ψ ) Toán tử T thỏa mãn : * * * * * Tr(T(b ⊗a)  T(a ⊗b)) = < a ⊗b, b ⊗a> = < a , a> < * b, b> (3.16) * * * * Do (3.15) trở thành: tr(T(b ⊗a)  T(a ⊗b)) = < b , b > trT(a , a) * * * Nhưng ánh xạ tuyến tính T(a ⊗a) thỏa mãn T(a ⊗a)x = < a , x >a nên : * * Tr T(a ⊗a) = < a , a>, (3.17) Công thức (3.16) trường hợp đặc biệt vết không suy biến (phần 3.3) 3.9 Đại số biến đổi tuyến tính Để đơn giản, ta dùng đẳng cấu T (xác định ) để đồng a ⊗a tương ứng với biến đổi tuyến tính Giả sử đại số kết hợp A = A(E; E) biến đổi tuyến tính ϕ : E → E Ánh xạ * Ω : A⊗A→L( A, A) xác định ( α, β ) → Ω ( α ⊗ β ), Ω ( α ⊗ β ) biến đổi thỏa mãn Ω( α ⊗ β (3.18) ) ϕ = α  ϕ  β Mệnh đề 3.9.1 Ω đẳng cấu Chứng minh: Ta biết A khơng gian đối ngẫu với vết tương ứng : < ϕ , ψ > = tr Giả sử F Ω liên hệ với hệ thức : Ω = F Q, (3.19) Trong Q tự đẳng cấu tuyến tính L(A ⊗A) và: * * * Q((a ⊗a) ⊗( b ⊗b)) = (a ⊗b) ⊗( b ⊗a)) * (3.20) Lấy ϕ : E →F biến đổi tuyến tính tùy ý Từ kết phần (3.8) ta được: * * Q((a ⊗a) ⊗( b ⊗b)) * * ((a ⊗a)  (b ⊗ ϕ b) ϕ = (a* ⊗a)  ϕ (b* ⊗b) = = < a , ϕ b > b ⊗a * = b* ⊗a -* * * a , b > b ⊗a F((a ⊗b) ⊗( b ⊗a)) ϕ = < a ⊗b, * * * * = < ϕ a , b > b ⊗a * * * Suy (3.20) Từ phần (3, 7), F đẳng cấu tuyến tính Do Q tự đẳng cấu tuyến tính A⊗A từ hệ thức (3.19) ta có Ω đẳng cấu Hệ quả: Giả sử αi , βi ( i = 1, r ) phần tử đẳng cấu A cho { αi } độc lập tuyến tính Khi từ biểu thức ( i = 1, r ) ∑α i  ϕ  βi = 0, ∀ ϕ ∈A, ta có βi = i 3.10 đồng cấu A Mọi tự đẳng cấu cảm sinh α E cảm sinh tự đồng cấu hα ≠ đại số A, cho bởi: hα ϕ = αi  ϕ  α −1 Ngược lại, với tự đồng cấu khác đại số A có cách tương tự Nói cách khác, tự đồng cấu h ≠ đại số A viết dạng: h ϕ =  ϕ  α αi −1 , α biến đỏi tuyến tính E Khi cặp (L(A; A), Ω ) tích tenxơ A A, ta viết: hϕ = r ∑α  ϕ  βi , βi ∈A, ∀ αi , i=1 trongđó { αi }, { βi } độc lập tuyến tính Từ hệ thức: h(ϕ ψ ) = hϕ  hψ , Ta có: ∑α  ϕ  ( ψ  β i − β i  ∑α i j ψ  β j ) =0 i Do { αi } độc lập tuyến tính, ϕ tùy ý A nên (hệ 3.10.1) : ψ  βi − βi  ∑α j i ψ  = 1, β j), ⇔ ∑ (δ ri= ij − β i  α j ) ψ  β j = 1, r j Hệ { βi } hệ độc lập tuyến tính nên : βi  α j = δiji , i, j = 1, r Với i ≠ j, từ (3.21) ta βi  α j = được: Với i = j βi  α j = i α , ta có: hϕ = αi  ϕ  α Hệ thức r = Thay αi (3.21) −1 Phần tử α xác định h lên hệ số không đổi Đặc biệt, tự đồng cấu h ≠ đại số A bảo tồn tích vơ hướng: < hϕ , hψ > = tr(hϕ  hψ ) = tr h( ϕ  ψ ) = tr(αi  ϕ ψ  α −1 = tr(ϕ  ψ ) = < h ϕ , hψ > = < ϕ , ψ >, ∀ ϕ , KẾT LUẬN Đề tài ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ý nghĩa mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết ba đại số đa tuyến tính trường, là: Đại số ten xơ, đại số ngoài, đại số ten xơ đối xứng Qua đó, có ứng dụng đại số vào hình học, giải tích, học vật lý,… Tuy nhiên, thời gian khơng có hạn trình độ tơi hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đóng ghps ý kiến thầy, cô bạn sinh viên để đè tài ngày hòan thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tiếng Việt: Đại số đại cương – Nguyễn Hữu Việt Hưng, NXB giáo dục Sách giáo trình đại số tuyến tính – Phan Hồng Trường Sách tiếng Anh: Multilinear Algebra – Werner Greub, Springer – Verlag Mục lục MỞ ĐẦU .3 CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ .4 1.1 Không gian véctơ 1.1.1 Định nghĩa : 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Cơ sở, chiều 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Ánh xạ song tuyến tính 1.2.4 Ví dụ 1.2.5 Ánh xạ song tuyến tính khơng gian khơng gian thƣơng 1.2.6 Ánh xạ đa tuyến tính CHƢƠNG TÍCH TENXƠ CỦA HAI KHƠNG GIAN VÉCTƠ 10 2.1 Tính chất phổ dụng 10 2.2 Những tính chất 11 2.3 Tính 14 2.4 Sự tồn 14 2.5 Tích tenxơ hai khơng gian véctơ .16 2.5.1 Định nghĩa 16 2.5.2 Ví dụ 17 2.6 Hạn chế ánh xạ song tuyến tính thành ánh xạ tuyến tính 17 2.7 Tích tenxơ hai không gian 19 2.7.1 Ví dụ 20 2.8 Tích tenxơ hai không gian thƣơng 20 2.9 Tích tenxơ tổng trực tiếp 21 2.9.1 Ví dụ 23 2.10 Sự phân tích trực tiếp 23 2.11 Tích tenxơ véctơ sở 26 2.12 Áp dụng cho ánh xạ song tuyến tính 26 2.13 Giao tích tenxơ 28 2.14 Tích tenxơ các ánh xạ tuyến tính .29 2.15 Ví dụ 31 2.16 Phép hợp tích tenxơ 32 2.17 Ảnh tạo ảnh 33 CHƢƠNG III TÍCH TENXƠ CỦA NHIỀU KHƠNG GIAN VÉCTƠ 35 3.1 Tính chất phổ dụng 35 3.1.1 Định nghĩa 35 3.2 Ánh xạ song tuyến tính 39 3.3 Hàm song tuyến tính 40 3.4 Ánh xạ đối ngẫu 42 3.5 Ví dụ 42 3.6 Không gian tích .43 3.7 Đại số kết hợp 44 3.8 Đẳng cấu T 47 3.9 Đại số biến đổi tuyến tính 48 3.10 đồng cấu A .49 KẾT LUẬN…… ……………………………………………………………49 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….………………50 ... Nhập môn đại số ten xơ” không trùng lặp hay chép kết đề tài khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiêm Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Nhƣ Thúy Vân MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số tenxơ, đại. .. tenxơ, đại số đối xứng đại số cơng cụ hữu hiệu tốn học, học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phương pháp nghiên cứu đại số tenxơ ảnh hưởng đến số lĩnh vực khác toán học đời sống, nghiên... thích mơn Đại số, giúp đỡ tận tình thầy giáo Ths Nguyễn Huy Hưng, mạnh dạn thực kháo luận tốt nghiệp với đề tài: “ Nhập môn đại số ten xơ ” Mục đích nghiên cứu Cung cấp nghiên cứu tích tenxơ khơng