Hàm tử môđun

bên phải ta có g g h kh0

Xét biểu đồ

(*) Trong biểu đồ (*), ta có g 0 và dòng là khớp. Áp dụng bài tập

(1.4.1), tồn tại đồng cấu : P  A sao cho:

f  h

đồng cấu  chính là đồng cấu cần tìm. 1.5. PHẠM TRÙ

Định nghĩa 1.5.1 :

Một phạm trù C được cho bởi :

C1, Một lớp các vật k mà mỗi phần tử của k được gọi là một vật của phạm trù C

C2, Hai vật X, Y tùy ý của k luôn xác định một tập hợp Mor X Y , 

là tập hợp các cấu xạ từ vật X đến vật Y sao cho với hai cặp khác nhau của X B H C k f g A P h    P B C f g A  

các vật X Y,   U V,  với X, Y, U, V  k thì

   

Mor X, Y Mor U, V  

C3, Với mỗi bộ ba (X, Y, Z) tùy ý các vật của k luôn có một ánh xạ MorX Y, MorY Z,    ,  MorX Z gọi là phép nhân , 

(tích các cấu xạ) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

i) Kết hợp :        ,   , Mor X, Y    Mor Y, Z , w k     Mor Z, W  

ii) Có đồng nhất : Với mỗi vật X  k tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ ix, ixMor X, X  gọi là phần tử đồng nhất sao cho

  X Y i i , Mor X, Y .        * Ví dụ : Phạm trù các nhóm Abel + k = lớp tất cả các nhóm abel.

+ Mor X, Y Hom X, Y  là tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm từ nhóm abel X vào nhóm abel Y.

+ Tích cấu ánh xạ bằng ánh xạ hợp thành các cấu xạ đó.

* Giống như các ánh xạ trong tập hợp và các đồng cấu trong nhóm, trong phạm trù cũng có một khái niệm tương tự gọi là hàm tử. 1.6. HÀM TỬ

1.6.1. Định nghĩa hàm tử hiệp biến

Giả sử C và D là hai phạm trù đã cho và xét một tương ứng f : CD cho ứng với mỗi vật X của C một cấu xạ f() của D. Tương

ứng f được gọi là một hàm tử hiệp biến từ C tới D nếu nó thỏa mãn ba

điều kiện:

ii)  X kC ta có f i x if x 

iii)Nếu  được xác định thì f() = f()f(). 1.6.2. Hàm tử phản biến (nghịch biến)

Tương ứng f gọi là hàm tử phản biến (nghịch biến) từ C tới D nếu

nó thỏa mãn ba điều kiện :

i*) Nếu : X Y thì f    : f Y f X , X, Y   C ii*) X C ta có f i x if x 

iii*) Nếu  được xác định thì f  f    f  . 1.6.3. Hàm tử hợp thành

Giả sử f : CD và g : DE là những hàm tử tùy ý cho trước. Bằng cách lấy hợp thành, ta được một hàm tử mới g f : C E. g f là

một hàm tử hoàn toàn xác định gọi là hàm tử hợp thành của f và g.

Mệnh đề 1.6.1:

Hàm hợp thành g f là một hàm tử hiệp biến nếu f và g cùng hiệp biến hoặc cùng nghịch biến.

Ngược lại g f là một hàm tử nghịch biến.

1.7. PHÉP BIẾN ĐỔI HÀM TỬ 1.7.1. Phép biến đổi tự nhiên

Giả sử f và g là hai hàm tử hiệp biến bất kì từ một phạm trù C đến phạm trù D . Ta gọi phép biến đổi tự nhiên của hàm tử f vào hàm tử glà một hàm  cho ứng với mỗi vật X của phạm trù C một cấu xạ

( )X

 của phạm trù D sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:

1

 , mọi vật X của C , ta có: ( ) : ( ) X f X  g X( )

2

 , mọi cấu xạ  : X Y của C , X Y, C ta có ( ) ( ) ( ) ( )

1.7.2. Tương đương tự nhiên

Giả sử f g C, : D là những hàm tử tùy ý cho trước cùng hiệp

biến hoặc cùng phản biến. Ta sẽ dùng kí hiệu : f  g để chỉ một phép biến đổi tự nhiên  của hàm tử f vào hàm tử g . Nếu cấu xạ ( ) X của

D là một tương đương với mọi vậtX C. Thì khi đó  gọi là một

tương đương tự nhiên của các hàm tử f và g . Kí hiệu : f g

1.8. HÀM TỬ MÔĐUN

1.8.1. Định nghĩa phạm trù môđun

Với bất kì vành R có đơn vị cho trước. Ta xét lớp R mà

+ Mỗi vật của lớp này là một R- môđun cho trước + Cấu xạ giữa hai vật là những R- đồng cấu môđun

Với bất kì cấu xạ  :M  N,M N, là những R- môđun cho trước. Khi đó, cấu xạ:N Q,  Q R. Tích hai cấu xạ  là ánh xạ hợp thành   0 : M Q

Theo định nghĩa phạm trù, ta có R là phạm trù (hay gọi là phạm

trù môđun).

1.8.2. Phạm trù tuyến tính

Một phạm trù C gọi là tuyến tính trên R nếu hai điều kiện sau

được thỏa mãn:

+ Với hai vật bất kì X Y, K của C , Mor X Y( , ) là một môđun trên R

+ Với ba vật bất kì X Y Z, , K của C , tích trong C xác định một hàm song tuyến tính từ Mor X Y( , )Mor( , )Y Z vào Mor( , )X Z

* Nhận xét: Ta có phạm trù R là một phạm trù tuyến tính nên

: R R

1.8.3. Các ví dụ: Cho  là R- môđun trong R

Ví dụ 1: Hàm tử 

Với mỗi môđun X trên R trong MR, gọi f(X) là tích tenxơ X M trên R của các môđun X và M. Với mỗi đồng cấu  : X Y của những môđun trên R trong MR, gọi f   là tích tenxơ i X: M Y M của 

và tự đồng cấu đồng nhất i của M và lúc này f là một hàm tử hiệp biến. Ví dụ 2: Hàm tử Hom

Với mỗi môđun X trên R trong MR, gọi f X là môđun  

 

Hom X, M tất cả các đồng cấu của X và M. Với mỗi đồng cấu

: X Y

  của những môđun trên R trong MR, gọi f  là đồng cấu

 , :  ,   , 

Hom  i Hom Y M Hom X M

trong đó :i M M là tự đồng cấu đồng nhất của M. Ta có f là một hàm tử phản biến.

1.8.4. Hàm tử tuyến tính hiệp biến trên R

Giả sử f :  R R là một hàm tử tuyến tính hiệp biến trên R. Nếu 0 X  Y  Z 0

   

là một dãy khớp ngắn chẻ ra những môđun trên R, thì dãy

  f    f   

0 f X  f Y  f Z 0

   

cũng là một dãy khớp ngắn chẻ ra. 1.8.5. Định nghĩa hàm tử khớp

* Một hàm tử hiệp biến f M: R MR gọi là khớp nếu và chỉ nếu

mọi dãy khớp X  Y  Z   những R-môđun, dãy   f    f    f X  f Y  f Z  

cũng là khớp.

* Một hàm tử hiệp biến f M: R MR gọi là khớp nếu và chỉ nếu

mọi dãy khớp ngắn

0 X  Y  Z 0

   

những môđun trên , dãy

  f    f   

0 f X  f Y  f Z 0

   

bao giờ cũng khớp.

* Một hàm tử phản biến f M: R MR gọi là khớp nếu và chỉ nếu

mọi dãy khớp ngắn

0 X  Y  Z 0

   

những môđun trên , dãy

  f    f   

0 f Z  f Y  f X 0

   

bao giờ cũng khớp.

1.8.6. Hàm tử nửa khớp, khớp trái, khớp phải

* Một hàm tử f M: R MR gọi là nửa khớp nếu và chỉ nếu dãy

  f    f   

f X  f Y  f Z

bao giờ cũng là khớp khi f là hiệp biến và dãy

  f    f   

f Z  f Y  f X

 

bao giờ cũng khớp khi f phản biến.

* Một hàm tử f M: R MR gọi là khớp trái nếu và chỉ nếu dãy

  f    f   

0 f X  f Y  f Z 0

   

bao giờ cũng khớp khi f là hiệp biến và dãy

  f    f   

0 f Z  f Y  f X

  

bao giờ cũng khớp khi f là phản biến.

  f    f   

f X  f Y  f Z 0

  

bao giờ cũng khớp trong trường hợp f là hiệp biến và dãy

  f    f   

f Z  f Y  f X 0

CHƯƠNG 2. CÁC HÀM TỬ TORn VÀ EXTn

2.1. PHÉP GIẢI Định nghĩa 2.1.1 : Định nghĩa 2.1.1 :

Cho A là một R- môđun phải tùy ý. Ta gọi phép giải của A là một

dãy khớp các R- môđun và các đồng cấu

0 1 1 1 0 0 n n n X  X X  X  A           . (1)

Nói riêng, nếu Xn là môđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên R với mọi n0 thì (1) được gọi là một phép giải tự do (tương ứng phép giải xạ ảnh) của môđun A.

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại của phép giải xạ ảnh.

Định lí 2.1.1: Mọi môđun A trên R đều có một phép giải tự do.

Chứng minh: Ta đã biết rằng mọi môđun A đều đẳng cấu với một

môđun thương của một môđun tự do. Do đó, tồn tại một dãy khớp ngắn

0 0

0 0

0 X  F  A 0

   

trong đó F0 là môđun tự do trên R. Lại vì môđun X0 đẳng cấu với một môđun thương của một môđun tự do nên ta cũng có một dãy khớp ngắn

1 1

1 1 0

0 X  F  X 0

   

trong đó F1 là môđun tự do trên R. Như vậy bằng phép quy nạp toán học ta thu được các dãy khớp ngắn

1 0 n n 0 n n n X  F  X     

với mọi số nguyên n > 0, ở đó Fn là môđun tự do trên R. Bây giờ ta lập dãy

1 1 0 1 n n 1 1 0 0 n n n F  F  F F  F  A             (2)

          0