Không gian p 

N E

Cho E là không gian véctơ và plũy thừa tenxơ p

E

 . Sp là kí hiệu nhóm hoán vị của p phần tử. Khi đó, mỗi hoán vị  Sp xác định một tự đồng cấu của p

E

 (cũng đƣợc kí hiệu là  ) đƣợc định nghĩa bởi: x1 ... xp x 1 1 ... x 1 p

        , xvE

Suy trực tiếp từ định nghĩa ta có công thức sau:

  u   u , , ; p p

S u E

  

Và iuu (i là hoán vị đồng nhất).

Bây giờ, giả sử không gian véctơ con p 

N E của pE sinh bởi tất cả các phần tử x1 ... xp sao cho xi xj với ít nhất một cặp i  j. Rõ ràng,

 

p

N E là ổn định đối với  với   Sp. Ta sẽ chứng minh rằng với mọi p

u E và   Sp thì

 

p

u  uN E (3.1) Để chứng minh, ta có thể giả sử u là phân tích đƣợc

1 ... p

Trƣớc tiên, giả sử trong trƣờng hợp của phép chuyển vị trí  :i j. Khi đó, ta có: u r u      x1 ... xi ... xj ... xp       x1 ... xj ... xi ... xp   x1 ... (xixj) ... (xixj) ... xp       x1 ... xi ... xi ... xp        x1 ... xj ... xj ... xp Np E Giả sử rằng p 

u  uN E với mọi hoán vị  là tích của m

chuyển trí. Và giả sử hoán vị   (trong đó  là phép chuyển trí và  là tích của m chuyển trí). Giả sử ta có:   p u  uN E Vì p 

N E ổn định đối với  nên suy ra

  p u  uN E Do đó:   p r u  u N E      . Mặt khác:   p u  uN E Vậy:   p u  uN E .

Bằng phƣơng pháp quy nạp thì (3.1) đƣợc chứng minh.