Phương trình loại elliptic

Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Phương trình loại Elliptic Người hướng dẫn: TS Trần Văn Bằng Sinh viên: Vũ Thị Mai Khoa: Toán Khóa : 2006-2010 Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán Học – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng – Giảng viên khoa Tóan Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng cho suốt trình làm khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Mai Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Nội dung Trang Mở đầu Chương Những kiến thức chuấn bị Các khái niệm tổng quát Một số phương trình Vật Lí-Toán Phân loại phương trình tuyến tính cấp 13 Phương trình tắc 16 Bài toán Côsi Chương Phương trình loại Elliptic Thiết lập phương trình 19 Phương trình Laplace Hàm điều hòa 30 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 34 toán biên Một số ví dụ hàm Green 40 Phương pháp tách biến Fourier giải toán biên 57 Bài toán Dichlet miền bị chặn 62 Bài toán Dirichlet miền không bị chặn 60 Bài toán Newman 72 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển Toán học đánh dấu ứng dụng Toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng Ra đời từ năm 60, phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung Toán học nói riêng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic có ứng dụng lớn khoa học thực tiễn Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic khó khăn phức tạp Với khả ứng dụng rộng rãi khoa học thực tiễn, nhà Toán học tập trung nghiên cứu tìm nhiều phương pháp để giải toán phươg trình đạo hàm riêng loại Elliptic Được hướng dẫn tận tình T.S Trần Văn Bằng với lòng yêu thích môn em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài :Phương trình loại Elliptic Khoá luận gồm phần *Chương : *Chương 2: Vũ Thị Mai Những kiến thức chuẩn bị Phương trình Elliptic K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính §1: Các khái niệm tổng quát Một phương trình liên hệ ẩn hàm u  x1 , x2 , , xn  , biến độc lập  x1 , x2 , , xn  đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Nó có dạng:   u u ku F  x1 , , xn , u, , , , , k1 , 0 kn  x  x  x  x n n   F hàm đối số Cấp cao u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Ví dụ: Phương trình đạo hàm riêng cấp có dạng:  u u  F  x1 , , xn , u, , ,  =0 x1 xn   (1.1) Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hàm biến có dạng:  u u  2u  2u  2u  F  x, y , u , , , , , 0 x y x y xy   Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính ẩn hàm tất đạo hàm riêng nó: Ví dụ  2u  2u  2u u u a  x, y   2b  x, y   c  x, y   d  x, y   e  x, y  x xy y x y  f  x, y  u  g  x , y  Đây phương trình tuyến tính cấp Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính với đạo hàm cấp cao ẩn hàm Ví dụ a  x, y , u , u x , u y   2u  2u  2u  b x , y , u , u , u  c x , y , u , u , u   x y x y x xy y  d  x, y , u , u x , u y   Đây phương trình tuyến tính cấp ux , u y kí hiệu u u , x y Giả sử F xác định miền G không gian 2n+1 chiều Hàm u  u  x1, x2 , , xn  liên tục với đạo hàm riêng cấp miền D không gian n chiều gọi nghiệm phương trình (1.1) D : a Với  x1, x2 , , xn   D  u u  x , , x , u x , , x , , ,     G n n x1 xn   b Khi thay u  u  x1, x2 , , xn  vào (1.1) ta đồng thức D Bài toán Côsi: Tìm nghiệm u    x1, x2 , , xn  phương trình (1.1) cho x1  x10 u    x1, x2 , , xn   hàm cho trước Ở ta thay vai trò x1 biến lại Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp §2: Một số phương trình Vật lí-Toán Phương trình truyền nhiệt Giả sử   R3 vật thể với biên trơn Gọi u  x, t   u  x1, x2 , t  nhiệt độ thời điểm t (t>0) Theo định lí vật lí mốt số điều kiện định (  -đẳng hướng, u  x, t   C 2.1    [0,T ] , ) u ( x, t ) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp sau: C ( x)  ( x) u   u     k ( x)   f ( x, t ) t i 1 xi  xi  (2.1) Trong C ( x ) -nhiệt dung riêng  x  ( x) -khối lượng riêng k ( x) -hệ số truyền nhiệt  x f ( x, t ) -hệ số nguồn nhiệt riêng x thời điểm t Đặc biệt C ( x ) ,  ( x) , k ( x) số c,  , k (2.1) trở u  2u     f ( x, t ) t i 1 xi thành Với   Kí hiệu: k hệ số khuếch tán c n u   i 1  2u xi2 n=3 ta có phương trình u   u  f ( x, t ) t (2.2) Phương trình (2.2) gọi phương trình truyền nhiệt  Các điều kiện bổ sung: Điều kiện ban đầu u( x,0)  0 với x  (2.3) Điều kiện biên Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội + Thứ  + Thứ hai  u t  1 ( x, t )  Khoá luận tốt nghiệp ( x, t )   [0,T] (2.4)  2 (2.5) Khái niệm: Bài toán tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng (2.2) thỏa mãn điều kiện bổ sung: điều kiện ban đầu (2.3) điều kiện biên (2.4) (2.5) gọi toán biên ban đầu thứ (thứ hai) phương trình truyền nhiệt Phương trình Laplace, Poison Trong phương trình truyền nhiệt, nhiệt độ giữ ổn định (không phụ thuộc vào thời gian t) u ( x) cho phân bố nhiệt dừng  Và (2.2) có dạng: u  f ( x) (2.6) x (2.6) gọi phương trình Poisson f ( x)   u  -phương trình Laplace Hàm u  C () thỏa mãn u  gọi hàm điều hòa  Các điều kiện bổ sung: Điều kiện biên thứ (Dirichlet) u Điều kiên biên thứ hai (Newman) u    0   1  u  |       Điều kiện biên thứ 3(hỗn hợp)   u       Phương trình truyền sóng Nhiều phương trình dao động (truyền sóng) có dạng:  2u  a u  f ( x, t ) t Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp * Các điều kiện bổ sung: u ( x,0)  0  Điều kiện ban đầu: u  t ( x,0)  1  2u  a u  f ( x, t ) t Với n=1: ( x, t )  R  [0, T ] Đây phương trình mô tả dao động sợi dây Điều kiện biên x [0, L] Sợi dây hữu hạn u (0, t )  u( L, t )  0t [0, T ] Sợi dây nửa vô hạn x[0, ] u (0, t )  điều kiện dáng điệu x   Sợi dây vô hạn x  (, ) điều kiện biên điều kiện dáng điệu x   Khi n=2 phương trình mô tả dao động màng mỏng:  2u  2u  2 u  a     f ( x, y , t ) t y   x §3: Phân loại phương trình tuyến tính cấp Phương trình tắc Phân loại phương trình tuyến tính cấp trường hợp biến Xét phương trình tuyến tính cấp với hệ số thực: a( x, y)U xx  2b( x, y)U xy  c( x, y)U yy  F ( x, y, u, u x , u y )  (*) Xét điểm ( x0 , y0 ) cố định Phương trình (*) điểm ( x0 , y0 ) gọi là: Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 10 Khoá luận tốt nghiệp a Thuộc loại Elliptic điểm   b  ac 0 c Thuộc loại parabonic điểm   b  ac =0 Nếu phương trình (*) điểm miền G thuộc loại ta nói phương trình thuộc loại miền G Phương trình tắc Nhận xét : Loại phương trình (*) không thay đổi qua phép đổi biến không suy biến Chứng minh Giả sử có phép đổi biến    ( x, y)     ( x, y) Khi ta có với D ( x, y )  x  x  0 D( , )  y  y U x  U  x  Ux U y  U  y  U y Từ U xx  ( x )2U  2 x xU  ( x )2U  U  xx  U xx U yy  ( y )2U  2 y yU  ( y )2U  U  yy  U yy U xy   x yU  ( x y   yx )U  x yU  U xy  Uxy thay vào (*) ta được: a1 ( , )U  2b1 ( , )U  c1( , )U  M ( ,, u, u , u )  Với (**) a1  a x2  2b x y  c y2  b1  a x x  b( x y   y x )  c y y  2 c1  a x  2b x y  c y (3.1)  D( , )  Ta có b  a1c1  (b  ac)( x y   y x )  (b  ac)    D ( c, y )  Vũ Thị Mai 2 2 K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 59 Khoá luận tốt nghiệp Do u  u B '  u  h B  u  h B '/ B Do u hàm điều hòa B nên theo nguyên lí cực trị u  h B  B ' ta có u  h B ' Nhận xét: i, Các kết tương ứng hàm nhận việc thay hàm u – u bổ đề ii, Giả sử  hàm bị chặn  + Một hàm u điều hòa liên tục  gọi hàm chứa  thỏa mãn u    + Và ngược lại hàm u hàm điều hòa Iii, Theo nguyên lí cực trị, hàm bé Đặc biệt hàm ( hàm trên) hàm giá trị không lớn inf  (không nhỏ sup  )   Kí hiệu S tập tất hàm  Định lí 1: Hàm u ( x)  sup v( x) điều hòa  xS Chứng minh Do nguyên lí cực trị, u hàm thuộc  thỏa mãn v  sup => u hàm xác định khắp nơi  Giả sử y cố định thuộc  Theo định nghĩa hàm u, tồn dãy (vn )  S cho ( y)  u( y) hay max(vn ,inf )  u  (vn ) bị chặn Chọn R >0 cho hình cầu B  BR ( y)   Gọi Vn điểm cắt điều hòa B Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 60 Khoá luận tốt nghiệp Khi Vn  S ,Vn ( y)  u( y)  (Vn )  (Vnk ) hội tụ hình cầu B ( y ) với bán kính   R tới hàm điều hòa V B  v  u B v( y )  u ( y ) Giả sử v( z )  u ( z ) với z  B u  S / v( z )  u ( z ) Đặt w k  max{u, vnk } Lấy điểm cắt điều hòa w k hàm  (w k ) dãy tùy ý hội tụ tới hàm điều hòa w cho v  w  u B v( y )  w( y)  u ( y) Theo nguyên lí cực trị v  w B Điều mâu thuẫn với giả thiết chọn u Từ suy u hàm điều hòa  Định nghĩa: Cho toán Dirichlet u   , u    Nếu có nghiệm nghiệm w xây dựng w gọi nghiệm Perron Định nghĩa:   Hàm w  w   C () gọi hàm chắn điểm   nếu: i w hàm điều hào  ii w>0  \ { }, u ( )  Cách xây dựng hàm chắn Giả sử B hình cầu, B  ,   B, m  inf w  V \B min(m, w( x)) x   B w( x)   m x  \ B  Là hàm chắn điểm   Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 61 Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa: Một điểm biên gọi điểm điểm tồn hàm chắn Bổ đề 5: Gỉa sử u hàm điều hòa  xác định định lí Khi  điểm biên miền  , hàm  liên tục  u ( x)   ( ) x   Định lí 2: Bài toán Dirichlet miền bị chặn giải giá trị biên liên tục tất cac điêm biên miền Chứng minh Nếu hàm  liên tục điểm biên miền theo bổ đề 5, hàm xác định định lí nghiệm tương úng toán Dirichlet Ngược lại, giả sử toán Dirichlet giải tất giá trị biên liên tục giả sử  điểm tùy ý biên Khi hàm điều hòa nghiệm toán Dirichlet  với hàm liên tục  | x   | hàm chắn điểm    điểm Suy định lí phải chứng minh Từ ta có kết quả: Bài toán Dirichlet giải miền bị chặn với biên thuộc lớp C2 với hàm biên liên tục Ta xây dựng w đơn giản cách chọn   , hình cầu B  BR ( y) cho   B    R n2  | x  y |2n n    w( x)   |x y| n2  ln  R Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 62 Khoá luận tốt nghiệp §7 Bài toán Dirichlet miền không bị chặn Phép nghịch đảo bán kính vecto Cho mặt cầu S R tâm O bán kính R Gọi P điểm không gian, P’ điểm nghịch đảo P mặt cầu tức OP.OP '  R2 (7 1) Giả sử tọa độ cầu P P(r , , )  tọa độ cầu P’ P '(r ', , ) , R2 với r '  r Giả sử u (r , , )  thỏa mãn phương trình Laplace:   u    u   2u u(r , , )   r =0 (7 2)   sin    r r  r  r sin      r sin  Thực phép nghịch đảo (7 1) S R Khi  biến thành  ’ Ta chứng minh hàm v(r ', , ) xây dựng công thức v(r ', , )  ru (r , , )  R2 R2 u ( , , ) thỏa mãn phương trình r' r' Laplace  ’ Ta giả sử R=1  r '  Ta có: r   u   2u u  (ru)   r  r r  r  r r r r r Thay vào (7 2) ta được:  (ru )    u   2u  r u (r , , )    0  sin   r r  sin      sin      2v    v   2v   sin   0   r r  sin      sin  r  Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 63 Khoá luận tốt nghiệp Từ r '   lấy đạo hàm theo r ta có: r    dr '      r '2 r r ' dr r r ' r '  r '2   v    v   2v  2 r '  r ' sin   0     sin    2 r '  r '    sin         r '4 v(r ', , )  hay v(r ', , )  Trong không gian n chiều (n>2) gọi  (r, ),  (1,2 , ,n1 ) tọa độ điểm tọa độ cực điểm nghịch đảo mặt cầu đơn 1 vị (r ', )  ( , ) với r '  r' r Nếu u (r , ) hàm điều hòa   v '(r ', )  r n1u (r , )  1 u ( , ) n2 r' r' Là hàm điều hòa  ’ Với n=3: Gỉa sử u (r , , ) hàm điều hòa miền vô hạn  giả thiết   S không chúa điểm O giả sử mặt biên S mặt kín hữu hạn r   thỏa mãn bất đẳng thức: | u (r , , ) | A thực phép đổi biến Ken-vin biên miền vô r hạn  thành miền giới nội  ’ với r '   Theo cách đổi biến ta có: | v(r ', , ) || ru (r , , ) | A Nếu ta bổ sung cho v(r ', , ) giá trị điểm r’=0 v(r ', , ) hàm điều hòa toàn miền  ’ kể r’=0  u (r , , ) điều hòa miền  v(r ', , ) điều hòa miền giới nội  ’ Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 64 Khoá luận tốt nghiệp Vậy xét hàm điều hòa phương trình Laplace miền không bị chặn ta chuyển miền hữu hạn Bài toán Dirichlet miền không bị chặn Bài toán phát biểu sau: Giả sử  miền vô hạn với mặt biên S kín, bị chặn, trơn mảnh f ( x), x  ( x1, x2 , , xn , ) hàm cho trước, liên tục S Tìm hàm u ( x) điều hòa  , liên tục miền đóng   S cho biên S, giá trị đặc trưng với hàm f ( x) nói u  Hay  u S  f ( x) (7 3) Khi x   ta có đánh giá: n  | u ( x) | C r n2 n  | u ( x) | C Ta xét toán với trường hợp n=3 Định lí 1: Bài toán Dirichlet (7 3) có nghiệm Chứng minh Giả sử toán có nghiệm u1 ( x), u2 ( x)  u1 ( x), u2 ( x) thỏa mãn (7 3) | u1 ( x) | C C ,| u2 ( x) | r r Xét hiệu v( x)  u1 ( x)  u2 ( x) v   v S  | v( x) | C r   r Ta chứng minh v( x)  toàn  Xét điểm x '  ( x1' , x2' , , xn' , )  chứng minh | v( x ') |  ;   tùy ý cho trước Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 65 Khoá luận tốt nghiệp Xét mặt cầu S R tâm O bán kính R lớn chứa điểm x ' S R ta có | v( x) | C  r C-const Gọi R miền giới hạn mặt biên S mặt cầu S R  v( x) S  Và S R tức biên S  S R ta có | v( x) |  Do v ( x ) hàm điều hòa R , liên tục miền đóng R  S  SR nên từ nguyên lí cực đại ta có | v( x) |  toàn R | v( x ') |  Do   tùy ý u1 ( x)  u2 ( x)  Tính nghiệm toán Định lí 2: Nghiệm toán Dirichlet phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên Chứng minh Trên biên theo chứng minh là: | v( x) |  | u1 ( x)  u2 ( x) |  (*) Theo hệ nguyên lí cực đại | u1 ( x)  u2 ( x) |   Do u1 S  f1; u2 S  f | f1  f |  | u1 ( x)  u2 ( x) |  Suy nghiệm toán phụ thuộc liên tục vao kiện biên Công thức Poisson miền không bị chặn hình cầu Đối với miền không bị chặn hình cầu, ta xét toán u   u SR  f ( x), x  (r , , ) Với n=3 ta có | u | C ; r  x2  y  z r Dùng phép đổi biến Ken-vin ta có rr '  R2  u(r , , )  r ' v(r ', , ) Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 66 Khoá luận tốt nghiệp Khi ta có toán miền không bị chặn  ’ hình cầu: v    v  S  R R u (r , , ) SR  f ( x) R Đối với miền bị chặn ta có công thức Poisson sau: v(r ', , )  4 R  r '2 S  3R R f ( x ')dS x ' R r'  u (r , , )  r ' v(r ', , )  4 x '  (r ', , ) R  r '2 S  3R2 f ( x ')dS x ' R R2 R ; x  S R Mà r '  ;  '  r r  u (r , , )  4 r  R2 S  3R f ( x ')dSx ' R Đây công thức Poisson cho miền không bị chặn hình cầu Và mở rộng không gian n-chiều ta có: r  R2 u ( x)  f ( x)dS x ' | S1 | SR  n R §8 Bài toán Newman Bài toán Newman Định nghĩa: Gỉa sử u ( P) hàm xác định miền  với  biên S, n pháp tuyến mặt S điểm P thuộc S  Gọi Q điểm nằm pháp tuyến n qua điểm P tồn u ( P) ; Q  S giới hạn hàm liên tục điểm P thuộc P Q n Q lim S điểm Q thuộc S ta nói u ( P) hàm có Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 67 Khoá luận tốt nghiệp đạo hàm pháp tuyến biên S đạo hàm giới hạn Nhận xét: Nếu u(P) thỏa mãn: + Là hàm liên tục + Có đạo hàm riêng cấp liên tục miền đóng   S Suy u ( P) có đạo hàm theo pháp tuyến S Định nghĩa: Biên S gọi mặt nếu: + Tại điểm Q thuộc S tồn pháp tuyến xác định + Tại điểm Q thuộc S ta xây dựng hệ tọa độ  ( x1, x2 , x3 ) trục chứa x3 trùng với pháp tuyến n , x1, x2 thuộc mặt phẳng tiếp xúc S điểm Q phần mặt S lân cận điểm Q viết dạng: x3  f ( x1, x2 ) với f ( x1, x2 ) hàm liên tục có đạo hàm liên tục cấp  Bài toán Newman có dạng: u    lim u  PQ n Q  S  f ( P) -Nếu  miền bị chặn ta có toán Newman -Nếu  miền không bị chặn với biên S bị chặn ta có toán Newman Bài toán Newman Điều kiện để tồn nghiệm   Tại điểm Q thuộc S dựng pháp tuyến n n lấy Q’ cho d (Q, Q ')  h , h>0 cố định Khi Q chạy mặt S Q’ tạo nên mặt kí hiệu Sh Sh gọi mặt song song mặt S Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 68 Khoá luận tốt nghiệp  Theo hình học vi phân, h đủ nhỏ , S-trơn Sh trơn n pháp  tuyến S n pháp tuyến Sh Gọi Wh miền tạo mặt S Sh  h miền lại tức h   \ W h Do u(P) hàm điều hòa   u ( P) liên tục có đạo hàm riêng cấp miền đóng h  Sh   Sh u dSh  n Mà u ( P) có đạo hàm theo pháp tuyến h  ta (8 3) u S n dS  hay  f (Q)dS Q 0 (8 4) S Vậy điều kiện để toán Newman có nghiệm có điều kiện (8 4) Bài toán nghiệm Giả sử (8 1), (8 2), (8 4) xảy toán có nghiệm u ( P) ta có đặt v( P)  u ( P)  C , C-const Thật từ u   v  u v  f ( P)  lim  f ( P) PQ n P Q n Q Q lim  f (Q)dS Q  luôn thỏa mãn S Suy u ( P)  C nghiệm toán Định lí 1: Hai nghiệm toán Newman phương trình Laplace sai khác số cộng Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 69 Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh Giả sử u1 ( P), u2 ( P) nghiệm toán (8 1), (8 2) Đặt v( P)  u1 ( P)  u2 ( P) Ta chứng minh v( P)  const Theo điều giả sử  u1 ( P), u2 ( P) thỏa mãn (8 1), (8 2)  v  (u1 ( P)  u2 ( P))  u1 ( P)  u2 ( P)  v( P) (u1 ( P)  u2 ( P)) v  lim  PQ n P Q  n n Q Q lim S 0 Áp dụng công thức Green thứ   h , u( P)  v( P)  v 2  v 2  v 2   v  Khi ta có           dV   v   dSh  n  h  Sh   x   y   z   Hàm v ( P ) liên tục   S nên v ( P ) bị chặn Theo u1 ( P), u2 ( P) có đạo hàm theo pháp tuyến, nên v n Sh  v n S Do cho h  ta có  v 2  v 2  v 2           dV      x   y   z    v v v   0 x y z Suy v( P)  const Bài toán Newman Bài toán Newman có dạng: u   u  n S  f ( P) | u ( P) | C ;P   r Định lí: Bài toán Newman (8 5) có nghiệm Chứng minh Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 70 Khoá luận tốt nghiệp Gỉa sử u1 ( P), u2 ( P) ngiệm toán (8 5)  u    u Đặt v( P)  u1 ( P)  u2 ( P) thoả mãn  S  f ( P)  n  C  | v ( P ) |  ,P    r Xét mặt phẳng song song Sh S   mặt cầu S R tâm O, Rđủ lớn, cho h đủ nhỏ Sh  SR Gọi hR miền giới hạn Sh S R  miền giới hạn S R S Áp dụng công thức Green thứ cho hàm v ( P ) miền hR (vì v ( P ) có đạo hàm riêng cấp liên tục hR  v 2  v 2  v 2  v h vudV  h  x    y    z   dV  S S v n dS  R R  h R  Cho h  ta có:  v 2  v 2  v 2  v   dV   v dS             x  y  z  n        R  SR  Ta có | v C C' v v C '' | ;| v | |  v dS |   | v || | dS   dS n R R n n R SR SR SR  C '' C ''  R   R   R3 R (8 7) Cho R   từ (8 6), (8 7) ta có: Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 71 Khoá luận tốt nghiệp  v 2  v 2  v 2           dV   R   x   y   z   v v u      v( P)  const x y z Và lim v( P)   v( P)  P  Suy điều phải chứng minh Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 72 Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Trên toàn nội dung khoá luận em Trong khoá luận tốt nghiệp này, em trình bày hiểu biết kiến thức phương trình vi phân đạo hàm riêng kiến thức toán Côsi toán Dirichlet, Newman phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic Ngoài ra, trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic giúp em thấy ứng dụng việc giải lớp toán vật lí phương trình truyền sóng Qua giúp em hiểu khoa học thực tiễn phương trình đạo hàm riêng co ứng dụng to lớn Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em mở rộng tầm hiểu biết phương trình vi phân đạo hàm riêng làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn vấn đề thân em, nên trình viết trình in ấn, khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khoá luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, trường ĐH sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện giúp em hoàn thành khoá luận Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 73 Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Nguyễn Thừa Hợp – Giáo trình phuơng trình đạo hàm riêng – NXBĐH & THCN – 1976 Nguyễn Mạnh Hùng -Phương trình đạo hàm riêng- NXBĐHSP-1996 Vũ Tuấn – Phương trình vi phân-NXBGD-1992 Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán [...]... phân tổng quát của phương trình vi phân (3.2) Do đó ta có cách đổi biến số sau: a Nếu   b 2  ac >0 thì (3.2) có 2 nghiệm y'  b   a Giải 2 phương trình ta có: 1 ( x, y )  c1  2 ( x, y )  c2   1 ( x, y) từ đó đặt    2 ( x, y) Thay vào (*) ta được U  N ( , , u, u , u ) Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Hypebonic Đặt      thì phương trình có dạng  ... tốt nghiệp Suy ra nếu (*) thuộc loại phương trình nào thì (**) cũng thuộc loại tương ứng tại điểm đó Xét phương trình vi phân a(dy)2  2bdxdy  c(dx)2  0  a( y ')2  2by ' c  0 (3.2) Từ (3.1) ta thấy nếu chọn (0 ,0 ) là nghiệm của phương trình đạo hàm azx2  2bzx z y  cz y2  0 riêng (3.3) Khi đó ở (3.1) có a1  c1  0 Bổ đề: Hàm z  z ( x, y ) là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (3.3) khi... u ) Đây là phương trình chính tắc thứ hai của phương trình loại Hypebonic Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 12 Khoá luận tốt nghiệp b Nếu   b 2  ac =0 b (3.2) có một nghiệm y '     ( x, y )  c a    ( x, y) Đặt  sao cho    ( x , y )  D( , ) 0 D ( x, y ) Thay vào (*) ta được U  N ( , , u, u , u ) Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Parabonic... Tích phân ta được  ( x, y )  i ( x, y )  c Đặt    ( x, y )     ( x, y ) Thay vào (*) ta được U  U  N ( , , u, u , u ) Đây là phương trình chính tắc của phương trình loại Elliptic 3 Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của hàm n biến Phương trình đạo hàm riêng cấp 2 của hàm n biến có dạng: n  a ( x)U i , j 1 ij n xi x j   ai ( x)U xi  a( x)u  g ( x)  0 i 1 Giả sử aij ( x)  a... thỏa mãn phương trình :  2u  f ( x)  2 i 1 xi 3 Khi f ( x)  0 được gọi là phương trình Laplace Khi f ( x)  0 được gọi là phương trình Poisson Bài toán tìm phân bố nhiệt dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ đã cho trên biên được gọi là bài toán Dirichlet Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 19 Khoá luận tốt nghiệp §2: Phương trình Laplace Hàm điều hòa Phương trình Laplace... Hàm điều hòa Phương trình Laplace có dạng:  2u  2 u  2u    2  0 x12 x22 xn ở chương trước khi phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, n biến thì ta dễ dàng thấy được phương trình Laplace thuộc loại Elip với số giá trị dương n  n Từ đó khi nghiên cứu về phương trình loại Elip thì người ta thường nghiên cứu về hàm Laplace và hàm điều hòa 1 Xét bài toán biên (Dirichlet) u... Đại học sư phạm Hà Nội 2 16 Khoá luận tốt nghiệp Chương 2: Nội dung Phương trình loai Elliptic §1: Thiết lập phương trình Bài toán: Xét một vật thể rắn  mà nhiệt độ của nó tại điểm x  x( x1, x2 , x3 ) và tại thời điểm t được xác định bởi hàm u( x, t )  C 2.1 ( [0,T ]) Ta coi  là vật thể đẳng hướng, tức là truyền nhiệt theo phương nào cũng như nhau Giả sử 1 là miền con của  với biên 1 trơn... 2 1 n    n   n ( x1 , , xn )    ( x) 1  n  x1 x1 D  Dx 1  n  xn xn Rồi dùng phương pháp như trên để sy ra phương trình dạng chính tắc đối với từng loại &4: Bài toán Côsi 1 Bài toán Côsi Định lí Kovalepskaia Giả sử  là miền nào đó trong không gian R n Xét trong  phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 n  2u u aij ( x)   ai ( x)  a( x)u  f ( x)  xi x j i 1 xi... đủ trơn Nếu n=1 và a11  0 thì (4.1) còn được viết dưới dạng u '' b(t )u ' c(t )u  f (t ) t  x1 (4.2) Bài toán tìm nghiệm của phương trình (4.2) tỏa mãn điều kiện ban đầu u(t 0 )  u0 , u '(t0 )  u1 là bài toán Côsi trong phương trình vi phân thường Mổ rộng sang phương trình đạo hàm riêng ta làm như sau: Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 14 Khoá luận tốt nghiệp Tách 1 biến trong... toán Đirichlet đối với phương trình Laplace là duy nhất và nó phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên Định li 3 2: Nghiệm của bài toán Dirichlet (nếu có) đối với phương trình Poisson là duy nhất và phụ thuộc liên tục vào hàm f và hàm biên  Chứng minh Ta chứng minh bổ đề sau: Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Đại học sư phạm Hà Nội 2 32 Khoá luận tốt nghiệp “ giả sử u là nghiệm của phương trình u  f  , u  ... quát Một số phương trình Vật Lí-Toán Phân loại phương trình tuyến tính cấp 13 Phương trình tắc 16 Bài toán Côsi Chương Phương trình loại Elliptic Thiết lập phương trình 19 Phương trình Laplace... u ) Đây phương trình tắc phương trình loại Hypebonic Đặt      phương trình có dạng       U  U   N1 ( ,  , u, u , u ) Đây phương trình tắc thứ hai phương trình loại Hypebonic... Thuộc loại Elliptic điểm   b  ac 0 c Thuộc loại parabonic điểm   b  ac =0 Nếu phương trình (*) điểm miền G thuộc loại ta nói phương trình thuộc loại