Phương trình loại Elliptic

Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Phương trình loại Elliptic Người hướng dẫn: TS Trần Văn Bằng Sinh viên: Vũ Thị Mai Khoa: Tốn Khóa : 2006-2010 Vũ Thị Mai K32B-Khoa Tốn Lời cảm ơn Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán Học – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng – Giảng viên khoa Tóan Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng cho tơi suốt q trình làm khóa luận để tơi có kết ngày hơm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Mai Mục lục Nội dung Mở đầu Chương Những kiến thức chuấn bị niệm tổng quát Các khái phương trình Vật Lí-Tốn Một số phương trình tuyến tính cấp Phương trình tắc Phân loại Bài tốn Cơsi Trang 13 16 Chương Phương trình loại Elliptic 19 Thiết lập1.phương trình 30 Phương2.trình Laplace Hàm điều hòa 34 Tính duy3.nhất phụ thuộc liên tục nghiệm toán biên Một số ví dụ hàm Green Phương pháp tách biến Fourier giải toán biên Bài toán Dichlet miền bị chặn Bài tốn Dirichlet miền khơng bị chặn 40 Bài toán4.Newman 57 62 60 72 73 74 Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu Tốn học mơn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển Toán học đánh dấu ứng dụng Toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều tốn liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng Ra đời từ năm 60, phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung Tốn học nói riêng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic có ứng dụng lớn khoa học thực tiễn Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu tính chất định tính việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic khó khăn phức tạp Với khả ứng dụng rộng rãi khoa học thực tiễn, nhà Tốn học tập trung nghiên cứu tìm nhiều phương pháp để giải tốn phươg trình đạo hàm riêng loại Elliptic Được hướng dẫn tận tình T.S Trần Văn Bằng với lòng u thích mơn em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài :Phương trình loại Elliptic Khoá luận gồm phần *Chương : *Chương 2: Những kiến thức chuẩn bị Phương trình Elliptic Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính §1: Các khái niệm tổng qt Một phương trình liên hệ ẩn hàm u ( x1 , x2 , , xn ) , biến độc ( x1 , x2 , , xn ) lập đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Nó có dạng: k  ∂u  ∂ u ∂u k k F  x1 , , xn ,u, , , ∂ x , , ∂x ∂x,  = ∂x n n  n F hàm đối số Cấp cao u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Ví dụ: Phương trình đạo hàm riêng cấp có dạng:  ∂u  ∂u F  x1, , xn ,u, , , ∂ x  =0 ∂x n (1.1)  Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hàm biến có dạng: 2 F  x, y,u, ∂u ∂u u 0 , , ∂ u, ∂ , u ∂ = ∂x ∂ y ∂x∂y ∂y ∂x   Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính ẩn hàm tất đạo hàm riêng nó: Ví dụ ∂ 2 a ( x, ∂ ∂ ∂ + d ( x, y ) + e ( x, y ) u + 2b( + c ( x, ∂u u u u ∂y y) x, y ) y) ∂ ∂x ∂ ∂x y ∂y x2 + f ( x, y )u = g ( x, y ) Đây phương trình tuyến tính cấp Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính với đạo hàm cấp cao ẩn hàm Ví dụ a ( x, y,u,ux ,u y ∂ + 2b ( x, y,u,u ,u ∂ + c ( x, y,u,u ,u ∂ u x y x y u u ) ∂y ) ) ∂ ∂x ∂y x +d ( x, y,u,u x ,u y ) = ux , Đây phương trình tuyến tính cấp u y kí hiệu ∂u ∂u , ∂x ∂y Giả sử F xác định miền G không gian 2n+1 chiều Hàm u = u ( x1, x2 , , xn ) liên tục với đạo hàm riêng cấp miền D không gian n chiều gọi nghiệm phương trình (1.1) D : a Với ( x1, x2 , , xn )∈ D  ∂u  ∂u  x1 , , xn ,u ( x1, , xn ) ,, ,   ∈G ∂xn  ∂x1 b Khi thay u = u ( x1, x2 , , xn ) D vào (1.1) ta đồng thức Bài tốn Cơsi: Tìm nghiệm u = Φ ( x1 , x2 , , xn ) phương trình (1.1) cho x u = = x , x , , x 1 ϕ ( x ) ϕ hàm cho n trước Ở ta thay vai trò x1 biến lại §2: Một số phương trình Vật lí-Tốn Phương trình truyền nhiệt Giả sử Ω⊂ R vật thể với biên trơn Gọi u ( x,t ) = u ( x1, x2 ,t ) nhiệt độ thời điểm t (t>0) Theo định lí vật lí mốt số điều kiện định ( Ω -đẳng hướng, u ( x,t ) ∈C 2.1 ( Ω×[0,T ]), ) u(x,t) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp sau: ∂u3 ∂  ∂u f (x,t) k(x)   + ∂t i=1 ∂xi  ∂xi  C(x) ρ(x) =∑ (2.1) Trong C(x) -nhiệt dung riêng Ω x ρ(x) -khối lượng riêng k(x) -hệ số truyền nhiệt Ω x f (x,t) -hệ số nguồn nhiệt riêng x thời điểm t Đặc biệt C(x) ρ (x k(x) số c, , ρ,k ), thành ∂ u ∂u =3 ε f (x,t) ∂t ∑ ∂x + i=1 i k Với ε = c ρ hệ số khuếch tán n Kí hiệu: ∂u (2.1) trở ∆u = ∑ x i=1 n=3 ta có phương trình ∂ i ∂u = ε f (x,t) (2.2) ∆u + ∂t Phương trình (2.2) gọi phương trình truyền nhiệt ∗ Các điều kiện bổ sung: Điều kiện ban đầu Điều kiện biên u(x,0) = với ∀x ∈Ω ϕ0 (2.3) Xét mặt cầu SR tâm O bán kính R lớn chứa điểm x ' C S R ta có | v(x) |≤ ≤ ε C-const r Gọi miền giới hạn mặt biên S mặt cầu SR ⇒ v(x) ΩR = Và SR tức biên S ta có | v(x) |≤ ε ∪ SR Do v(x) hàm điều hòa ΩR , liên tục miền đóng ΩR ∪ S ∪ SR nên từ nguyên lí cực đại ta có | v(x) tồn |≤ ε ΩR ⇒| v(x ') |≤ ε Do ε > 0tùy ý u1 (x) = u2 (x) ⇒Tính nghiệm tốn Định lí 2: Nghiệm toán Dirichlet phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên Chứng minh Trên biên theo chứng minh là: | v(x) |≤ ε ⇒| u1 (x) − u2 (x) |≤ ε (*) Theo hệ nguyên lí cực đại ⇒| u1 (x) Ω − u2 (x) |≤ ε Do u1 S = f1;u2 S = f2 S | f1 − f2 | ≤ ε | u1 (x) − u2 (x) | ≤ ε Suy nghiệm toán phụ thuộc liên tục vao kiện biên Công thức Poisson miền khơng bị chặn hình cầu Đối với miền khơng bị chặn hình cầu, ta xét tốn ∆u =  f (x), x = (r,θ , ϕ) S u = C Với n=3 ta có | u |≤ ;rx2 y2 z 2 = rr ' = R ⇒ u(r, θ,ϕ) r = r 'v(r ',θ,ϕ) Dùng phép đổi biến Ken-vin ta có R Khi ta có tốn miền khơng bị chặn Ω ’ hình cầu: ∆v =   = u(r,θ , ϕ) f (x) v  = S S R R R R Đối với miền bị chặn ta có cơng thức Poisson sau: '2 R − r x ' = (r ',θ , ϕ) f (x v(r ',θ , ϕ) = ∫∫ 4π R ρ R ')dSx ' S R ⇒ u(r,θ , ϕ) = r 'v(r R − f (x ')dSx ' r' r ' ',θ , ϕ) = 4π S ∫∫ R ρ3 R Rρ Mà r ' R ; = ρ ' r ;∀x ∈ SR = r f (x ')dSx ' ⇒ u(r,θ , ϕ r − R ) = 4π ∫∫ ρ R R S Đây cơng thức Poisson cho miền khơng bị chặn hình cầu Và mở rộng không gian n-chiều ta có: r − u(x) = | ∫ R2 f (x)dSx ' | S1 SR ρ R n §8 Bài toán Newman Bài toán Newman Định nghĩa: Gỉa sử u(P) hàm xác định miền  Ω với biên S, pháp tuyến mặt S điểm P thuộc S  n Gọi Q điểm nằm pháp tuyến qua điểm P tồn n ∂u(P) giới hạn hàm liên tục điểm P thuộc lim ;∀Q ∈ S ∂nQ P → Q S điểm Q thuộc S ta nói u(P) hàm có đạo hàm pháp tuyến biên S đạo hàm giới hạn Nhận xét: Nếu u(P) thỏa mãn: + Là hàm liên tục + Có đạo hàm riêng cấp liên tục miền đóng Suy u(P) Ω∪ S có đạo hàm theo pháp tuyến S Định nghĩa: Biên S gọi mặt nếu: + Tại điểm Q thuộc S tồn pháp tuyến xác định + Tại điểm Q thuộc S ta xây dựng hệ tọa độ  (x1, x2 , trục chứa x3 trùng với pháp tuyến n x1, thuộc x3 ) x2 , mặt phẳng tiếp xúc S điểm Q phần mặt S lân cận điểm Q viết dạng: x3 f (x1, x2 với f (x1, x2 ) hàm liên = ) tục có đạo hàm liên tục cấp • Bài tốn Newman có dạng: ∆u =   ∂ = f (P) S lim ∂ n  P→Q Q -Nếu Ω miền bị chặn ta có tốn Newman -Nếu Ω miền không bị chặn với biên S bị chặn ta có tốn Newman ngồi Bài toán Newman Điều kiện để tồn nghiệm   Tại điểm Q thuộc S dựng pháp tuyến n n lấy Q’ cho d (Q,Q ') = h, h>0 cố định Khi Q chạy mặt S Q’ tạo nên mặt kí hiệu Sh Sh gọi mặt song song mặt S  pháp Theo hình học vi phân, h đủ nhỏ , S-trơn Sh trơn n  pháp tuyến Sh tuyến S n Gọi Wh miền tạo mặt S Sh miền lại tức Ω h Ωh = Ω \ W h Do u(P) hàm điều hòa Ω liên tục có đạo hàm riêng ⇒ u(P) cấp miền đóng Ωh ∪ Sh ∫∫ ⇒ ∂n ∂u dS = Sh Mà u(P) có đạo hàm theo pháp tuyến h → ta ∂u dS = ∫ ∫∂n S (8 3) hay ∫∫ f (Q)dS (8 4) Q = S Vậy điều kiện để toán Newman có nghiệm có điều kiện (8 4) Bài tốn khơng có nghiệm Giả sử (8 1), (8 2), (8 4) xảy tốn có nghiệm u(P) ta có đặt v(P) = u(P) + C , C-const Thật từ ∆u = ⇒ ∆v = lim ∂u = f (P) = f (P) ⇒ lim ∂v P→Q ∫∫ f (Q)dS ∂n P→Q Q Q =0 ∂n Q luôn thỏa mãn S Suy u(P) +C nghiệm tốn Định lí 1: Hai nghiệm tốn Newman phương trình Laplace sai khác số cộng Chứng minh Giả sử u1(P),u2 (P) nghiệm toán (8 1), (8 2) Đặt v(P) = u1(P) − u2 (P) Ta chứng minh Theo điều giả sử⇒ u1 (P),u2 (P) v(P) = const thỏa mãn (8 1), (8 2) ⇒ ∆v = ∆(u1(P) − u2 (P)) = ∆u1(P) − ∆u2 (P) = ∂v ( P ) ∂(u1(P) − u2 (P)) ∂v S lim = lim = = P→Q ∂n ∂n ∂n Q Q Ω = Ωh ,u(P) = Áp dụng công thức Green thứ v(P) P→ Q  ∂v 2 Khi ta có ∫∫∫ ∂x   2  v ∂  ∂v  ∂v    +  +   dV dSh =   + ∫∫ vS  ∂y ∂z ∂n  Ωh Hàm v(P)         h   liên tục Ω nên v(P) bị chặn ∩ S có đạo hàm theo pháp tuyến, nênv n Theo u1 (P),u2 (P) Do cho h → ta có  ∂v 2    ∂v  ∂  dV = +  v  2 ∫∫   +  Ω ∫  ∂x  ⇒ Suy v(P) = const  ∂y   ∂z    ∂v ∂v ∂v = = = ∂x ∂y ∂z Bài tốn Newman ngồi Bài tốn Newman ngồi có dạng: ∆u =  = f  S ∂u (P)  C | u(P) | ; P → ∞ r ≤  ∂ n Định lí: Bài tốn Newman ngồi (8 5) có nghiệm Chứng minh Sh v → n S Gỉa sử u1(P),u2 (P) ngiệm toán (8 5)  ∆u = ∂u   thoả mãn S = f (P) Đặt v(P) = u1(P) − u2 (P) ∂n  C  | v(P) |≤ , P → ∞   r Xét mặt phẳng song song Sh S ⊂ Ω mặt cầu SR tâm O, Rđủ lớn, cho h đủ nhỏ Sh ⊂ SR h Gọi Ω R miền giới hạn Sh S R Ωlà miền giới hạn SR S Áp dụng công thức Green thứ cho hàm v(P) miền h Ω R v(P) có đạo hàm riêng cấp liên tục Ωh  ∂ v 2 v∆ud V + ∫∫∫ ∫∫∫  2  2  ∂v +  dV ∂v + R +       h ∂x  Ω h   ∂y  ∂z    ∂v v ∫∫ ∂n  ΩR R Cho h → ta có: (vì Sh ∪S R dS =  ∂ ∂v  ∂v  ∂  v dS = + dV  ∫∫ v2  +  +v   +∫∫ S ∫ R  R ∂n  ∂z   Ω  ∂y   ∂x  Ta có ∂v C C | ' ;| v |≤ |≤ ⇒| ∂n R ∂v v dS |≤ R ∫∫ ∂ SR C '' = 4π R C '' = → R R | v || ∫∫ SR ∂v ∂n | dS ≤ C '' dS R3 ∫∫ SR n R →∞ Cho R →∞ từ (8 6), (8 7) ta có: (8 7)  ∂  ∂v  ∂  ∫∫ v2  +  +v  2  dV =  ∂z     Ω ∂x  ∂y  R   ∂v ∂v ∂u ⇒ = = = ⇒ v(P) = const ∂x ∂y ∂z Và lim v(P) = ⇒ v(P) ≡ P→∞ Suy điều phải chứng minh Kết luận Trên toàn nội dung khoá luận em Trong khoá luận tốt nghiệp này, em trình bày hiểu biết kiến thức phương trình vi phân đạo hàm riêng kiến thức tốn Cơsi tốn Dirichlet, Newman phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic Ngồi ra, q trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng loại Elliptic giúp em thấy ứng dụng việc giải lớp tốn vật lí phương trình truyền sóng Qua giúp em hiểu khoa học thực tiễn phương trình đạo hàm riêng co ứng dụng to lớn Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em mở rộng tầm hiểu biết phương trình vi phân đạo hàm riêng làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn vấn đề thân em, nên trình viết trình in ấn, khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hồn thành khố luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, trường ĐH sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện giúp em hồn thành khố luận Tài liệu tham khảo Nguyễn Thừa Hợp – Giáo trình phuơng trình đạo hàm riêng – NXBĐH & THCN – 1976 Nguyễn Mạnh Hùng -Phương trình đạo hàm NXBĐHSP-1996 Vũ Tuấn – Phương trình vi phân-NXBGD-1992 riêng- ... khái phương trình Vật Lí-Tốn Một số phương trình tuyến tính cấp Phương trình tắc Phân loại Bài tốn Cơsi Trang 13 16 Chương Phương trình loại Elliptic 19 Thiết lập1 .phương trình 30 Phương2 .trình. .. (x, y) Đây phương trình tắc phương trình loại Hypebonic Đặt α = ξ −η  phương trình có dạng β =  ξ + η Uαα − U ββ = N1(α, β ,u,uα ,uβ ) Đây phương trình tắc thứ hai phương trình loại Hypebonic... dáng ±∞ Khi n=2 phương trình mơ tả dao động màng mỏng:  ∂2u ∂2u f (x, y,t) ∂ u  = + + a ∂t  ∂x  ∂y   §3: Phân loại phương trình tuyến tính cấp Phương trình tắc Phân loại phương trình tuyến