phương trình loại hyperbolic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC ------ó≤ñ------ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Ngành Sư Phạm Toán Học Đề tài PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện T.S Phùng Kim Chức Hồ Nhật Quang MSSV: 1100056 Lớp: SP Toán K36 Cần Thơ - 2014 Lời cảm ơn Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu, cùng với sự giúp đỡ, hỗ trợ, động viên của gia đình, thầy cô, bạn bè, tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp đại học. Con xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ và chị đã giúp con đi trên con đường học vấn và có được sự trưởng thành hơn trong suy nghĩ. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán – khoa Sư phạm – trường Đại học Cần Thơ, đặc biệt là các thầy cô: thầy Phùng Kim Chức, thầy Lâm Quốc Anh, thầy Lê Hồng Đức, thầy Nguyễn Văn Sáng, thầy Đỗ Quang Huy, cô Trần Thị Thanh Thúy, cô Phạm Thị Vui. Trong đó, thầy Phùng Kim Chức là giảng viên trực tiếp hướng dẫn đề tài, giúp em vượt qua những khó khăn về chuyên môn cũng như phương pháp nghiên cứu. Ngoài ra, thầy Lê Hồng Đức, thầy Đỗ Quang Huy, cô Trần Thị Thanh Thúy đã cung cấp cho em những nền tảng về Giải tích qua những giờ giảng trên lớp; thầy Lâm Quốc Anh, thầy Nguyễn Văn Sáng và cô Phạm Thị Vui đã giúp đỡ em giải quyết những khó khăn khi đăng kí báo cáo luận văn tốt nghiệp. Tôi chân thành gửi lời cảm ơn đến các bạn sinh viên cùng lớp Sư phạm Toán K36 đã giúp đỡ tôi trong suốt 4 năm qua cũng như trong quá trình hoàn thành luận văn này. Cảm ơn các anh em trong Câu lạc bộ Guitar Bụi đã giúp tôi thư giãn sau những giờ nghiên cứu căng thẳng. Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................................1 PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................................3 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...........................................................................3 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn ....................................................................3 1.1.1. Định nghĩa.....................................................................................................3 1.1.2. Phiếm hàm tuyến tính...................................................................................3 1.2. Không gian Hilbert ...............................................................................................5 1.2.1. Định nghĩa.....................................................................................................5 1.2.2. Sự trực giao trong không gian Hilbert ......................................................6 1.2.3. Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert......................................................7 1.3. Không gian Lp (W) .................................................................................................8 1.3.1. Tích phân Lebesgue......................................................................................8 1.3.2. Các tính chất của tích phân Lebesgue .......................................................9 1.3.3. Không gian Lp ( W) , p > 1 ............................................................................11 1.3.4. Một số tính chất của không gian Lp (W) , p ≥ 1 .......................................14 1.4. Không gian Sobolev ............................................................................................16 1.4.1. Đạo hàm suy rộng.......................................................................................16 1.4.2. Không gian Sobolev....................................................................................17 BÀI TẬP ......................................................................................................................20 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC............................................33 2.1. Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một.............................................33 2.1.1. Định nghĩa...................................................................................................33 2.1.2. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic cấp một .................34 2.1.3. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một....................................................................................................................35 2.2. Sự duy nhất nghiệm của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 37 2.2.1. Toán tử tích phân ma trận .........................................................................37 2.2.2. Sự duy nhất nghiệm suy rộng ....................................................................44 2.3. Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một .45 2.3.1. Bất đẳng thức năng lượng tích phân........................................................45 2.3.2. Tính chất nghiệm suy rộng ........................................................................47 2.3.3 Tính giải được của bài toán Cauchy.........................................................50 2.4. Phương trình Hyperbolic cấp hai ....................................................................52 2.4.1. Các khái niệm cơ bản .................................................................................52 2.4.2. Bài toán Cauchy và bài toán biên ban đầu thứ nhất..............................54 2.4.3. Đưa phương trình Hyperbolic cấp hai về hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một ...................................................................................................56 2.5. Phương trình Hyperbolic mạnh .......................................................................57 2.5.1. Các bài toán biên........................................................................................58 2.5.2. Bất đẳng thức Garding mở rộng...............................................................59 2.5.3. Định lí duy nhất nghiệm suy rộng.............................................................62 2.5.4. Định lí tồn tại nghiệm suy rộng ................................................................65 2.5.5. Tính trơn theo thời gian của nghiệm suy rộng........................................68 2.5.6. Bài toán biên ban đầu thứ hai...................................................................72 PHẦN KẾT LUẬN..........................................................................................................75 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................76 Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực toán học rất gần gũi với chúng ta, được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực kinh tế, xã hội, nghiên cứu các tính chất vật lý, sinh học… Trong những kiến thức đã học ở phân môn Phương trình đạo hàm riêng của khung chương trình đào tạo, em đặc biệt chú ý đến những vấn đề mở rộng của phương trình loại Hyperbolic. Chính vì vậy, cùng với sự gợi ý và hướng dẫn của thầy Phùng Kim Chức, em đã chọn đề tài “Phương trình loại Hyperbolic” để làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu để làm rõ các vấn đề cơ bản sau: - Tóm tắt các kiến thức cơ bản về không gian hàm. - Trình bày các khái niệm mới, các định lí, tính chất mới liên quan đến phương trình loại Hyperbolic. - Nghiên cứu các bài toán đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một, mở rộng đối với phương trình Hyperbolic cấp hai và phương trình Hyperbolic mạnh. - Tạo nguồn tài liệu tham khảo cho các đề tài nghiên cứu có liên quan về sau. 3. Phạm vi nghiên cứu Đề tài giới hạn việc trình bày các vấn đề về phương trình loại Hyperbolic trong các không gian hàm. 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Trao đổi với GVHD. 5. Tóm tắt nội dung đề tài Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Tìm hiểu về không gian tuyến tính định chuẩn, không gian Hilbert, không gian Lp () , không gian Sobolev, một số định lí hỗ trợ cho nội dung ở chương sau và một số bài tập về không gian hàm. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 1 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Chương 2. Phương trình loại Hyperbolic. Tìm hiểu về hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một, sự duy nhất và tính chất của nghiệm suy rộng, bài toán Cauchy đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một, mở rộng nghiên cứu phương trình Hyperbolic cấp hai và phương trình Hyperbolic mạnh. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 2 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic PHẦN NỘI DUNG Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn: 1.1.1. Định nghĩa:  Cho E là một không gian tuyến tính. Ánh xạ . : E  [0;  ) được gọi là chuẩn nếu: i) u  v  u  v , u , v  X ii)  u   . u , u  X ,    iii) u  0  u  0  Một không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.  Không gian tuyến tính định chuẩn E sẽ trở thành một không gian metric nếu đưa vào khoảng cách giữa hai phần tử u và v: p (u , v)  u  v .  Sự hội tụ của dãy {ui }i1 các phần tử của E tới phần tử u  E được xác định như sau: ui  u  0 khi i   , kí hiệu là ui  u .  Một tập hợp E ' được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu với một phần tử bất kì u  E , tồn tại một dãy {ui }i1  E ' sao cho ui  u . Nếu trong E tồn tại một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì không gian E được gọi là khả li.  Nếu một dãy bất kì ui  thuộc không gian E, sao cho u p  uq  0 khi p, q   , hội tụ trong E thì E được gọi là không gian đầy. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian đầy. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach. Trong chương này, ta chỉ xét các không gian đầy và khả li. 1.1.2. Phiếm hàm tuyến tính:  Nếu trong nó, thì (  hay  ), chuẩn của một phần tử được lấy là module của trở thành một không gian Banach. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 3 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  Giả sử E là một không gian tuyến tính trên trường xác định trên E và lấy giá trị trong A: E  . Toán tử tuyến tính được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên E. Các phiếm hàm tuyến tính thường được kí hiệu bởi các chữ x* , y* , z * ,...  Toán tử tuyến tính bị chặn u* : E   được gọi là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên E.  Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên E được gọi là không gian liên hợp với E, kí hiệu là E * . Với u  E , u *  E * , ta định nghĩa chuẩn của phiếm hàm tuyến tính bị chặn u* như sau:  u * (u )  u *  sup   u  u 0   Từ đó suy ra u* (u )  u* . u .  Giả sử E0 là không gian con tuyến tính của không gian E và u *0 là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên E0. Ta có thể thác triển u *0 đến phiếm hàm tuyến tính bị chặn u* trên toàn không gian E sao cho u * E*  u *0 E0* .  Đối với một phần tử tùy ý u0  E , tồn tại một phiếm hàm tuyến tính bị chặn u *0  E * sao cho u  1 và u *0  u0   u0 . Từ đó ta có thể viết:  u * (u )  u  sup  *  u*  0  u   Định lí 1.1.1 Giả sử E là không gian Banach và E * là không gian khả li. Khi đó một tập  con bị chặn trong E chứa một dãy con ui i 1 sao cho với mọi u*  E * dãy số  u (u ) * i i 1 hội tụ. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 4 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 1.2. Không gian Hilbert: 1.2.1. Định nghĩa:  Cho H là một không gian tuyến tính. Ánh xạ (.,.) : H  H   được gọi là tích vô hướng nếu i)  u , v   (v, u ), u, v  H ii)  u1  u2 , v    u1 , v   u 2 , v  iii)   u , v    (u , v),    iv)  u , u   0, u  H v) (u, u )  0  u  0  Một không gian Banach thực trở thành một không gian Hilbert thực nếu với hai phần tử bất kì u và v xác định được một tích vô hướng  u, v  . Ví dụ: 1/ Không gian L2 (U ) là một không gian Hilbert, với ( f , g )   f gdx U 2/ Không gian H1 (U ) là một không gian Hilbert, với ( f , g )   fg  Df . Dgdx U  Trong không gian Hilbert phức, tích vô hướng  u , v  là một số phức thỏa mãn các tiên đề từ (ii) đến (iv), còn tiên đề (i) được thay bằng (i’) (u , v)  (v, u ) 1 Trong không gian Hilbert, chuẩn của phần tử u là u  (u, v) 2 .  Đối với u, v   , ta có bất đẳng thức Cauchy – Bunhiakovsky Schwarz: (u , v)  u . v  Dãy  ui i 1  H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử u  H nếu u * (ui )  u * (u ) với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn u *  X * , kí hiệu là ui  u . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 5 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 1.2.2. Sự trực giao trong không gian Hilbert:  Các phần tử u, v  H được gọi là trực giao (u  v) nếu (u, v)  0 . Phần tử u được gọi là trực giao với tập hợp H '  H nếu (u, v)  0 với mọi v  H '. Hai tập hợp H ' và H " được gọi là trực giao nếu (u, v)  0 với mọi u  H ', v  H '' . Nếu u  H trực giao với một tập H ' trù mật trong H thì u  0 . Thật vậy, giả  sử dãy ui i 1  H ' ,  ui , u   u , nên u  0 , tức là u  0 . ui  u khi i   . Vì  ui , u   0, i  1 , hơn nữa 2  Một phần tử u  H được gọi là chuẩn hóa nếu u  1 . Tập hợp H '  H được gọi là trực chuẩn nếu các phần tử của nó là chuẩn hóa và đôi một trực giao. Một tập hợp trực chuẩn thì độc lập tuyến tính. Phương pháp Schmidt:  Một tập hợp độc lập tuyến tính đếm được (hoặc hữu hạn) các phần tử ui i 1 có thể được biến đổi thành một tập hợp trực chuẩn đếm được (hoặc hữu hạn) bằng cách sau: e1  u1 u1 e2  u2  (u2 , e1 )e1 u2  (u2 , e1 )e1 ... ei  SVTH: Hồ Nhật Quang ui  (ui , e1 )e1  ...  (ui , ei 1 )ei 1 ui  (ui , e1 )e1  ...  (ui , ei 1 )ei 1 Trang 6 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.2.1 Để hệ trực chuẩn e1 , e2 ,… là cơ sở trực chuẩn của H cần thỏa một trong ba điều kiện cần và đủ sau: (i) Với một phần tử bất kì u  H ta có đẳng thức Parseval  2 2 u   ui , u i  (u , ei ) i 1 (ii) Đối với hai phần tử bất kì u, v  H ta có đẳng thức Parseval mở rộng:   u, v    u i v i , u i   u , ei  , v i   v, ei  i 1 (iii) Tập hợp các phần tử dạng ui  c1e1  ...  ci ei với mọi i và các số bất kì c1 ,..., ci là một tập hợp trù mật trong H. Định lí 1.2.2. Trong không gian Hilbert khả li tồn tại một cơ sở trực chuẩn. 1.2.3. Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert: Một số tính chất của dãy hội tụ yếu trong không gian Hilbert thực:  Định lí 1.2.3. Nếu dãy ui i 1 các phần tử của không gian Hilbert hội tụ yếu thì tồn tại một hằng số C sao cho với mọi i: ui  C . Định lí 1.2.4  Dãy ui i 1 hội tụ yếu đến phần tử u  H nếu và chỉ nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Tồn tại một hằng số C sao cho ui  C với mọi k. (ii) u * (ui ) hội tụ đến u * (u ) với mọi u* thuộc một tập hợp con trong H * mà bao tuyến tính các phần tử của nó trù mật trong H * ( H * là không gian liên hợp với H). Định lí 1.2.5. Giả sử H là một không gian Hilbert khả ly. Khi đó từ một dãy bị chặn trong H có thể trích ra được một dãy con hội tụ yếu.  Định lí 1.2.6. Giả sử dãy ui i 1 là dãy các phần tử trong không gian Hilbert H  hội tụ yếu tới phần tử u sao cho ui  u , i   . Khi đó ui i 1 hội tụ tới u trong H. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 7 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  Định lí 1.2.7. Giả sử ui i 1 là dãy các phần tử của không gian Hilbert H hội tụ   sao cho dãy các trung bình cộng yếu đến u. Khi đó tồn tại một dãy con ui vj  1 ui  ...  ui j j 1  j  hội tụ tới u.  Định lí 1.2.8. Nếu dãy ui i 1 hội tụ yếu tới u trong không gian Hilbert H thì u  lim ui  lim ui i  i  Định lí 1.2.9. (Định lí biểu diễn Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng (u, v ) , u, v  H H * là đồng nhất chính tắc của H , nếu với mỗi u*  H * tồn tại duy nhất một phần tử u  H sao cho u *(v)  (u, v) , v  H Ánh xạ u*  u là một phép đẳng cấu tuyến tính của H * lên H. 1.3. Không gian L p () : 1.3.1. Tích phân Lebesgue:  Một hàm f ( x ) xác định trên một tập hợp X   n được gọi là hàm đơn giản nếu nó đo được và nhận một số hữu hạn hay đếm được các giá trị. Giả sử f ( x ) là một hàm đơn giản, sao cho f ( x)  ai nếu x  Ai   n và  ai  a j với i  j . Nếu chuỗi a  A  i i hội tụ tuyệt đối, với   Ai  là độ đo của i 1 tập Ai thì hàm f ( x ) được gọi là khả tổng trên X hay f ( x)  L1 ( X ) . Khi đó biểu thức   X f d    ai   Ai  i 1 được gọi là tích phân của hàm f trên tập X. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 8 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  Cho tập X có độ đo hữu hạn. Hàm đo được f ( x ) là khả tổng trên X nếu có một dãy   f k ( x)k 1 các hàm đơn giản xác định trên X hội tụ đều tới f , sao cho tồn tại giới hạn lim  f k d    fd  k  X X Giới hạn trên được gọi là tích phân của hàm f trên X. Giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm  f k ( x) .  Nếu độ đo  ( X ) là vô hạn và giả sử X  lim X i ,   X i   , i  1, 2,... i  Nếu tồn tại giới hạn lim  fd   I và giới hạn này không phụ thuộc vào cách i  Xi chọn X i thì hàm f ( x ) được gọi là khả tổng trên X. Khi đó biểu thức  f d  I X được gọi là tích phân của hàm f trên tập X.  Khi  là độ đo Lebesgue n-chiều, ta viết  f d    f dx X và gọi nó là tích X phân Lebesgue. 1.3.2. Các tính chất của tích phân Lebesgue: Tích phân Lebesgue có các tính chất sau: (i) Nếu f1 , f 2  L1 ( X ) thì a1 f1  a2 f 2  L1 ( X ) với mọi số phức a1 , a2 (ii) f  L1 ( X )  f  L1 ( X ) (iii) Nếu f bị chặn và đo được trên tập X có độ đo hữu hạn thì f  L1 ( X ) (iv) Nếu 0  f1 ( x )  f 2 ( x ) hầu khắp nơi trong X (tức là đối với tất cả x  X trừ ra một tập hợp có độ đo không) và f 2  L1 ( X ) thì f1  L1 ( X ) và  f ( x )d    f ( x )d  1 X SVTH: Hồ Nhật Quang 2 X Trang 9 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.3.1. (Lebesgue) f k  L1 ( X ), k  1, 2,... , với X   n và Giả sử f k ( x )  F ( x ), F ( x )  L1 ( X ) . Ngoài ra, giả sử f k hội tụ tới hàm f hầu khắp nơi trong X khi k   . Khi đó f  L1 ( X ) và lim  f k ( x )dx   f ( x ) dx k  X X Định lí 1.3.2. (Fatou) Nếu f k , k  1, 2,... là các hàm khả tổng không âm trong X   n hội tụ tới hàm f hầu khắp nơi trong X khi k   và giả sử f k ( x ) dx  C , C là hằng số không X phụ thuộc vào k. Khi đó f  L1 ( X ) và  f ( x )dx  C . X Định lí 1.3.3. (Levi) Nếu f k  L1 ( X ), k  1, 2,..., X   n và 0  f k ( x )  f k 1 ( x ) , f k ( x )dx  C , C là X hằng số không phụ thuộc vào k. Khi đó tồn tại giới hạn lim  f k ( x )dx   f ( x )dx  C k  X X Định lí 1.3.4. (Fubini) Nếu f ( x, y ), x   n , y   m là hàm khả tổng trong m n . Khi đó tích phân   f ( x, y )dx tồn tại với hầu khắp nơi x   n và n  m n f ( x, y )dxdy      m  n    f ( x, y )dx  dy     f ( x, y )dy  dx     n  m  Hệ quả Giả sử u  L1   n  , u( x )  0 . Khi đó   u( x )dx    (t )dt n (1) 0 với  (t )  meas  x : u ( x )  t (độ đo Lebesgue n chiều). SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 10 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Nếu u( x )  0, v ( x )  0 và các hàm u, v, uv khả tổng thì    u ( x ) v ( x ) dx  n 0  u ( x )t v ( x )dx  dt    (2) Chứng minh Giả sử t  0 và Et  (t , x )   n 1 : x   n , u ( x )  t, (t , x ) là hàm đặc trưng của Et . Theo định lí Fubini ta có:       ( t , x ) dtdx   ( t , x ) dx dt    n 1 0  n n  0  (t, x)dt  dx       Vì   (t, x)dx   (t ),   (t, x)dt  u( x) nên khẳng định (1) được chứng minh. n 0 Ta làm tương tự với tích phân   (t, x )v ( x )dtdx :  n 1       ( t , x ) v ( x ) dtdx   ( t , x ) v ( x ) dx dt   n 1 0  n n  0  (t, x)v( x)dt  dx      Do   (t, x )v ( x )dx  n  u ( x ) t v ( x )dx,   (t, x )v( x )dt  u ( x )v( x) nên khẳng định (2) 0 được chứng minh. Định lí 1.3.5. L1 () là không gian đầy. Định lí 1.3.6. Nếu f  L1 () thì với mọi   0 tồn tại một hàm liên tục  ( x )  C () với giá compact sao cho  f ( x )   ( x ) dx   .  1.3.3. Không gian L p    , p  1 p Không gian Lp () gồm các hàm f ( x ) sao cho f ( x )  L1 () Định lí 1.3.7. (Bất đẳng thức Young) Cho a > 0, b > 0, 1  p  , 1 1   1 . Khi đó p q ab  a p bq  p q Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a p  bq . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 11 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Chứng minh 1 1 1 Xét hàm số  (t )  t   t p , với t > 0. p q 1  '(t )  1 1 p 1  t p p Đạo hàm  '(t ) của hàm số có giá trị âm trong (0, 1), có giá trị dương trong (1, ) và  '(1)  0 , vậy nên  (t )   (1)  0 với mọi t > 0. Thay t  ap , ta được: bq 1 ap 1 a a p bq a a p bq . q   q 0   bq q  0    ab p b q p q p q p p b b pq  q p 0 Ta lại có: 1 1 pq  q   1  p  q  pq  1 p q p Từ đây, ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Có đẳng thức khi và chỉ khi ap  1 , tức là a p  bq . q b Định lí 1.3.8. (Bất đẳng thức Hölder) Giả sử f  L p (), g  Lq () với 1  p  , 1 1   1 . Khi đó: p q 1    fg dx    f  p 1 p  q q dx    g dx     Đặc biệt, nếu p = q = 2, ta được bất đẳng thức Bunhiakovsky 1   1  2  2 2 2 fg dx    f dx    g dx      Chứng minh 1 1  p  q p q Không mất tính tổng quát, ta giả thiết   f ( x ) dx  =   g ( x) dx  = 1. Khi     đó với 1  p, q   , từ bất đẳng thức Young suy ra SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 12 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  f ( x) g ( x) dx   1 1 p q f ( x) dx   g ( x) dx  p q 1 1  p  q p q  1    f ( x) dx    g ( x) dx      Định lí 1.3.9. (Bất đẳng thức Minkowsky) Nếu f  L p (), g  L p (), p  1 , khi đó: 1 1 1  p  p  p p p p   f ( x)  g ( x) dx     f ( x) dx     g ( x) dx        Chứng minh p 1   p   p  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) p dx  f ( x)  g ( x) p 1 . f ( x)  g ( x) dx                  p    f ( x)  g ( x) dx    p 1 p 1 1   p p     p p  .   f ( x) dx     g ( x) dx            1    p  p     f ( x)  g ( x) dx         1 1 p 1 1 1    p  p  p p  .   f ( x) dx     g ( x) dx           1  p  p  p p p p    f ( x)  g ( x) dx     f ( x) dx     g ( x) dx        Định lí 1.3.10. Lp () là không gian đầy. Định lí 1.3.11. Giả sử  là một miền trong  n . Tập hợp tất cả các hàm liên tục trong  với giá compact trù mật trong không gian Lp () , p > 1. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là đẳng cự tuyến tính với không gian tuyến tính định chuẩn F nếu tồn tại một toán tử tuyến tính từ E lên F bảo toàn chuẩn. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 13 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.3.12. Giả sử  là một miền trong  n và 1  p , q  , 1 1   1 . Khi đó L*p ( ) đẳng p q cự tuyến tính với Lq () ( L*p () là không gian liên hợp của L p () ). Hơn nữa Lp ( ) là không gian phản xạ, tức là L**p ()  Lp ( ) 1.3.4. Một số tính chất của không gian L p () , p  1  Tính khả li Không gian Lp () khả li với mọi p  1 Định lí 1.3.13. Giả sử p  1 và  là một miền trong n . Tồn tại một tập con đếm được các phần tử của không gian Lp () , sao cho bao tuyến tính của nó trù mật trong Lp ( ) .  Tính liên tục toàn cục của các hàm thuộc L p () Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian L p (), p  1 là tính liên tục của nó. Định lí 1.3.14. Giả sử  là một miền trong  n , f  Lp (), p  1, f ( x )  0 bên ngoài  . Khi đó với mỗi   0 tồn tại một số   0 sao cho  p f ( x )  f ( x  y ) dx   với mọi  y thỏa y   . Định lí 1.3.15. Giả sử  là miền hình sao đối với gốc tọa độ và f  Lp (), p  1, f ( x )  0 bên ngoài  . Khi đó với mọi   0 tồn tại một số   0 sao cho  p f ( x )  f (  x ) dx   nếu   1   .  SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 14 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  Trung bình hóa o Giả sử  ( x ) là một hàm trực thuộc lớp C    n  sao cho  ( x )   (  x ) ,  ( x )  0 ,  ( x )  0 nếu x  1 và   ( x )  1. Hàm  ( x) được gọi là nhân trung n bình hóa. Ví dụ:   1  C exp   2   Ta lấy  ( x )    1 x   0 , x 1 , C là hằng số được chọn thích , x 1 hợp. x y  u( y )dy được xác định  h  Nếu u  Lp (), p  1 thì hàm uh ( x )  h  n     trong  n và trơn vô hạn. uh ( x ) được gọi là trung bình hóa hay hàm trung bình của u. Định lí 1.3.16. Nếu u  Lp (), p  1 thì lim uh  u h 0 Định lí 1.3.17. Nếu f , g  L1 () thì Lp (  ) 0.  f ( x) g ( x)dx   f ( x ) g ( x )dx . h h   o Định lí 1.3.18. Nếu f  L p () và  f ( x ) ( x )dx  0 với mọi   C  () thì f  0  hầu khắp nơi.  Không gian L () Giả sử  là một miền trong không gian  n , f ( x ) là một hàm đo được trên  và bị chặn hầu khắp nơi trong  . Kí hiệu L () là tập hợp các hàm f ( x ) đo được trên  và bị chặn hầu khắp nơi trong  . L () là một không gian tuyến tính định chuẩn nếu đưa vào nó chuẩn f L (  )  ess sup f ( x ) (essential x supremum), với ess sup f ( x ) là kí hiệu cận dưới đúng của tập hợp các số C thỏa x f ( x)  C . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 15 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.3.19. L () là không gian đầy.  Ta đã xét các không gian Lp () , 1  p   với các hàm được xét là các hàm giá trị thực. Trong trường hợp các hàm giá trị phức f ( x )  u( x )  iv ( x ) , u ( x ) và v( x ) là các hàm giá trị thực, ta chỉ cần lưu ý rằng hàm f ( x ) được gọi là đo được trên tập X   n nếu u( x) và v( x ) là các hàm đo được trên X, và f ( x ) được gọi khả tổng nếu các hàm u( x) và v( x ) khả tổng. Khi đó  fdx   udx  i  vdx X x X Các kết quả đã trình bày với hàm giá trị thực cũng đúng đối với các hàm giá trị phức. 1.4. Không gian Sobolev 1.4.1. Đạo hàm suy rộng Định nghĩa Giả sử  là một miền trong không gian  n . Một hàm v( x )  L1 () được gọi là đạo hàm suy rộng cấp  của hàm u( x )  L1 ( ) nếu    u( x ) ( x )dx  (1)  v( x ) D  ( x )dx    o   với mọi   C () , trong đó   (1,...,  n ),   1  ...   n và D  1  x1...n xn  Một hàm v( x ) có đạo hàm liên tục cấp  thì có đạo hàm suy rộng cấp  (theo công thức Green cổ điển). Hàm v( x ) có không quá một đạo hàm suy rộng (từ định nghĩa đạo hàm suy rộng). Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông thường. Ví dụ: Lấy v( x )  f ( x1 )  g ( x2 ) . Khi đó  2v  0 với các hàm f , g  L1 (  ) , nhưng x1x2 có thể các đạo hàm cấp một và cấp hai không tồn tại khắp nơi trong  2 . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 16 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Một hàm có đạo hàm suy rộng trong miền  thì nó cũng có đạo hàm suy rộng trong miền  '   . Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng, ta thấy đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Đạo hàm suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm thông thường, tuy nhiên không phải tất cả. Ví dụ: từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp  không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn  . Định lí 1.4.1 (Sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hóa) Giả sử  là một miền trong không gian n .  ' là một miền con của  , sao cho khoảng cách giữa  ' và  bằng d > 0. Khi đó đối với 0  h  d và x   ' , ta có:  D u h ( x )  D uh ( x ) Định lí 1.4.2 Giả sử f ( x ) liên tục tuyệt đối trên khoảng hữu hạn (a, b). Khi đó tồn tại đạo hàm thông thường hầu khắp nơi trong (a, b), trong đó f '( x ) là hàm khả tổng x trên (a, b) và f ( x )  f (a )   f '(t )dt . a Định lí 1.4.3 Nếu hàm f ( x ) liên tục tuyệt đối trên một khoảng hữu hạn (a, b) thì nó có đạo hàm suy rộng trên khoảng này. Định lí 1.4.4 Giả sử f ( x ) có đạo hàm suy rộng trên khoảng hữu hạn (a, b). Khi đó f ( x ) là hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng (a, b) và hầu khắp nơi trong khoảng (a, b), f ( x ) có đạo hàm thông thường f '( x ) . 1.4.2. Không gian Sobolev: Không gian Sobolev, kí hiệu là Wpm    ,1  p   là tập hợp tất cả các hàm u ( x ) thuộc L p () sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp  ,   m thuộc Lp ( ) . Với p  2 thì W2m () là một không gian Hilbert. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 17 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Phần tử u  Wpm () có chuẩn được định nghĩa như sau: 1 u wmp (  )  p p     D u ( x ) dx    m     (1  p  ) Định lí 1.4.5 Giả sử  là một miền trong n và m  0 , 1  p   . Khi đó Wpm () là một không gian Banach. Định lí 1.4.6 Giả sử  là một miền trong  n và  ' là miền con của  sao cho  '   . Nếu u  Wpm () thì lim uh  u h 0 wmp (  ') 0 Định lí 1.4.7  Giả sử dãy ui i 1 các phần tử của không gian W pm () bị chặn: ui wmp (  )  C , C  const . Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian Lp () tới một hàm  u ( x ) khi i   . Khi đó ui i 1 hội tụ yếu trong không gian Lp () tới hàm u ( x )  W pm () và u wmp (  ) C. Định lí 1.4.8 Nếu  là miền sao trong  n thì không gian C     trù mật trong Wpm () . Định lí 1.4.9 Giả sử  là một miền lồi trong  n và 1 là tập con của  có độ đo dương. Giả sử rằng u  W p1 (), p  1 . Khi đó p  u dx  C  1 n  n ( ) p n  p 1 p n u dx  C d (  )  (  ) u dx     n 1   n (1 ) 1  với d ( ) là đường kính của miền  , n là độ đo Lebesgue n – chiều, C là hằng số không phụ thuộc vào hàm u. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 18 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  1.4.3. Không gian W pm (),1  p   :  o Không gian W pm () là bao đóng của C  () trong chuẩn của không gian Wpm ( ) . Định lí 1.4.10 (Friedrichs) Giả sử  là một miền bị chặn trong n . Khi đó tồn tại một hằng số C , phụ thuộc vào  sao cho 1 u  Lp ( )  n u p  p  C    dx    i 1 xi    1 với mọi hàm u W p    . Định lí 1.4.11  m Không gian W p ( n ) và Wpm ( n ) trùng nhau. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 19 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh rằng x   n   c là một dãy số thực (hoặc phức) hội tụ, với c là một không gian Banach có chuẩn x  sup  n n BÀI GIẢI Ta biết rằng không gian l  các dãy số thực (hoặc phức) bị chặn là một không gian Banach. Dễ thấy rằng c là một không gian tuyến tính của l  . Ta sẽ chỉ ra rằng c là một không gian con đóng của l  . Giả sử  xn   c , lim xn  x  l  : n  xn   k( n )   k 1  x   k   k 1 Cho   0 tùy ý. Vì lim xn  x  0 nên với n0 đủ lớn, ta có n xn0  x   . 3 Với mọi k , l nguyên dương, ta có  k  l   k   k( n0 )   k( n0 )  l( n0 )  l( n0 )   l  x  xn0   k( n0 )  l( n0 )  xn0  x   k  l      k( n0 )  l( n0 )  3 3 (1)  Vì dãy xn   k( n )  hội tụ nên tồn tại N nguyên dương sao cho k 1 0 0 k  N , l  N   k( n0 )  l( n0 )   3 (2) Từ (1) và (2) suy ra k  N , l  N   k  l   Vậy dãy x  ( k ) hội tụ, tức là x  c . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 20 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bài 2. Chứng minh rằng trong một không gian tuyến tính định chuẩn, bao đóng của hình cầu mở B( x0 , r ) là hình cầu đóng B[ x0 , r ] . BÀI GIẢI Ta có B( x0 , r )  B[ x0 , r ] . Vì hình cầu đóng trong không gian mêtric là một tập hợp đóng nên từ đó suy ra B ( x0 , r )  B[ x0 , r ] (1) B[ x0 , r ]  B ( x0 , r ) (2) Ta chứng minh Thật vậy, nếu x  B[ x0 , r ] thì x  x0  r . Đặt u  x  x0 , ta có x  x0  u , u  r Lấy một dãy số dương {n } sao cho n  1 với mọi n và lim n  1. Khi đó n  xn  x0  n u , n  1, 2... là một dãy phần tử của hình cầu mở B ( x0 , r ) và lim xn  x0  u  x . n Vậy x  B( x0 , r ) . Từ (1) và (2) suy ra: B[ x0 , r ]  B( x0 , r )  Bài 3. Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn và  e n n là một n 1  chuỗi số dương hội tụ. Chứng minh rằng nếu mỗi chuỗi x những phần tử n n 1 của không gian X thỏa mãn điều kiện xn   n , n đều hội tụ thì X là một không gian Banach. BÀI GIẢI Giả sử {xn} là một dãy Cauchy những phần tử của X. Với mỗi n, tồn tại một số nguyên dương kn sao cho (1) l  kn , m  kn  xl  xm   n Ta chọn sao cho k1  k2  ...  kn  ... và chỉ ra rằng dãy con  xk n  của dãy {xn} hội tụ. Thật vậy, từ (1) suy ra xkn1  xkn   n , n SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 21 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Theo giả thiết, từ đó suy ra chuỗi       xk1  xk2  xk1  xk3  xk2  ...  xkn  xkn1  ... (2) hội tụ. Tổng riêng thứ n của chuỗi (2) là xk . Ta có lim xk  x0 , trong đó x0 là n tổng của chuỗi (2). Dãy Cauchy {xn} có dãy con  xk n  n n  hội tụ nên nó cũng là dãy hội tụ. Vậy X là một không gian Banach. Bài 4. Cho một toàn ảnh tuyến tính A : X  Y từ không gian tuyến tính định chuẩn X lên không gian tuyến tính định chuẩn Y. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A có toán tử ngược A-1 bị chặn là tồn tại một số dương m sao cho Ax  m x , x  X BÀI GIẢI Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và A : X  Y là một toàn ánh tuyến tính có toán tử ngược A1 : Y  X bị chặn. Khi đó tồn tại M  0 sao cho A1 y  M y , y  Y (1) Với mọi x  X , đặt y  Ax , ta được x  A 1 y . Thay vào (1) ta có (2) Ax  m x với m  1 . M Ngược lại, nếu A là một toán tử tuyến tính thỏa mãn đẳng thức (2) với mọi x  X , trong đó m là một hằng số dương. Nếu Ax  0 thì từ bất đẳng thức trên suy ra x  0 . Vậy A là một đơn ánh. Do đó A là một song ánh tuyến tính và A có toán tử ngược A1 : Y  X . Với mọi y  Y , đặt x  A1 y , ta được y  Ax . Thay vào (2), ta được y  m A 1 y  A 1 y  1 y , y  Y m Vậy A1 là một toán tử tuyến tính bị chặn. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 22 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bài 5. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường  . Chứng minh rằng không gian  ( , X ) đẳng cự tuyến tính với không gian X. BÀI GIẢI Với mỗi x  X , gọi TX :   X là một ánh xạ xác định bởi (TX )( )   x Dễ thấy rằng TX là một toán tử tuyến tính và TX  sup  0 x  x  Ánh xạ T : X   ( K , X ) là một phép đẳng cự. Dễ thấy T là một toán tử tuyến x  TX tính. Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ K vào X và x  X thì TX  A  TX    A( ),   K tức là  x  A( ) ,   K . Do đó x = A(1). Với x = A(1), ta có TX  A . Vậy T là một toàn ánh. Do đó, T là một phép đẳng cự tuyến tính từ X lên  ( , X ) . Bài 6. Chứng minh rằng các ánh xạ sau đây là các toán tử tuyến tính bị chặn và tính các chuẩn của chúng: t a) A : C[0,1]  C[0,1], A( x)(t )   x(s )dx 0 b) A : C 1[0,1]  C[0,1], ( Ax)(t )  x (t ) c) A : C 1[a, b]  C[a, b], ( Ax)(t )  x '(t ) BÀI GIẢI a) Dễ thấy rằng Ax là một hàm số liên tục trên đoạn [0,1], tức là Ax  C[0,1] và A là một toán tử tuyến tính. Với mọi x  C[0,1] , ta có t ( Ax)(t )  1 1  x( s)ds   x( s) ds   sup x( s) ds  x 0 0 0 s[0,1] , t  [0,1] . Do đó Ax  sup ( Ax)(t )  x s[0,1] SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 23 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Vậy A bị chặn và (1) A 1 Gọi x0 :[0,1]   là hàm số xác định bởi x0 (t )  1, t  [0,1] . Ta có x0  C[0,1], x0  1 và t ( Ax0 )(t )   ds  t , t  [0,1] 0 Do đó (2) Ax0  sup t  1  A x0  A t[0,1] Từ (1) và (2) suy ra A  1 . b) Với mọi x  C1[0,1] , ta có: x C1 [0,1]  x(0)  sup x '(t ) t[0,1] Theo công thức số gia hữu hạn, ta có x(t )  x(0)  tx '(c), c  (0,1), t  [0,1] Do đó x(t )  x(0)  sup x '(t )  x t[0,1] C1 [0,1] , t  [0,1] Từ đó suy ra Ax C [0,1]  x C [0,1]  x C1 [0,1] Vậy A bị chặn và A  1 . Nếu lấy x0 (t )  1, t  [0,1] , ta được x0  C1[0,1] , x0 C [0,1]  x0 C1 [0,1]  1 . Từ đó suy ra A  1 . Vậy A  1 . c) Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính. Với mọi x  C1[a, b ] , ta có Ax C [ a,b]  sup x '(t )  x( a )  sup x '(t )  x t[ a ,b ] t[ a ,b ] C 1 [ a ,b ] Do đó A bị chặn và A  1 . Mặt khác, lấy x0 (t )  t  a, a  t  b , ta được x0  C1[a, b] , x0 SVTH: Hồ Nhật Quang C 1 [ a ,b ]  1 và Ax0 C [ a,b]  1 . Từ đó suy ra A  1 . Vậy A  1 . Trang 24 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bài 7. Giả sử H là một không gian Hilbert, A : H  H là một toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện ( Ax, y )  ( x, Ay ), x, y  H Chứng minh rằng A liên tục. BÀI GIẢI Ta chứng minh A là một toán tử đóng, tức là đồ thị  :{( x, Ax ) : x  H } là một không gian con đóng của H  H . Thật vậy, giả sử là một dãy phần tử của H sao cho { xn } lim( xn , Axn )  ( x, y )  H  H . Khi đó n lim xn  x (1) lim Axn  y (2) n và n  Vì tích vô hướng x, y  ( x, y) là một hàm số liên tục trên H  H nên từ (2) suy ra lim  Axn , u   ( y, u ), u  H (3) n Từ (1) và từ giả thiết suy ra lim  Axn , u   lim( xn , Au )  ( x, Au )  ( Ax, u ), u  H n n  (4) Từ (3) và (4) suy ra ( y, u )  ( Ax, u )  ( y, u )  ( Ax, u )  0, u  H  y  Ax  0  y  Ax Vậy ( x, y )  ( x, Ax)   . H là không gian Banach nên H  H cũng là một không gian Banach. Theo giả thiết   {( x, Ax) : x  H } là một không gian con đóng của H  H nên  là một không gian Banach. Gọi pH là phép chiếu không gian H  H lên H. pH là toán tử tuyến tính liên tục. Đặt p  p X  , tức là p(( x, Ax))  x . Hiển nhiên p là song ánh tuyến tính liên tục từ  lên H, có toán tử ngược p 1 liên tục. Do đó A  pH p 1 là một toán tử liên tục. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 25 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bài 8. Giả sử {xn } và { yn } là hai dãy phần tử của hình cầu đóng đơn vị trong không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện lim( xn , yn )  1 n  Chứng minh rằng a) lim xn  1, lim yn  1 n n  b) lim xn  yn  0 n  BÀI GIẢI a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Bunhiakovsky – Schwarz, ta có (1) ( xn , yn  xn yn  xn  1 với mọi n. Khi n   thì ( xn , yn )  1 . Do đó từ (1) suy ra lim xn  1 . n Tương tự, ta có lim yn  1 n  b) Ta có xn  yn  xn 2 2  ( xn  yn , xn  yn )  ( yn , xn )  ( xn , yn )  yn 2 với mọi n. Vì ( yn , xn )  ( xn , yn ) nên lim( yn , xn )  1 . Do đó n  lim xn  yn n  2 2  lim xn  lim( yn , xn )  lim( xn , yn )  lim yn n  n  n  n  2 0 Bài 9. Giả sử en  là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert H và A   ( H ) là một toán tử compact. Chứng minh rằng lim Aen  0 trong H. n  BÀI GIẢI Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử Aen 0 khi n   . Khi đó tồn tại một số   0 và một dãy con { Aekn } của dãy  Aen  sao cho Aen   , n SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 26 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (1) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Vì A là một toán tử compact và {en } là một tập hợp con bị chặn của H nên  Aen  là một tập compact tương đối trong H. Do đó dãy { Aek } có một dãy con n { Ae j kn } hội tụ: lim Ae j kn  x0  H n Từ (1) suy ra x0   . Hiển nhiên Ae j k en yếu 0. Từ đó suy ra Aen yếu yếu x0 . n khác, Mặt ta có 0. Từ tính duy nhất của giới hạn yếu của một dãy phần tử, suy ra x0  0 . Ta đi đến mâu thuẫn. Do đó Aen  0 khi n  . Bài 10. Tìm toán tử liên hợp của các toán tử A : L2 [0,1]  L2 [0,1] xác định bởi 1 a) ( Ax)(t )   tx( s )ds, 0  t  1 0 1 b) ( Ax)(t )   sx (s )ds ,0  t  1 0 BÀI GIẢI a) Ta có: 2 1 2 1 1  2 2 tx ( s ) ds  t x ( s ) ds  t x( s ) ds  t 2 x   0   0  0 2 2 , t  [0,1] . 2 1  0  0 tx(s)ds  dt  x   1 1 2 2 1  t dt  3 x 2 (1) 0 Do đó Ax  L2 [0,1] . Dễ dàng thấy rằng A là một toán tử tuyến tính. Từ (1) suy ra A bị chặn. Với mọi x, y  L2 [0,1] , ta có ( Ax, y)  ( x, A* y ) 1 1 1   1  ( Ax, y )     tx(s )ds  y (t )dt   x(s )   t y (t )dt  ds 00  0 0  1 ( x, A* y )   x( s )( A* y)( s )ds 0 SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 27 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Từ đó suy ra: 1 ( A* y )( s )   ty(t ) dt , s  [0,1] 0 b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky, ta có 2 1 1  ( Ax)(t )   sx( s) ds    s x( s ) ds  0 0  2 2 1 1 2   s 2 ds  x( s) ds  0 0 1 x 3 2 Do đó 2 1 1   sx( s)ds 0 0 dt  1 x 3 2 (2) Vậy với x  L2 [0,1] , ta có Ax  L2 [0,1] . Dễ thấy rằng A là một toán tử tuyến tính. Từ (2) suy ra rằng A bị chặn. Với mọi x, y  L2 [0,1] , ta có 1 1 1 1     ( Ax, y )     tx(s )ds  y (t )dt     s y (t )dt  x( s )ds 00 00   1 1     x(t )   t y ( s)ds  dt 0 0  1 * ( x, A y )   x(t )( A* y)(t )dt 0 Từ đó suy ra 1 ( A* y )(t )   ty( s )ds, t  [0,1] 0 Bài 11. Giả sử H là một không gian Hilbert phức, A   ( H ) và ( Ax, x)  0, x  H Chứng minh rằng A = 0 BÀI GIẢI Với mọi x, y  H , ta có ( A( x  y ), x  y)  0  ( Ax, y )  ( Ay, x)  0 SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 28 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (1) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Thay y bởi iy , ta được ( A( x  iy ), x  iy )  0  i( Ax, y )  i ( Ay, x)  0 (2)  ( Ax, y )  ( Ay, x)  0 Từ (1) và (2) suy ra ( Ax, y )  0, x, y  H . Do đó A  0 . Bài 12. Chứng minh định lí Lebesgue về hội tụ bị chặn: Giả sử { f n } là một dãy hàm số phức đo được trên tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau: i) lim f n ( x)  f ( x), x  X n  ii) f n ( x)  g ( x), x  X , n , trong đó g là một hàm số khả tích trên X. Khi đó hàm số f khả tích trên X và lim  f n  f d   0 n X Từ đó suy ra lim  f n d    fd  n  X X BÀI GIẢI Vì các hàm số f n đều đo được trên X nên từ i) suy ra f là một hàm đo được trên X. Từ i) và ii) suy ra f ( x)  g ( x), x  X Do đó vì hàm số g khả tích trên X nên hàm số f khả tích trên X. Vì f n ( x)  f ( x)  2 g ( x) lim f n ( x)  f ( x)  0, x  X n  nên theo định lí Lebesgue về hội tụ bị chặn đối với các hàm số thực, ta có lim  f n  f d   0 n X Bài 13. Cho  là một số đo hữu hạn. Chứng minh rằng a) f   lim f n n , f  L ( ) b) L (  )   Lp (  ) 1 p  SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 29 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic BÀI GIẢI a) Nếu f   0 thì f đó theo định nghĩa của f  0, n . Do đó lim f n  n có độ đo dương (ta lấy 0    f     f ( x)  f  . Giả sử f   0 . Khi  ) và n n n     (E )   f d   f  f  , với mọi   0 , tập hợp E  {x  X : f   f n   (E ) E  f 1 n      (E )  f n  f 1 n   ( E ) , n Từ đó suy ra f     lim f n  n  lim f n n   f  ,   0 Do đó lim f   b) Lấy X  (0,1), En  1   f n n  1 1 ,1  n  , n  1, 2,... , ta có n 1 2 2   (0,1)   En i 1 , các tập En đôi một rời nhau và l ( En )  1 , n  1, 2,... Gọi f : (0,1)   là hàm 2n  số xác định bởi f   n E , trong đó  E là hàm đặc trưng của tập hợp En . Hiển n n n 1 nhiên f  L (0,1) với 1  p   . Ta có 1  0 f P np   n n 1 2   dx   n pl ( En )   n 1 Vậy f  Lp (0,1) với mọi p  [1; ) . Bài 14. Giả sử 1  p  , g  Lp (  ) và f1 , f 2 ,..., f n ,... là những hàm số đo được trên X sao cho f n ( x)  g ( x) h.k.n trên X, với mọi n. Chứng minh rằng nếu fn h.k.n f trên X thì f  Lp (  ) và lim f n  f trong Lp ( ) . SVTH: Hồ Nhật Quang n Trang 30 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic BÀI GIẢI p Từ bất đẳng thức f n ( x)  g ( x) suy ra f n ( x)  g p ( x) h.k.n trên X. Vì g  Lp (  ) nên từ đó suy ra f n  Lp (  ) với mọi n. Vì f n h.k.n f trên X p nên từ bất đẳng thức trên suy ra f n ( x)  g p ( x) h.k.n trên X. Vậy f  Lp (  ) . Ta có f n ( x)  f ( x) p h.k.n 0 trên X và p f n ( x)  f ( x)  2 p g p ( x) h.k.n trên X Do đó theo định lí Lebesgue về hội tụ bị chặn, ta có lim  f n  f n  Từ đó suy ra lim f n  f n p p d  0 X  0. Bài 15. Cho 1  p   . Chứng minh rằng nếu lim f n  f trong Lp ( ) và n fn h.k.n g trên X thì g  Lp (  ) và f  g h.k.n trên X. Cho ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại f1 , f 2 ,..., f n ,...  L1 (  ) sao cho lim f n  f trong n  L1 (  ) nhưng f n ( x) f ( x), x  X . BÀI GIẢI Áp dụng bổ đề Fatou, ta có p  g f  Do đó  g f p  p p d    lim f n ( x)  f ( x) d   lim  f n ( x)  f ( x) d   0 n n   d   0 . Từ đó suy ra g ( x)  f ( x) h.k.n trên X.  Với mỗi i nguyên dương, gọi i , j là hàm số xác định trên [0,1] bởi  1, i , j ( x )   0,  SVTH: Hồ Nhật Quang j 1 j  x i i 2 2 , j  1,..., 2i . j  1 j   x  [0,1] \  i , i  2 2   Trang 31 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Gọi f n là phần tử thứ n của dãy hàm số  1,1 , 1,2 ,...,  2,1 ,..., 2,4 ,..., i,1 ,..., 1,2i ,...  Dễ thấy rằng 1 lim  f n ( x) dx  0 n 0 Như vậy dãy  f n ( x) phân kì tại mọi điểm x  [0,1] . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 32 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC 2.1. Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 2.1.1. Định nghĩa: i Kí hiệu ( x, t )   x1 ,..., xn , t    n1 . Giả sử a , b ; i  1,..., n  1;  ,   1,..., s là các hàm phụ thuộc vào biến ( x, t )   n 1 . Xét hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp một sau: n 1 s  ai i 1  1 s u   b u  f  ( x, t ),   1,...s xi  1 (2.1) với f  ( x, t ) là các hàm của biến ( x, t )   n 1 . Hệ phương trình (2.1) được gọi là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một nếu thỏa mãn điều kiện: i i a  a , i  1,..., n  1;  ,   1,..., s Hệ (2.1) được gọi là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một nếu (2.1) là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một và thỏa mãn thêm điều kiện s n 1  a ( x, t )    0  ,  1 với mọi    1 ,...,  s    s \ 0 , ( x, t )   n 1 . Ta kí hiệu các ma trận Ai   ai  s  ,  1 s B   b  , 1 , i  1,..., n  1 Khi đó hệ (2.1) được viết dưới dạng ma trận n 1 u  A x i i 1 (2.2)  Bu  f i trong đó xn1  t , u  u ( x, t )   u1 ( x, t ),..., u s ( x, t )  , u u  u1  ,..., s xi  xi xi SVTH: Hồ Nhật Quang  ,  f  f ( x, t )   f1 ( x, t ),..., f s ( x, t )  Trang 33 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Như vậy, nếu Ai là các ma trận đối xứng, i  1,..., n  1 thì hệ (2.2) là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một, còn nếu thêm điều kiện An 1 > 0 thì (2.2) là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một. 2.1.2. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic cấp một Xét toán tử vi phân ma trận: n 1 u  Bu xi Tu   Ai i 1 Giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng i a xi (2.3) . Khi đó, toán tử vi phân liên hợp hình thức của toán tử T là: n 1 T *   i 1  ( A* )  B* xi với Ai* và B* là các ma trận liên hợp tương ứng của Ai và B. Giả sử Q là miền bất kì trong  n1 . Ta chuyển tất cả các khái niệm bên trên từ trong  n1 chuyển vào Q. Khi đó toán tử T được cho bởi (2.3) là một toán tử s s tuyến tính từ  C  (Q)  L2 (Q)  vào  L2 (Q)  . Tuy nhiên, T chưa phải là toán tử s đóng trên  C  (Q)  L2 (Q)  , tức là có thể thác triển toán tử T. Ta đưa ra một cách thác triển, gọi là thác triển yếu của T. s s Giả sử u   L2 (Q )  , nếu tồn tại hàm v   L2 (Q)  sao cho  u, T     v,   2,Q *  o  2,Q s với mọi    C  (Q)  , thì xem như u  JWs và kí hiệu v  TW u . Khi đó TW gọi là   s s thác triển yếu của toán tử T từ  C  (Q )  L2 (Q )  đến JWs   L2 (Q)  và JWs được gọi là miền xác định của TW . Cùng với (2.2), ta xét phương trình sau: n 1 T u  Tu   An 1u   Ai i 1 u  B u  f xi (2.4) s với  là số bất kì, T là toán tử được cho bởi (2.3), B  B   An 1 và f   L2 (Q )  . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 34 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic s Một hàm u ( x, t ) được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian  L2  Q   của s phương trình (2.4) nếu u( x, t )   L2  Q   và thỏa  u, T   *  2,Q  o    f ,   2,Q ,    C  (Q )    s với T*  T *   An*1 . Khi đó T W u  f là thác triển yếu của toán tử T . 2.1.3. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một i Giả thiết a liên tục trong Q, n 1 Q. Kí hiệu A   i 1 i a xi , b là các hàm liên tục và bị chặn trong Ai và giả thiết tồn tại các hằng số  0 ,  1 sao cho: xi 2  An 1   1  ,    n 1 (2.5) 1  2    B  A     0  ,    s 2   (2.6) Bổ đề 2.1.1 Giả sử thực hiện được các điều kiện (2.5) và (2.6). Nếu  1   0 thì  2,Q    1   0  1 T* 2, Q o với mọi   (C  (Q)) s Chứng minh o Với mọi   (C  (Q)) s ,   1 ,..., s  , ta có: s s       s i  i ,      a  dxdt      a   dxdt  Ai   xi xi   1   xi  2,Q  , 1 Q Q  1 i s i     a   ,  1 Q s a  dxdt       dxdt xi  ,  1 Q xi          Ai ,    Ai ,    xi 2,Q  xi  2,Q SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 35 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Do đó n 1     A x i 1 i  i  1 ,      A ,  2,Q 2  2,Q Từ đây suy ra  T  ,  2,Q    An1 ,  2,Q    B   1   A   ,   2   2,Q Áp dụng (2.5) và (2.6) vào hệ thức trên, ta nhận được: , T   *   T  ,   2,Q 2,Q   1  2 2,Q 0  2 2,Q Ta lại có: , T   *  2,Q   2,Q T* 2,Q Do đó: 2  2,Q   1   0    2,Q T* 2, Q Từ đây ta nhận được điều phải chứng minh. Định lí 2.1.1 Giả sử thực hiện được các điều kiện (2.5), (2.6) và giả sử  1   0 . Khi đó s với một hàm f ( x, t )   L2 (Q)  bất kì, phương trình (2.4) có ít nhất một nghiệm s suy rộng trong không gian  L2 (Q )  . Chứng minh  o  Kí hiệu  = T*  (C  (Q))s  . Đối với một hàm bất kì v  , do bổ đề 2.1.1,   1 tồn tại duy nhất hàm   T*  v sao cho   1 Đặt  f ,  2,Q  f ,  T*  v SVTH: Hồ Nhật Quang  2,Q    1   0  1 v 2,Q   f (v ) (2.7) 2,Q Trang 36 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Vì  f (v)  ( f ,  ) 2,Q  f 2,Q  2, Q    1   0  1 f 2, Q v 2,Q nên  f là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên . Mặt khác, là không gian con s của  L2 (Q)  , do đó  f có thể thác triển không thay đổi chuẩn đến một phiếm s hàm tuyến tính trên  L2 (Q)  , vẫn kí hiệu phiếm hàm này là  f . Áp dụng định lí s Riesz, ta nhận được hàm u   L2 (Q )  , sao cho:  f (v)   u , v 2,Q , v   L2 (Q )  s o Bởi vì v  T* ,   (C  (Q)) s . Từ đây và do (2.7) suy ra ( f ,  )2,Q   u , T*  o 2,Q ,   (C  (Q )) s Vậy u là nghiệm suy rộng cần tìm. Định lí được chứng minh. 2.2. Sự duy nhất nghiệm của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 2.2.1. Toán tử tích phân ma trận Giả sử K ( x, y ) là ma trận cấp s  s mà các phần tử của nó là các hàm  i , j ( x, y ) được xác định đối với các điểm ( x, y )     ,  là một miền bất kì thuộc  m . Xét toán tử (2.8) K [u ]   K ( x, y )u ( y )dy  biến hàm u ( y )   u1 ( y),..., us ( y)  , ui ( y )  L2 () , i  1,..., s thành hàm K [u ]  v( x)   v1 ( x),..., vs ( x)  , v j ( x)  L2 () , j  1,..., s . Khi đó: s v j ( x)    aij ( x, y )ui ( y )dy  i 1 Toán tử K [.] được xác định bởi (2.8) được gọi là toán tử tích phân với hạch s là ma trận K ( x, y ) . Ta xác định chuẩn trong  L2 ()  bằng công thức 1 u SVTH: Hồ Nhật Quang 2,  1  2  s 2 2 2    u ( x) dx      u j ( x ) dx     j 1   Trang 37 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Nếu đưa vào toán tử K *[ ]   K * ( x, y ) ( y )dy , trong đó K * ( x, y) là ma trận  liên hợp của K ( x, y ) thì  K[u],  2,Q  u, K *[ ]2,Q u,    L2 (Q )  Bổ đề 2.2.1 Giả thiết thực hiện các điều kiện: 2 1  K ( x, y) dx  C ,  K ( x, y) dy  C  2 2  Khi đó K [u ] 2,Q  C1C2 u 2,Q với C1 , C2 là các hằng số không âm Chứng minh Đặt v  K [u ] , ta có   v( x)    K ( x, y )u ( y) dy    2 2     K ( x, y ) u ( y ) dy   K ( x, y ) 2 2   K ( x, y ) dy  K ( x, y ) u( y) dy   2 2 C  K ( x, y ) u ( y ) 2 dy  Do đó  v( x)  2 2  C22   K ( x, y ) u ( y ) dydx    2 2  C22    K ( x, y ) dx  u ( y ) dy  C22C12  u ( y ) dy     Từ đó rút ra kết luận của bổ đề. Bổ đề đã được chứng minh. m  Kí hiệu T 0   k 1 Ak  , với Ak  Ak ( x) là ma trận cấp s  s với các phần tử xk a ( x ) đã cho ở phần 2.1. Đặt Ak ( x, y)  SVTH: Hồ Nhật Quang   Ak ( y)  Ak ( x) ( x, y) yk Trang 38 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (2.9) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  x y  với  ( x) là nhân trung bình hóa và    trong đó  ( x, y )    m  m A ( x, y )   Ak ( x, y ) (2.10) k 1  ( x, y) được hiểu như một hàm vectơ s-chiều mà mỗi thành phần là chính nó. Với cách hiểu này ta có u   [u ]    ( x, y )u ( y ) dy  Khi đó  [.] được gọi là toán tử trung bình hóa của hàm vectơ với nhân   ( x, y ) .  Kí hiệu Ws là miền xác định của toán tử thác triển yếu TW0 . Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 Giả sử    x   : dist  x,      và u ( x)  Ws . Khi đó với x   ta có đẳng thức: T  0     TW0  u( x)  A [u ]( x) (2.11) trong đó A [u ] là toán tử tích phân với hạch A ( x, y ) trong (2.10). Chứng minh m Đặt T 0   Ak ( x) k 1  xk (2.12) m T 0 là toán tử tích phân với hạch   A ( x) x  ( x, y ) . k k 1 k o o Một hàm tùy ý   (C  ( )) s có hàm trung bình là   (C  ())s , do đó  T u,   0  W 2,   TW0 u ,     u , TW0*   2,   2,    u , TW0*   *  TW0*  u ,   2,Q (2.13) 2,  với mọi u  Ws . Vì TW0  là toán tử tích phân với hạch * SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 39 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic m   Ak* ( x) ( x, y)    x k 1 k * nên toán tử TW0   là toán tử tích phân với hạch * m    y k 1 [ Ak ( y ) ( x, y )] k Từ (2.12) và (2.13) rút ra được T  0  m       TW0  u ( x)    Ak ( x)   ( Ak ( y) )  u ( x) xk yk k 1        nên ta nhận được (2.11). Bổ đề được chứng minh. xk yk với x   . Vì Bổ đề 2.2.3 Giả sử k a xi là các hàm bị chặn trong  , i  1,..., m ;  ,   1,..., s . Khi đó s u   L2 ()  ta có Ak [u ] 2,Q 0 khi   0 , với Ak [.] là toán tử tích phân với hạch cho bởi (2.9). Chứng minh Ta chứng minh rằng Ak [.] là các toán tử bị chặn.Từ (2.9) ta có  k A  ( x, y ) dx      ( Ak ( y)  Ak ( x))  ( x, y) dx   Ak ( y)  Ak ( x)  ( x, y ) dx (2.14) yk yk  Từ giả thiết của bổ đề, ta được  Ak ( y )  C1 yk (2.15) Ak ( y )  Ak ( x)  C1 x  y (2.16) khi x  y đủ nhỏ, C1  const . Do tính chất của nhân trung bình hóa  ( x, y)  0 khi x  y   , nên từ (2.14), (2.15), (2.16) suy ra  k A  SVTH: Hồ Nhật Quang ( x, y ) dx  C1   ( x, y) dx  C1      ( x, y) dx  C2 yk Trang 40 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (2.17) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic với C2 là hằng số không phụ thuộc vào  . Tương tự, ta nhận được  k A ( x, y ) dy  C2  Từ đây và (2.17), ta có thể áp dụng bổ đề 2.2.1 vào cho toán tử Ak [.] . Do đó Ak ( x, y ) 2,   C3 u (2.18) 2,  với C3 là hằng số không phụ thuộc vào  . o Ta tiếp tục chứng minh Ak [u ] 2,Q  0 khi   0 với u  C 1 () . Sử dụng tích phân từng phần, ta được:   Ak ( y )  Ak ( x) ( x, y ) u ( y )dy yk  Ak [u ]       Ak [ y ]  Ak ( x)  ( x, y )  u dy yk  u     Ak ( y )  Ak ( x)      yk  Từ (2.16) và tính chất của  ( x, y ) suy ra   A ( y )  A ( x )  k k  ( x, y ) dx  C4  với C4 là hằng số không phụ thuộc vào  . Do đó, từ bổ đề 2.2.1 ta nhận được Ak [u ] 2,   u    Ak ( y )  Ak ( x)      yk   C4 2, u yk  0 khi   0 2, o Giả sử u  L2 () . Khi đó với mỗi   0 tồn tại v  C 1    sao cho u v 2,   . Từ đây và do (2.18), ta có: Ak [u ] 2,   Ak [v] 2,  Ak [u  v]  k 2,   C2 u  v  A [v ] 2,  2,  Ak [u ] 2,   C2 Do   0 nhỏ tùy ý và Ak [v] 2,  0 khi   0 , nên Ak [u ] 2,  0 khi   0 . Bổ đề được chứng minh. s  Với ma trận B ( x)   b ( x)  , 1 trong phần 2.1, ta có bổ đề sau SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 41 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bổ đề 2.2.4 Giả sử b ( x) là các hàm bị chặn và liên tục trong  . Khi đó đối với bất kì s u   L2 ()  ta có  B   B  u 2,  0,   0 ở đó B là toán tử tích phân với hạch B ( x) ( x, y ) . Chứng minh o Trước tiên giả sử u  C () . Lấy một miền con 1 của  sao cho sup pu  1 và 1 . Khi đó với  đủ nhỏ, ta có sup pu  1 và  B   B  u 2,Q   B   B  u 2,Q 1 Nhưng B   B   B( x)  B( y )  , b ( x) liên tục đều trên 1 và  ( x, y )  0 khi x  y   . Nên sau khi chọn  đủ nhỏ,  ta có:  B   B  u 2, 1   B ( x )  B ( y )   u 2, 1  u 2,1 o Như vậy, bổ đề được chứng minh cho u  C    . s Giả sử u   L2 ()  . Từ tính bị chặn của b ( x) suy ra toán tử B   B bị chặn đều theo  . Điều đó có nghĩa là  B   B  u 2,   B   B  v 2,   B   B  (u  v) 2,   B   B  v 2,  C u v 2, o Với v  C () , C là hằng số không phụ thuộc vào  . Do có thể cho v để u v 2,  nhỏ tùy ý, nên  B   B  u 2,  0,   0 Bổ đề được chứng minh. Từ các bổ đề 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, ta nhận thấy:    m thì    m . Ta nhận được định lí sau. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 42 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 2.2.1 Giả sử k a xi bị chặn, còn b ( x) liên tục và bị chặn trong không gian m ,  ,   1,..., s; k , i  1,..., m . Khi đó từ điều kiện s u   W  L2 ( m )  , TW u   L2 ( m )   u  u suy ra 2,  m  0 , T u  TW u 2,  m s  0,   0 với T  T 0  B Hệ quả 2.2.1 s  o  Với các giả thiết của định lí 2.2.1, tồn tại một dãy uk    C    m   , sao cho   uk  u 2,  m  0 , Tun  TW u 2,  m 0 khi k  0 . Chứng minh Do định lí 2.2.1, ta có  u  u 2,  m  0 , T u  TW u  2,  m   0,   0 o s Hàm  u  C    m   L2 ( m ) . Chọn một hàm  i  C  sao cho  i ( x)  1 , x  1,  i ( x)  0, x  2 và 0   i ( x)  1, i  1,..., s ;  ( x)   ( x1 ),...,  s ( x)  . Đặt s  o   i  ai ( p x) . Khi đó   u   C   ,  p  1p ,  2p ,...,  sp  và khi p  0   p 1 p  p u   u 2,  m  0, T  p u  T u 2,  m 0 Bởi vì  v  p  pv   p  v,  p  Cp 1  xi xi xi với C là hằng số, và  p  0 khi p   , khi chọn  k  0,  k  0 thì pk   . Đặt s  o    k u  uk , ta nhận được uk   C   và   pk uk  u 2, m  0 , Tuk  T u  0, u   Hệ quả được chứng minh. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 43 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 2.2.2. Sự duy nhất nghiệm suy rộng Giả thiết m  n  1 và    n1 . Ta có định lí sau Định lí 2.2.2 Giả sử điều kiện của định lí 2.1.1 được thỏa mãn. Khi đó phương trình T u  f có duy nhất một nghiệm suy rộng trong không gian    L    n 1 2 s với mỗi s f  L2   n 1  . Chứng minh  Sự tồn tại nghiệm suy rộng trong không gian L2   n 1   s đã được chứng minh trong định lí 2.1.1. Ta sẽ chứng minh tính duy nhất của nghiệm này. Vì T là toán tử tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh: nếu f  0 thì u  0 . Từ bổ đề 2.1.1 suy ra T ,  2,  n 1    1   0   2 2,  n 1 Do đó, khi sử dụng bất đẳng thức T ,  2, n 1  T  2,  n 1 2,  n1 Ta nhận được  2,  n 1    1   0  1 T (2.19) 2,  n1 s s s  o  với    C  ( n 1 )  . Giả sử u   L2 ( n1 )  , TW u  f  u   L2 ( n1 )  . Theo hệ   s  o  quả 2.2.1, tồn tại một dãy uk    C  ( n1 )  sao cho   uk  u 2 2, n 1  0 , T uk  TW u 2 2,  n1  0 khi k   (2.20) Do bất đẳng thức (2.19) được thực hiện với   un nên từ (2.20) ta nhận được u    1   0  1 TW u Do vậy nếu TW  f  0 thì u  0 . Định lí được chứng minh. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 44 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 2.3. Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một i Ta giả thiết ( x, t )   n1 , còn các hàm a ( x, t ), i a x j , i, j  1,..., n  1, xn 1  t , b ( x, t ) là các hàm liên tục, bị chặn trong  n1 và thỏa các điều kiện i i a  a , i  1,..., n  1;  ,   1,..., s s n 1  a ( x, t )    0  ,  1 Kí hiệu s (u , v) 2, x    u ( x, t ) v ( x, t )dx  1  n ở đó u   u1 ( x, t ),..., u s ( x, t )  , v   v1 ( x, t ),..., vs ( x, t )  và với hai số bất kì ,  ' : ' (u , v) , '   (u , v) 2, x dt  u 2, x  (u , v) 2, x , u  ,  '   (u , v)  , ' 2.3.1. Bất đẳng thức năng lượng tích phân Bổ đề 2.3.1 Giả sử thực hiện được các điều kiện: 2  An 1   1  ,    n 1 1  2    B  A     0  ,    s 2   2  An 1   2  , ( x, t )   n1 ,    s n 1 với  0 ,  1 ,  2 là các hằng số , A   i 1 Ai . Khi đó với mỗi   0,    ' , ta có bất xi đẳng thức:  1 u ( x,  ') 2 2, x   2   1   0     u 2   ,  '   2 u ( x, ) 2, x  1 T u  2  ,  '  (2.21) s o với mọi u ( x, t )   C1   n 1   . Bất đẳng thức (2.21) được gọi là bất đẳng thức   năng lượng tích phân. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 45 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Chứng minh s o Giả sử u ( x, t )   C1   n 1   . Khi đó   d u u  An1u, u 2, x   An 1 , u    An1u,  dt t 2, x  t  2, x  u    2  An 1 , u  t  2, x  (2.22) o Với mọi u  (C 1 ( n1 )) s , ta có: s s u  u    s i  i , u     a u dxdt     u  a u  dxdt  Ai   xi xi   1   xi 2, x  ,  1  n1  n 1  1 i s    ,  1  n1 i a u s a u dxdt     u u  dxdt xi  ,  1  n 1 xi  u        Ai ,u    Au i ,u   xi  2, x  xi 2,x Do đó n 1  u  2  Ai , u     Au , u  2, x xi 2, x i 1  (2.23) Từ (2.4) suy ra n 1  u  u   A , u   , u    B u , u  2, x  T u , u 2, x  Ai   n1  t 2, x xi  2, x  i 1  Cùng với (2.22) và (2.23), ta nhận được: n 1  u  d u  An1u, u 2, x  2  An1 , u   2  Ai , u   2  B u, u 2, x  2 T u, u 2, x dt t 2, x xi  2, x  i 1        Au , u  2, x  2  B u , u  2, x  2  T u , u  2, x    (2 B  A)u , u  2, x  2 T u , u 2, x Lấy tích phân hệ thức này theo t từ  đến  ' .  An1u ( x,  '), u ( x,  ') 2, x   An 1u ( x, ), u ( x, ) 2, x    (2 B  A  u , u )  , '  2 T u , u  , ' SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 46 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (2.24) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Mặt khác, từ các giả thiết của bổ đề, ta có: 1 u 2 2, x   An 1u , u  2, x   2 u 2 2, x  1      1   0  u   B  2 A  u , u       ,  ' 2  T u , u  ,'  2 T u   ,  ' u  ,  '   2   ,  ' 1 T u  2   ,  '  u 2   ,  ' Từ đây và (2.24) suy ra (2.21). Bổ đề được chứng minh. 2.3.2. Tính chất của nghiệm suy rộng Ta xét một số tính chất của nghiệm suy rộng của phương trình Tu  f . Chú ý rằng nếu đặt u  et v,   0 thì phương trình Tu  f được đưa về T v  e t f . Như vậy, từ định lí 2.1.1 suy ra phương trình có nghiệm suy rộng v( x, t ) trong s s không gian  L2 ( n 1 )  nếu e  t f   L2 ( n1 )  . Như vây với t cố định nào đó, s hàm u ( x, t )   L2 ( n1 )  , nhưng khi t   thì hàm u ( x, t ) chưa chắc bị chặn s s trong  L2 ( n 1 )  nên ta không thể khẳng định u   L2 ( n1 )  . Kí hiệu T là tập hợp tất cả các hàm u( x, t ) sao cho  hữu hạn bất kì,   0 , s các hàm u( x, t ) và T u ( x, t ) thuộc không gian  L2 ( x   n , t  )  . Ta tìm điều kiện để nghiệm suy rộng u thuộc tập hợp T . Bổ đề 2.3.2 Nếu u ( x, t )  T và các điều kiện của bổ đề 2.3.1 được thỏa mãn thì với bất kì s  o    0 tồn tại một dãy um   C    n 1   , sao cho   um  un ( ,  )  0, Tu m  T u ( ,  ) (um  u )( x, t ) 2, x 0 (2.25) 0 đều với hầu khắp    t   khi m   . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 47 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Chứng minh o Nếu  (t )  C   ,   , sao cho  (t )  1 khi t   , thì  u   u1 ,...,  us  và  T  u  thuộc không gian L2   n 1  um   u  s sao cho khi m    0 , Tum  T u 2,  n 1 2,  n 1 0 Từ đó suy ra (2.25). Các hệ thức (2.25) cũng được thực hiện nếu thay  , ta lấy  '   và  (t )  0 với t   ' . Đối với bất kì  :  1   0 , đặt vm  e t um . Khi đó từ đẳng thức T (vm )  T  um    T  um   d An 1um dt suy ra vm  vk  ,   0, T (vm  vk )  ,  0 khi m, k   . Do đó, theo bổ đề 2.3.1 khi chọn   2   1   0  và nhờ vm ( )  0 , với t   ' ta nhận được (vm  vk )( x, t ) 2, x   1 2 T (vm  vk )   ',  0 khi m, k   . Bởi vì um  et m khi t   , nên (um  uk )( x, t ) 2, x 0 đều trong    t   khi m, k   , tức là khi t   thì dãy u m ( x, t ) hội tụ đều trong L2   2  . Hơn nữa, nếu chọn um sao cho umi  u mi1 (  i,i )  1 2i thì lim umi ( x, t )  u ( x, t ) i  hầu khắp  ( x, t )   n1  . Do đó  um  u  ( x, t ) 2, x  0 đều với hầu khắp t   . Bổ đề được chứng minh. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 48 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bổ đề 2.3.3 Giả sử thực hiện được các điều kiện: 2  An 1   1  ,    n 1 1  2    B  A     0  ,    s ,  1   0 2   và giả sử các hàm u và TW  u thuộc TW  u  0 suy ra s  L ( )  . n 1 2 Khi đó từ đẳng thức u ( x, t )  0 , với t  0 . Chứng minh s  o  Theo hệ quả 2.2.1, tồn tại một dãy u m  , um   C  ( n 1 )  sao cho   um  u 2,  n1 T (um )  T  u  0, 2,  n1 0 khi m   . Theo bổ đề 2.3.1, um ( x, )  0 khi    , nên với t  0 ta có  1 u m ( x, t ) 2 2, x   1 T (um ) (  , t , )  2   1   0  với kí hiệu .   ,t   lim . ,t .  Ta lại có T (um )  , t  T W u  , t  T (um )  (T )W u 2,  n1 0 khi m   . Do đó u m ( x, t ) 2, x  0, t  0 khi m   . Tương tự các chứng minh của bổ đề 2.3.2, ta có (um  u)( x, t ) 2, x  0, m   Vậy u( x, t )  0 khi t  0 . Bổ đề được chứng minh. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 49 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bổ đề 2.3.4 Giả sử thực hiện được các điều kiện: 2  An 1   1  ,    n 1 1  2    B  A     0  ,    s 2   2  An 1   2  , ( x, t )   n1 ,    s với  0 ,  1 ,  2 là các hằng số,    s , ( x, t )   n 1 . Khi đó với mọi   0 tồn tại hằng số C sao cho 2 1 u 2, x  u 2  ,t    C u ( x, 0) 2  TW u 2, x 2  ,   với   t   . Chứng minh Áp dụng bổ đề 2.3.1 và 2.3.2, ta nhận được bất đẳng thức (2.21) đúng với mọi hàm u  T . Khi đó có thể thay trong vế trái của (2.21)  bằng t . Nếu u  et v , thì v  T , tức là khi đặt  1   0  1,   1 , ta nhận được với 0  t   1 v 2 2, x  v 2 (0,t )   2 v( x, 0) 2  T v 2, x 2 (0,t ) Do đó, nhờ TW u  e t (T )W v , v( x, 0)  u( x,0) , ta nhận được 1 u 2 2, x  u 2 (0,  )  e2 t  2 u ( x, 0) 2 2, x  e4  Tu 2 (0,  ) với 0  t   . Tương tự với   t  0 . 1 u 2 2, x  u 2 ( ,0)  e2 t  2 u ( x, 0) 2 2,   e 4  Tu 2  ,0  Từ hai bất đẳng thức này nhận được điều khẳng định của bổ đề. Bổ đề được chứng minh. 2.3.3. Tính giải được của bài toán Cauchy Xét trong  n1 phương trình (2.26) Tu  f ( x, t ) n 1 trong đó T là toán tử được cho bởi công thức Tu   Ai i 1 SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 50 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) u  Bu . xi GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bài toán tìm nghiệm suy rộng của phương trình (2.26) thỏa mãn điều kiện ban đầu u t 0   ( x), x   n (2.27) được gọi là bài toán Cauchy.   s   s Giả sử f  L2   n1  , g  L2   n  . Ta đưa định nghĩa nghiệm suy rộng Cauchy vào phương trình (2.26) và (2.27). Một hàm u ( x, t ) được gọi là nghiệm suy rộng trong lớp T của bài toán (2.26) và (2.27) nếu u ( x, t )  T , u ( x, 0)   ( x) và thỏa mãn  u, T   * 2,  n 1   f ,   2, n1 s  o  Với mọi    C    n 1   , u( x, 0)   ( x) được hiểu là vết của hàm u ( x, t ) trên   n . Định lí 2.3.1 i Giả sử a ( x, t ) , i  j a x j , b ( x, t ) là các hàm liên tục bị chặn trong  n , i, j  1,..., n  1 , xn 1  t ,  ,   1,...s . Ngoài ra, giả sử rằng điều kiện (2.5) được s s thỏa mãn và f   L2 ( n1 )  ,    L2 ( n )  . Khi đó bài toán (2.26) và (2.27) có nghiệm suy rộng duy nhất trong lớp T . Chứng minh o o Trước tiên giả sử  ( x)  (C  ( )) s . Xét hàm   C  (; ) ,  (0)  1 . Kí hiệu o  ( x, t )   . Khi đó   (C  ( n1 )) s ,  ( x, 0)   ( x ) . Đặt f  ( x, t )  f ( x, t ) khi t  0 , f  ( x, t )  T ( x, t ) khi t  0 . Xét phương trình: (2.28) Tu  f  Nếu đặt u  et v thì (2.28) tương đương với phương trình T v  e t f  SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 51 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (2.29) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic , ở đây  1  0 . Do e  t f   ( L2 ( n1 )) s nên theo định lí 2.1.1, phương trình (2.29) có nghiệm suy rộng v( x, t )  ( L2 ( n1 )) s . Hàm v này thỏa mãn đẳng thức v  e t ( x, t ) khi t  0 , vì nếu đặt v  et   thì T   T v  e  tT  0 , tức là T   0 khi t  0 . Do đó, theo bổ đề 2.3.3 ta có   0 khi t  0 . Vậy phương trình (2.28) có nghiệm u  u sao cho u   ( x, t ) khi t  0 . Tương tự, nếu f   f khi t  0 và f   T khi t  0 , thì phương trình Tu  f  có nghiệm u  u thỏa mãn u   khi t  0 . Đặt u  u  u   , ta nhận được Tu  f , u ( x, 0)   ( x, 0)   o Giả sử   ( L2 ( n1 )) s . Chọn dãy  n  thuộc (C  ( n ))s sao cho n   2,  n  0, n   Kí hiệu um là nghiệm của phương trình Tu  f với điều kiện ban đầu u( x, 0)  m . Khi đó T (u m  u k )  0 Do đó, theo bổ đề 2.3.4  1 (um  u k )( x, t ) 2  um  u k 2, x 2 ( ,t )  C  m   k 2 2,  n Từ đây, khi m, k   ta được um  uk ( ,  )  0, (u m  uk )( x, t ) 2, x 0 đều trong (, ) . Do T là toán tử đóng, TW (um )  f nên TW (u)  f , u  T , u ( x, 0)   ( x) . Sự tồn tại nghiệm suy rộng của định lí được chứng minh. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng được suy ra từ bổ đề 2.3.4. Định lí được chứng minh. 2.4. Phương trình Hyperbolic cấp hai 2.4.1. Các khái niệm cơ bản Xét trong  n phương trình đạo hàm riêng cấp hai n 1 a ij i , j 1 SVTH: Hồ Nhật Quang ( x)  2u n 1 u   ai ( x) a ( x)u  f ( x) xi x j i 1 xi Trang 52 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (2.30) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp với Phương trình loại Hyperbolic aij ( x)  a ji ( x) , là các hàm ai ( x), a( x), f ( x ) xác định theo biến x   x1 ,..., xn 1    n 1 .  Phương trình (2.30) được gọi là phương trình Hyperbolic tại điểm x0 (thuộc loại Hyperbolic tại điểm x0 ) nếu tất cả các giá trị riêng của dạng toàn phương n 1  a ( x )   1 ij 0 i (2.31) j i , j 1 khác 0 và có một giá trị riêng khác dấu với tất cả các giá trị riêng còn lại. Khi đó, nếu thực hiện phép đổi biến số y  y( x) , với y là hệ tọa độ trực giao gốc tọa độ là điểm x0 , thì phương trình (2.30) được đưa về dạng n 1  i ( x0 ) i 1  2 u n 1 u   bi ( x0 )  b( x0 )u  f ( x0 ) 2 yi i 1 yi (2.32) trong đó i ( x0 ) là các giá trị riêng của dạng toàn phương (2.31), n 1 ( x0 )  0 , i ( x0 )  0, i  1,..., n .  Giả sử Q là một miền nào đó trong  n1 . Ta nói rằng phương trình (2.30) là phương trình Hyperbolic trong miền Q (thuộc loại Hyperbolic trong miền Q), nếu nó là phương trình Hyperbolic tại mọi điểm thuộc miền Q. Tuy nhiên, ta không thể đưa (2.30) về (2.32) trong trường hợp tổng quát mà chỉ có thể đưa được (2.30) về (2.32) tại từng điểm. Ta xét trường hợp phương trình (2.30) đưa về dạng n n 1  2u  2u u  b ( y )  bi ( y )  b ( y )u  f ( y )   ij 2 yn 1 i , j 1 yi y j i 1 yi (2.33) n trong đó dạng toàn phương  b ( y )  ij i j là xác định dương. Ta kí hiệu xn 1  t và i , j 1 viết lại (2.33) dưới dạng  2u  Lu  f ( x, t )  2t n Lu   aij ( x, t ) i , j 1 SVTH: Hồ Nhật Quang (2.34) n 1  2u u   bi ( x, t )  c ( x, t ) u xi x j i 1 xi Trang 53 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (2.35) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic trong đó aij ( x, t )  a ji ( x, t ) với   (1 ,...,  n )   n1 \ {0} và ( x, t )  Q thỏa mãn điều kiện n a ij ( x, t )i j  0 i , j 1  Trong không gian  n1 liên quan đến phương trình (2.34) ta có ba loại mặt trơn: mặt định hướng không gian, mặt định hướng thời gian, mặt đặc trưng. Giả sử  là một mặt nào đó được cho bởi phương trình F ( x1 ,..., xn , t )  0 . Kí hiệu 2 n F F  F  (F )      aij ( x, t ) xi x j  t  i , j 1 Mặt  được gọi là mặt định hướng không gian, mặt định hướng thời gian hoặc mặt đặc trưng nếu biên  thỏa được tương ứng điều kiện  ( F )  0 ,  ( F )  0 hoặc  ( F )  0 . Ví dụ: Mặt F  t  c  0, c  const là mặt định hướng không gian, mặt trụ thẳng ( x, t ) : xi  xi0 , i  1,..., n,   t   là mặt định hướng thời gian, còn hai mặt nón n (t  t 0 ) 2  c 2  ( xi  xi0 )2 , c  const  0 i 1 là mặt đặc trưng với phương trình  2u 2 n  2u  c  2  f ( x, t ) t 2 i 1 xi 2.4.2. Bài toán Cauchy và bài toán biên ban đầu thứ nhất  Kí hiệu  nt 1  ( x, t ) : x   n , t  t0  . Xét bài toán Cauchy 0  2u  Lu  f ( x, t ), ( x, t )   nt01 2 t u t t   ( x ) (2.36) u   ( x), x   n t t  0 (2.37) 0 với L là toán tử được cho trong (2.35), còn f ,  và  là các hàm cho trước. Khi đổi biến   t  t0 , ta đưa được bài toán (2.36) và (2.37) về bài toán với giá trị SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 54 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic ban đầu   0 . Ngoài ra, nếu đổi biến   t , ta lại đưa bài toán về tìm nghiệm với t  t0 .  Bài toán Cauchy tổng quát là bài toán được xét như sau: Giả sử điều kiện ban đầu là u   , u  t  (2.38) trong đó  là mặt định hướng không gian nào đó đối với phương trình (2.34), tách hoàn toàn không gian  n1 thành hai phần. Bài toán tìm nghiệm của phương trình (2.34) trong một phần của  n1 được tách bởi  và thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.38) được gọi là bài toán Cauchy tổng quát.  Ta chuyển sang các bài toán biên đối với phương trình (2.34). Kí hiệu QT   (0, T ) ,  là miền bị chặn trong  n , T  const  0 . Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình (2.34) là bài toán sau:  2u  Lu  f ( x, t ), ( x, t )  QT t 2 u t 0   ( x), u   ( x), x   t t 0 (2.39) u S   ( x, t ) T với ST    (0; T ) ; f ,  , và  là các hàm đã cho.  Nếu điều kiện biên (2.39) được thay bằng u   ( s , t )u S   ( s , t ) T N trong đó  ( s, t ),  (s, t ) là các hàm đã cho trên mặt biên ST và n u u   aij cos( , xi ) N i , j 1 x j ,  là vectơ pháp tuyến tới mặt ST , thì ta nhận được bài toán biên ban đầu thứ hai (trường hợp   0 ) và bài toán biên ban đầu thứ ba (trường hợp  không đồng nhất bằng 0) đối với phương trình (2.34). SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 55 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 2.4.3. Đưa phương trình Hyperbolic cấp hai về hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một Giả sử các hệ số trong phương trình (2.34) thỏa mãn: aij ( x, t )  a ji ( x, t ) với i, j  1,..., n . Ta sử dụng phép đặt lần lượt các hàm phụ và đưa phương trình về hệ các hàm phụ đó. Chọn phép đặt sau đây: u0  u u , ui  , i  1,..., n t xi Khi đó u0 ui  , i  1,..., n xi t Từ (2.34) và (2.35), ta có n 1   2u  n  2u u  a ( x , t )  bi ( x, t )  c( x, t )u   f    ij 2  t  i , j 1 xi x j i 1 xi  Do vậy, ta nhận được một hệ phương trình vi phân cấp một u  u0  0 t n n u u aij i   aij 0  0,  t i 1 xi i 1 j  1,..., n n n u0 u   aij i   bi ui  bn 1u0  cu  f t i , j 1 x j i 1 (2.40) Kí hiệu 1 0  An 1   0   0  0 1 0 a11   0 an1 0 0 0 0  Ai   0 ai1     0 a  in SVTH: Hồ Nhật Quang 0 0 ... ... 0  0  ... a1n   ...   ... amn  0 ... 0  ai1 ... ain  0 ... 0    ...   0 ... 0  Trang 56 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 1 0  0  c b b1 n 1  B 0 0 0       0 0 0  ... 0  u 0 ... bn      u0 f ... 0  , u    , f        ...       un  0   ... 0  Khi đó, hệ (2.40) có thể được viết dưới dạng phương trình toán tử n 1 u  A x i i 1 (2.41)  Bu  f i với xn1  t . Phương trình (2.41) chính là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một. Do đó, ta có thể áp dụng tất cả các kết quả nghiên cứu của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một cho phương trình Hyperbolic cấp hai dạng (2.34). 2.5. Phương trình Hyperbolic mạnh Xét trong trụ QT   (0, T ) ,  là miền bị chặn trong  n , T  const  0 . Kí hiệu m  L ( x, t . D )   ,  1 m D a ( x, t ) D    b ( x, t ) D  c( x, t ) (2.42)  1 trong đó a , b , c là các hàm giá trị phức bị chặn trong trụ đóng QT , a  (1)    a  với  ,   1,..., m và a liên tục trong QT với     m . Xét trong trụ QT phương trình: (1)m1 L( x, t , D)u   2u  f ( x, t ) t 2 (2.43) Phương trình (2.43) được gọi là Hyperbolic mạnh trong miền QT nếu thỏa mãn điều kiện  a ( x, t )     0  2m ,  0  const  0 (2.44)    m ,    n , ( x, t )  QT . SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 57 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 2.5.1. Các bài toán biên Bài toán tìm nghiệm của phương trình (2.43) thỏa mãn điều kiện ban đầu u ( x, 0)  u ( x, 0)  0 t (2.45) và điều kiện biên  iu  i (2.46)  0, i  0,..., m  1 ST trong đó  là vectơ pháp tuyến ngoài của mặt ST , được gọi là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình (2.43). Nghiệm suy rộng trong không gian W2m ,1 (QT ) của bài toán (2.43), (2.45), o m ,1 (2.46) là hàm u( x, t )  W 2 (QT ) , u( x, 0)  0 và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân sau: m  m  u  (1)m1    (1)  a D  uD   b D u  cu  dxdt   dxdt   t t  1 QT   ,  1 QT    f  dxdt (2.47) QT o m ,1 ,  ( x, t )  W 2 (QT ), ( x, T )  0 . Giả sử  là miền bị chặn trong  n , sao cho  thỏa mãn điều kiện để có công thức Ostrogradsky:  m      D a D  u  dxdt  (1)   ,  1 Q   T   m     a D  uD  dxdt   P (u , )ds   ,  1 Q  ST  T  với P(u, ) là toán tử đạo hàm riêng của u và  bậc nhỏ hơn hay bằng m. Giả sử hàm u ( x, t ) thỏa mãn các điều kiện sau: u ( x, t )  W2m,1 (QT )  P(u, )ds  0 ST với mọi   W2m ,1 (QT ) . Khi đó ta viết N (u ) S  0 (2.48) T SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 58 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình (2.43) là bài toán tìm hàm u( x, t )  W2m,1 (QT ) thỏa mãn phương trình (2.43), điều kiện ban đầu (2.45) và điều kiện biên (2.48). Ta gọi nghiệm suy rộng trong không gian W2m ,1 (QT ) của bài toán (2.43), (2.45), (2.48) là hàm u ( x, t )  W2m ,1 (QT ), u ( x, 0)  0 và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân m  m  u  (1)m1    (1)  a D  uD   b D u  cu  dxdt   dxdt   ,  1  t t  1 QT  QT    f  dxdt QT o m ,1 ,  ( x, t )  W 2 (QT ), ( x, T )  0 . Khi đó hàm u( x, t ) được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian W2m ,1 (QT ) của bài toán. 2.5.2. Bất đẳng thức Garding mở rộng Định lí 2.5.1. (Bất đẳng thức Garding) Giả sử các hệ số a ( x ) thỏa mãn điều kiện Re  a ( x)      0  2m ,    n    m o Khi đó với mọi hàm u ( x)  W2m () thỏa đúng bất đẳng thức sau  a   m   m D uD  udx   1     m 2 2 D u dx   2  u dx  Định lí 2.5.2. (Bất đẳng thức Garding mở rộng) Giả sử các hệ số a của (2.42) thỏa mãn điều kiện (2.44) và liên tục trong QT . Khi đó, tồn tại các hằng số  1 ,  2 ,  1  0 sao cho  a     m  2 2 ( x, t ) D uD  udx   1   D u dx   2  u dx  m  (2.49)  o , u ( x, t )  W2m ,1 (QT ) . Các hằng số  1 và  2 không phụ thuộc vào t. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 59 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Chứng minh Trước tiên xét trường hợp a ( x, t ) không phụ thuộc vào t, tức là o o a ( x, t )  a ( x) . Do u ( x, t )  W2m ,1 (QT ) nên u  W2m () với mỗi t. Từ đó và từ định lí 2.5.1, ta nhận được  a     m  ( x) D u ( x, t ) D  u ( x, t )dx   1  D   m  2 2 (2.50) u ( x , t ) dx   2  u dx  , các hằng số  1 và  2 không phụ thuộc vào hàm số u ( x, t ) và tham số t. Giả sử a ( x, t )  a ( x)   ,  là số dương đủ nhỏ,     m . Do (2.50) ta có  a  ( x, t ) D uD  udx   ,  m   a  ( x) D uD  udx  ,  m    a  ( x, t )  a ( x) D uD  u dx  ,  m   1    m  C2  2 D u dx   C1   m  D  m  với   D  2  2 2 u dx   2  u ( x, t ) dx  2 (2.51) u dx   2  u ( x, t ) dx  1 , C2  0 và  2 là các hằng số không phụ thuộc vào u và t. 2C1 Do giả thiết a ( x, t ) liên tục trong QT ,     m nên a ( x, t ) cũng liên tục đều trong QT . Do vậy, với mỗi t0 , tồn tại [t0   , t0   ] ,   0 đủ nhỏ sao cho a ( x, t )  a ( x, t0 )   Chọn một phủ mở hữu hạn các khoảng có độ dài 2 trên I1 ,..., I n , sau đó xét phân hoạch đơn vị N   1    2j (t ),sup p j  I j ,  j  C  I j j 1 Khi đó theo (2.51) và sử dụng phân hoạch đơn vị, ta nhận được N    a ( x, t ) D uD udx    ,  m     a   2j (t ) D uD  udx  ,   m  j 1 N =  a   ,   m j 1  SVTH: Hồ Nhật Quang D  j uD   j udx  C3   Du  m  Trang 60 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) 2 2 dx   2  u ( x, t ) dx  GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic với C3 là hằng số dương, không phụ thuộc vào u và t. Định lí được chứng minh. Định lí 2.5.3 Giả sử các điều kiện của định lí 2.5.2 được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hằng số  1  0 và  2 , sao cho m   ,  1 2 (1)   m  a D  uD udx   1 u ( x, t ) W m (  )   2 u ( x, t ) 2 2 L2 (  )  o , u ( x, t )  W2m ,1 (QT ) ,  1 và  2 không phụ thuộc vào t. Chứng minh Ta có m m ( 1)m  ( 1)   a D  uD udx    a D  uD udx  1  1  1   1        2m   m,  m (1)  m  a D  uD udx (2.52)  Do a ( x, t ) bị chặn nên     2 m  ,  m (1)   m  a D  uD udx    D   m  2 2 u dx  C ( )   D u dx  m  Từ bất đẳng thức này, ta nhận được:     2 m  ,  m (1)   m  a D  uD udx  1   D  m   2 2 (2.53) u dx  C (1 )  u dx  Từ (2.52), (2.53) và định lí 2.5.2 suy ra (1)m   ,  1 (1)   a D  uD udx    a D  uD udx  1    m   m D  m    1  1    Du  m  2  2 2 u dx  C ( 1 )  u dx  2 dx    2  C (1 )   u dx  Từ đây và chọn  1   1 suy ra kết luận của định lí. Định lí được chứng minh. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 61 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Ta đưa vào kí hiệu m B(u , u )   n  ,  1 ( 1)   a D  uD udx  2 Re   b D uudx  1   Từ định lí 2.5.3 và bất đẳng thức Cauchy rút ra hệ quả sau Hệ quả 2.5.1 Giả sử các điều kiện của định lí 2.5.2 được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hằng số 1 và 2 , 1 > 0 sao cho (1)m B(u , u )  1 u 2 W2m ,1 (  )  2 u 2 L2 (  ) o , u( x, t )  W2m,1 (QT ) . 2.5.3. Định lí duy nhất nghiệm suy rộng Ta xét tính duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình hyperbolic mạnh. Định lí 2.5.4 Giả sử các hệ số của toán tử L( x, t.D) ở (2.42) thỏa mãn điều kiện  a ( x, t )     0  2m ,  0  const  0    m a b ,   ,   const ,1   ,   m, ( x, t )  QT t t Khi đó bài toán (2.43), (2.45), (2.46) có không quá một nghiệm suy rộng trong không gian W2m ,1 (QT ) . Chứng minh Giả sử bài toán (2.43), (2.45), (2.46) có hai nghiệm suy rộng u1 và u2 trong o không gian W2m ,1 (QT ) . Đặt u  u1  u2 . Khi đó u  u ( x, t )  W2m ,1 (QT ), u ( x, 0)  0 và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân m  m  u  (1)m1    (1)  a D  uD   b D u  cu  dxdt   dxdt  0 t t  1  QT  QT   ,  1 o ,   W2m,1 (QT ), ( x, T )  0 SVTH: Hồ Nhật Quang (2.54) Trang 62 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Đặt 0,   ( x, t )   t   u ( x, ) d , b o Khi đó  ( x, t )  W2m,1 (QT ), ( x, T )  0, b t T 0t b   u ( x, t ) . Thay hàm  vào (2.54) ta t nhận được m  m      (1) m 1    (1)  a D  D    b D     dxdt t t t   1   ,  1 Qb   2 u   2 dxdt  0 t t QT (2.55) Kí hiệu a00  (1)m 2 , c1  c  a00 , 2 là hằng số. Ta viết hệ thức (2.55) dưới dạng m  m       (1)m 1    (1) a D  D    b D   c1   dxdt t t t   1   ,  0 Qb   2   2 dxdt  0 t t Qb (2.56) Do a  (1)    a nên khi cộng (2.56) với biểu thức liên hợp của nó, ta được kết quả sau: m       m 1   Re (1) a D  D dxdt   b t  t t     t ,  0 Qb Q m m 1  a  Re   (1) D  Ddxdt  t Qb  ,   0   (2.57)  m    (1) m 1 2 Re    b D   c1   dxdt  0 t t    1 Qb  Bởi vì b D  Qb  b    dxdt   b D dxdt    D dxdt   b D dxdt t t t t Qb Qb Qb   nên từ (2.57) và công thức tích phân từng phần, ta được: SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 63 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic 2   m   ( x, b) dx  (1) m  (1)  a D  D dx t 0 t  ,  1  m (1) m 2 Re   b D  1 Qb m  Re  (1)  ,  0 m 1   Qb a t t 0 dx  (1) m 1 2 Re  c1 Qb    dxdt t (2.58)  D  D  dxdt  b   (1)m 1 2 Re     D  b D  dxdt  0 t   1 Qb  t Đặt 0 v ( x, t )   D  u ( x,  )d , 0  t  b t Ta có t D ( x, t )   D u ( x, )d  v ( x, b)  v ( x, t ) b Từ đây và hệ quả 2.5.1 ta có: (1)m B  ,  (0)  2  ( x, 0) 2 L2 (  ) m 2  1   v ( x, b) dx  0  Do đó, từ (2.58) ta có   2 2 m  m    2 2 ( x, b)  1   v ( x, b) dx  C1    v ( x, t )  ( x, t )  dxdt   t t   1 Qb    0  b m 2 C2    v ( x, b) dxdt 0   0 với C1, C2 là các hằng số không phụ thuộc vào b. Như vậy, ta nhận được 2   m  2 ( x, b) dx   1  bC2    v ( x, b ) dx t   1 2 m   2  C1   ( x, b)   v ( x, b)  dxdt  t   1 Qb   (2.59) Kí hiệu 2 b m   2 y (b )     ( x, b)   v ( x, b)  dx  t   1 0   Khi đó, từ (2.59) suy ra SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 64 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic    dy  Cy (b), b  0; 1  db  2C2  ở đây C là hằng số không phụ thuộc vào b. Từ đây suy ra u( x, t )  0 trên đoạn  1   1 1  ,  , ta có u ( x, t )  0 trên đoạn 0,  . Lặp lại các lí luận trên với t    2C2   2C2 C2   1  0,  . Như vậy, sau một số hữu hạn bước, ta nhận được u ( x, t )  0 trong  0,T  ,  C2  tức là u ( x, t )  0 trên đoạn QT. Định lí được chứng minh. 2.5.4. Định lí tồn tại nghiệm suy rộng Ta xét phương trình (2.43) với giả thiết f ( x, t )  L2 (QT ) . Ta có định lí sau: Định lí 2.5.5 Giả sử các điều kiện của định lí 2.5.4 được thực hiện và f ( x, t )  L2 (QT ) . Khi đó, bài toán (2.43), (2.45), (2.46) có nghiệm suy rộng u ( x, t ) trong không gian W2m,1 (QT ) . Hơn nữa, có bất đẳng thức u W2m ,1 ( QT ) C f L2 ( QT ) (2.60) , C  const Chứng minh o Giả sử  k ( x) là hệ hàm trong W2m () , sao cho bao đóng của bao tuyến tính o của nó là W2m () và hệ này trực chuẩn trong L2 () . Xét dãy hàm dạng N u N ( x, t )   CkN (t ) k ( x) k 1 , trong đó CkN (t ) , k  1,..., N là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường cấp hai sau m   2u N  m    (1) a D  u N D l  dx    t 2 l    ,  0    m  (1)m    b D u N  c1u N  l dx    f l dx      1   CkN (0)  0, SVTH: Hồ Nhật Quang d N Ck (0)  0 dt Trang 65 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) (2.61) (2.62) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic , l  1,..., N ; k  1,..., N . Đây là hệ phương trình vi phân thường tuyến tính đã giải d 2CkN ra đối với , số hạng tự do thuộc L2 (0, T ) . Hệ này có nghiệm duy nhất với dt 2 điều kiện ban đầu (2.62). Hơn nữa Nhân (2.61) với d 2CkN  L2 (0, T ) . dt 2 dClN , sau đó lấy tổng theo l từ 1 đến N, ta nhận được dt N  m   2 u N u N m   N  u  (  1) a D u D   dx    t 2 t  t  ,  0   m u N u N  u N (1)m    b D u N  c1u N dx  dx    f  t t  t    1  Lấy tích phân đẳng thức trên theo t từ 0 đến t, ta được N  m   2 u N u N m   N  u  (  1) a D u D   dxdt    t 2 t  t  ,  0 Qt  (2.63)  m u N u N  u N  ( 1) m    b D u N  c1u N dxdt  dxdt    f  t t  t Qt   1 Qt Do ta có N N a  N  N   N  N  u  N  N  u a D u D u  D u D u  a D D u  a D u D t t t t   nên khi cộng (2.63) với liên hợp phức của nó và sử dụng giả thiết a  (1)    a . Kết quả nhận được là   2  m u N u N  ( x, t ) dx  (1) m B1 (u N , u N )(t )  (1) m 2 Re    b D u N  dxdt  t t  Qt   1 m  Re  (1) m   ,  0 t  Qt 2 Đặt y N (t )    u N ( x, ) W 0    a t D  u N D u N dxdt  2 Re  Qt u N  ( x,  ) m ()  (2.64) u N f dxdt t 2   d  L2 (  )  Khi đó, từ (2.63) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra y N  C y N (t )  f t  SVTH: Hồ Nhật Quang L2 ( QT ) Trang 66 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)  GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Từ đây ta nhận được uN 2 W2m ,1 ( QT )  C1 f 2 L2 ( QT ) với C1 là hằng số không phụ thuộc vào N. Do đó, tồn tại một dãy con của dãy  u  N N 1 hội tụ yếu đến một hàm u ( x, t ) trong không gian W2m ,1 (QT ) và đều theo o o t  [0; T ] trong L2 () . Do u N ( x,0)  0 và u N  W2m,1 (QT ) nên u  W2m,1 (QT ) và u ( x, 0)  0 . Ta cần chứng minh u ( x, t ) thỏa mãn đồng nhất thức tích phân (2.47) Nhân (2.61) với dl (t )  M N , M  N 1 M N trù mật trong không gian o m ,1 W2,0 (QT ) , sau đó lấy tổng đẳng thức nhận được theo l từ 1 đến N và lấy tích phân theo l từ 0 đến T. Tiếp theo nữa là lấy tích phân từng phần. Kết quả nhận được là  QT u N  dxdt   t t QT m  (1)m   a D  u N Ddxdt  ,  0  m  (1)m    b D u N   c1u N  dxdt    f dxdt   QT   1 QT  N    d l (t )1 ( x)  M N l 1 Từ đó suy ra m  m   m 1  N  (  1) (  1) a D u D   b D u N   dxdt     Q   1   ,  1  T (1) m 1  cu N dxdt  QT  u N     t  t dxdt  Q f dxdt QT  T Khi cố định một   M N , sau đó cho N   , ta nhận được (2.47) đúng cho hàm u( x, t ) vừa tìm ra được ở trên. Do u  M N là phần tử bất kì, nên (2.47) cũng o m ,1 đúng   M N . Mặt khác, do M  N 1 M N trù mật trong không gian W2,0 (QT ) , o m ,1 nên (2.47) cũng đúng   W2,0 (QT ) . Như vậy, u ( x, t ) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.43), (2.45), (2.46). Bất đẳng thức (2.60) cũng nhận được từ (2.64) khi chuyển qua giới hạn N   và sử dụng kết quả đã biết: SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 67 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic u 2 W22 ,1 ( QT ) 2  lim u N W22,1 ( QT )  C1 f 2 L2 ( QT ) Định lí được chứng minh. 2.5.5. Tính trơn theo biến thời gian của nghiệm suy rộng Định lí 2.5.6 Giả sử các điều kiện của định lí 2.5.5 được thỏa mãn và giả sử trong trụ QT : k f  L2 (QT ), k  h t k k f (ii ) k , x  , k  h  1 t t 0 (i )  k a  k 1b  k 1c (iii ) , k 1 , k 1   , k  n  1,1   ,   m t k t t trong đó   const , ( x, t )  QT . Khi đó nghiệm suy rộng u ( x, t ) trong không gian W2m ,1 (QT ) có đạo hàm suy rộng theo t đến cấp h thuộc W2m ,1 (QT ) và ta có bất đẳng thức  hu t h 2 h  C k 0 W2m ,1 ( QT ) k f t k 2 L2 ( QT ) với C là hằng số. Chứng minh Trước tiên ta đi chứng minh bất đẳng thức i u N t i 2 h  C W2m ,1 ( QT ) k 0 2 k f t k (2.65) ,i  h L2 ( QT ) trong đó u N là nghiệm xấp xỉ trong chứng minh định lí 2.5.5, còn C là hằng số không phụ thuộc vào N. Ta chứng minh (2.65) bằng quy nạp theo h. Với h = 0, ta được bất đẳng thức (2.65) từ chứng minh định lí 2.5.5. Giả sử (2.65) đúng với h – 1, tức là i u N t i SVTH: Hồ Nhật Quang 2 h 1  C W2m ,1 ( QT ) k 0 k f t k 2 , i  h 1 L2 ( QT ) Trang 68 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Ta đạo hàm theo t đẳng thức (2.61) i lần và nhân đẳng thức nhận được với  i 1ClN . Sau đó lấy tổng theo l từ 1 đến N và lấy tích phân theo t từ 0 đến t. Ta t i 1 nhận được:  QT i 1 N m  i  2 u N  i 1u N i m  N  u dxdt  (  1) ( a D u ) dxdt   t i  t i 2 t i 1 t i 1  ,  0 QT (1) m  Qt i t i  m  i 1 N  i f  i 1u N  N N  u dxdt   b D u  c1u  i 1 dxdt    i t t i 1 Qt   1  t Cộng bất đẳng thức này với lượng liên hợp của nó, ta được    i 1u N  i 1u N  t  t i 1 t i 1 Qt  m  2 Re ( 1)  ,  0 m    dxdt   i 1 N i  N   u a D u D dxdt     t i t i 1 Qt (2.66)   i 1u N   m 2 Re(1)m  i   b D u N  c1u N  i 1 dxdt  t t   1 Qt  i  i f  i 1u N dxdt t i t i 1 Qt  2 Re  Nhờ giả thiết a  (1)    a , ta có m 2 Re  (1)   ,  0 m  Re  (1)   ,  0 i 1 N i  N   u a D u D    t i t i 1   i u N   i 1u N D  a D  t  t i t i 1 m   i u N   i 1u N  a D D   Re  (1)  t t i t i 1  ,  0  m 2 Re  (1)  ,  0 với Cis   i s i C s 1  s a t s D  i  s u N   i 1u N D t i  s t i 1 i! . s !(i  s )! SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 69 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Mặt khác, số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng m 2 Re i   ,  0 (1)   Cis s 1 m  2 Re  ( 1)   ,  0  ( 1)  ,  0 m 2 Re i  Cis s 1 m 2 Re  s a  i  Cis s 0 i   ,  0 ( 1)   Cis s 0 t s D  i  s u N   i 1u N D t i  s t i 1 s    a   i s u N   i u N  D D   t  t s t i s t i   s 1a t s 1  s a t s D D i  su N   iu N D t i  s t i  i 1 s u N   i u N D t i 1 s t i Do đó, số hạng thứ hai của (2.66) được viết như sau: m 2 Re  (1)m    ,  0 i 1 N i  N   u a D u D  t i 1 dxdt Q t i   t t t m a   i u N   i u N  i u N iu N  m   (1) B1  i , i   Re  (1)  D t i D t i dxdt t  t 0  ,  0  t Qt t m 2(1) m  s    a   i  s u N   i u N  C   D D  dxdt  t  t s t i  s t i  s 1 Qt i s i i 2(1)m    Cis  s 0 2(1) m  Qt i  Cis  s 0 Qt  s 1a t s 1  s a t s D D (2.67) i  su N  iu N D dxdt t i  s t i  i 1 s u N   i u N D dxdt t i 1 s t i Từ (2.66) và (2.67) và do    i 1u N  i 1u N  t  t i1 t i1 Qt    i 1u N  dxdt   t i 1  2 , L2 (  ) s  s a   i  s u N   i u N    a   i  s u N   i u N   t  t s D t is D t i  dxdt   t s D t i s D t i Qt   SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 70 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) dx t t GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Suy ra 2  i 1u N ( x, t ) t i 1   iu N iu N   ( 1) m B1  i , i  (t ) t   t L2 (  ) m m  i s i   (1)  2 Re C   ,   0 s 1 m  Re   ,  0  t Qt m m i s i   (1) 2 Re a (1)m  Cis  C  ,   0 s 1 m m Cis   (1)  ,   0 s 1 Qt i t i Qt 2 Re(1)m  t D D s  i s u N  i u N D dx t i  s t i i u N  i u N D dxdt t i t i  s 1a  i  2 Re   s a t s 1  s a  i  s 1u N   i u N D dxdt t i  s 1 t i D t s  i s u N  i u N D dxdt t i  s t i D  m   i 1u N  i f  i 1u N  N N dxdt   b D u  c1u  i 1 dxdt  2 Re  i t t i 1 Qt   1  t Từ đây và định lí 2.5.2 ta nhận được 2 i u N  i 1u N ( x , t )  ( x, t ) t i t i 1 W m ( ) 2 2 L2 (  ) 2   i 1u N  i 1u N  C1   ( x ,  )  ( x,  ) t i 1 t i 1 m 0  W (  )  2 t 2  d L2 (  )   (2.68) 2 2 i 1  i 1  s u N  su N i f C 2   ( x , t )  ( x , t )    s 0 t s t s t i s 0 W2m (  ) W2m ( Qt )  2    L2 (  )  Do t  T và giả thiết quy nạp, ta có i 1  s 0 2  su N i f ( x , t )  t s t i W m (Q ) 2 t i 1  s 0 2 L2 ( Qt ) s N 2 i u  f ( x, t )  s t t i W m (Q ) 2 T (2.69) 2 s i  C s 0 L2 ( QT )  f t s 2 L2 ( QT ) ở đây C = const > 0. Đặt 2   iu N  i 1u N y (t )    ( x ,  )  ( x,  )  t i t i 1 0 W2m (  ) t i 1 C2 (t )  C2  s 0 SVTH: Hồ Nhật Quang 2 2   d  L2 (  )  i  su N i f ( x , t )  C C 2  i t s s  0 t W m () 2 Trang 71 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) 2 L2 ( QT ) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Từ đây và (2.68), (2.69) ta nhận được dy (t )  C1 y(t )  C2 (t ) dt Do đó ta có t y(t )  c tC1  C2 (t )dt 0 Khi chọn t  T , i  h , ta được  hu N t h 2 W2m ,1 ( QT ) 2  h 1  i u N  C  s 0 t i  s f t s h  s 0 W2m ,1 ( QT ) 2    L2 ( QT )  trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào N. Từ đây và sử dụng giả thiết quy nạp ta nhận được (2.65). Từ (2.65) cho N   ta nhận được điều khẳng định của định lí. Định lí được chứng minh. 2.5.6. Bài toán biên ban đầu thứ hai Đối với bài toán biên ban đầu thứ hai, ta không có được bất đẳng thức Garding. Thay vào đó ta giả thiết D  uD udx     a     m  D  2 (2.70) u dx  m  ở đó u W2m,1 (QT ) và  là hằng số dương không phụ thuộc vào hàm u. Ngoài ra, ta giả thiết miền  là một miền bị chặn trong  n chứa hình hộp  và là một miền sao đối với tâm của hình hộp  . Từ đây, ta có bất đẳng thức nội suy u W2m1 (  )  u W2m (  )  C ( ) u (2.71) L2 (  ) , u ( x, t )  W2m ,1 (QT ) . Khi đó, tồn tại các hằng số,  1 ,  2 (  1  0 ) sao cho    (1)  a     m  D  uD udx   1 u 2 W2m (  ) 2 u 2 L2 (  )  , u  W2m ,1 (QT ) . Thật vậy, từ điều kiện (2.70) và bất đẳng thức Cauchy suy ra   D u  m m      1 m      1 SVTH: Hồ Nhật Quang 2 L2 (  )   a  D  uD udx    m  (1) m    a D  uD udx   m     1 1  ,   m (1)m    a D  uD udx      m (1)m    a D  uD udx D u  2 L2 (  ) Trang 72 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)  C (1 ) u 2 W2m1 (  ) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic trong đó 1  0 đủ bé và C (1 ) là hằng số phụ thuộc vào 1 . Từ đây suy ra  D u  m 2 L2 (  )  m  C   (1)m    a D  uD udx  u     1   2 W2m1 (  )   , C  const  0  Nhờ bất đẳng thức (2.71) ta nhận được u 2 W2m (  )  m  C1   (1) m   a D  uD udx  u     1    , C  const  0 L2 (  )   1  2 (2.72) Đặt m n  B(u , u )     1 ( 1)   a D  uD udx  2 Re   b D uudx  1   Từ đó kết hợp với bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức (2.72) suy ra bất đẳng thức sau đúng, u ( x, t )  W2m ,1 () : (1)m B(u , u )  1 u 2 W2m (  )  2 u 2 L2 (  ) trong đó 1 , 2  const , 1  0 . Định lí 2.5.7 Giả sử các hệ số của toán tử m  L ( x, t . D )  m  ,  1 D a ( x, t ) D    b ( x, t ) D  c( x, t )  1 thỏa mãn điều kiện (2.70) và trong QT a t , b   ,   const ,1   ,   m t Hơn nữa, giả sử rằng miền  là một miền bị chặn trong  n chứa hình hộp  và là một miền sao đối với tâm của hình hộp  và f  L2 (QT ) . Khi đó, bài toán biên ban đầu thứ hai (2.43), (2.45), (2.48) (1)m1 L( x, t , D)u  u ( x, 0)   2u  f ( x, t ) t 2 u ( x, 0)  0 t N (u ) S  0 (2.43) (2.45) (2.48) T SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 73 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic có nghiệm suy rộng duy nhất u ( x, t ) trong không gian W2m ,1 () và đúng bất đẳng thức u 2 W2m ,1 ( QT ) C f 2 L2 ( QT ) , C  const  0 Định lí 2.5.8 Giả sử các điều kiện của định lí 2.5.7 được thực hiện. Ngoài ra, giả sử thêm (i) k f  L2 (QT ), k  h t k (ii) k f t k (iii)  0, k  h  1, x   t 0  k a t k ,  k 1b  k 1c ,   , k  h  1, ( x, t )  QT t k 1 t k 1 với   const . Khi đó nghiệm suy rộng u ( x, t ) trong không gian W2m ,1 (QT ) của bài toán (2.43), (2.45), (2.48) có đạo hàm suy rộng theo t đến tận cấp h thuộc W2m ,1 (QT ) và thỏa mãn  hu t h 2 h  C W2m ,1 ( QT ) k 0 k f t k 2 L2 ( QT ) trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào f và u. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 74 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic PHẦN KẾT LUẬN Trong luận văn Phương trình loại Hyperbolic chủ yếu xét về hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một. Các kết quả đạt được: - Những khái niệm, tính chất quan trọng của không gian hàm. - Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một. - Tính giải được của bài toán Cauchy đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một. - Mở rộng khái niệm, một số tính chất của phương trình Hyperbolic cấp hai và phương trình Hyperbolic mạnh. Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn chỉ trình bày các vấn đề tổng quát về phương trình loại Hyperbolic. Nếu có cơ hội, đây là cơ sở, nền tảng để mở rộng nghiên cứu các bài toán có liên quan như phương trình Elliptic cấp hai, phương trình Parabolic cấp hai, hệ Parabolic trong trụ với biên không trơn, hệ phương trình Hyperbolic trong trụ không trơn… Tuy em đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu và trình bày luận văn nhưng không thể tránh khỏi sai sót, mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô và các bạn sinh viên để luận văn được hoàn thiện hơn. SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 75 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Minh Chương, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, 2000 [2]. Lê Hồng Đức, Giáo trình Giải tích hàm, Cần Thơ, 2010 [3]. Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [4]. Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB ĐH Sư phạm, 2008 [5]. Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật, 2006 [6]. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm – Tập II, NXB Giáo dục, 2001 [7]. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải, Bài tập giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [8]. Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 1994 [9]. Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2009 [10]. Trần Đức Vân, Phương trình vi phân đạo hàm riêng – Tập II, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001 [11]. Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội, 2008 SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 76 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức [...]...Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.2.1 Để hệ trực chuẩn e1 , e2 ,… là cơ sở trực chuẩn của H cần thỏa một trong ba điều kiện cần và đủ sau: (i) Với một phần tử bất kì u  H ta có đẳng thức Parseval  2 2 u... Khi đó ui i 1 hội tụ tới u trong H SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 7 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  Định lí 1.2.7 Giả sử ui i 1 là dãy các phần tử của không gian Hilbert H hội tụ   sao cho dãy các trung bình cộng yếu đến u Khi đó tồn tại một dãy con ui vj  1 ui   ui j j... gọi là tích phân của hàm f trên tập X SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 8 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  Cho tập X có độ đo hữu hạn Hàm đo được f ( x ) là khả tổng trên X nếu có một dãy   f k ( x)k 1 các hàm đơn giản xác định trên X hội tụ đều tới f , sao cho tồn tại giới hạn lim... và  f ( x )d    f ( x )d  1 X SVTH: Hồ Nhật Quang 2 X Trang 9 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.3.1 (Lebesgue) f k  L1 ( X ), k  1, 2, , với X   n và Giả sử f k ( x )  F ( x ), F ( x )  L1 ( X ) Ngoài ra, giả sử f k hội tụ tới hàm f hầu khắp nơi trong X khi k... ( x )  t (độ đo Lebesgue n chiều) SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 10 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Nếu u( x )  0, v ( x )  0 và các hàm u, v, uv khả tổng thì    u ( x ) v ( x ) dx  n 0  u ( x )t v ( x )dx  dt    (2) Chứng minh Giả sử t  0 và Et  (t , x )   n... thức xảy ra khi và chỉ khi a p  bq SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 11 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Chứng minh 1 1 1 Xét hàm số  (t )  t   t p , với t > 0 p q 1  '(t )  1 1 p 1  t p p Đạo hàm  '(t ) của hàm số có giá trị âm trong (0, 1), có giá trị dương trong (1, ) và ...   , từ bất đẳng thức Young suy ra SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 12 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  f ( x) g ( x) dx   1 1 p q f ( x) dx   g ( x) dx  p q 1 1  p  q p q  1    f ( x) dx    g ( x) dx      Định lí 1.3.9 (Bất đẳng thức Minkowsky) Nếu f  L p... tuyến tính từ E lên F bảo toàn chuẩn SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 13 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.3.12 Giả sử  là một miền trong  n và 1  p , q  , 1 1   1 Khi đó L*p ( ) đẳng p q cự tuyến tính với Lq () ( L*p () là không gian liên hợp của L p () ) Hơn nữa Lp...  f (  x ) dx   nếu   1    SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 14 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic  Trung bình hóa o Giả sử  ( x ) là một hàm trực thuộc lớp C    n  sao cho  ( x )   (  x ) ,  ( x )  0 ,  ( x )  0 nếu x  1 và   ( x )  1 Hàm  ( x) được gọi là nhân... tập hợp các số C thỏa x f ( x)  C SVTH: Hồ Nhật Quang Trang 15 Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/) GVHD: TS Phùng Kim Chức Luận văn tốt nghiệp Phương trình loại Hyperbolic Định lí 1.3.19 L () là không gian đầy  Ta đã xét các không gian Lp () , 1  p   với các hàm được xét là các hàm giá trị thực Trong trường hợp các hàm giá trị phức f ( x )  u(