phương trình loại hyperbolic

Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu, cùng với sự giúp đỡ, hỗ trợ, động viên của gia đình, thầy cô, bạn bè, tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp đại học.Con xin gửi lời cảm ơn đến ba m

PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC

MSSV: 1100056 Lớp: SP Toán K36

Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu, cùng với sự giúp đỡ, hỗ trợ, động viên của gia đình, thầy cô, bạn bè, tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp đại học.

Con xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ và chị đã giúp con

đi trên con đường học vấn và có được sự trưởng thành hơn trong suy nghĩ

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán – khoa Sư phạm – trường Đại học Cần Thơ, đặc biệt là các thầy cô: thầy Phùng Kim Chức, thầy Lâm Quốc Anh, thầy Lê Hồng Đức, thầy Nguyễn Văn Sáng, thầy Đỗ Quang Huy, cô Trần Thị Thanh Thúy, cô Phạm Thị Vui Trong đó, thầy Phùng Kim Chức là giảng viên trực tiếp hướng dẫn đề tài, giúp em vượt qua những khó khăn về chuyên môn cũng như phương pháp nghiên cứu Ngoài ra, thầy Lê Hồng Đức, thầy Đỗ Quang Huy, cô Trần Thị Thanh Thúy đã cung cấp cho em những nền tảng về Giải tích qua những giờ giảng trên lớp; thầy Lâm Quốc Anh, thầy Nguyễn Văn Sáng và cô Phạm Thị Vui

đã giúp đỡ em giải quyết những khó khăn khi đăng kí báo cáo luận văn tốt nghiệp

Tôi chân thành gửi lời cảm ơn đến các bạn sinh viên cùng lớp Sư phạm Toán K36 đã giúp đỡ tôi trong suốt 4 năm qua cũng như trong quá trình hoàn thành luận văn này Cảm ơn các anh em trong Câu lạc bộ Guitar Bụi đã giúp tôi thư giãn sau những giờ nghiên cứu căng thẳng.Xin chân thành cảm ơn!

PHẦN MỞ ĐẦU 1

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương 1: KIẾN THỨ C CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Phiếm hàm tuyến tính 3

1.2 Không gian Hilbert 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Sự trực giao trong không gian Hilbert 6

1.2.3 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert 7

1.3 Không gian L p( )W 8

1.3.1 Tích phân Lebesgue 8

1.3.2 Các tính chất của tích phân Lebesgue 9

1.3.3 Không gian L p( )W ,p>1 11

1.3.4 Một số tính chất của không gian L p( )W , p≥1 14

1.4 Không gian Sobolev 16

1.4.1 Đạo hàm suy rộng 16

1.4.2 Không gian Sobolev 17

BÀI TẬP 20

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC 33

2.1 Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 33

2.1.1 Định nghĩa 33

2.1.2 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic cấp một 34

2.1.3 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 35

2.2.1 Toán tử tích phân ma trận 37

2.2.2 Sự duy nhất nghiệm suy rộng 44

2.3 Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 45 2.3.1 Bất đẳng thức năng lượng tích phân 45

2.3.2 Tính chất nghiệm suy rộng 47

2.3.3 Tính giải được của bài toán Cauchy 50

2.4 Phương trình Hyperbolic cấp hai 52

2.4.1 Các khái niệm cơ bản 52

2.4.2 Bài toán Cauchy và bài toán biên ban đầu thứ nhất 54

2.4.3 Đưa phương trình Hyperbolic cấp hai về hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 56

2.5 Phương trình Hyperbolic mạnh 57

2.5.1 Các bài toán biên 58

2.5.2 Bất đẳng thức Garding mở rộng 59

2.5.3 Định lí duy nhất nghiệm suy rộng 62

2.5.4 Định lí tồn tại nghiệm suy rộng 65

2.5.5 Tính trơn theo thời gian của nghiệm suy rộng 68

2.5.6 Bài toán biên ban đầu thứ hai 72

PHẦN KẾT LUẬN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực toán học rất gần gũi với chúng

ta, được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực kinh tế, xã hội, nghiên cứu các tính chất vật lý, sinh học… Trong những kiến thức đã học ở phân môn Phương trình đạo hàm riêng của khung chương trình đào tạo, em đặc biệt chú ý đến những vấn

đề mở rộng của phương trình loại Hyperbolic Chính vì vậy, cùng với sự gợi ý

và hướng dẫn của thầy Phùng Kim Chức, em đã chọn đề tài “Phương trình loại Hyperbolic” để làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu để làm rõ các vấn đề cơ bản sau:

- Tóm tắt các kiến thức cơ bản về không gian hàm

- Trình bày các khái niệm mới, các định lí, tính chất mới liên quan đến phương trình loại Hyperbolic

- Nghiên cứu các bài toán đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một, mở rộng đối với phương trình Hyperbolic cấp hai và phương trình Hyperbolic mạnh

- Tạo nguồn tài liệu tham khảo cho các đề tài nghiên cứu có liên quan về sau

3 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài giới hạn việc trình bày các vấn đề về phương trình loại Hyperbolic trong các không gian hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Trao đổi với GVHD

5 Tóm tắt nội dung đề tài

chuẩn, không gian Hilbert, không gian L  p( ), không gian Sobolev, một số định

lí hỗ trợ cho nội dung ở chương sau và một số bài tập về không gian hàm

Chương 2 Phương trình loại Hyperbolic Tìm hiểu về hệ phương trình

Hyperbolic đối xứng cấp một, sự duy nhất và tính chất của nghiệm suy rộng, bài toán Cauchy đối với hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một, mở rộng nghiên cứu phương trình Hyperbolic cấp hai và phương trình Hyperbolic mạnh

PHẦN NỘI DUNG Chương 1

 Sự hội tụ của dãy { }u i i1

 các phần tử của E tới phần tử uE được xác định như sau: u iu  0 khi i  , kí hiệu là u i u

 Một tập hợp E' được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu với một phần tử bất kì uE, tồn tại một dãy { }u i i1E' sao cho u iu Nếu trong E tồn tại một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì không gian E được gọi là khả li

 Nếu một dãy bất kì  u i thuộc không gian E, sao cho u pu q  0 khi

,

p q  , hội tụ trong E thì E được gọi là không gian đầy Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian đầy Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach Trong chương này, ta chỉ xét các không gian đầy và khả li

1.1.2 Phiếm hàm tuyến tính:

nó, thì trở thành một không gian Banach

 Giả sử E là một không gian tuyến tính trên trường Toán tử tuyến tính

như sau:

*

* 0

( ) sup

u

u u u

( ) sup

u

u u u

i

u u 

 hội tụ

1.2 Không gian Hilbert:

1.2.1 Định nghĩa:

 Cho H là một không gian tuyến tính Ánh xạ (.,.) : HH   được gọi là tích vô hướng nếu

i) u v,  ( , ),v u u v, H ii) u1 u v2 ,   u v1 ,   u v2 , 

iii)  u v, ( , ),u v  

iv) u u,  0,uH v) ( , )u u 0u0

 Một không gian Banach thực trở thành một không gian Hilbert thực nếu với hai phần tử bất kì u và v xác định được một tích vô hướng u v, 

 Trong không gian Hilbert phức, tích vô hướng u v,  là một số phức thỏa

mãn các tiên đề từ (ii) đến (iv), còn tiên đề (i) được thay bằng

(i’) ( , )u v  ( , )v u

Trong không gian Hilbert, chuẩn của phần tử u là

1 2 ( , )

1.2.2 Sự trực giao trong không gian Hilbert:

 Các phần tử u v, H được gọi là trực giao (uv) nếu ( , )u v 0 Phần tử u được gọi là trực giao với tập hợp H' H nếu ( , )u v 0 với mọi

'

vH Hai tập hợp H' và H" được gọi là trực giao nếu ( , )u v 0 với mọi

', ''

uH vH Nếu uH trực giao với một tập H' trù mật trong H thì u 0 Thật vậy, giả

sử dãy  u i i1H', u iu khi i   Vì u u i,  0,  i 1, hơn nữa

u u i,  u 2, nên u 0, tức là u 0

 Một phần tử uH được gọi là chuẩn hóa nếu u 1 Tập hợp H' H

được gọi là trực chuẩn nếu các phần tử của nó là chuẩn hóa và đôi một trực giao Một tập hợp trực chuẩn thì độc lập tuyến tính

2 2 1 1 2

2 2 1 1

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

i

u e u

i i

Một số tính chất của dãy hội tụ yếu trong không gian Hilbert thực:

tồn tại một hằng số C sao cho với mọi i: u i C

Định lí 1.2.5 Giả sử H là một không gian Hilbert khả ly Khi đó từ một dãy bị

chặn trong H có thể trích ra được một dãy con hội tụ yếu

hội tụ yếu tới phần tử u sao cho u i  u i,   Khi đó  u i i1

 hội tụ tới u trong H



Định lí 1.2.9 (Định lí biểu diễn Riesz)

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng ( , )u v , u v, H

tập A i thì hàm f x( ) được gọi là khả tổng trên X hay f x( )L X1( ) Khi đó biểu thức

 1

i X

 Cho tập X có độ đo hữu hạn Hàm đo được f x( ) là khả tổng trên X nếu

phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm f x k( )

 Nếu độ đo ( )X là vô hạn và giả sử

 lim i, i , 1, 2,

fd  I

chọn X i thì hàm f x( ) được gọi là khả tổng trên X Khi đó biểu thức

X

f d I



được gọi là tích phân của hàm f trên tập X

 Khi  là độ đo Lebesgue n-chiều, ta viết

f d  f dx

phân Lebesgue

1.3.2 Các tính chất của tích phân Lebesgue:

Tích phân Lebesgue có các tính chất sau:

(i) Nếu f1,f2L X1( ) thì a f1 1a f2 2L X1( ) với mọi số phức a a1, 2

(ii) fL X1( )  f L X1( )

(iii) Nếu f bị chặn và đo được trên tập X có độ đo hữu hạn thì f L X1( )

(iv) Nếu 0  f x1( )  f x2( ) hầu khắp nơi trong X (tức là đối với tất cả xX

Định lí 1.3.1 (Lebesgue)

Giả sử f kL X k1( ), 1, 2, , với X   n và f x k( ) F x F x( ), ( ) L X1( ) Ngoài ra, giả sử f k hội tụ tới hàm f hầu khắp nơi trong X khi k   Khi đó

Nếu f k  k, 1, 2, là các hàm khả tổng không âm trong X   n hội tụ tới hàm

f hầu khắp nơi trong X khi k   và giả sử k( )

nên khẳng định (1) được chứng minh

Ta làm tương tự với tích phân

Đạo hàm '( )t của hàm số có giá trị âm trong (0, 1), có giá trị dương trong

(1, ) và '(1)0, vậy nên ( )t (1)0 với mọi t > 0 Thay

p q

a t b

p p

q q

p p

 Tính liên tục toàn cục của các hàm thuộc L  p( )

Một trong những ứng dụng quan trọng của các hàm thuộc không gian

( ), 1

p

L  p là tính liên tục của nó

Định lí 1.3.14

Giả sử  là một miền trong n, f L p( ),  p 1, ( )f x  0 bên ngoài  Khi

đó với mỗi   0 tồn tại một số   0 sao cho f x( ) f x( y)p dx 

Giả sử  là miền hình sao đối với gốc tọa độ và f L p( ),  p 1, ( )f x  0

bên ngoài  Khi đó với mọi   0 tồn tại một số   0 sao cho

Giả sử  là một miền trong không gian n, f x( ) là một hàm đo được trên

 và bị chặn hầu khắp nơi trong  Kí hiệu L( ) là tập hợp các hàm f x( ) đo được trên  và bị chặn hầu khắp nơi trong  L( )  là một không gian tuyến

Định lí 1.3.19 L( ) là không gian đầy

 Ta đã xét các không gian L  p( ), 1 p  với các hàm được xét là các hàm giá trị thực Trong trường hợp các hàm giá trị phức f x( )u x( )iv x( ),

( )

u x và v x( ) là các hàm giá trị thực, ta chỉ cần lưu ý rằng hàm f x( ) được gọi là

X   nếu u x( ) và v x( ) là các hàm đo được trên X, và f x( )

được gọi khả tổng nếu các hàm u x( ) và v x( ) khả tổng Khi đó

Giả sử  là một miền trong không gian n Một hàm v x( )L1( ) được gọi

là đạo hàm suy rộng cấp  của hàm u x( )L1( ) nếu

Một hàm v x( ) có đạo hàm liên tục cấp  thì có đạo hàm suy rộng cấp 

(theo công thức Green cổ điển)

Một hàm có đạo hàm suy rộng trong miền  thì nó cũng có đạo hàm suy rộng trong miền    '

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng, ta thấy đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Đạo hàm suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm thông thường, tuy nhiên không phải tất cả

Ví dụ: từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp  không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn 

Định lí 1.4.1 (Sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hóa)

Giả sử là một miền trong không gian n  ' là một miền con của , sao cho khoảng cách giữa  ' và  bằng d > 0 Khi đó đối với 0 hd và x  ',

f x có đạo hàm thông thường f'( )x

1.4.2 Không gian Sobolev:

Không gian Sobolev, kí hiệu là W p m  ,1  p  là tập hợp tất cả các hàm

Phần tử uW p m( )  có chuẩn được định nghĩa như sau:

1

m p

p p w

i w

u  C Cconst Ngoài ra, giả sử dãy này hội tụ yếu trong không gian L  p( ) tới một hàm

1 1

với d ( ) là đường kính của miền ,  n là độ đo Lebesgue n – chiều, C là hằng

số không phụ thuộc vào hàm u

BÀI TẬP

với c là một không gian Banach có chuẩn

Giả sử  x n c, lim n

Bài 2 Chứng minh rằng trong một không gian tuyến tính định chuẩn, bao

đóng của hình cầu mở B x r( , )0 là hình cầu đóng B x r[ , ]0

Bài 3 Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn và

1

n n n

số nguyên dương kn sao cho

Theo giả thiết, từ đó suy ra chuỗi

chuẩn X lên không gian tuyến tính định chuẩn Y Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A có toán tử ngược A-1 bị chặn là tồn tại một số dương m sao cho

,

Ax m x  x X

BÀI GIẢI Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và A X: Y là một

xX , trong đó m là một hằng số dương Nếu Ax 0 thì từ bất đẳng thức trên suy ra x 0 Vậy A là một đơn ánh Do đó A là một song ánh tuyến tính và A có

Bài 5 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường  Chứng minh rằng không gian ( , X) đẳng cự tuyến tính với không gian X

BÀI GIẢI Với mỗi xX , gọi T X :  X là một ánh xạ xác định bởi

tính Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ K vào X và xX thì

và A là một toán tử tuyến tính Với mọi xC[0,1], ta có

Bài 7 Giả sử H là một không gian Hilbert, A H: H là một toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện

là một không gian con đóng của HH

Từ (1) và từ giả thiết suy ra

 lim n, lim( n, ) ( , ) ( , ),

Từ (3) và (4) suy ra

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

Bài 8 Giả sử { }x n và { }y n là hai dãy phần tử của hình cầu đóng đơn vị trong không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện

lim( ,n n) 1

Chứng minh rằng a) lim n 1, lim n 1

(x y n, n  x n y n  x n  1 (1) với mọi n Khi n   thì (x y n, n)  1 Do đó từ (1) suy ra lim n 1

Vì A là một toán tử compact và { }e n là một tập hợp con bị chặn của H nên

Ae n là một tập compact tương đối trong H Do đó dãy { }

b)

1

0 (Ax t)( ) sx s ds( ) ,0  t 1

BÀI GIẢI a) Ta có:

Do đó AxL2[0,1] Dễ dàng thấy rằng A là một toán tử tuyến tính Từ (1)

, [0,1]

* (Ax y, )  ( ,x A y)

yếu

Từ đó suy ra:

1

*

0 (A y s)( ) ty t dt s( ) ,  [0,1]

3

sx s ds dt x

Vậy với xL2 [0,1], ta có AxL2 [0,1] Dễ thấy rằng A là một toán tử tuyến

Từ đó suy ra

1

*

0 (A y t)( ) ty s ds t( ) ,  [0,1]

(Ax x, )0, x H

Chứng minh rằng A = 0

BÀI GIẢI Với mọi x y, H, ta có

( (A xy x), y)0(Ax y, ) (Ay x, ) 0

Thay y bởi iy, ta được

( ( ), ) 0 ( , ) ( , ) 0

Bài 12 Chứng minh định lí Lebesgue về hội tụ bị chặn:

Giả sử { }f n là một dãy hàm số phức đo được trên tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau:

Vậy fL p(0,1) với mọi p [1;)

Bài 14 Giả sử 1  p  ,gL p( ) và f1, f2, ,f n, là những hàm số đo được trên X sao cho f x n( ) g x( ) h.k.n trên X, với mọi n Chứng minh rằng nếu

Gọi f n là phần tử thứ n của dãy hàm số

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC

2.1 Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 2.1.1 Định nghĩa:

1 ( , )x t  x, ,x t n,  n Giả sử a  i ,b ;i 1, ,n 1; ,   1, ,s là

( , )x t  n Xét hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp một sau:

với f ( , )x t là các hàm của biến ( , )x t  n 1

Hệ phương trình (2.1) được gọi là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một nếu thỏa mãn điều kiện:

, 1, , 1; , 1, ,

a  a  i n    s

Hệ (2.1) được gọi là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một nếu (2.1)

là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một và thỏa mãn thêm điều kiện

1 , 1

s n

Như vậy, nếu A i là các ma trận đối xứng, i1, ,n1 thì hệ (2.2) là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một, còn nếu thêm điều kiện A n1 > 0 thì (2.2) là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một

2.1.2 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic cấp một

Xét toán tử vi phân ma trận:

1

1

n i

B là các ma trận liên hợp tương ứng của A i và B

Giả sử Q là miền bất kì trong n1 Ta chuyển tất cả các khái niệm bên trên

từ trong n1 chuyển vào Q Khi đó toán tử T được cho bởi (2.3) là một toán tử

tuyến tính từ C( )Q L Q2 ( )s vào L Q2 ( )s Tuy nhiên, T chưa phải là toán tử đóng trên C( )Q L Q2 ( )s, tức là có thể thác triển toán tử T Ta đưa ra một cách thác triển, gọi là thác triển yếu của T

Giả sử uL Q2 ( )s, nếu tồn tại hàm vL Q2 ( )s sao cho

2, 2,

Q Q

u T   v 

s o

uJ và kí hiệu vT u W Khi đó T W gọi là

thác triển yếu của toán tử T từ C( )Q L Q2 ( )s đến J W s L Q2 ( )s và s

Một hàm u x t( , ) được gọi là nghiệm suy rộng trong không gian  2  

s o Q

T  T  A Khi đó  T  W u f là thác triển yếu của toán tử T 

2.1.3 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một

A A

1

, 2

Q Q

Chứng minh

o s