Sự tồn tại nghiệm của bài toán Diriclet trong miền bị chặn

Bổ đề 6.1: Giả sử u là hàm điều hòa dưới trong  và u C( ) khi đó hàm u nhận giá trị lớn nhất trên .

Chứng minh

Giả sử u nhận giá trị lớn nhất tại một điểm x0

0

( ) sup

u x u M



 

Xét hình cầu bất kỳ BB x( )0   suy ra tồn tại hàm điều hòa

B

uu  .

Do u là hàm điều hòa dưới trong  nên

0 0 sup sup ( ) ( ) B B M u u u x u x M       

Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Do nguyên lý cực trị mạnh ta nhận được uM trong B.

B B

u M  u M 

   

Chọn hình cầu BB xR( ) /0 Rd x( ,0 ), d- khoảng cách. Khi đó   y0 B ; (u y0)M

Như vậy hàm u nhận giá trị lớn nhất trên biên.

Bổ đề 6.2: Giả sử u là hàm điều hòa dưới và vlà hàm điều hòa trên trong  sao cho uv/ và u v,  C( ). Khi đó uv trong .

Chứng minh

Do v là hàm điều hòa trên  v là hàm điều hòa dưới.

Mặt khác u là hàm điều hòa dưới  u v là hàm điều hòa dưới trong  và u v 0 trên . Theo bổ đề trên ta có:

(u v x)( ) sup(u v) 0 x



       u v trong .

Bổ đề 6.3: Giả sử u1,...,nN là các hàm điều hòa dưới trong  khi đó hàm u x( )maxu x1( ),...,uN( )x  cũng là hàm điều hòa dưới trong .

Định nghĩa: Giả sử u hàm điều hòa dưới trong  và hình cầu

B  và giả sử hàm điều hòa bất kỳ u trong B xác định bởi công thức Poisson theo các giá trị hàm u trên B, sao cho uu trên .

Điểm cắt điều hòa của hàm u đối với B trong miền  là hàm ( ) ( ) ( ) \ u x x B u x u x x B      

Bổ đề 6.4: Hàm u x( ) được xác định bời (1) là hàm điều hòa dưới trong .

Chứng minh

Giả sử B’ là hình cầu tùy ý sao cho B' 

Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Do uu B' u h B u h B B'/ .

Do u là hàm điều hòa trong B nên theo nguyên lí cực trị uh trong '

BB ta có uh B'. Nhận xét:

i, Các kết quả tương ứng đối với các hàm trên nhận được bởi việc thay các hàm u bằng –u trong các bổ đề.

ii, Giả sử là hàm bị chặn ở trên .

+ Một hàm u điều hòa dưới liên tục trong  được gọi là hàm chứa dưới đối với nếu nó thỏa mãn u trên .

+ Và ngược lại là hàm trên đối với u là hàm điều hòa trên.

Iii, Theo nguyên lí cực trị, hàm dưới bé hơn hoặc trên. Đặc biệt nếu hàm dưới ( hàm trên) bằng hàm hằng thì các giá trị của nó không lớn hơn

inf 

 (không nhỏ hơn sup

 ).

Kí hiệu S là tập tất cả các hàm dưới đối với . Định lí 1: Hàm ( ) sup ( )

x S

u x v x

 

 điều hòa trong .

Chứng minh

Do nguyên lí cực trị, nếu u là hàm bất kỳ thuộc  thỏa mãn sup

v  => u là hàm được xác định khắp nơi trong . Giả sử y cố định thuộc .

Theo định nghĩa của hàm u, tồn tại dãy ( )vn S sao cho

( ) ( )

n

v y u y hay max( ,inf )vn   u ( )vn bị chặn. Chọn R >0 sao cho hình cầu BB yR( ) . Gọi Vn là điểm cắt điều hòa của vn đối với B.

Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Khi đó VnS V y, n( )u y( ) ( )Vn (Vnk) hội tụ đều trong hình cầu

( )

B y với bán kính R tới 1 hàm điều hòa V trong B.

v u   trong B và v y( )u y( ). Giả sử v z( )u z( ) với zB / ( ) ( ) u S v z u z    Đặt wk max{ ,u vnk}

Lấy điểm cắt điều hòa wk của hàm này  (w )k là dãy con tùy ý hội tụ tới hàm điều hòa w sao cho v w u trong B và v y( )w( )y u y( ).

Theo nguyên lí cực trị vw B

Điều này mâu thuẫn với giả thiết chọn u

Từ đó suy ra u là hàm điều hòa trong .

Định nghĩa: Cho bài toán Dirichlet  u 0 ,u . Nếu nó có nghiệm thì nó là nghiệm w được xây dựng như trên và w được gọi là nghiệm Perron.

Định nghĩa: . Hàm ww C0( ) được gọi là hàm chắn tại điểm  đối với  nếu:

i. w là hàm điều hào trên trong . ii. w>0 trong \ { }, ( ) u  0. Cách xây dựng hàm chắn Giả sử B là hình cầu, \ , , inf w 0 V B B   B m  min( , w( )) w( ) \ m x x B x m x B        

Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán Định nghĩa: Một điểm biên được gọi là điểm đều nếu tại điểm này tồn tại hàm chắn .

Bổ đề 6. 5: Gỉa sử u là hàm điều hòa trong  được xác định trong định lí 1. Khi đó nếu  là điểm đều trên biên của miền , còn hàm  liên tục tại  thì ( )u x  ( ) khi x.

Định lí 2: Bài toán Dirichlet trong miền bị chặn giải được đối với các giá trị biên liên tục bất kì khi và chỉ khi tất cả cac điêm biên của miền là đều.

Chứng minh

Nếu hàm  liên tục và các điểm biên của miền là đều thì theo bổ đề 6. 5, hàm xác định trong định lí 1 là nghiệm tương úng của bài toán

Dirichlet.

Ngược lại, giả sử bài toán Dirichlet giải được đối với tất cả các giá trị biên liên tục và giả sử  là một điểm tùy ý của biên .

Khi đó hàm điều hòa là nghiệm của bài toán Dirichlet trong  với hàm liên tục   |x | cũng chính là hàm chắn tại điểm  là điểm đều.

Suy ra định lí phải chứng minh.

Từ đó ta có kết quả: Bài toán Dirichlet giải được trong miền bị chặn với biên thuộc lớp C2

với hàm biên liên tục bất kì. Ta cũng có thể xây dựng được w đơn giản hơn bằng cách chọn , hình cầu BB yR( )

sao cho   B . 2 2 | | 3 w( ) | | ln 2 n n R x y n x x y n R             

Vũ Thị Mai K32B-Khoa Toán