PHÂN PHỐI xác SUẤT và hàm đặc TRƯNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG Chuyên ngành: Mã số: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, 2015 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho để hoàn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 06 năm 2015 Lê Nam Trung Mục lục MỞ ĐẦU TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.2.1 Quan hệ phần tử ngẫu nhiên phân phối xác suất 1.2.2 Phân phối rời rạc phân phối liên tục 7 11 HÀM PHÂN PHỐI 2.1 CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI 2.2 HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI 2.2.1 Định nghĩa tính compact 2.2.2 Khoảng cách Levy 2.2.3 Hội tụ dãy tích phân 2.3 ỨNG DỤNG HÀM PHÂN PHỐI VÀO NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN RỦI RO BẢO HIỂM 2.3.1 Đặt vấn đề 2.3.2 Các giả thiết định lý Cramer - Lundberg 2.3.3 Phát biểu định lý Cramer - Lundberg 2.3.4 Chú ý 14 14 17 17 22 27 HÀM ĐẶC TRƯNG 3.1 CÁC HÀM QUAN TRỌNG 3.2 HÀM ĐẶC TRƯNG 3.2.1 Định nghĩa tính chất 3.2.2 Tính quy, khai triển 40 40 43 43 47 hàm đặc trưng 32 32 36 37 37 QUAN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI 55 4.1 TÍNH QUY LUẬT 55 4.2 TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM ĐẶC TRƯNG 59 MỞ ĐẦU Hàm phân phối xác suất hàm đặc trưng khái niệm lý thuyết xác suất thống kê toán học Với đời tác phẩm "Những khái niệm lý thuyết xác suất"(Kolmogorov, 1933) móng vững cho hai khái niệm hình thành Cho đến nhiều kết liên quan thu lý thuyết đại XSTK xây dựng phát triển Ý nghĩa khái niệm trình bày phần Tổng quan chương I Luận văn trình bày gồm chương: Chương I: Giới thiệu tổng quan khái niệm biến ngẫu nhiên hàm phân phối, có đề cập đến khẳng định quan trọng Kolmogorov phân phối hữu hạn chiều Chương II: Trình bày lý thuyết hàm phân phối; cấu trúc hội tụ, khoảng cách Levy ứng dụng nghiên cứu toán rủi ro bảo hiểm Chương III: Nói hàm đặc trưng, định nghĩa, tính chất, tính quy khai triển hàm đặc trưng Chương IV: Trình bày mối liên quan hàm phân phối hàm đặc trưng, nêu tính quy luật, quan hệ tích chập hàm phân phối phép nhân hàm đặc trưng Chương TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương trình bày vài nét tổng quan vấn đề cần nghiên cứu khái niệm mở đầu cần dùng cho chương sau Khác với giới tất định, phạm trù ngẫu nhiên người ta làm việc với đại lượng lấy giá trị ngẫu nhiên Ta coi giá trị ngẫu nhiên giá trị tham số tất định biến đổi tùy ý Đối với biến ngẫu nhiên, người ta cần biết luật phân phối Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần biết lấy giá trị lấy giá trị với xác suất bao nhiêu; biến ngẫu nhiên liên tục, ta cần biết lấy giá trị khoảng với xác suất bao nhiêu? Những xác suất thể luật phân phối biến ngẫu nhiên Luật phân phối lại biểu diễn qua hàm phân phối Biết hàm phân phối cụ thể biến ngẫu nhiên cụ thể coi ta xác định biến ngẫu nhiên Ta lại có cách khác để thể luật phân phối biến ngẫu nhiên dựa hàm đặc trưng Biết hàm đặc trưng, ta biết biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Vậy vấn đề đặt hàm phân phối hàm đặc trưng liên quan đến nào? Về mặt toán học, thực hàm đặc trưng biến đổi Fourier hàm phân phối Ngược lại biết hàm đặc trưng ta tính hàm phân phối nhờ định lý đảo biến đổi Fourier Trong nhiều toán thực tế, sử dụng hàm đặc trưng thuận lợi hàm phân phối Đóng góp vào việc xây dựng định lý đảo có công trình Levy, Gurland, Gil - Palaez, Shiely Vậy luận văn sau nêu khái niệm mở đầu trình bày vấn đề: Hàm phân phối Hàm đặc trưng 3.Quan hệ hàm đặc trưng hàm phân phối Trong có trình bày ứng dụng nghiên cứu "bài toán rủi ro bảo hiểm." 1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa: Cho không gian xác suất (Ω, F, P) Không giảm tính tổng quát ta giả thiết (Ω, F, P) không gian xác suất đủ tức A biến cố có xác suất (P(A)=0) tập B ⊂ A biến cố Giả sử E không gian metric, ánh xạ X : Ω −→ E gọi biến ngẫu nhiên với giá trị E với tập Borel E ta có X −1 (B) ∈ F Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị E = Rn ta nói X vectơ ngẫu nhiên n - chiều Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập số thực R ta nói X biến ngẫu nhiên Mệnh đề a, X : Ω −→ R đại lượng ngẫu nhiên X −1 (∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R b, X = (X1 , X2 , , Xn ) : Ω −→ Rn véc tơ ngẫu nhiên tọa độ Xk (k = 1, , n) đại lượng ngẫu nhiên Chứng minh Ta dễ suy a, Để chứng minh b, ta xét phép chiếu πk : Rn −→ R, πk x = xk (tọa độ thứ k x), πk liên tục nênπk đo (đối với (B n , B )) Do đó, X véc tơ ngẫu nhiên, Xk = πk X đại lượng ngẫu nhiên Ngược lại, giả sử Xk đại lượng ngẫu nhiên Để đơn giản hơn, ta xét trường hợp n = ý rằng: R2 = R × R, B = B × B (σ - đại số tích) Khi đó, với B1 , B2 ∈ B ta có: X −1 (B1 × B2 ) = X1−1 (B1 ) ∩ X2−1 (B2 ) ∈ A Do ta có X −1 (B ) ∈ A tức X véc tơ ngẫu nhiên 1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Định nghĩa: Cho X biến ngẫu nhiên E - giá trị Xét hàm tập µX xác định σ - đại số Borel E theo cách sau: µX (B) = P (X −1 (B)), ∀B ∈ B Dễ kiểm tra µX độ đo xác suất E µX gọi phân bố xác suất (E, B) biến ngẫu nhiên X Giả sử X = (X1 , , Xn ) véc tơ ngẫu nhiên n - chiều Hàm số F (x) = F (x1 , x2 , , xn ) xác định công thức: F (x1 , x2 , , xn ) = P (X1 < x1 , X2 < x2 , , Xn < xn ) gọi hàm phân bố xác suất vectơ ngẫu nhiên X 1.2.1 Quan hệ phần tử ngẫu nhiên phân phối xác suất Mệnh đề Nếu ν xác suất (E, ) tồn không gian xác suất (Ω, A, P) phần tử ngẫu nhiên E - giá trị X, cho ν phân phối nó: PX = ν Chứng minh Lấy Ω = E, A = , P = ν X ánh xạ đồng từ R lên R: X(x) = x, ∀x ∈ R Khi đó, PX (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ Mệnh đề Nếu X đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối nó: FX (x) = P {ω : X(ω) < x} có tính chất sau: Không giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2 Liên tục bên trái : FX (x) = FX (x − 0) Nhận giá trị −∞ taị +∞: Ngược lại, cho trước hàm F (x) có ba tính chất tồn không gian xác suất (Ω, A, P) đại lượng ngẫu nhiên X cho F hàm phân phối nó: FX = F Chứng minh 1, Suy từ đẳng thức (−∞, x2 ) = (−∞, x1 ) + [x1 + x2 ) 2, 3, suy từ tính liên tục PX từ nhận xét: ) = Bn ↑ B = (−∞, x), n (−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞) (−∞, x − Cuối cùng, giả sử F hàm số có ba tính chất 1, 2, 3, Khi đó, độ đo LebesgueStieltjes µF tương ứng xác suất đường thẳng.Từ mệnh đề suy điều phải chứng minh Chú ý Phân phối PX độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh từ hàm phân phối FX Để mở rộng mệnh đề cho trường hợp vec tơ ngẫu nhiên, ta phải đưa vào Rn quan hệ thứ tự Giả sử a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) Ta quy ước viết a < b(a ≤ b), ak < bk (ak ≤ bk ) với ∀k = 1, 2, , n Rõ ràng, với quan hệ thứ tự Rn trở thành tập thứ tự phần.Ta viết a ↑ b ak ↑ bk với ∀k = 1, 2, , n Bây ta nhắc lại định nghĩa sai phân.Giả sử F (x) hàm biến số, sai phân cấp F ∆1h F (a) = F (a + h) − F (a), a ∈ R1 , h > Chính xác ,ta gọi ∆1h toán tử sai phân cấp với bước h Tiếp theo, giả sử F (x) = F (x1 , , xn ) hàm n biến số Đặt ∆nh F (a) = ∆1h1 ∆1hn F (a1 , , an ) = F (a1 + h1 , , an + hn ) − F (a1 + h1 , , aj , , an + hn ) + − + (−1)n F (a F (a1 + h1 , , aj , , an + hn ) , , an ) gọi ∆nhh toán tử sai phân cấp n với bước h = (h1 , , hn ) > Chẳng hạn, với n=2 ta có: ∆nh F (a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ) Ta nói F (x) hàm n biến không giảm, ∆nh F (a) ≥ 0, ∀a ∈ Rn , ∀h > 0, h ∈ Rn ta nói F (x) liên tục bên trái x0 F (x) liên tục bên trái theo biến x0 Bằng lập luận tương tự chứng minh mệnh đề ta có mệnh đề sau: Chứng minh Từ bổ đề ta có: |eihx (eitx − − itx (itx)n−1 |tx|n − − )| ≤ 1! (n − 1)! n! với t, h, x ∈ R Từ suy bất đẳng thức ∞ ∞ itx (itx)n−1 eihx (eitx − − − − )dF (x) ≤ 1! (n − 1)! |tx|n dF (x) n! −∞ −∞ Sử dụng công thức (2) ta có |ϕ(t + h) − ϕ(h) − t tn−1 |t|n ϕ (h) − − ϕ(n−1) (h)| ≤ µn 1! (n − 1)! n! Định lý 10 mối liên hệ tính trơn hàm đặc trưng tính hữu hạn moment Vì vậy, để thiết lập mối liên hệ tính trơn hàm đặc trưng với dáng điệu hàm phân phối |x| = +∞, ta nghiên cứu mối liên hệ tồn moment tốc độ giảm đến hàm WF (x) = dF (x) |u|≥x đặc trưng cho tốc độ giảm đến phần đuôi hàm phân phối x → +∞ Hiển nhiên WF (x) hàm đơn điệu không tăng, dần đến x → +∞ Mệnh đề Sự tồn moment tuyệt đối µk (k ≥ 1) tương đương với tính hội tụ tích phân: ∞ xk−1 WF (x)dx Chứng minh Bằng phép lấy tích phân phần ta có: A A k |x| dF (x) = − −A A k k xk−1 WF dx, ±A ∈ C(F ) x dWF (x) = −A WF (A) + k (4) ∞ Vì Ak WF (A) không âm, nên từ tồn tích phân: xk−1 WF (x)dx kéo theo µk < ∞ Ngược lại, giả sử µk < ∞, Ak WF (A) = Ak |x|k dF (x) → 0, A → +∞ dF (x) ≤ |x|≥A |x|≥A ∞ xk−1 WF (x)dx tồn Vì vậy, từ (4) suy tích phân 53 (5) Từ trực tiếp suy hệ sau: Hệ Nếu µk < ∞(k ≥ 1), WF (x) = 0(x−k ) x → +∞ Bây ta thiết lập mối liên hệ tính trơn hàm phân phối với dáng điệu t = ∞ hàm đặc trưng ∞ eitx f (x)dx ϕ(t) → |t| → ∞ Bổ đề Nếu f (x) khả tích ϕ(t) = −∞ Chứng minh Thật vậy, kết luận bổ đề kiểm tra trực tiếp hàm bậc thang có hữu hạn bước nhảy Đối với hàm f khả tích bất kỳ, với ε > tìm hàm bậc thang f1 có hữu hạn bước nhảy cho ∞ |f (x) − f1 (x)|dx < ε −∞ Khi đó, ∞ eitx (f − f1 )dx < ε, |ϕ(t) − ϕ1 (t)| = −∞ tồn lân cận điểm vô hạn t = ±∞, |ϕ(t)| < 2ε Bởi vìε > tùy ý bé, ϕ(t) → t → ±∞ Mệnh đề 10 Nếu hàm phân phối F có mật độ p(x) = dFdx(x) , ϕ(t) → t → ±∞ Nếu p(x) có đạo hàm cấp n khả tích, |ϕ(t)| = 0(|t|−n ) |t| → ∞ Chứng minh Phần thứ chứa bổ đề Nếu p (x) khả tích, phép lấy tích phân phần ta có: ∞ ϕ(t) = − it eitx p (x)dx, −∞ vậy, |ϕ(t)| = 0(|t|−1 ) Trường hợp n > chứng minh tương tự 54 Chương QUAN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI Chương trình bày liên quan hà phân phối hàm đặc trưng, tích chập hàm phân phối phép nhân hàm đặc trưng 4.1 TÍNH QUY LUẬT Định lý 11 Giả sử F hàm phân phối, ϕ hàm đặc trưng Nếu α, β hai điểm liên tục F (α < β) ta có công thức: ∞ F (β) − F (α) = lim σ→0 2π ϕ(t)e− σ2 t e−iβt − e−iαt dt −it (1) −∞ Nếu α, β không điểm liên tục hàm F, công thức ngược có dạng ∞ F (β + 0) + F (β − 0) F (α + 0) + F (α − 0) − = lim σ→0 2π 2 ϕ(t)e− σ2 t e−iβt − e−iαt dt −it −∞ σ2 Chứng minh Với σ > 0, hàm ϕ(t) = e− t khả tích, nên tồn tích phân ∞ pσ (x) = 2π ϕ(t)e− σ2 t e−ixt dt −∞ Hàm pσ (x) viết dạng: ∞ pσ (x) = 2π ∞ − σ2 t2 e e−ixt dt −∞ −∞ 55 eity dF (y) Đổi thứ tự lấy tích phân vế phải ta có ∞ pσ (x) = A(y, x)dF (y), −∞ ∞ ∞ A(y, x) = 2π eit(y−x) e − σ2 t2 (y−x)2 1 dt = √ e− 2σ2 √ σ 2π 2π −∞ e− (σt−i y−x ) σ dt = −∞ ∞ (y−x)2 1 √ e− 2σ2 √ σ 2π 2π (y−x)2 t2 e− dt = √ e− 2σ2 σ 2π −∞ Do ∞ (y−x)2 √ e− 2σ2 dF (y) σ 2π pσ (x) = (2) −∞ Lấy tích phân hai vế (2) theo x đoạn [α, β] áp dụng định lý Fubini đổi thứ tự lấy tích phân, ta có β ∞ pσ (x) = 2π ϕ(t)e− σ2 t e−iβt − e−iαt dt −it −∞ α ∞ G(σ, y)dF (y) = −∞ β−y σ β G(σ, y) = √ σ 2π e− (y−x)2 2σ α dx = 2π t2 e− dt α−y σ Khi σ → hàm G(σ, y) tiến đến giới hạn    1, nếuα < y < β; G(+0, y) = 21 , y = α y = β;   0, y < α y > β Vì β lim σ→0 alpha ∞ G(+0, y)dF (y) = F ∗ (β) − F ∗ (α), pσ (x)dx = −∞ 56 F (β + 0) + F (β − 0) , F (α + 0) + F (α − 0) F ∗ (α) = F ∗ (β) = hàm phân phối xác định đơn trị giá trị điểm liên tục, nên ta có hệ quả: Hệ Hai hàm phân phối hàm đặc trưng tương ứng chúng toàn R, tức F1 = F2 ⇔ ϕ1 (t) ≡ ϕ2 (t), ∀t ∈ R Hệ Giả sử hàm đặc trưng ϕ hàm phân phối F thỏa mãn điều kiện ∞ |ϕ(t)|dt < +∞, −∞ F (x) có mật độ bị chặn ∞ F (x) = 2π e−itx ϕ(t)dt −∞ Chứng minh Đặt ∞ p(x) = 2π e−itx ϕ(t)dt −∞ Vì ϕ ∈ L1 (−∞, ∞) nên chuyển giới hạn qua dấu tích phân (1), ta có: ∞ σ→0 2π ϕ(t)e− F (β) − F (α) = lim σ2 t e−iβt − e−iαt dt = −it −∞ ∞ = 2π e−iβt − e−iαt ϕ(t) dt = −it 2π −∞ β ∞ e−itx dx ϕ(t)dt −∞ α Đổi thứ tự lấy tích phân ta có: β F (β) − F (α) = p(x)dx α Do tính liên tục p(x), từ suy F có mật độ F (x) = p(x) 57 Hệ 10 Nếu ϕ ≥ 0, ϕ ∈ L1 (−∞, inf ty) ⇔ F có mật độ bị chặn Chứng minh Theo hệ tính khả tích hàm đặc trưng kéo theo tồn mật độ bị chặn phân phối Ngược lại, hàm phân phối F có mật độ bị chặn |p(x)| ≤ ∞ ta nhận từ công thức 5.38 cho x = : ∞ 2π ∞ ϕ(t)e − σ2 t2 dt = √ σ 2π −∞ y2 e− 2σ2 p(y)dy ≤ M < ∞ −∞ Biểu thức dấu tích phân vế trái không âm, ϕ không khả tích tích phân vế trái dần tới +∞ σ → vô lý nên suy Đpcm Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X gọi đối xứng (đối với x = 0) nếuX −X có phân phối Điều có nghĩa F (x) = − F (−x + 0), ∀x ∈ R Hệ 11 Đại lượng ngẫu nhiên X hàm phân phối F đối xứng (đối với x = 0) hàm đặc trưng tương ứng thực (với t) ∞ eitx dF (x), từ tập 16 ta có Chứng minh Giả sử ϕ(t) = −∞ ∞ eitx d(1 − F (−x + 0)) ϕ(t) = −∞ Khi đó: ϕ thực ⇔ ϕ(t) = ϕ(t) ∞ ∞ eitx dF (x) = ⇔ −∞ eitx d(1 − F (−x + 0)).(∗) −∞ từ định lý tính suy (*) F (x) = − F (−x + 0), ∀x ∈ R Chú ý Cũng với giả thiết định lý 11, công thức ngược có dạng: ∞ F ∗ (β) − F ∗ (α) = lim N →∞ 2π ϕ(t) −∞ 58 e−iβt − e−iαt dt −it Giả sử F (x) = F (x1 , , xn ) hàm phân phối n chiều, Ik = [αk , βk ] Ký hiệu ∆kIk toán tử sai phân theo tọa độ thứ k khoảng Ik = [αk , βk ] : ∆kIk F (x) = F (x1 , , xk−1 , βk , xk+1 , , xn ) − F (x1 , , xk−1 , αk , xk+1 , , xn ) Nếu α, β ∈ Rn với tọa độ αi < βi Ký hiệu ∆β−α F = ∆1I1 ∆2I2 ∆nIn F Nếu α, β ∈ C(F ) công thức ngược trường hợp n chiều có dạng: σ→0 (2π)n ϕ(t1 , , tn )e− ∆β−α F = lim σ2 (t,t) × Rn n × k=1 e−iβk tk − e−iαk tk dt1 dtn , −itk N1 ∆β−α F = lim Nk →∞ (2π)n −N1 n × k=1 4.2 Nn ϕ(t)× −Nn e−iβk tk − e−iαk tk dt1 dtn −itk TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM ĐẶC TRƯNG Định nghĩa Hàm F (x), x ∈ R gọi tích chập hàm phân phối F1 F2 (∈ P ), ký hiệu F = F1 ∗ F2 Nếu: ∞ F1 (x − y)dF2 (y), ∀x ∈ R F (x) = −∞ Dễ nhận thấy, tích chập hàm phân phối (∈ P ) hàm phân phối (∈ P ) V (F ) = V (F1 ).V (F2 ) Định lý 12 F = F1 ∗ F2 ⇔ ϕ = ϕ1 ϕ2 Chứng minh Để chứng minh phần thuận định lý, cần hàm phân phối F = F1 ∗ F2 có hàm đặc trưng ϕ1 ϕ2 Với mọia < b ta chia đoạn [a, b] điểm chia a = xn1 < < xnKn+1 = b cho δn = sup |xn,k+1 − xn,k | → 1≤k≤Kn n → ∞ Khi đó: b eiux dF (x) = lim eiuxnk F [xn,k ; xn,k+1 ) = lim n→∞ a ∞ Kn n→∞ −∞ k=1 59 gn (y)eiuy dF2 (y) Kn eiu(xnk −y) F1 [xnk − y; xn,k+1 − y) gn (y) = k=1 Hàm gn (y) bị chặn V (F1 ) hội tụ b−y eiux dF1 (x), n → ∞ a−y Vì b−y ∞ b eiux dF (x) = eiux ( −∞ a eiux dF1 (x))dF2 (y) a−y Chuyển qua giới hạn a → −∞, b → +∞ ta nhận điều phải chứng minh Để chứng minh phần ngược định lý, ta cần ϕ = ϕ1 ϕ2 hàm đặc trưng tương ứng với hàm phân phối F = F1 ∗ F2 Điều suy từ phần thuận tính xác định đơn trị F ϕ Hệ 12 Tích chập hàm phân phối có tính giao hoán kết hợp: F1 ∗ F2 = F2 ∗ F1 , (F1 ∗ F2 ) ∗ F3 = F1 ∗ (F2 ∗ F3 ) Hệ 13 Giả sử X η hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập với hàm phân phối FX Fη tương ứng Khi hàm phân phối tổng X + η là: FX+η = FX ∗ Fη Chứng minh Như ta biết, tổng X +η có hàm đặc trưng ϕX+η (t) = ϕX (t)ϕη (y) Từ định lý suy FX+η = FX ∗ Fη Mệnh đề 11 Nếu phân phối F1 có mật độ p1 = F1 tích chập F = F1 ∗ F2 có mật độ và: ∞ d F (x) = dx p1 (x − y)dF2 (y) −∞ Chứng minh Theo định nghĩa tích chập, với α, β(α < β) ta có ∞ F (β) − F (α) = [F1 (β − y) − F1 (α − y)]dF2 (y) = −∞ 60 ∞ β−y = ∞ β p1 (u − y)dudF2 (y) p1 (u)dudF2 (y) = −∞ α−y −∞ α Đổi thứ tự lấy tích phân ta có β F (β) − F (α) = ∞ p1 (u − y)dF2 (y)]du [ α −∞ Từ suy F có mật độ và: ∞ d F (x) = dx p1 (x − y)dF2 (y) −∞ Hệ 14 Giả sử X η đại lượng ngẫu nhiên độc lập với hàm phân phối FX Fη , FX có mật độ pX = FX Khi hàm phân phối FX+η tổng X + η có mật độ và: ∞ d FX+η (x) = dx pX (x − y)dFη (y) −∞ Hệ suy từ hệ 13 mệnh đề 11 * TƯƠNG ỨNG LIÊN TỤC GIỮA HÀM DẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI Định lý cho ta biêt với Fn F ∈ P để kiểm tra Fn ⇒ F ta kiểm tra ∞ ∞ gdFn → hội tụ −∞ gdF với hàm g liên tục bị chặn R, −∞ với g = f1 + if2 , f1 , f2 hàm liên tục bị chặn R ta rằng, cần kiểm tra điều kiện lớp hẹp nhiều hàm g : g(x) = eitx , −∞ < t < +∞ Nói cách khác, cần kiểm tra ϕn (t) → ϕ(t) n → ∞, ∀t ∈ R, ϕn ϕ hàm đặc trưng hàm phân phối Fn F tương ứng Kết luận đặc biệt quan trọng ứng dụng có hiệu xét phân phối giới hạn tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập Định lý sau gọi định lý tính liên tục ∞ ∞ eitx dFn (x), ϕ(t) = Định lý 13 Giả sử Fn F ∈ P Khi ϕn (t) = −∞ eitx dF (x), −∞ Fn ⇒ F Fn (+∞) → F (+∞) ϕn (t) → ϕ(t), ∀t ∈ R, n → ∞ 61 Phần thuận định lý hệ hiển nhiên định lý Phần ngược định lý khẳng định rằng, dãy hàm đặc trưng ϕn hội tụ R hàm đặc trưng ϕ dãy hàm phân phối tương ứng Fn (∈ P ) hội tụ yếu hàm phân phối F Fn (+∞) → F (+∞) Ở giả thiết cho ϕ hàm đặc trưng hàm phân phối Fn (∈ P ) Nhưng đặt câu hỏi: với t ∈ R tồn giới hạn lim ϕn (t), hàm giới hạn có phải hàm đặc trưng phân phối Fn (∈ P ) n→∞ không? Nói chung giới hạn lim ϕn (t) không tồn với t ∈ R n→∞ Vì muốn hàm giới hạn hàm đặc trưng phải đặt giả thiết lim ϕn (t) liên n→∞ tục (Thực cần đòi hỏi hàm giới hạn liên tục t = 0) Những ví dụ sau giới hạn dãy hàm đặc trưng, tồn tại, chưa hàm đặc trưng Ví dụ Giả sử Fn hàm phân phối [−n, n] Hàm đặc trưng tương ứng là: sin nt nt , với t = 0; ϕt (x) = Khi ϕ(t) = lim ϕn (t) = n→∞ với t = 1, 0, với t = 0; 1, với t = , ϕ(t) gián đoạn t = 0, hàm đặc trưng Ví dụ Giả sử Fn hàm phân phối bậc thang có bước nhảy x = n Tức là:    0, với x ≤ 0; Fn (x) = ,   1, x = với < x ≤ n; với x > n Hàm đặc trưng tương ứng ϕn (t) = 12 + 21 eint Hàm ϕn (t) giới hạn t = Để chứng minh phần ngược định lý 13 ta chứng minh định lý sau Định lý 14 Giả sử ϕn (t), n = 1, 2, dãy hàm đặc trưng tương ứng với dãy hàm phân phối Fn , n = 1, 2, (Fn ∈ P ) Nếu a, lim ϕn (t) tồn với t ∈ R, n→∞ 62 b, Hàm ϕ(t) = lim ϕn (t) liên tục t = n→∞ Thì tồn hàm phân phối F ∈ P cho Fn ⇒ F Fn (+∞) → F (+∞) Ngoài ϕ(t) hàm đặc trưng F Để chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Giả sử ϕn (t), n ≥ dãy hàm đặc trưng thỏa mãn điều kiện định lý 14 Khi đó: sup{V (Fn ) − Fn [a, b)} → n≥1 a → −∞, b → +∞ Chứng minh Thật vậy, ϕ(t) liên tục t = nên ∀ε > 0, existsT > cho: T 0≤ T ε [ϕ(0) − ϕ(t)]dt < −T Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có: T lim n→∞ T T [ϕ(0) − ϕ(t)]dt = T −T ε [ϕ(0) − ϕ(t)]dt < −T Vì tồn N (ε) cho ∀n > N ta có: T 0≤ T ε [ϕ(0) − ϕ(t)]dt < −T Tương tự tính chất i, hàm đặc trưng ta có: T 2 V (Fn ) − Fn [− , ) ≤ T T dFn (x) ≤ T [ϕ(0) − ϕ(t)]dt −T |x|≥ T2 Vì sup {V (Fn )−Fn [− T2 , T2 )} < ε Do V (Fn )−Fn [a, b) → a → −∞, b → +∞, n≥N nên ∀ε > 0, ∃An , Bn (An < Bn ) cho với a < An , b > Bn : ≤ V (Fn ) − Fn [a, b) < ε Chọn A0 = min(− T2 , A1 , , AN ), B0 = min(− T2 , B1 , , BN ) Khi dễ dàng nhận thấy với a < A0 , b > B0 ≤ sup{V (Fn ) − Fn [a, b)} < ε n≥1 63 Bổ đề chứng minh Ta chứng minh định lý Từ bổ đề vừa chứng minh định lý ta nhận thấy dãy {Fn , n ≥ 1} hoàn toàn compact Do tồn dãy Fn hàm phân phối F ∈ P cho Fn ⇒ F Fn (+∞) → F (+∞) Theo phần thuận định lý 13 (hay định lý 7) dãy tương ứng hàm đặc trưng ϕn hội tụ hàm đặc trưng phân phối F Nhưng ϕn (t) → ϕ(t), ∀t ∈ R nên ϕ phải hàm đặc trưng F Ta cần Fn ⇒ F Fn (+∞) → F (+∞) Hay tương đương với cần ra: ∞ lim n→∞ −∞ ∞ gdFn = gdF, −∞ với hàm g liên tục, bị chặn R Nếu điều không tồn hàm g liên tục, bị chặn Rsao cho: ∞ ∞ g dFn g dF −∞ −∞ Điều có nghĩa tồn dãy {n } cho: ∞ ∞ g dFn → L = −∞ g dF −∞ Một lần áp dụng bổ đề vừa chứng minh định lý 5, từ dãy Fn trích dãy {Fn } hội tụ hoàn toàn hàm phân phối F ∈ P Đối với dãy có giới hạn: ∞ ∞ g dFn → −∞ ∞ g dF = L = −∞ g dF −∞ Nhưng lập luận F, hàm phân phối F có hàm đặc trưng ϕ Khi hệ thức (3) mâu thuẫn với tính day hàm phân phối Từ định lý ta suy hệ sau: Hệ 15 Nếu {ϕn , n ≥ 1} hàm đặc trưng dãy phân phối xác suất {Fn , n ≥ 1} nếu: a, ∀t ∈ R tồn giới hạn lim ϕn (t) = ϕ(t); n→∞ b, ϕ(t) liên tục t = 0, Thì ϕ(t) hàm đặc trưng phân phối xác suất F Fn ⇒ F 64 Hệ 16 Nếu dãy hàm đặc trưng ϕn hội tụ đến hàm đặc trưng ϕ(Fn , F ∈ P ) hội tụ khoảng hữu hạn [−A, A] Chứng minh Việc chứng minh dựa ước lượng sau: b b eitx dFn − |ϕn (t) − ϕ(t)| ≤ | eitx dF | + V (Fn ) − Fn [a, b) + V (F ) − F [a, b) a (4) a với a < b Bước Đánh giá hai số hạng cuối (4) Từ ϕn (t) → ϕ(t) suy Fn ⇒ F (định lý 13) sup{V (Fn ) − Fn [a, b)} → a → −∞, b → +∞ (bổ đề 9) Vì n≥1 ∀ε > 0, ∃a, b ∈ C(F )(a < b) cho tổng hai số hạng cuối (4) nhỏ ε , ∀n ≥ Bước Đánh giá hiệu hai tích phân (4) Ta cố định a, b chọn Với n đủ lớn ta chia [a, b) điểm chia xk ∈ C(F ) cho ε a = x1 < x2 < < xN +1 = b, max |xk+1 − xk | < 1≤k≤N N Đặt gN (t, x) = eitx 1[xk ,xk+1 (x), đó: k=1 N itx |e |eitx − eitxk |1[xk ,xk+1 (x) ≤ A max |xk+1 − xk | ≤ − gN (t, x)| ≤ 1≤k≤N k=1 ε với t ∈ [−A, A], ∀x ∈ [a, b] Từ bất đẳng thức suy ra: b b N eitx dFn (x) − a k=1 N e k=1 a N itx ε eitx gN (t, x) dFn (x) ≤ , eitx Fn [xk , xk+1 ) ≤ N itx Fn [xk , xk+1 ) − e |Fn [xk , xk+1 ) − F [xk , xk+1 )| F [xk , xk+1 ) ≤ k=1 k=1 Do Fn ⇒ F xk ∈ C(F ), nên vế phải bất đẳng thức nhỏ đủ lớn(n > N1 ) Kết hợp đánh giá nhận với n > N1 ta có: b n b ε eitx dF < , eitx dFn − a ε a với t ∈ [−A, A] Kết hợp đánh giá bước bước suy ϕn (t) − ϕ(t) < ε với n > N1 với t ∈ [−A, A] 65 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: * Hệ thống hóa khái niêm hàm phân phối xác suất hàm đặc trưng * Phân tích tính chất hàm phân phối, cấu trúc hàm phân phối, phân tích hội tụ dãy hàm phân phối * Trình bày định nghĩa tính chất hàm đặc trưng * Nêu rõ quan hệ hai chiều hàm phân phối hàm đặc trưng * Luận văn trình bày ứng nhiều ứng dụng hàm phân phối hàm đặc trưng là:"nghiên cứu toán rủi ro bảo hiểm" Cuối thời gian trình độ hạn chế nên luận văn nhiều sai sót Kính mong thầy hội đồng bảo để luận văn em hoàn thiện 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2013), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh Leda D Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes, Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Publishing Co 67 [...]... ∈ R Như vậy dãy hàm n→∞ phân phối xác suất{ Fn } hội tụ yếu đến hàm phân phối (∈ P ∗ ) đồng nhất bằng 1 trên R Hàm giới hạn không phải là hàm phân phối xác suất 17 Để lớp các hàm phân phối xác suất đóng đối với phép chuyển giới hạn, người ta đưa vào khái niệm hội tụ hoàn toàn Định nghĩa Dãy hàm phân phối {Fn } được gọi là hội tụ hoàn toàn đến hàm phân phối F (Fn , F ∈ P ∗ ) nếu Fn ⇒ và Fn (±∞) → F (±∞),... ≥ 0 và PX (x) = FX (x) = λe−λx 13 Chương 2 HÀM PHÂN PHỐI Trong chương này chúng tôi phân tích những yếu tố cơ bản và sâu sắc về hàm phân phối như cấu trúc và sự hội tụ của dãy hàm phân phối với các khái niệm quan trọng như: khoảng cách Levy, sự hội tụ của tích phân đối với hàm phân phối Đồng thời chúng tôi cũng nêu lên một ứng dụng của hàm phân phối trong bài toán bảo hiểm 2.1 CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI... hàm phân phối xác suất (∈ P0 ) Ví dụ 2 Ký hiệu δa (x) = 0, với x ≤ a, 1, với x > a, ∞ an là dãy số tùy ý cho trước, bn ≥ 0 và bn ≤ 1 (ví dụ bn = 2−n ) Khi đó hàm n=1 ∞ bn δan (x) là hàm phân phối (∈ P) F (x) = n=1 Ví dụ 3 Giả sử F là hàm phân phối nào đó, {rn } là tập số hữu tỷ trên R Hàm ∞ G(x) = n=1 1 2n F (rn + x) là hàm phân phối Từ tính đơn điệu, không giảm và giới nội, suy ra rằng, hàm phân phối. .. xác định một hàm phân phối và do đó tồn tại một đại lượng ngẫu nhiên nhận p(x) làm hàm mật độ phân phối của nó Vì vậy, hàm số có tính chất (3) được gọi là hàm mật độ (xác suất) Đặc biệt, nếu hàm mật độ có dạng: 1 x2 p(x) = √ exp{− } 2 2π thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn Ta sẽ dùng ký hiệu N (0, 1)(γ) để chỉ phân phối (đại lượng... đều là những hàm phân phối (∈ P ∗ ) Bây giờ giả sử dãy hàm phân phối {Fn } hội tụ trên R đến hàm F nào đó Hỏi rằng F có phải là hàm phân phối không? Dễ thấy rằng F chưa chắc đã liên tục trái tại mọi điểm x ∈ R, vì vậy nói chung nó không phải là hàm phân phối Nhưng chỉ cần sửa đổi giá trị hàm F tại một số không nhiều hơn đếm được điểm gián đoạn bước nhảy của F, ta sẽ có hàm phân phối F0 và Fn ⇒ F0 ,... FX (x) = P (X > x) gọi là hàm sống sót của X và biểu diễn phân phối đuôi Các biến ngẫu nhiên được đặc trưng bởi tính chất của hàm phân phối theo 3 dạng: Biến ngẫu nhiên X gọi là rời rạc nếu hàm phân phối là hàm bậc thang và có không quá đếm được bước nhảy Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc tồn tại một tập con E = {x0 , x1 , } của R sao cho P (X ∈ E) = 1 Khi đó phân phối xác suất của X được cho bởi: pk... tại những dãy hàm phân phối Fn hội tụ về hàm phân phối F tại mọi điểm liên tục của F, nhưng giá trị của hàm F tại điểm gián đoạn không bằng giới hạn tại điểm này của dãy hàm phân phối Fn Định nghĩa Ta nói dãy hàm phân phối {Fn } hội tụ yếu đến hàm phân phối F (Fn , F ∈ P ∗ ) nếu: Fn (x) → F (x), n → ∞, ∀x ∈ C(F ), trong đó C(F) như trước đây là ký hiệu tập hợp các điểm liên tục của hàm F Ký hiệu Fn... gian xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một véc tơ ngẫu nhiên n chiều sao cho F là hàm phân phối của nó Định nghĩa Ta gọi F (x)(F (x)) là hàm phân phối nếu nó có ba tính chất 1, 2, 3, trong mệnh đề 3, 4 Các mệnh đề 3, 4, chỉ rõ mối quan hệ mật thiết giữa biến ngẫu nhiên và hàm phân phối Trong thực hành, ta không biết giá trị củaX(ω) tại tất cả ω mà chỉ có thể bằng thực nghiệm tính (gần đúng) hàm phân phối. .. ε ↓ 0 ta có: F (x) = F (x − 0) Hàm phân phối suy rộng (∈ P ∗ ) là hàm không giảm liên tục trái trên R Vì vậy nó có khai triển Lebdesgue Định lý 2 Mỗi hàm phân phối F ∈ P ∗ được biểu diễn duy nhất ở dạng tổng của ba hàm phân phối (∈ P ∗ ) : F = Fd + Fad + Fs , trong đó Fd là hàm phân phối bậc thang dạng Fd (x) = p(xi ) xi ... F0 hàm phân phối xác suất đó, Fn (x) = F0 (x + n) dãy hàm phối xác suất Hiển nhiên lim Fn (x) ≡ 1, ∀x ∈ R Như dãy hàm n→∞ phân phối xác suất{ Fn } hội tụ yếu đến hàm phân phối (∈ P ∗ ) đồng R Hàm. .. HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI 55 4.1 TÍNH QUY LUẬT 55 4.2 TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM ĐẶC TRƯNG 59 MỞ ĐẦU Hàm phân phối. .. hàm đặc trưng biến đổi Fourier hàm phân phối Ngược lại biết hàm đặc trưng ta tính hàm phân phối nhờ định lý đảo biến đổi Fourier Trong nhiều toán thực tế, sử dụng hàm đặc trưng thuận lợi hàm phân