PHÂN PHỐI xác SUẤT và hàm đặc TRƯNG

Luận văn được trình bày gồm 4 chương: Chương I: Giới thiệu tổng quan và những khái niệm cơ bản về biến ngẫunhiên và hàm phân phối, trong đó có đề cập đến một khẳng định quan trọngcủa Kol

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội, 2015ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS TS PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, 2015

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS PhanViết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu chotôi để hoàn thành luận văn này Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sựgiúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xácsuất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội,những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luậnvăn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận được ý kiếnđóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội,tháng 06 năm 2015

Lê Nam Trung

Mục lục

1 TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 5

1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN 6

1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 7

1.2.1 Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất 7 1.2.2 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục 11

2 HÀM PHÂN PHỐI 14 2.1 CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI 14

2.2 HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI 17

2.2.1 Định nghĩa và tính compact 17

2.2.2 Khoảng cách Levy 22

2.2.3 Hội tụ của dãy tích phân 27

2.3 ỨNG DỤNG HÀM PHÂN PHỐI VÀO NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN RỦI RO BẢO HIỂM 32

2.3.1 Đặt vấn đề 32

2.3.2 Các giả thiết của định lý Cramer - Lundberg 36

2.3.3 Phát biểu định lý Cramer - Lundberg 37

2.3.4 Chú ý 37

3 HÀM ĐẶC TRƯNG 40 3.1 CÁC HÀM QUAN TRỌNG 40

3.2 HÀM ĐẶC TRƯNG 43

3.2.1 Định nghĩa và tính chất 43

3.2.2 Tính chính quy, khai triển hàm đặc trưng 47

4 QUAN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI 55 4.1 TÍNH QUY LUẬT 55

4.2 TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁCHÀM ĐẶC TRƯNG 59

MỞ ĐẦU

Hàm phân phối xác suất và hàm đặc trưng là những khái niệm nhất của lýthuyết xác suất và thống kê toán học Với sự ra đời của tác phẩm "Những kháiniệm cơ bản của lý thuyết xác suất"(Kolmogorov, 1933) thì những nền móngvững chắc cho hai khái niệm trên được hình thành Cho đến nay nhiều kết quảliên quan đã thu được và một lý thuyết hiện đại về XSTK đã được xây dựng vàphát triển Ý nghĩa của các khái niệm trên sẽ được trình bày trong phần Tổngquan của chương I Luận văn được trình bày gồm 4 chương:

Chương I: Giới thiệu tổng quan và những khái niệm cơ bản về biến ngẫunhiên và hàm phân phối, trong đó có đề cập đến một khẳng định quan trọngcủa Kolmogorov về phân phối hữu hạn chiều

Chương II: Trình bày về lý thuyết hàm phân phối; cấu trúc và sự hội tụ,khoảng cách Levy và ứng dụng nghiên cứu bài toán rủi ro bảo hiểm

Chương III: Nói về hàm đặc trưng, định nghĩa, tính chất, tính chính quy vàkhai triển hàm đặc trưng

Chương IV: Trình bày mối liên quan giữa hàm phân phối và hàm đặc trưng,nêu tính quy luật, quan hệ giữa tích chập của hàm phân phối và phép nhân củahàm đặc trưng

Chương 1

TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Trong chương này trình bày vài nét tổng quan về những vấn đề cần nghiêncứu và những khái niệm mở đầu cần dùng cho các chương sau

Khác với thế giới tất định, trong phạm trù ngẫu nhiên người ta làm việc vớicác đại lượng lấy những giá trị ngẫu nhiên Ta không thể coi những giá trị ngẫunhiên đó như giá trị của một tham số tất định biến đổi tùy ý được Đối với mộtbiến ngẫu nhiên, người ta cần biết cái luật phân phối của nó Đối với nhữngbiến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần biết nó có thể lấy những giá trị nào và nó lấymỗi giá trị đó với xác suất bao nhiêu; đối với những biến ngẫu nhiên liên tục, tacần biết nó lấy giá trị trong một khoảng nào đó với xác suất bao nhiêu? Nhữngxác suất đó thể hiện luật phân phối của các biến ngẫu nhiên Luật phân phốilại được biểu diễn qua hàm phân phối Biết hàm phân phối cụ thể của một biếnngẫu nhiên cụ thể là coi như ta xác định được biến ngẫu nhiên đó

Ta lại có một cách khác để thể hiện luật phân phối của biến ngẫu nhiên đó

là dựa trên hàm đặc trưng Biết được hàm đặc trưng, ta biết biến ngẫu nhiên

đó là biến ngẫu nhiên gì Vậy vấn đề đặt ra là hàm phân phối và hàm đặc trưngliên quan đến nhau như thế nào? Về mặt toán học, thực ra hàm đặc trưng làmột biến đổi Fourier của hàm phân phối Ngược lại nếu biết hàm đặc trưng thì

ta tính được hàm phân phối nhờ định lý đảo của biến đổi Fourier Trong nhiềubài toán thực tế, sử dụng hàm đặc trưng thì thuận lợi hơn hàm phân phối Đónggóp vào việc xây dựng các định lý đảo có các công trình của Levy, Gurland, Gil

- Palaez, Shiely

Vậy trong luận văn này sau khi nêu các khái niệm mở đầu chúng tôi sẽ trìnhbày 3 vấn đề:

1 Hàm phân phối

2 Hàm đặc trưng

3.Quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối

Trong đó có trình bày một ứng dụng về nghiên cứu "bài toán rủi ro bảohiểm."

Định nghĩa: Cho không gian xác suất(Ω, F , P). Không giảm tính tổng quát ta

có thể giả thiết (Ω, F , P) là không gian xác suất đủ tức là nếu A là biến cố cóxác suất 0 (P(A)=0) thì mọi tập con B ⊂ A cũng là biến cố

1 Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Ω −→ E được gọi là một biếnngẫu nhiên với giá trị trên E nếu với mỗi tập Borel của E ta có X−1(B) ∈ F

2 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên E =Rn ta nói X là vectơ ngẫunhiên n - chiều

3 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên tập số thực R ta nói X là biếnngẫu nhiên

Mệnh đề 1 a, X : Ω −→R là đại lượng ngẫu nhiên khi và chỉ khi

X−1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F , ∀§ ∈R

b, ~ X = (X1, X2, , Xn) : Ω −→Rn là véc tơ ngẫu nhiên khi và chỉ khi mỗi tọa độ

Xk(k = 1, , n) của nó là đại lượng ngẫu nhiên

Chứng minh Ta dễ suy ra a, Để chứng minh b, ta xét phép chiếu πk : Rn −→

R, πk ~ x = xk (tọa độ thứ k của ~ x), πk liên tục nênπk đo được (đối với (Bn, B1))

Do đó, nếu X~ là véc tơ ngẫu nhiên, thì Xk = πk ~ X là đại lượng ngẫu nhiên.Ngược lại, giả sử mỗi Xk là đại lượng ngẫu nhiên Để đơn giản hơn, ta xéttrường hợpn = 2 và chú ý rằng: R2 =R×R, B2= B1× B 1 (σ - đại số tích) Khi

1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Định nghĩa: 1 Cho X là biến ngẫu nhiên E - giá trị Xét hàm tập µX xác địnhtrên σ - đại số Borel của E theo cách sau:

1.2.1 Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Mệnh đề 2 Nếu ν là xác suất trong (E, =) thì tồn tại ít nhất một không gianxác suất cơ bản (Ω, A, P) và một phần tử ngẫu nhiên E - giá trị X, sao cho ν làphân phối của nó: PX = ν

Chứng minh Lấy Ω = E, A = =, P = ν và X là ánh xạ đồng nhất từ R lên R:

X(x) = x, ∀x ∈R.Khi đó,

PX(B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ =

Mệnh đề 3 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó:

FX(x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chất sau:

1 Không giảm: FX(x1) ≤ FX(x2) với x1≤ x2.

2 Liên tục bên trái : FX(x) = FX(x − 0).

3 Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 taị +∞:

Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít nhất mộtkhông gian xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một đại lượng ngẫu nhiên X sao cho F

là hàm phân phối của nó: FX = F.

Chú ý Phân phối PX chính là độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra từ hàm phânphối FX.

Để mở rộng mệnh đề trên cho trường hợp vec tơ ngẫu nhiên, ta phải đưa vào

Rn một quan hệ thứ tự

Giả sử ~a = (a1, , an),~b = (b1, , bn). Ta quy ước viết ~a < ~b(~a ≤ ~b), nếu

ak < bk(ak ≤ bk)với ∀k = 1, 2, , n Rõ ràng, với quan hệ thứ tự đó Rn trở thànhtập được sắp thứ tự một phần.Ta viết a ↑ b nếu ak ↑ bk với mọi ∀k = 1, 2, , n.Bây giờ ta nhắc lại định nghĩa của sai phân.Giả sửF (x) là hàm một biến số, saiphân cấp 1 của F là

Bằng những lập luận tương tự như khi chứng minh mệnh đề 3 ta có mệnh

đề sau:

Mệnh đề 4 Nếu X = (X~ 1, , Xn) là véc tơ ngẫu nhiên n chiều, thì hàm phânphối của nó F (~ x) = P {ω : ~ X < ~ x} có các tính chất sau:

1 Không giảm;

2 Liên tục bên trái tại mỗi điểm ~ x ∈Rn;

3 F (~a) = 0 nếu có một ak nào đó bằng −∞,

Định nghĩa Ta gọi F (x)(F (~ x))là hàm phân phối nếu nó có ba tính chất 1, 2, 3,trong mệnh đề 3, 4 Các mệnh đề 3, 4, chỉ rõ mối quan hệ mật thiết giữa biếnngẫu nhiên và hàm phân phối

Trong thực hành, ta không biết giá trị củaX(ω) tại tất cả ω mà chỉ có thểbằng thực nghiệm tính (gần đúng) hàm phân phối X của nó Với ý nghĩa đó,hàm phân phối cho ta lượng tin đầy đủ nhất về đại lượng ngẫu nhiên tương ứng.Cần chú ý rằng, nếu biết phân phối đồng thời của X 1 , , X n thì cũng biếttất cả các phân phối một chiều:

FX1(x1) = FX1, ,Xn(x1, +∞, , +∞)

FXn(xn) = FX1, ,Xn(+∞, , +∞, xn)Tương tự, ta có thể tính tất cả các phân phối hai chiều hoặc với số chiều lớnhơn, chẳng hạn:

FX1,X2(x1, x2) = FX1, ,Xn(x1, x2, +∞, , +∞).

Tuy nhiên, nếu chỉ biết tất cả các phân phối một chiều, thì nói chung khôngthể xác định được phân phối đồng thời Điều đó nói lên rằng, trong trường hợpnhiều chiều, hàm phân phối đồng thời mới cho ta lượng tin đầy đủ về vec tơngẫu nhiên

Bây giờ, ta xét họ những đại lượng ngẫu nhiên {X t (ω), t ∈ T } nếu T hữuhạn, ta có véc tơ ngẫu nhiên Chúng ta gọi họ những đại lượng ngẫu nhiên{Xt(ω), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên Nếu T =R+ = [0, ∞) thì ta có quá trìnhngẫu nhiên với thời gian liên tục NếuT = {0, 1, 2, } thì ta có dãy ngẫu nhiên,hay quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc

Giả sử{Xt(ω), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian xácsuất (Ω, A, P). Hàm:

Hệ thống C các tập, mỗi một trong chúng là tổng hữu hạn các tập trụ khônggiao nhau, lập thành đại số Chúng ta ký hiệu σ - đại số nhỏ nhất chứa C là:

Độ đo P (A)được xây dựng như trên không phụ thuộc vào cách phân tích tập

A Nó là độ đo cộng tính hữu hạn, liên tục tại ∅ theo định lý thác triển độ đo,

nó được nới rộng duy nhất thành độ đo xác suât trên A = BT. Như vậy ta đãxây dựng không gian (Ω, A, P). Quá trình ngẫu nhiên được xây dựng như sau:

1.2.2 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục

• Trường hợp một chiều Ta đã biết thì mỗi hàm phân phối F có thể biểu diễnduy nhất dưới dạng:

F = c 1 F 1 + c 2 F 2 + c 3 F 3 ,trong đó, F1 là hàm phân phối bước nhảy (còn gọi là phân phối rời rạc), F2 làhàm phân phối kỳ dị, F3 là hàm phân phối tuyệt đối liên tục (đối với độ đoLebesgue thông thường trên R), c1, c2, c3 là các hằng số không âm có tổng bằng

1 Trong thực tế chỉ gặp các hàm phân phối bước nhảy, tuyệt đối liên tục hoặc tổhợp lồi của hai loại vừa nói (tức là F = c1F1+ c3F3, với c1, c3 ∈ [0, 1], c1+ c3 = 1).Định nghĩa Ta nói đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc (hay là đạilượng ngẫu nhiên rời rạc), nếu hàm phân phối F của nó là hàm bước nhảy.Giả sử {xk} là tập hợp tất cả các điểm gián đoạn của F và {pk} là các bướcnhảy tương ứng: pk = F (xk+ 0) − F (xk) khi đó ta có:

pk = PX(xk) = P {ω : X(ω) = xk}.

Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiênX:

X P

FX(x) = X

x k <x

Ngược lại, nếu cho trước {xk} là dãy bất kỳ và {pk} là dãy có tính chất (1) thì

vế phải của (2) xác định hàm phân phối và do đó, tồn tại đại lượng ngẫu nhiên

X tập trung tại các điểm {xk} với khối lượng tương ứng {pk}. Đặc biệt, nếu

xk = k, k = 0, 1, 2,

pk = e−λλ

k

k!, λ > 0,thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối (đạilượng ngẫu nhiên) Poisson với tham số λ. Nếu xk = k, k = 0, 1, 2,

pk = Cnkpk(1 − p)n−k, 0 ≤ p ≤ 1,thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối (đạilượng ngẫu nhiên) nhị thức với tham số p

Định nghĩa Nói rằng, X có phân phối liên tục, nếu phân phối PX của nó tuyệtđối liên tục đối với độ đo Lebesgue của đường thẳng

Vậy, nếu X có phân phối liên tục (hay tuyệt đối liên tục), thì có đạo hàmRadon - Nikodym:

p(x) = √1

2πexp{−

x2

2 }thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối

(đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn Ta sẽ dùng ký hiệu N (0, 1)(γ) đểchỉ phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn Nếu X = σγ + m trong

đó σ > 0, m ∈R,thì ta nói X có phân phối Gauss hay chuẩn với tham số (m, σ2).

Rõ ràng mật độ của X = σγ + m có dạng:

p(x) = 1

σ √ 2πexp{−

lý thuyết xác suất, nó thường xuyên được sử dụng trong các bài toán thực tếcủa xác suất

Nếu hàm mật độ có dạng:

pX(x) = λe−λx, x ≥ 0, pX(x) = 0, x < 0

ở đây λ là số dương, thì pX(x) được gọi là hàm mật độ của phân phối mũ vớitham số λ > 0.

Ví dụ: phân phối mũ Giả sử có máy nào đó, người ta mở máy tại thời điểm

0, còn tại thời điểm ngẫu nhiên X nó bị hỏng Ta tìm dạng tổng quát hàm phânphối của X Thông thường người ta xét hàm:

Chương 2

HÀM PHÂN PHỐI

Trong chương này chúng tôi phân tích những yếu tố cơ bản và sâu sắc về hàmphân phối như cấu trúc và sự hội tụ của dãy hàm phân phối với các khái niệmquan trọng như: khoảng cách Levy, sự hội tụ của tích phân đối với hàm phânphối Đồng thời chúng tôi cũng nêu lên một ứng dụng của hàm phân phối trongbài toán bảo hiểm

Ta ký hiệu P là lớp các hàm phân phối xác định trên R, tức là F ∈ P nếu nó

có các tính chất sau đây:

a, F (x) đơn điệu không giảm trên R;

b, F (x) liên tục trái tại mọi điểm x ∈R;

Ví dụ 1 x0 là điểm tùy ý thuộc R.

b n δa n (x) là hàm phân phối (∈ P)

Ví dụ 3 Giả sử F là hàm phân phối nào đó, {rn} là tập số hữu tỷ trên R. HàmG(x) =

D nào đó trù mật trong R (ví dụ D = C(F )) Đó là cơ sở trực quan hiển nhiêncủa mệnh đề sau đây

Mệnh đề 5 Giả sử D là tập nào đó trù mật trong R, FD là hàm đơn điệukhông giảm bao hàm giữa 0 và 1 xác định trên D Khi đó ∀x ∈ R tồn tại dãy

xn ∈ D, xn ↑ x, còn hàm F(x) được xác định trên R bằng hệ thức:

F (x) = lim

x n ↑x,x n ∈D FD(xn)

là hàm phân phối suy rộng (∈ P∗).

Chứng minh Hiển nhiên F(x) là hàm đơn điệu không giảm, bao hàm giữa 0 và

1 Ta cần chứng minh F liên tục trái tại mọi x ∈ R. Theo định nghĩa hàm F,

∀x ∈R, ∀ε > 0, ∃x0∈ D, x0 < x sao cho:

F (x) − ε < FD(x0) (1)

Từ tính đơn điệu không giảm trên D củaFD suy ra:

FD(x0) ≤ F (x) (2)

Kết hợp (1) và (2)ta có:

F (x) − ε < FD(x0) ≤ F (x),với D 3 x0 < x.

Xét y : x0 < y < x. Hiển nhiên ta có bất đẳng thức:

F (x) − ε < FD(x0) ≤ F (y) ≤ F (x),Cho y ↑ x, sau đó cho ε ↓ 0 ta có:

F (x) = F (x − 0).

Hàm phân phối suy rộng (∈ P∗) là hàm không giảm liên tục trái trên R. Vì vậy

nó có khai triển Lebdesgue

Định lý 2 Mỗi hàm phân phối F ∈ P ∗ được biểu diễn duy nhất ở dạng tổngcủa ba hàm phân phối (∈ P∗) :

F = Fd+ Fad+ Fs,trong đó Fd là hàm phân phối bậc thang dạng

Fd(x) = X

x i <x

p(xi),

F (s) là hàm phân phối kỳ dị, tức là hàm phân phối liên tục, mọi điểm tăng của

nó thuộc tập có độ đo Lebdesgue bằng không

2.2 HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI

Hiển nhiên Fn(x) → F (x), ∀x 6= 0, nhưng Fn(0) = 19F (0) = 0.

Ví dụ trên chỉ ra rằng, tồn tại những dãy hàm phân phối Fn hội tụ về hàmphân phối F tại mọi điểm liên tục của F, nhưng giá trị của hàm F tại điểm giánđoạn không bằng giới hạn tại điểm này của dãy hàm phân phối Fn.

Định nghĩa Ta nói dãy hàm phân phối {Fn} hội tụ yếu đến hàm phân phối

F (Fn, F ∈ P∗) nếu:

Fn(x) → F (x), n → ∞, ∀x ∈ C(F ),trong đó C(F) như trước đây là ký hiệu tập hợp các điểm liên tục của hàm F

Để lớp các hàm phân phối xác suất đóng đối với phép chuyển giới hạn, người

ta đưa vào khái niệm hội tụ hoàn toàn

Định nghĩa Dãy hàm phân phối {Fn} được gọi là hội tụ hoàn toàn đếnhàm phân phối F (Fn, F ∈ P∗) nếu Fn ⇒ và Fn(±∞) → F (±∞), n → ∞. ký hiệu

Fn ⇒ F.

Hiển nhiên từ hội tụ hoàn toàn kéo theo hội tụ yếu

Trong Định nghĩa hội tụ yếu người ta giả thiếtFn, F đều là những hàm phânphối (∈ P∗). Bây giờ giả sử dãy hàm phân phối {Fn} hội tụ trên R đến hàm Fnào đó Hỏi rằng F có phải là hàm phân phối không? Dễ thấy rằng F chưa chắc

đã liên tục trái tại mọi điểmx ∈R, vì vậy nói chung nó không phải là hàm phânphối Nhưng chỉ cần sửa đổi giá trị hàm F tại một số không nhiều hơn đếm đượcđiểm gián đoạn bước nhảy của F, ta sẽ có hàm phân phối F 0 và F n ⇒ F 0 , trong

đó C(F 0 ) = C(F ) trù mật trong R.Như vậy F trùng hầu khắp nơi với hàm phânphối F 0 và F n ⇒ F 0 Thực ra ta có kết quả mạnh hơn, cũng với kết luận trên chỉcần đòi hỏi dãy hàm phân phối {Fn} hội tụ trên tập D bất kỳ trù mật trong R

Đó là nội dung của định lý sau:

Định lý 3 Dãy hàm phân phối suy rộng {Fn} ∈ P∗ hội tụ yếu khi và chỉ khi nóhội tụ trên tập D trù mật trong R.

Chứng minh Điều kiện cần

Theo giả thiếtFn ⇒ F,tức làFn(x) → F (x), ∀x ∈ C(F ). Tập D=C(F) trù mậttrong R.

Điều kiện đủ Ta phải chứng minh rằng, nếu dãy hàm phân phối {Fn} hội tụđến hàm FD với mọi x thuộc tập D trù mật nào đó trong R, thì tồn tại hàmphân phối F sao cho Fn ⇒ F. Đặt

Thật vậy:∀x ∈ C(F ) ta chọnx0, x00∈ Dsao cho x0< x < x00.khi đó ta có hệ thức:

Fn(x0) ≤ Fn(x) ≤ Fn(x00).

Ta nghiên cứu tính compact của họ các hàm phân phối.

Định nghĩa Tập hợp vô hạn các hàm phân phối{Fα, α ∈ ∧}được gọi là compactyếu, nếu từ dãy con tùy ý của nó có thể trích ra dãy con hội tụ yếu đến hàmphân phối nào đó

Định lý 4 (Định lý Helly 1) Tập hợp vô hạn bất kỳ các hàm phân phối suyrộng (∈ P∗) là compact yếu

Chứng minh Không hạn chế tổng quát ta giả sử họ cho trước các hàm phânphối là đếm được {Fn, n ≥ 1}. Từ định lý 3 chỉ cần chứng minh có thể trích radãy con hội tụ trên tập D nào đó trù mật trong R.

Giả sử D = {xn, n ≥ 1} là tập đếm được nào đó trù mật trong R. Dãy số{Fx1, n ≥ 1} bị chặn, theo bổ đề Bolzano - Weierstrass thì tồn tại dãy con cáchàm phân phối {Fn1

k , k ≥ 1} hội tụ tại x1. Tương tự, từ dãy {Fn1

k , k ≥ 1} trích rađược dãy con {Fn2

k , k ≥ 1} hội tụ tại x2, x1. tiếp tục quá trình đó, ta tìm đượcdãy con {Fnm

k , k ≥ 1} hội tụ tại xm, xm−1, , x1. Dãy đường chéo {Fnk , k ≥ 1}được chứa trong mọi dãy {Fnm

k , k ≥ 1} với chỉ số k ≥ m. Vì vậy nó hội tụ tại mọiđiểm xm ∈ D. Do định lý 3 dãy {Fnk , k ≥ 1} hội tụ yếu đến hàm phân phối Fnào đó ∈ P∗.

Định nghĩa Tập hợp vô hạn các hàm phân phối (∈ P∗) {Fα, α ∈ ∧}, được gọi

là compact hoàn toàn, nếu từ mọi dãy con của nó có thể trích ra dãy con hội tụhoàn toàn đến hàm phân phối (∈ P∗) nào đó

Định lý 5 Tập hợp vô hạn bất kỳ các hàm phân phối {Fα, α ∈ ∧} ∈ P∗ làcompact hoàn toàn khi và chỉ khi:

sup

α∈∧

{V (Fα) − Fα[a, b)} → 0

khi a → −∞, b → +∞, trong đó V (Fα) = Fα(+∞) − Fα(−∞) là biến phân củahàm phân phối Fα, Fα[a, b) = Fα(b) − Fα(a).

Để chứng minh định lý ta chứng minh một số bổ đề sau:

lim Fn(−∞) ≤ F (x) ≤ lim Fn(+∞)chox → ±∞, x ∈ C(F ) ta nhận được:

Chứng minh Thật vậy, do bổ đề 2, để chứng minh điều kiện đủ, ta sẽ chứngminh V (Fn) − V (F ) → 0 khi n → ∞. Từ giả thiết ta có:

Từ V (F ) − F [a, b) → 0 khi a → −∞, b → +∞. suy ra: ∀ε > 0, ∃C, D(C < D) saocho với a<C và b>D ta có:

0 ≤ V (F ) − F [a, b) < ε

Chọn a, b ∈ C(F ) và a < min(A, C), b > max(B, D), từ 5.4 và 5.5 ta nhận được:

|V (Fn) − V (F )| ≤ |V (Fn) − Fn[a, b)| + |Fn[a, b) − F [a, b)| + |F [a, b) − V (F )|

|V (Fn) − Fn[a, b)| < ε (10)

với a ≤ An và b ≥ Bn.

Chọn A0 = min(A, A1, A2, , AN), B0 = min(B, B1, B2, , BN), từ (9) và(10)ta có

|V (Fn) − Fn[a, b)| < εvới ∀n ≤ 1 và a ≤ A0, b ≤ B0.

Chứng minh định lý 5 Điều kiện đủ suy từ bổ đề 3 và tính compact yếu của

họ các hàm phân phối Ta chứng minh điều kiện cần bằng phản chứng Nếu lậpluận của định lý không đúng, thì ∃ε0 > 0 sao cho với mọi I = [a, b) ta có bấtđẳng thức:

sup

α

|V (Fα) − Fα[a, b)| ≥ ε0.Gọi I m = [−m, m), m = 1, 2, Khi đó tìm được dãy vô hạn các số n m : n 1 <

ta có:

V (Fnm0) − Fnm0(I) ≥ V (Fnm0) − Fnm0(Im0 ) ≥ ε0

2.Cho m0 → +∞, từ bổ đề 5.1.2 suy ra

đã được làm liên tục của hàm F và G tương ứng

Ký hiệu |FtGt| là khoảng cách giữa các giao điểm Ft và Gt, và đặt:

Bổ đề sau đây sẽ chứng tỏ biểu thức trên xác định một khoảng cách, được gọi

là khoảng cách Levy giữa các hàm phân phối F và G

Bổ đề 4 L(F,G) là metric trong không gian các hàm phân phối suy rộng P∗.Chứng minh Thật vậy, tính đói xứng L(F, G) = L(G, F ) là hiển nhiên TừL(F, G) = 0 suy ra F = G. Trên đường thẳng x + y = t bất đẳng thức tamgiác

|FtGt| ≤ |FtHt| + |HtGt|kéo theo bất đẳng thức

F (x) ≤ |f Ft| = |gGt| − δ ≤ G(x − δ + 0) − δ ≤ G(x + δ + 0) + δ; (12)

F (x + 0) ≥ |f Ft| = |gGt| − δ ≥ G(x − δ) − δ (13)

Từ (12) và (13) suy ra, nếu x ∈ C(F ), thì

G(x − δ) − δ ≤ F (x) ≤ G(x + δ + 0) + δ.

có với mọi x ∈R. Từ đó suy ra ρ ≤ L. Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại

F (±∞) − h ≤ F n (±∞) ≤ F (±∞) + h, ∀n > N (h).

Điều này có nghĩa là F n (±∞) → F (±∞), n → ∞.

Giả sử x là điểm liên tục (được cố định lại) của hàm F Hiển nhiên với mọi

ε > 0 tồn tại h0 > 0 sao cho với mọi h : 0 < h < h0 ta có hệ thức:

|F (x + h) − F x| < ε (17)

Từ (16) và (17) suy ra

|Fn(x) − F x| < h + εvới n đủ lớn Do ε và h có thể chọn tùy ý bé, nên suy ra Fn ⇒ F. Như vậy đãchứng minh được F n ⇒ F.

Bước 2 (⇒). Giả sử h > 0 là hằng số dương nhỏ tùy ý cho trước Ta chọn

±A ∈ C(F ) sao cho

V (F ) − F [−A, A) < h

2.

Ta chia đoạn [-A,A] bằng các điểm thuộc C(F)

x0= −A < x1< < xk = A.

sao cho max

1≤i≤k−1 |xi+1 − xi| < h, sau đó ta chọn N (h) đủ lớn sao cho ∀n > N (h),với mọi i = 1, , k ta có bất đẳng thức |Fn(xi) − F (xi)| < h2.

Bây giờ ta chứng minh với mọi x ∈ [−A, A] và với mọi n > N (h) ta có bấtđẳng thức:

F (x − h) − h ≤ Fn(x) ≤ F (x + h) + h (18)Với mọi x ∈ [−A, A] ta tìm được chỉ số i sao cho x i ≤ x ≤ x i+1 , nên từ cách xâydựng ở trên ta có các đánh giá sau:

Fn ≥ Fn(xi) ≥ F (xi) −h

2 ≥ F (x − h) − h

2 ≥ F (x − h) − hvới mọi n > N (h).

Fn(x) ≥ Fn(−∞) ≥ F (−∞) − h

2 ≥ F (−A) − h ≥ F (x − h) − hvới ∀n > M (h).

Mặt khác, với ∀n > N (h). ta có đánh giá

Fn(x) ≤ Fn(−A) ≤ F (−A) + h

2 ≤ F (−∞) + h ≤ F (x + h) + h (20)Kết hợp (19) và (20) ta có

F (x − h) − h ≤ Fn(x) ≤ F (x + h) + hvới x < −A và với mọi n > max(N, M ). Trường hợp x > A chứng minh tương tự.Như vậy ta đã chứng minh được, với mọi x ∈ R và mọi n > max(N, M ) hệthức (18) được thục hiện Từ đó suy ra L(F n ) < h với n > max(N, M ), hayL(F n , F ) → 0 khi n → ∞.

Hệ quả 1 Giả sử Fn, F ∈ P∗. Nếu Fn ⇒ F và F liên tục trên R thì hội tụ làđều Tức là:

sup

−∞<x<+∞

|Fn(x) − F (x)| → 0, n → ∞.

Chứng minh Hàm F (x) liên tục trên R, nó cũng liên tục đều

Do đó ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, x0: |x − x0| < δ suy ra

|F (x) − F (x0)| < ε (21)

Do giả thiết Fn ⇒ F và từ định lý 6 suy ra ρn = L(Fn, F ) → 0 khi n → ∞. Vìvậy tìm được N = N (ε) sao cho với mọi n > N ta có bất đẳng thức: ρn < δ(ε).Khi đó từ (21) suy ra:

sup

−∞<x<+∞

|Fn(x) − F (x)| ≤ ρ n + ε (24)với mọi n > N (ε).

Do ρn → 0, n → ∞ và tính tùy ý bé của ε, từ hệ thức (24) suy ra điều phảichứng minh

2.2.3 Hội tụ của dãy tích phân

Kiểm tra tính hội tụ các đặc trưng nào đó của dãy hàm phân phối giúp choviệc kiểm tra trực tiếp tính hội tụ yếu của dãy các hàm phân phối dễ hơn Nộidung chủ yếu của phần này là định lý sau, nó chỉ ra rằng, tính hội tụ hoàntoàn của dãy hàm phân phối tương đương với tính hội tụ của dãy tích phân

g(x)dF (x) với mọi hàm g liên tục và bị chặn trên R.

Để chứng minh định lý ta sẽ chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 6 ( Định lý Helly 2) Giả sử Fn, F ∈ P∗. Nếu Fn ⇒ F, thì với mọi hàm gliên tục và với mọi cặp a, b : −∞ < a < +∞ sao cho Fn(a) → F (a), Fn(b) → F (b),

Chứng minh Ta chứng minh theo ba bước

Bước 1 Xây dựng dãy hàm bậc thangg m (x)hội tụ đều trên [a, b] đến hàmg(x).Với mỗi m ta chia [a, b] thành K m khoảng bằng các điểm chia xmk ∈ C(F ), k =

2, , K m :

a = xm1 < xm2 < < xmKm < xmKm+1 = b,sao cho δm = max

1≤k≤K m

|xm,k+1− xm,k| → 0 khi n → ∞Đặt gm(x) =

Bước 3 Kết luận của bổ đề suy ra từ kết quả hai bước chứng minh trên và đánhgiá:

≤

... data-page="34">

2.3 ỨNG DỤNG HÀM PHÂN PHỐI VÀO NGHIÊN

CỨU BÀI TOÁN RỦI RO BẢO HIỂM

2.3.1 Đặt vấn đề

Nền tảng lý thuyết rủi ro dựa cơng trình Fillip Lundberg vàHarald Cramer... sửµn, µ độ đo Borel hữu hạn R, Fn F hàmphân phối tương ứng:

Định lý Họ độ đo hữu hạn R{µα}...

ξi1(Ti≤t).

Ở ta ký hiệu1A hàm tiêu biến cố A. Đó hàm xác định

Ω lấy hai giá trị 0 1,