Phân phối xã suất và hàm đặc trưng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHOI XÁC SUAT V HM ắC TRNG LUÔN VN THAC SY KHOA HOC Hà N®i, 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHOI XÁC SUAT VÀ HÀM Đ¾C TRƯNG Chuyên ngành: Mã so: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TON HOC 60.46.01.06 LUÔN VN THAC SY KHOA HOC NGốI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS TS PHAN VIET THƯ Hà N®i, 2015 Lài cám ơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành sâu sac tói PGS.TS Phan Viet Thư, ngưòi thay t¾n tình giúp đõ, chí báo, đ%nh hưóng nghiên cúu cho tơi đe hồn thành lu¾n văn Qua đây, tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin hoc, B® mơn Xác suat thong kê trưòng Đai hoc Khoa hoc tn nhiên - Đai hoc quoc gia Hà N®i, nhung ngưòi giúp đõ, giáng day truyen đat kien thúc cho tác giá suot trình hoc t¾p nghiên cúu tai trưòng M¾c dù có nhieu co gang, han che ve thòi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khói nhung thieu sót Tác giá kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp q báu cna q thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin trân cám ơn! Hà N®i,tháng 06 năm 2015 Lê Nam Trung Mnc lnc Mé ĐAU TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Mé ĐAU 1.1 BIEN NGAU NHIÊN 1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT 1.2.1 Quan h¾ giua phan tú ngau nhiên phân phoi xác suat 1.2.2 Phân phoi ròi rac phân phoi liên tuc 11 HÀM PHÂN PHOI 14 2.1 CAU TRÚC HÀM PHÂN PHOI 14 2.2 H®I TU CÚA DÃY HÀM PHÂN PHOI .17 2.2.1 Đ%nh nghĩa tính compact 17 2.2.2 Khoáng cách Levy 22 2.2.3 H®i tu cna dãy tích phân 27 2.3 ÚNG DUNG HÀM PHÂN PHOI VÀO NGHIÊN CÚU BÀI TOÁN RÚI RO BÁO HIEM .32 2.3.1 Đ¾t van đe .32 2.3.2 Các giá thiet cna đ%nh lý Cramer - Lundberg .36 2.3.3 Phát bieu đ%nh lý Cramer - Lundberg 37 2.3.4 Chú ý 37 HÀM Đ¾C TRƯNG 40 3.1 CÁC HÀM QUAN TRONG 40 3.2 HÀM Đ¾C TRƯNG 43 3.2.1 Đ%nh nghĩa tính chat 43 3.2.2 Tính quy, khai trien hàm đ¾c trưng 47 QUAN Hfi GIUA HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55 4.1 TÍNH QUY LU¾T 55 4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM Đ¾C TRƯNG .59 Mé ĐAU Hàm phân phoi xác suat hàm đ¾c trưng nhung khái ni¾m nhat cna lý thuyet xác suat thong kê tốn hoc Vói sn đòi cna tác pham "Nhung khái ni¾m bán cna lý thuyet xác suat"(Kolmogorov, 1933) nhung nen móng vung chac cho hai khái ni¾m đưoc hình thành Cho đen nhieu ket liên quan thu đưoc v mđt lý thuyet hiắn ve XSTK ó oc xây dnng phát trien Ý nghĩa cna khái ni¾m se đưoc trình bày phan Tong quan cna chương I Lu¾n văn đưoc trình bày gom chương: Chương I: Giói thi¾u tong quan nhung khái ni¾m bán ve bien ngau nhiên hàm phân phoi, ú cú e cắp en mđt khang %nh quan cna Kolmogorov ve phân phoi huu han chieu Chương II: Trình bày ve lý thuyet hàm phân phoi; cau trúc sn h®i tu, khống cách Levy úng dung nghiên cúu toán rni ro báo hiem Chương III: Nói ve hàm đ¾c trưng, đ%nh nghĩa, tính chat, tính quy khai trien hàm đ¾c trưng Chương IV: Trình bày moi liên quan giua hàm phân phoi hàm đ¾c trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm phân phoi phép nhân cna hàm đ¾c trưng Chương TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfi Mé ĐAU Trong chương trình bày vài nét tong quan ve nhung van đe can nghiên cúu nhung khái ni¾m mó đau can dùng cho chương sau Khác vói the giói tat đ%nh, pham trù ngau nhiên ngưòi ta làm vi¾c vói đai lưong lay nhung giá tr% ngau nhiên Ta không the coi nhung giá tr% ngau nhiên giá tr% cna m®t tham so tat đ%nh bien đoi tùy ý đưoc Đoi vói m®t bien ngau nhiên, ngưòi ta can biet lu¾t phân phoi cna Đoi vói nhung bien ngau nhiên ròi rac, ta can biet có the lay nhung giá tr% lay moi giá tr% vói xác suat bao nhiêu; đoi vói nhung bien ngau nhiên liên tuc, ta can biet lay giá tr% m®t khống vói xác suat bao nhiêu? Nhung xác suat the hi¾n lu¾t phân phoi cna bien ngau nhiên Lu¾t phân phoi lai đưoc bieu dien qua hàm phân phoi Biet hàm phân phoi cu the cna m®t bien ngau nhiên cu the coi ta xác đ%nh đưoc bien ngau nhiên Ta lai có m®t cách khác đe the hi¾n lu¾t phân phoi cna bien ngau nhiên dna hàm đ¾c trưng Biet đưoc hàm đ¾c trưng, ta biet bien ngau nhiên bien ngau nhiên V¾y van đe đ¾t hàm phân phoi hàm đ¾c trưng liên quan đen the nào? Ve m¾t tốn hoc, thnc hàm đ¾c trưng m®t bien đoi Fourier cna hàm phân phoi Ngưoc lai neu biet hàm đ¾c trưng ta tính đưoc hàm phân phoi nhò đ%nh lý đáo cna bien đoi Fourier Trong nhieu toán thnc te, sú dung hàm đ¾c trưng thu¾n loi hàm phân phoi Đóng góp vào vi¾c xây dnng đ%nh lý đáo có cơng trình cna Levy, Gurland, Gil - Palaez, Shiely V¾y lu¾n văn sau nêu khái ni¾m mó đau chúng tơi se trình bày van đe: Hàm phân phoi Hàm đ¾c trưng Quan h¾ giua hàm đ¾c trưng hàm phân phoi Trong có trình bày m®t úng dung ve nghiên cúu "bài toán rúi ro báo hiem." 1.1 BIEN NGAU NHIÊN Đ%nh nghĩa: Cho không gian xác suat (Ω, F, P) Khơng giám tính tong qt ta có the giá thiet (Ω, F, P) không gian xác suat đn túc neu A bien co có xác suat (P(A)=0) moi t¾p B ⊂ A bien co Giá sú E không gian metric, ánh xa X : Ω −→ E đưoc goi m®t bien ngau nhiên vói giá tr% E neu vói moi t¾p Borel cna E ta có X−1(B) ∈ F Neu X bien ngau nhiên nh¾n giá tr% E = Rn ta nói X vectơ ngau nhiên n - chieu Neu X bien ngau nhiên nh¾n giá tr% t¾p so thnc R ta nói X bien ngau nhiên M¾nh đe a, X : Ω −→ R đai lưong ngau nhiên chs X−1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R b, = (X1 , X2 , , Xn ) : Ω −→ Rn véc tơ ngau nhiên chs moi toa ˙ X đ® Xk(k = 1, , n) cúa đai lưong ngau nhiên Chúng minh Ta de suy a, Đe chúng minh b, ta xét phép chieu πk : Rn −→ R, πk ˙x = xk (toa đ® thú k cna ˙x), πk liên tuc nênπk đo đưoc (đoi vói (B n , B )) Do đó, neu véc tơ ngau nhiên, Xk = đai lưong ngau nhiên X˙ πk X˙ Ngưoc lai, giá sú moi Xk đai lưong ngau nhiên Đe đơn gián hơn, ta xét trưòng hop n = ý rang: R2 = R × R, B2 = B1 × B1 (σ - đai so tích) Khi đó, vói B1, B2 ∈ B1 ta có: X˙ −1 (B1 × B2 ) = X −1 (B1 ) ∩ X −1 (B2 ) ∈ A Do ta có X˙ −1 (B ) ∈ A túc X˙ véc tơ ngau nhiên 1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT Đ%nh nghĩa: Cho X bien ngau nhiên E - giá tr% Xét hàm t¾p µX xác đ %nh σ - đai so Borel cna E theo cách sau: µX (B) = P (X−1(B)), B B De kiem tra oc àX l mđt đ o xỏc suat trờn E àX oc goi l phân bo xác suat (E, B) cna bien ngau nhiên X Giá sú X = (X1, , Xn) véc tơ ngau nhiên n - chieu Hàm so F (x) = F (x1, x2, , xn) xác đ%nh bói cơng thúc: F (x1, x2, , xn) = P (X1 < x1, X2 < x2, , Xn < xn ) đưoc goi hàm phân bo xác suat cna vectơ ngau nhiên X 1.2.1 Quan h¾ giĐa phan tN ngau nhiên phân phoi xác suat M¾nh đe Neu ν xác suat (E, «) ton tai nhat m®t khơng gian xác suat bán (Ω, A, P) m®t phan tú ngau nhiên E - giá tr% X, cho ν phân phoi cúa nó: PX = ν Chúng minh Lay Ω = E, A = «, P = ν X ánh xa đong nhat tù R lên R: X(x) = x, ∀x ∈ R Khi đó, PX (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x B}, B ô Mắnh e Neu X đai lưong ngau nhiên, hàm phân phoi cúa nó: FX (x) = P {ω : X(ω) < x} có tính chat sau: Khơng giám: FX (x1) ≤ FX (x2) vói x1 ≤ x2 Liên tnc bên trái : FX (x) = FX (x − 0) Nh¾n giá tr% tai −∞ ta% +∞: Ngưoc lai, neu cho trưóc hàm F (x) có ba tính chat ton tai nhat m®t khơng gian xác suat bán (Ω, A, P) m®t đai lưong ngau nhiên X cho F hàm phân phoi cúa nó: FX = F Chúng minh 1, Suy tù thúc (−∞, x2) = (−∞, x1) + [x1 + x2) 2, 3, suy tù tính liên tuc cna PX tù nh¾n xét: (−∞, x − ) = Bn ↑ B = (−∞, x), n (−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞) Cuoi cùng, giá sú F hàm so có ba tính chat 1, 2, 3, Khi ú, đ o Lebesgue- Stieltjes àF tng úng xác suat đưòng thang.Tù m¾nh đe suy đieu phái chúng minh Chú ý Phân phoi PX đ® đo Lebesgue-Stieltjes sinh tù hàm phõn phoi FX e mú rđng mắnh e trờn cho trưòng hop vec tơ ngau nhiên, ta phái đưa vào n R mđt quan hắ thỳ tn Giỏ sỳ a = (a1 , , an ), ˙b = (b1 , , bn ) Ta quy ưóc viet ˙a < ˙b(˙a ≤ ˙b), neu ak < bk(ak ≤ bk) vói ∀k = 1, 2, , n Rõ ràng, vói quan h¾ thú tn Rn tró thành t¾p đưoc sap thú tn m®t phan.Ta viet a ↑ b neu ak ↑ bk vói moi ∀k = 1, 2, , n Bây giò ta nhac lai đ%nh nghĩa cna sai phân.Giá sú F (x) hàm m®t bien so, sai phân cap cna F ∆ hF (a) = F (a + h) − F (a), a ∈ R1 Chính xác ,ta goi ∆1 h , h > tốn tú sai phân cap vói bưóc h Tiep theo, giá sú F (˙x) = F (x1 , , xn ) hàm n bien so Đ¾t 1 ∆n F (˙a) = ∆ + h1 , , an + hn ) h h1 ∆hn F (a1 , , an ) = F (a1 − F (a1 + h1, , aj, , an + hn) + F (a1 + h1, , aj, , an + hn) − + (−1)nF (a1, , an) goi ∆n tốn tú sai phân cap n vói bưóc ˙h = (h1 , , hn ) > Chang hh han, vói n=2 ta có: h F (˙a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F ∆(a , a ) n Ta nói F (˙x) hàm n bien không giám, neu ∆n h F (˙a) ≥ 0, ∀˙a ∈R n n ˙ ˙ , ∀h > 0, h ∈ R tiep theo ta nói rang F (˙x) liên tuc bên trái tai ˙x0 chí F (˙x) liên tuc bên trái theo moi bien tai ˙x0 Bang nhung l¾p lu¾n tương tn chúng minh m¾nh đe ta có m¾nh đe sau: TÀI LIfiU THAM KHÁO Tieng Vi¾t Nguyen Viet Phú - Nguyen Duy Tien (2004), Cơ só lý thuyet xác suat, NXB Đai hoc Quoc Gia Hà Nđi Tran Hựng Thao (2009), Nhắp mụn toỏn hoc tài chính, NXB Khoa hoc ky thu¾t Đ¾ng Hùng Thang (2013), Xác suat nâng cao, NXB Đai hoc Quoc Gia Hà N®i Nguyen Duy Tien - Vũ Viet Yên (2013), Lý thuyet xác suat, NXB Giáo dnc Vi¾t Nam Tieng Anh Leda D Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes, Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Publishing Co 67 ... HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55 4.1 TÍNH QUY LU¾T 55 4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM Đ¾C TRƯNG .59 Mé ĐAU Hàm phân phoi xác suat hàm đ¾c trưng nhung khái... Fourier cna hàm phân phoi Ngưoc lai neu biet hàm đ¾c trưng ta tính đưoc hàm phân phoi nhò đ%nh lý đáo cna bien đoi Fourier Trong nhieu tốn thnc te, sú dung hàm đ¾c trưng thu¾n loi hàm phân phoi... ve hàm đ¾c trưng, đ%nh nghĩa, tính chat, tính quy khai trien hàm đ¾c trưng Chương IV: Trình bày moi liên quan giua hàm phân phoi hàm đ¾c trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm