Phân phối xã suất và hàm đặc trưng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ NAM TRUNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG Chuyên ngành: Mã số: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, 2015 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho để hoàn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 06 năm 2015 Lê Nam Trung Mục lục MỞ ĐẦU TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.2.1 Quan hệ phần tử ngẫu nhiên phân phối xác suất 1.2.2 Phân phối rời rạc phân phối liên tục 7 11 HÀM PHÂN PHỐI 2.1 CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI 2.2 HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI 2.2.1 Định nghĩa tính compact 2.2.2 Khoảng cách Levy 2.2.3 Hội tụ dãy tích phân 2.3 ỨNG DỤNG HÀM PHÂN PHỐI VÀO NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN RỦI RO BẢO HIỂM 2.3.1 Đặt vấn đề 2.3.2 Các giả thiết định lý Cramer - Lundberg 2.3.3 Phát biểu định lý Cramer - Lundberg 2.3.4 Chú ý 14 14 17 17 22 27 HÀM ĐẶC TRƯNG 3.1 CÁC HÀM QUAN TRỌNG 3.2 HÀM ĐẶC TRƯNG 3.2.1 Định nghĩa tính chất 3.2.2 Tính quy, khai triển 40 40 43 43 47 hàm đặc trưng 32 32 36 37 37 QUAN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI 55 4.1 TÍNH QUY LUẬT 55 4.2 TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM ĐẶC TRƯNG 59 MỞ ĐẦU Hàm phân phối xác suất hàm đặc trưng khái niệm lý thuyết xác suất thống kê toán học Với đời tác phẩm "Những khái niệm lý thuyết xác suất"(Kolmogorov, 1933) móng vững cho hai khái niệm hình thành Cho đến nhiều kết liên quan thu lý thuyết đại XSTK xây dựng phát triển Ý nghĩa khái niệm trình bày phần Tổng quan chương I Luận văn trình bày gồm chương: Chương I: Giới thiệu tổng quan khái niệm biến ngẫu nhiên hàm phân phối, có đề cập đến khẳng định quan trọng Kolmogorov phân phối hữu hạn chiều Chương II: Trình bày lý thuyết hàm phân phối; cấu trúc hội tụ, khoảng cách Levy ứng dụng nghiên cứu toán rủi ro bảo hiểm Chương III: Nói hàm đặc trưng, định nghĩa, tính chất, tính quy khai triển hàm đặc trưng Chương IV: Trình bày mối liên quan hàm phân phối hàm đặc trưng, nêu tính quy luật, quan hệ tích chập hàm phân phối phép nhân hàm đặc trưng Chương TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương trình bày vài nét tổng quan vấn đề cần nghiên cứu khái niệm mở đầu cần dùng cho chương sau Khác với giới tất định, phạm trù ngẫu nhiên người ta làm việc với đại lượng lấy giá trị ngẫu nhiên Ta coi giá trị ngẫu nhiên giá trị tham số tất định biến đổi tùy ý Đối với biến ngẫu nhiên, người ta cần biết luật phân phối Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần biết lấy giá trị lấy giá trị với xác suất bao nhiêu; biến ngẫu nhiên liên tục, ta cần biết lấy giá trị khoảng với xác suất bao nhiêu? Những xác suất thể luật phân phối biến ngẫu nhiên Luật phân phối lại biểu diễn qua hàm phân phối Biết hàm phân phối cụ thể biến ngẫu nhiên cụ thể coi ta xác định biến ngẫu nhiên Ta lại có cách khác để thể luật phân phối biến ngẫu nhiên dựa hàm đặc trưng Biết hàm đặc trưng, ta biết biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Vậy vấn đề đặt hàm phân phối hàm đặc trưng liên quan đến nào? Về mặt toán học, thực hàm đặc trưng biến đổi Fourier hàm phân phối Ngược lại biết hàm đặc trưng ta tính hàm phân phối nhờ định lý đảo biến đổi Fourier Trong nhiều toán thực tế, sử dụng hàm đặc trưng thuận lợi hàm phân phối Đóng góp vào việc xây dựng định lý đảo có công trình Levy, Gurland, Gil - Palaez, Shiely Vậy luận văn sau nêu khái niệm mở đầu trình bày vấn đề: Hàm phân phối Hàm đặc trưng 3.Quan hệ hàm đặc trưng hàm phân phối Trong có trình bày ứng dụng nghiên cứu "bài toán rủi ro bảo hiểm." 1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa: Cho không gian xác suất (Ω, F, P) Không giảm tính tổng quát ta giả thiết (Ω, F, P) không gian xác suất đủ tức A biến cố có xác suất (P(A)=0) tập B ⊂ A biến cố Giả sử E không gian metric, ánh xạ X : Ω −→ E gọi biến ngẫu nhiên với giá trị E với tập Borel E ta có X −1 (B) ∈ F Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị E = Rn ta nói X vectơ ngẫu nhiên n - chiều Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập số thực R ta nói X biến ngẫu nhiên Mệnh đề a, X : Ω −→ R đại lượng ngẫu nhiên X −1 (∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R b, X = (X1 , X2 , , Xn ) : Ω −→ Rn véc tơ ngẫu nhiên tọa độ Xk (k = 1, , n) đại lượng ngẫu nhiên Chứng minh Ta dễ suy a, Để chứng minh b, ta xét phép chiếu πk : Rn −→ R, πk x = xk (tọa độ thứ k x), πk liên tục nênπk đo (đối với (B n , B )) Do đó, X véc tơ ngẫu nhiên, Xk = πk X đại lượng ngẫu nhiên Ngược lại, giả sử Xk đại lượng ngẫu nhiên Để đơn giản hơn, ta xét trường hợp n = ý rằng: R2 = R × R, B = B × B (σ - đại số tích) Khi đó, với B1 , B2 ∈ B ta có: X −1 (B1 × B2 ) = X1−1 (B1 ) ∩ X2−1 (B2 ) ∈ A Do ta có X −1 (B ) ∈ A tức X véc tơ ngẫu nhiên 1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Định nghĩa: Cho X biến ngẫu nhiên E - giá trị Xét hàm tập µX xác định σ - đại số Borel E theo cách sau: µX (B) = P (X −1 (B)), ∀B ∈ B Dễ kiểm tra µX độ đo xác suất E µX gọi phân bố xác suất (E, B) biến ngẫu nhiên X Giả sử X = (X1 , , Xn ) véc tơ ngẫu nhiên n - chiều Hàm số F (x) = F (x1 , x2 , , xn ) xác định công thức: F (x1 , x2 , , xn ) = P (X1 < x1 , X2 < x2 , , Xn < xn ) gọi hàm phân bố xác suất vectơ ngẫu nhiên X 1.2.1 Quan hệ phần tử ngẫu nhiên phân phối xác suất Mệnh đề Nếu ν xác suất (E, ) tồn không gian xác suất (Ω, A, P) phần tử ngẫu nhiên E - giá trị X, cho ν phân phối nó: PX = ν Chứng minh Lấy Ω = E, A = , P = ν X ánh xạ đồng từ R lên R: X(x) = x, ∀x ∈ R Khi đó, PX (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ Mệnh đề Nếu X đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối nó: FX (x) = P {ω : X(ω) < x} có tính chất sau: Không giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2 Liên tục bên trái : FX (x) = FX (x − 0) Nhận giá trị −∞ taị +∞: Ngược lại, cho trước hàm F (x) có ba tính chất tồn không gian xác suất (Ω, A, P) đại lượng ngẫu nhiên X cho F hàm phân phối nó: FX = F Chứng minh 1, Suy từ đẳng thức (−∞, x2 ) = (−∞, x1 ) + [x1 + x2 ) 2, 3, suy từ tính liên tục PX từ nhận xét: ) = Bn ↑ B = (−∞, x), n (−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞) (−∞, x − Cuối cùng, giả sử F hàm số có ba tính chất 1, 2, 3, Khi đó, độ đo LebesgueStieltjes µF tương ứng xác suất đường thẳng.Từ mệnh đề suy điều phải chứng minh Chú ý Phân phối PX độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh từ hàm phân phối FX Để mở rộng mệnh đề cho trường hợp vec tơ ngẫu nhiên, ta phải đưa vào Rn quan hệ thứ tự Giả sử a = (a1 , , an ), b = (b1 , , bn ) Ta quy ước viết a < b(a ≤ b), ak < bk (ak ≤ bk ) với ∀k = 1, 2, , n Rõ ràng, với quan hệ thứ tự Rn trở thành tập thứ tự phần.Ta viết a ↑ b ak ↑ bk với ∀k = 1, 2, , n Bây ta nhắc lại định nghĩa sai phân.Giả sử F (x) hàm biến số, sai phân cấp F ∆1h F (a) = F (a + h) − F (a), a ∈ R1 , h > Chính xác ,ta gọi ∆1h toán tử sai phân cấp với bước h Tiếp theo, giả sử F (x) = F (x1 , , xn ) hàm n biến số Đặt ∆nh F (a) = ∆1h1 ∆1hn F (a1 , , an ) = F (a1 + h1 , , an + hn ) − F (a1 + h1 , , aj , , an + hn ) + − + (−1)n F (a F (a1 + h1 , , aj , , an + hn ) , , an ) gọi ∆nhh toán tử sai phân cấp n với bước h = (h1 , , hn ) > Chẳng hạn, với n=2 ta có: ∆nh F (a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ) Ta nói F (x) hàm n biến không giảm, ∆nh F (a) ≥ 0, ∀a ∈ Rn , ∀h > 0, h ∈ Rn ta nói F (x) liên tục bên trái x0 F (x) liên tục bên trái theo biến x0 Bằng lập luận tương tự chứng minh mệnh đề ta có mệnh đề sau: TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2013), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh Leda D Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes, Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Publishing Co 67 [...]... KHẢO Tiếng Việt 1 Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 2 Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa học và kỹ thuật 3 Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 4 Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2013), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh 1 Leda D Minkova (2010), Insurance Rish Theory,