Luận văn thạc sĩ các biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông

Lịch sử nghiên cứu Ở hầu hết các nước trên thế giới, nội dung toán tổ hợp và xác suất được đưa vào chương trình giảng dạy từ cấp phổ thông trung học, nhưng ở Việt Nam thì nội dung toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TSKH VŨ ĐÌNH HÒA

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tổ hợp và xác suất là những kiến thức toán học rất cần phát triển ở phổ thông, những kiến thức này giúp ích nhiều cho học sinh khi các em tiếp tục học lên đại học ở các ngành toán học, kế toán, tài chính, xây dựng Đây là những kiến thức toán học có ứng dụng nhiều trong thực tế và còn được nghiên cứu để phát triển, mở rộng Vì vậy việc giảng dạy để học sinh tiếp thu được những kiến thức này là rất quan trọng

Những kiến thức toán học về tổ hợp và xác suất được đưa vào trường phổ thông mới chỉ là những kiến thức cơ bản nhưng nếu so sánh với những loại kiến thức khác như lượng giác, đạo hàm, tích phân thì đây vẫn là phần khó Đặc biệt là phần toán xác suất mới được đưa vào chương trình toán lớp

11 từ năm học 2007-2008, có thể coi là mới mẻ với cả giáo viên và học sinh Các thầy cô giáo cần có thời gian để đúc kết kinh nghiệm giảng dạy phần này

Với lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là : " Các biện pháp nâng cao

hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông"

2 Lịch sử nghiên cứu

Ở hầu hết các nước trên thế giới, nội dung toán tổ hợp và xác suất được đưa vào chương trình giảng dạy từ cấp phổ thông trung học, nhưng ở Việt Nam thì nội dung toán học này sau nhiều lần thử nghiệm mới được chính thức đưa vào sách giáo khoa lớp 11 từ năm học 2007- 2008.Vì là nội dung mới nên các tài liệu tham khảo cho giáo viên về kiến thức toán, về phương pháp giảng dạy tổ hợp, xác suất hầu như không có Các sách tham khảo hiện nay chỉ giúp giáo viên về hệ thống bài tập chứ không chú trọng đến những kinh nghiệm trong giảng dạy, mà giảng dạy lý thuyết toán tổ hợp và xác suất để học sinh

dễ hiểu là vấn đề tương đối khó khăn Vì vậy, việc nghiên cứu tìm ra những

biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy tổ hợp và xác suất là một hướng đi mới mẻ và rất cần sự tham gia đóng góp của các giáo viên, các nhà khoa học

3 Mục tiêu nghiên cứu

Tìm ra những biện pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy môn toán tổ hợp

và xác suất ở trường THPT, giúp cho giáo viên đỡ mất nhiều công sức khi dạy phần này và phát huy được tốt nhất tính tích cực, chủ động trong học tập của học sinh

7 Giả thuyết nghiên cứu

Sự kết hợp một cách đồng bộ các biện pháp như ứng dụng công nghệ thông tin vào bài giảng, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và xây dựng hệ thống bài tập thích hợp với nhiều trình độ nhận thức, phát huy tính sáng tạo sẽ giúp cho người giáo viên nâng cao được chất lượng giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông

8 Phương pháp chứng minh giả thuyết

- Dùng phiếu điều tra để khảo sát thực trạng dạy và học toán tổ hợp, xác suất

ở trường THPT

- Phỏng vấn một số giáo viên về những khó khăn khi dạy tổ hợp, xác suất và những mong muốn của họ

- Nghiên cứu các tài liệu về kiến thức toán tổ hợp và xác suất, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, và các tài liệu về việc áp dụng công nghệ thông tin trong dạy học

- Thực nghiệm các biện pháp nêu trong giả thuyết và phân tích kết quả

9 Luận cứ

a) Luận cứ lý thuyết

- Ứng dụng công nghệ thông tin vào việc chuẩn bị bài giảng giúp cho giáo viên thực hiện được nhiều ý đồ giảng dạy

- Định hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực

- Hệ thống bài tập có vai trò quan trọng trong việc phát triển tiềm năng trí tuệ của học sinh

b) Luận cứ thực tiễn

- Kết quả thực nghiệm về trình độ nhận thức và năng lực phát triển tư duy của học sinh sau quá trình giảng dạy của giáo viên có và không có

sự phối hợp các biện pháp nêu trong giả thuyết

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Các biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông

1.1.1 Mục tiêu giáo dục và nhiệm vụ dạy học môn toán

Mục tiêu giáo dục đào tạo là đào tạo những con người lao động tự chủ, tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là “ Dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ , văn minh” ( Trích Nghị quyết Trung Ương Đảng khoá VIII )

Nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông cụ thể là:

 Trang bị tri thức toán học cho học sinh

 Phát triển trí tuệ cho học sinh Đây là nhiệm vụ quan trọng nhất Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư duy trừu tượng, tức là cách nghĩ gạt bỏ đi những cái cụ thể, giữ lại những cái bản chất Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư duy thuật toán, tức là cách nghĩ nhận thức và giải quyết vấn đề theo trình tự hợp lý Ngoài ra, dạy học môn toán còn phải phát triển cho học sinh tư duy hàm, tức là toán học hóa những bài toán thực tiễn

 Rèn luyện kỹ năng cho học sinh

 Bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất năng lực của người lao động mới như là tính cần cù, cẩn thận, chu đáo, kiên trì…

 Chuẩn bị hành trang cho học sinh sau khi rời ghế nhà trường bước vào cuộc sống lao động hoặc vào trường đại học

1.1.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương

pháp tiên tiến và phưong tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo thời gian tự học,

tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học” Định hướng trên đã được pháp chế hoá trong Luật Giáo dục, điều 24.2: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Với khẩu hiệu của ngành giáo dục nước ta hiện nay là : “ Biến mỗi một trường học thành một trường học thân thiện với học sinh” thì việc đổi mới phương pháp dạy học của giáo viên là rất quan trọng Đổi mới được phương pháp dạy học, giáo viên sẽ có nhiều thời gian hơn để quan tâm đến học sinh, cải thiện được quan hệ thầy trò, và trở thành người bạn đồng hành của các em trong quá trình trau dồi tri thức, hoàn thiện nhân cách Người giáo viên thường phải trăn trở suy nghĩ, để tìm ra cách dạy đem lại cảm hứng cho học sinh trong học tập, đặc biệt là học sinh yếu kém Người giáo viên dạy toán thì phải dạy cho học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học, thấy được mối liên hệ của toán học với thực tiễn

Theo Trần Kiều - Nguyễn Thị Lan Phương [5;16], những định hướng đổi mới phương pháp dạy học là:

a) Thừa nhận bản chất thực tiễn của phương pháp dạy học, hướng đến nghiên cứu cụ thể, thiết kế kỹ thuật, sáng tạo nó trong quá trình dạy học với những đặc trưng tích cực cơ bản:

- Giáo viên là người tổ chức, hướng dẫn với vai trò trọng tài, cố vấn

- Học sinh là chủ thể nhận thức, được phát triển trong hoạt động, được giáo viên hướng dẫn, khuyến khích, động viên Học sinh học tập bằng hành động tuỳ theo hứng thú và khả năng của mình

- Sử dụng ngày càng nhiều phương pháp và phương tiện kỹ thuật để

- Quan tâm tới việc hướng dẫn học sinh học tập cá nhân

b) Công nghệ hoá quá trình dạy học theo hướng sử dụng kỹ thuật truyền thông, tương ứng với hệ thống lý luận về nội dung dạy học theo bộ môn và kiểu tổ chức bài - lớp Từ đó tìm kiếm các giải pháp, xây dựng các lý thuyết công nghệ về phương pháp dạy học, tạo ra những tài liệu kỹ thuật cao, vạch ra con đường thiết kế phương pháp dạy học cụ thể Muốn vậy phải :

- Kế thừa những yếu tố tích cực của Phương pháp dạy học truyền thống

- Lựa chọn phối hợp các phương pháp dạy học hiện đại nhằm tích cực hoá hoạt động nhận thức của từng cá nhân học sinh Cần làm quen dần với Phương pháp dạy học Giải quyết vấn đề, vận dụng tinh thần của lý thuyết dạy học Tình huống, phát hiện các chướng ngại nhận thức và cố gắng tạo tình huống để phá bỏ chướng ngại đó Ở những nơi có điều kiện, cần sử dụng máy tính điện tử, máy vi tính để trợ giúp cho việc dạy học và thực hiện dạy học phân hóa

c) Phát triển phương pháp dạy học cần xem xét trên hai cơ sở : khả thi và chất lượng mới Vì nhiều lý do, nhà trường ta hiện nay thường quan tâm đến tính khả thi của một phương pháp dạy học Những kết quả nghiên cứu rất khó được áp dụng, nếu có thì được tiếp nhận một cách rụt rè Tâm lý chung của giáo viên và cán bộ quản lý là dễ chấp nhận phương án thấp, dễ thực hiện hơn, có thể phổ biến nhanh chóng mà ít chú ý đến hiệu quả về sau của chúng

Vì vậy một trong các định hướng của sự phát triển phương pháp dạy học là tìm ra những giải pháp khả thi, cao hơn tình trạng hiện thực về hiệu quả và chất lượng

d) Lựa chọn mô hình ứng dụng ở Việt Nam về các mặt: tư tưởng và kỹ thuật triển khai ( phương tiện, điều kiện, quy tắc) Cụ thể :

- Các phương pháp dạy học sẽ phối hợp công tác độc lập của học sinh

ở trên lớp và ở nhà với công tác quan sát, thí nghiệm, thực hành cùng các phương tiện trực quan, kỹ thuật ở từng giai đoạn đào tạo

- Học sinh cần được tạo điều kiện hoạt động học tập một cách độc lập dưới sự kiểm tra của giáo viên

- Phương pháp dạy học và phương pháp học tập phải thể hiện được phương pháp đặc trưng của khoa học môn học tương ứng Lưu ý học sinh đối chiếu, so sánh, phân tích, khái quát, phát triển dần tư duy lý luận

1.1.3 Phương pháp dạy học tích cực

Phương pháp dạy học tích cực là phương pháp phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong học tập Ngược lại một phương pháp dạy học được gọi là không tích cực nếu phương pháp đó làm cho học sinh trở nên lười biếng, thụ động, học vẹt

Theo Trần Kiều - Nguyễn Thị Lan Phương [5; 22] phương pháp dạy học nào đảm bảo phối hợp nhuần nhuyễn hai cách dạy tái hiện và tìm kiếm kiến thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách thứ hai chiếm ưu thế, đồng thời kết hợp hài hòa với tính sẵn sàng học tập của học sinh thì về cơ bản, phương pháp dạy học đó có khả năng tích cực hóa được quá trình học tập của học sinh, nhờ đó hình thành được các phương thức hành động và kinh nghiệm hoạt động cho các em

Theo Trần Bá Hoành [6; 15] phương pháp dạy học tích cực có 4 dấu hiệu

cơ bản sau đây:

a) Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh

Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - đối tượng của hoạt động dạy, đồng thời là chủ thể của hoạt động học - được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá

tri thức đã được giáo viên sắp đặt; người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình, từ đó vừa nắm được kiến thức kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó

b) Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

Trong phương pháp dạy học tích cực, nếu giáo viên chú trọng rèn luyện cho người học có được phương pháp, kỹ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi người, kết quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội Ngoài ra, người học còn có khả năng và mong muốn tự học suốt đời

c) Tăng cường cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Khi áp dụng các phương pháp dạy học tích cực thì giáo viên phải chấp nhận sự phân hóa về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập của học sinh bởi khả năng tư duy của học sinh trong một lớp học là không thể đồng đều nhau Tuy nhiên, giáo viên có thể sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin trong nhà trường để đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động học tập theo nhu cầu và khả năng của học sinh

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kỹ năng, thái độ đều được hình thành bằng các hoạt động độc lập cá nhân Lớp học là môi trường giao tiếp thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trong quá trình dạy và học Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học cũng tự nâng mình lên một trình độ mới Như vậy, mỗi bài học phải vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi học sinh hay của cả tập thể lớp chứ không phải chỉ dựa trên vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của thầy giáo

d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của trò

Trong phương pháp dạy học tích cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kỹ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học Ngoài ra, giáo viên

còn phải tạo điều kiện thuận lợi để học sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau

Tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường cần trang bị cho học sinh

Những phương pháp dạy học đang được quan tâm hiện nay là phương pháp hợp tác, phương pháp tự học, phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học khám phá

1.1.3.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Các nhà giáo dục cho rằng học tập là quá trình tự phát hiện và khám phá những tri thức mới cho bản thân, tốt nhất trong giáo dục là biến quá trình dạy học thành quá trình tự học, biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo a) Những khái niệm cơ bản của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Vấn đề : Trong phương pháp dạy học này, vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề, câu, yêu cầu hoạt động chưa được giải đáp, chưa có phương pháp mang tính thuật toán để thực hiện

- Tình huống gợi vấn đề : Là tình huống trong đó có một vấn đề gợi nhu cầu nhận thức, gây niềm tin ở khả năng giải quyết được của học sinh

- Kiểu dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề : Là kiểu dạy học mà giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện và giải quyết vấn

đề, qua đó mà học sinh lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, đạt được mục tiêu dạy học

b) Các bước dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Phát hiện vấn đề

- Tìm giải pháp

- Trình bày giải pháp

- Nghiên cứu sâu giải pháp

Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đem lại hiệu quả cao

1.1.3.2 Phương pháp dạy học kiến tạo

Nhà tâm lý học Piagiê trong suốt cuộc đời (1896-1980) ông chỉ theo đuổi một mục đích: xây dựng một học thuyết về sự phát sinh tri thức Ông nghiên cứu đề tài trả lời câu hỏi: tri thức đến với con người như thế nào? Câu trả lời là: nhận thức của con người là một quá trình thích ứng với môi trường qua hai hoạt động đồng hoá và điều tiết Đồng hóa là quá trình vận dụng những kiến thức sẵn có để giải quyết vấn đề, bài toán, còn điều tiết là sự thay đổi, thậm chí bác bỏ quan niệm đã có để giải quyết vấn đề, bài toán Đó chính là lý thuyết kiến tạo

Theo lý thuyết kiến tạo thì tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức Chính người học sẽ kiến tạo nên các tri thức cho mình, người học phải tích cực, chủ động, sáng tạo

Theo TS Cao Thị Hà, con đường tổ chức dạy học theo lý thuyết kiến tạo được thực hiện theo quy trình sau:

- Giáo viên xác định các tri thức, kinh nghiệm đã có của học sinh liên quan đến tri thức mới cần dạy để từ đó tạo môi trường kích hoạt học sinh kiến tạo tri thức mới

- Tạo cơ hội tập duyệt cho học sinh mò mẫm, dự đoán, đề xuất các phán đoán, giả thuyết Từ đó, nhờ quá trình tư duy mà học sinh làm bộc lộ đối tượng mang tính động cơ, nhu cầu tìm kiếm kiến thức mới

- Tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm nhằm kiểm chứng các giả thuyết,

đề xuất các cách giải khác nhau để giải quyết vấn đề

- Giáo viên thể chế hóa kiến thức học sinh tìm được

Phương pháp dạy học này đặc biệt có hiệu quả cao khi được sử dụng trong việc giảng dạy các khái niệm toán học

1.1.3.3 Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn

 Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng hiểu biết của mình thông qua hoạt động tự giác, chủ động, khám phá những điều mới mẻ đối với bản thân

Tới một trình độ nhất định thì sự khám phá đó sẽ mang tính nghiên cứu khoa học Vậy, sử dụng phương pháp dạy học khám phá có ý nghĩa tập dượt cho học sinh sáng tạo Dù những sáng tạo chỉ ở mức độ thấp nhưng cũng đủ để mang lại cho học sinh niềm vui và sự hứng thú trong học tập

 Để dạy học khám phá, người giáo viên cần thiết kế bài dạy thành một chuỗi các hoạt động phù hợp với năng lực, trình độ của học sinh sao cho sau những hoạt động ấy, học sinh tự lực khám phá ra những tri thức mới

 Các dạng hoạt động khám phá trong lớp học :

+) Các hình thức:

- Hình thức đàm thoại phát hiện

- Thông qua biểu bảng

- Thông qua kiểm nghiệm, đề xuất giả thuyết

- Tranh luận, thảo luận về một vấn đề nêu ra, các phương pháp giải một bài toán

- Cho học sinh làm các bài tập lớn, tập dượt nghiên cứu

+) Các biện pháp thực hiện:

- Sử dụng phiếu học tập

- Thảo luận từng vấn đề trên lớp dưới sự hướng dẫn của giáo viên

- Học sinh tự tổ chức thảo luận

+) Điều kiện thực hiện:

- Đa số học sinh phải có những kiến thức, kỹ năng cần thiết để thực hiện các hoạt động do giáo viên đưa ra

- Số lượng các hoạt động vừa phải, không quá ít, không quá nhiều

- Mỗi hoạt động phải được mô tả, yêu cầu rõ ràng để học sinh thực hiện được chính xác yêu cầu hoạt động của giáo viên

1.1.3.4 Phương pháp dạy học tự học

Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh chóng với sự bùng nổ thông tin,

với xã hội đó là rèn luyện cho họ có năng lực tự học suốt đời Rõ ràng là không ai dạy được và học được tất cả các tri thức của nhân loại Nhà trường phổ thông chỉ trang bị cho học sinh những tri thức cơ bản nhất, còn quan trọng là học sinh phải biết tự học trong quá trình công tác sau này

- Tự học giúp học sinh hình thành niềm tin khoa học, rèn luyện ý chí phấn đấu, đức tính kiên trì, óc phê phán, lòng say mê nghiên cứu khoa học

Hình thức dạy học này cũng giống các hình thức dạy học tự học khác ở chỗ: quá trình lĩnh hội kiến thức của học sinh có thể được mô tả dưới dạng

hình xoắn ốc (mỗi một vòng xoắn biểu thị một độ nắm kiến thức của học sinh) Sử dụng hình thức dạy học này giáo viên phải mất nhiều công sức chuẩn bị nhưng hiệu quả mà nó mang lại sẽ tương xứng với công sức bỏ ra

đó

 Hình thức dạy học theo chương trình hóa:

Dạy học theo chương trình hóa là một thuật ngữ để chỉ cách dạy học được điều khiển bởi chương trình hóa tương tự như chương trình máy tính Dạy học chương trình hóa thường được hiểu bao gồm cả hai phương tiện : xây dựng chương trình và sử dụng những chương trình có sẵn để điều khiển quá trình học tập Theo cách dạy này thì giáo viên phải cụ thể hóa mục tiêu dạy học thành những kết quả mong đợi, sau đó xây dựng và thực hiện một phương án dạy ( bao gồm cả kiểm tra ) để tác động tới học sinh Học sinh một mặt chịu tác động của phương án dạy này, mặt khác là chủ thể gây nên một phương án học tương ứng nhằm phát triển nhân cách của bản thân mình Kết quả kiểm tra được so sánh với kết quả mong đợi và phản hồi lại cho giáo viên, để từ đó giáo viên quyết định bước tiếp theo của quá trình dạy học [8; 229]

Phương pháp dạy học này có những ưu điểm như:

- Điều khiển chặt chẽ hoạt động học tập trên từng đơn vị nhỏ của quá trình dạy học

- Tạo ra tính độc lập cao của hoạt động học tập

- Đảm bảo thường xuyên có sự phản hồi qua lại giữa hai quá trình dạy và học

- Cá biệt hóa việc dạy học

 Dạy tự học với sách giáo khoa

Để rèn luyện cho học sinh khả năng tự học thì giáo viên cần thiết phải bồi dưỡng cho các em kỹ năng đọc sách và tự lực nghiên cứu tài liệu học tập Việc đọc sách tự nghiên cứu sẽ giúp cho các em nắm kiến thức ở mức độ sâu

phải đặt cho học sinh một nhiệm vụ nhận thức, vạch ra một loạt các vấn đề cần lĩnh hội và xác định trình tự đọc ( dưới dạng hệ thống các câu hỏi )

Hình thức dạy tự học với sách giáo khoa cần được khuyến khích với học sinh khá, giỏi ở trường phổ thông Có thói quen và kỹ năng đọc sách các em

sẽ dễ dàng quen với cách học trên trường đại học sau này, ngoài ra nó còn giúp các em có khả năng tự học suốt đời

1.2 Vai trò của công nghệ thông tin trong dạy học toán

Trong thời đại ngày nay, công nghệ thông tin là giải pháp quan trọng cần triệt để khai thác khi dạy và học Công nghệ thông tin có thể giúp cho con người chọn nhập và xử lý thông tin nhanh chóng để biến thành tri thức

Theo tài liệu free NCET (1995) leaflet, Mathematics ang IT - apupil's entitlement, hai tác giả Sue Johnston - Wilder và David Pimm đã đưa 6 hướng chính sử dụng CNTT nhằm cung cấp các điều kiện cho người học toán, cụ thể:

- Học tập dựa trên thông tin ngược: Máy tính có khả năng cung cấp nhanh và chính xác các thông tin phản hồi dưới góc độ khách quan Từ những thông tin phản hồi như vậy cho phép người học đưa ra sự ước đoán của mình và từ đó

có thể thử nghiệm, thay đổi ý tưởng của người học

- Khả năng quan sát các mô hình: Với khả năng và tốc độ xử lý của máy tính điện tử giúp người học đưa ra nhiều ví dụ khi khám phá các vấn đề trong toán học Máy tính sẽ trợ giúp người học quan sát, xử lý các mô hình từ đó đưa ra lời chứng minh trong trường hợp tổng quát

- Phát hiện các mối quan hệ trong Toán học: Máy tính điện tử cho phép tính toán biểu bảng, xử lý đồ họa một cách chính xác và liên kết chúng lại với nhau Việc cho thay đổi một vài thành phần và quan sát sự thay đổi trong các thành phần còn lại đã giúp người học phát hiện ra mối tương quan giữa các đại lượng

- Thao tác với các hình động: Người học có thể sử dụng máy tính điện tử để biểu diễn các biểu đồ một cách sinh động Việc đó đã giúp cho người học hình dung ra các hình hình học một cách tổng quát từ hình ảnh của máy tính

- Khai thác tìm kiếm thông tin: Máy tính điện tử cho phép người sử dụng làm việc trực tiếp với các dữ liệu thực, từ đó hình dung ra sự đa dạng của nó và sử dụng để phân tích hay làm sáng tỏ một vấn đề toán học

- Dạy học với máy tính: Khi người học thiết kế thuật toán để sử dụng máy tính điện tử giúp tìm ra kết quả thì người học phải hoàn thành dãy các chỉ thị mệnh lệnh một cách rõ ràng, chính xác Họ đã sắp đặt các suy nghĩa của mình cũng như các ý tưởng một cách rõ ràng

Công nghệ thông tin cũng mở ra triển vọng lớn trong việc đổi mới các phương pháp và hình thức dạy học Các hình thức dạy học như: dạy học đồng loạt, dạy học theo nhóm, dạy cá nhân cũng có những đổi mới trong môi trường công nghệ thông tin Do sự phát triển của công nghệ thông tin mà mọi người đều có trong tay nhiều công cụ hỗ trợ cho quá trình dạy học nói chung

và phần mềm dạy học nói riêng

1.3 Hệ thống bài tập trong dạy học toán tổ hợp và xác suất

Việc giảng dạy bài tập toán tổ hợp và xác suất trong nhà trường không chỉ

giúp cho học sinh hiểu được một cách sâu sắc và đầy đủ những kiến thức quy định trong chương trình mà còn giúp các em vận dụng những kiến thức đó để giải quyết những nhiệm vụ của học tập và những vấn đề mà thực tiễn đặt ra

Để giải được một bài toán tổ hợp và xác suất trôi chảy, học sinh phải có các năng lực toán học như biết phân tích tình huống, biết quy lạ về quen, biết

mô hình hóa bài toán, biết xây dựng các dạng bài tập, biết cách diễn đạt rõ ràng, dễ hiểu Và giáo viên phải là người hình thành cho học sinh các năng lực toán học này Để thực hiện tốt nhiệm vụ của mình là đồng hành cùng học sinh khám phá và làm chủ tri thức, người giáo viên cần phải xây dựng một hệ

- Có các bài tập cơ bản, vận dụng được ngay công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị để củng cố kiến thức

- Có các bài tập theo dạng mà học sinh có thể tự thay đổi được các giả thiết, điều kiện để hình thành bài toán mới Đây là những bài tập để rèn kỹ năng cho học sinh

- Có các bài tập đòi hỏi học sinh phải biết phân tích tình huống để tìm được quan hệ nội tại trong bài toán, từ đó đưa về mô hình bài toán quen thuộc Đây là những bài tập có chức năng phát triển tư duy, phát huy tính sáng tạo của học sinh

- Có các bài toán lấy ra từ thực tiễn để học sinh được tìm hiểu thêm kiến thức, và các em có thêm hứng thú với môn học

Khi dạy học bài tập toán tổ hợp và xác suất giáo viên cũng phải thiết kế bài dạy thành một chuỗi các hoạt động theo trình tự sau :

- Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải

- Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải

- Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

1.4 Dạy và học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông

Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh

- Nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là qui tắc cộng và quy tắc nhân

- Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Đặc biệt thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp Nhớ các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp

- Nhớ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

- Nắm được các khái niệm : phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho một biến cố

- Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

- Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất

- Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của nó là kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Nhớ công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

b) Về kĩ năng

Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh

- Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản

- Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

- Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất

- Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản

- Biết lập bảng phân bố xác suất : biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc đơn giản

1.4.1.2 Cấu tạo của chương

Nội dung của chương Tổ hợp và Xác suất được thực hiện trong 21 tiết, phân phối cụ thể như sau:

Phần A Tổ hợp ( 8 tiết )

Bài 2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 3 tiết

Em có biết ? Cuốn sách tiếng Việt về Xác suất - Thống kê

xuất bản lần đầu tiên ở nước ta

Bài 5 Các quy tắc tính xác suất 2 tiết

Bài đọc thêm Sử dụng máy tính bỏ túi trongtính toán tổ hợp và xác suất

Em có biết ? Xác suất và số 

Bài đọc thêm Liên hệ giữa biến ngẫu nhiên rời rạc và thống kê

1.4.2 Thực trạng dạy học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông

Toán tổ hợp được đưa vào chương trình phổ thông từ nhiều năm trước và

là một nội dung được nhiều thầy cô giáo và học sinh quan tâm Nhưng để học sinh hiểu được sâu sắc và thấy được cái hay của các bài toán tổ hợp, xác suất thì cả giáo viên và học sinh đều phải bỏ ra rất nhiều thời gian và công sức Giáo viên cần có thời gian giảng dạy vài năm để đúc rút được kinh nghiệm giảng dạy phân môn này Học sinh cũng mất một khoảng thời gian học để làm chủ kiến thức lâu hơn là khi học các nội dung khác

Toán xác suất mới được đưa vào chương trình giảng dạy ở phổ thông từ năm 2007 nên còn rất mới mẻ với cả học sinh và giáo viên Nhưng học sinh

mới chỉ được tiếp cận với định nghĩa xác suất cổ điển là chính và một số khái niệm mở đầu Các em không được tiếp cận nhiều với định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê Vì vậy, nếu học tốt phần tổ hợp thì đến phần xác suất các em mới có thể làm được bài tập, còn nếu không nắm chắc toán tổ hợp thì phần xác suất lại tiếp tục là một gánh nặng với các em

Kết thúc học kỳ I năm học 2007 - 2008, chúng tôi có lập phiếu phỏng vấn

cả giáo viên và học sinh năm lớp 11 trường THPT Ngô Quyền - Hải Phòng,

về những thuận lợi và khó khăn khi dạy và học toán tổ hợp, xác suất

Kết quả thu được đã phản ánh thực trạng sau :

a) Về phía học sinh

 Khi học lý thuyết: Học sinh thường rất có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì các em đều cảm thấy trừu tượng, khó hiểu Nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên, các em thường không hình dung được cơ chế chọn lựa, sắp xếp diễn ra như thế nào trong trường hợp tổng quát n đối tượng Những học sinh trung bình thì chưa thể phân biệt được ngay sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý thuyết

 Khi làm bài tập :

- Học sinh ở mức trung bình còn chưa biết mô hình hóa bài toán theo các cấu hình chỉnh hợp, tổ hợp nên các em không biết khi nào thì dùng công thức chỉnh hợp, khi nào thì dùng công thức tổ hợp

- Học sinh có lực học khá, giỏi đôi khi vẫn lúng túng trong việc thiết kế các công đoạn chọn lựa, hoặc tìm quan hệ giữa các khái niệm toán học để đưa về bài toán tổ hợp

- Đa số học sinh khi làm bài tập phần này đều dễ bị nhầm lẫn Nguyên nhân dẫn đến nhầm lẫn có thể là dùng nhầm công thức, quy tắc, thiết kế thiếu công

Vì vậy, khi giải xong một bài toán, các em thường không mấy tự tin vào đáp

- Đa số học sinh khi học xong nội dung này đều không hiểu ứng dụng thực tế của tổ hợp, xác suất

b) Về phía giáo viên

 Khi dạy lý thuyết:

- Giáo viên dễ dàng tạo được không khí học tập sôi nổi, hào hứng cho học sinh thông qua các ví dụ trong thực tế

- Dạy định nghĩa, công thức tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất, giáo viên phải thuyết trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác

- Giáo viên thường mất thời gian để tìm và vẽ hình minh họa cho các quá trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng

- Giáo viên gặp khó khăn trong việc dạy phân hóa học sinh

- Giáo viên gặp khó khăn khi đi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức, và khi đi tìm ứng dụng trong thực tế của tổ hợp, xác suất

- Giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy xác suất

 Khi dạy bài tập

- Do dạng bài tập của phần tổ hợp, xác suất rất đa dạng, phong phú nên giáo viên phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với nhiều trình độ nhận thức của học sinh

- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên vẫn phải chữa một số lượng lớn bài tập với đầy đủ các bước sau :

+) Củng cố lại lý thuyết

+) Hướng dẫn học sinh nhận dạng bài tập, mô hình hóa các tình huống để vận dụng công thức cho đúng

+) Chữa mẫu một số bài tập cơ bản

+) Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải sao cho cô đọng, dễ hiểu +) Dành thời gian để tìm hiểu và giải thích những sai lầm của học sinh +) Dành thời gian dạy phân hóa: Rèn kỹ năng cho học sinh trung bình và hướng dẫn học sinh khá giỏi làm bài tập khó để phát triển trí tuệ

Tuy dạy và học bài tập tổ hợp, xác suất rất vất vả nhưng giáo viên vẫn có thể tạo hứng thú học tập cho học sinh bằng cách hướng dẫn, khuyến khích các

em tự nghĩ ra các ví dụ hay bài tập vừa sức

Trong giảng dạy toán tổ hợp, xác suất giáo viên cần thiết kế những giờ dạy

mà người học thật sự đóng vai trò trung tâm, người học chủ động, tích cực lĩnh hội tri thức Giáo viên cần dựa vào từng đơn vị kiến thức trong bài để chọn ra một phương pháp dạy học thích hợp mang lại hiệu quả giảng dạy cao nhất Các phương pháp dạy học tích cực có thể ứng dụng trong giờ dạy tổ hợp, xác suất là phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học kiến tạo, phương pháp dạy học tự học

Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học tổ hợp mang lại hiệu quả cao trong giảng dạy vì nó hỗ trợ giáo viên rất nhiều trong việc mô phỏng quá

Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học không chỉ làm cho bài giảng trở nên sinh động, dễ hiểu mà còn phải hướng tới việc dạy tự học cho học sinh Hiện nay, việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học không còn là vấn

đề quá khó, quá mới mẻ với các thầy cô giáo, hầu hết các thầy cô đều có thể

tự tìm tòi, nghiên cứu các phần mềm để ứng dụng công nghệ trong quá trình làm việc của mình

Để nội dung toán tổ hợp, xác suất thật sự hấp dẫn với học sinh thì chính giáo viên cũng cần có những nghiên cứu sâu hơn về những kiến thức này Công sức nghiên cứu của giáo viên sẽ được thể hiện thông qua hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, có sáng tạo, dành cho nhiều đối tượng nhận thức Những nghiên cứu của giáo viên cũng cần hướng tới việc chỉ ra cho học sinh những đặc trưng riêng của toán tổ hợp, xác suất, những ứng dụng trong thực

tế, và những cách tư duy, những cách tiếp cận khác nhau đối với cùng một vấn đề của nội dung toán học này

CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY TOÁN TỔ

HỢP VÀ XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong quá trình dạy học toán tổ hợp và xác suất của giáo viên

2.1.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc xây dựng bài giảng của giáo viên

2.1.1.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc mô tả các quá trình chọn lựa của lý thuyết tổ hợp

Ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy lý thuyết tổ hợp thường giúp cho các thầy cô giáo đạt được những kết quả quan trọng sau :

- Thu hút sự chú ý của hầu hết học sinh ngay từ những phút đầu của giờ học

- Giúp cho học sinh tiếp cận nội dung vấn đề một cách nhanh nhất, từ đó tiết kiệm được thời gian thuyết trình

- Minh họa, diễn giải được những nội dung kiến thức khó

- Hỗ trợ sự tương tác giữa hoạt động dạy và hoạt động học của giáo viên và học sinh

Ví dụ 1: Khi dạy về công thức hoán vị, trước khi chứng minh công thức tổng quát là sắp xếp n vật vào n vị trí khác nhau, giáo viên có thể cho học sinh quan sát việc sắp xếp một số ít đối tượng, chẳng hạn như sắp xếp 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau Sau đó, giáo viên nâng dần mức độ khó bằng cách cho học sinh thực hiện việc cắm 5 lá cờ của 5 nước vào 5 hành tinh khác nhau Việc quan sát và tự thực hiện quá trình sắp xếp sẽ giúp cho giờ học sôi nổi, hào hứng hơn và điều quan trọng nhất là học sinh hình dung được rõ ràng cách thức sắp xếp sao cho có đầy đủ các kết quả Từ đó, việc chứng minh công thức hoán vị của giáo viên trở nên đơn giản đi rất nhiều, đặc biệt giáo

có thể dùng chương trình Flash để xây dựng nên mô hình sắp xếp này Trong quá trình dạy, giáo viên vừa có thể hỏi học sinh về các khả năng lựa chọn, vừa

có thể thao tác trực tiếp, nhanh chóng trên các đối tượng được sắp xếp theo ý của học sinh

Hình vẽ 2.1 : Sắp xếp 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau

Hình vẽ 2.2: Cắm cờ vào các vị trí khác nhau

Ví dụ 2: Khi bắt đầu vào bài quy tắc nhân, giáo viên có thể đưa một ví dụ

về cách chọn lộ trình đi từ thành phố X đến thành phố Z, mà trong lộ trình phải có thành phố Y Giáo viên có thể tạo một file flash mô tả chuyển

động của các phương tiện giao thông trong các lộ trình khác nhau File flash này có tác động tích cực đến cảm quan của học sinh, dễ thu hút sự chú ý của các em vào nội dung bài học quy tắc nhân

Hình vẽ 2.3: Chọn đường đi từ thành phố X đến thành phố Z

Ví dụ 3: Trong nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 11 thì công thức tính số tổ hợp được xây dựng dựa trên công thức tính số chỉnh hợp.Vì thế, khi chứng minh công thức tổ hợp, giáo viên nên trình chiếu hoặc vẽ sơ đồ quá trình tạo một chỉnh hợp, việc trình chiếu này sẽ giúp cho học sinh hiểu

rõ hơn các bước xây dựng công thức tổ hợp

Hình vẽ 2.4: Quá trình tạo các chỉnh hợp chập k của n phần tử

2.1.1.2 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc xây dựng giáo án để thể hiện

ý đồ dạy học của giáo viên

Một số ví dụ ứng dụng công nghệ thông tin để xây dựng các bài giảng mẫu

Ví dụ 1: Khi dạy lý thuyết bài Hoán vị giáo viên có thể xây dựng giáo án điện tử để chứng minh công thức tìm số hoán vị của một tập hợp Giáo án điện tử này không chỉ để trình chiếu kiến thức mà nó còn phải thể hiện được

sự tương tác giữa hoạt động dạy và hoạt động học của giáo viên và học sinh Với file hình ảnh dưới đây, giáo viên vừa có thể thực hiện thao tác đưa từng phần tử vào các vị trí cho trước vừa có thể hỏi học sinh về số cách lựa chọn phần tử ở mỗi một công đoạn

Hình vẽ 2.5: Chứng minh công thức tính số hoán vị của n phần tử

Ví dụ 2: Khi dạy bài biến ngẫu nhiên rời rạc, giáo viên cần phải vẽ các bảng phân bố xác suất, cần đưa ra những công thức tính các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên và việc này có thể làm mất khá nhiều thời gian trên lớp Do đó, các thầy cô giáo có thể soạn giáo án điện tử có sẵn bảng phân bố và các công thức, sau đó trình chiếu trong tiến trình dạy học Như vậy, các thầy cô sẽ có thêm thời gian để giải thích công thức và hướng dẫn học sinh làm nhiều ví dụ minh họa hơn

Hình vẽ 2.6: Hình ảnh trình chiếu khi dạy biến ngẫu nhiên

Hình vẽ 2.7: Hình ảnh trình chiếu khi dạy biến ngẫu nhiên

Hình vẽ 2.8: Hình ảnh trình chiếu khi dạy biến ngẫu nhiên

Ví dụ 3: Để học sinh tiếp cận được với định nghĩa thống kê của xác suất, các thầy cô giáo có thể cho học sinh thực hiện hoạt động 3 sách giáo khoa tr.75

Hoạt động 3 yêu cầu : " Gieo con xúc sắc 50 lần Ghi kết quả của việc gieo

này và tính tần suất xuất hiện mỗi mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm." Giáo viên có thể

lập sẵn bảng tính tần số và tần suất xuất hiện các biến cố 1, 2, , 6 chấm để trợ giúp cho hoạt động 3 của học sinh được thực hiện một cách nhanh chóng Với bảng này, giáo viên cũng có thể cho nhiều nhóm cùng thực hiện, hoặc cho một nhóm thực hiện nhiều lần khác nhau, sau đó giáo viên lưu lại để so sánh kết quả làm việc của các nhóm và từ đó cho các em biết ý đồ của hoạt động

Hình vẽ 2.9: Bảng ghi kết quả tính tần số, tần suất

2.1.2 Ứng dụng công nghệ thông tin để tìm hiểu những kiến thức mở rộng

và những kiến thức áp dụng vào thực tế của toán tổ hợp, xác suất

Việc tìm tài liệu tham khảo cho giáo viên khi dạy toán tổ hợp, xác suất sẽ trở nên rất khó khăn nếu không có sự trợ giúp của máy tính điện tử và mạng Internet Giáo viên có thể tìm thấy trên mạng Internet rất nhiều tài liệu có ích cho bài giảng trên lớp của mình Để cho học sinh có hứng thú hơn với tổ hợp, xác suất và để cho các em hiểu được mục đích học tổ hợp, xác suất thì giáo viên có thể trình chiếu cho học sinh tham khảo những bài viết trích dẫn trên mạng về phân môn này

Ví dụ : Các thầy cô giáo có thể trích dẫn từ trang Wikipedia một số định nghĩa, khái niệm, ứng dụng trong toán tổ hợp để học sinh tham khảo:

“Toán học tổ hợp

(Nguồn: Bách khoa toàn thư mở Wikipedia.)

Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một

ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các

phần tử của một tập hợp

Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác

suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng

dụng như khoa học máy tính và vật lí thống kê

Toán học tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở

lý thuyết, mặc dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập

trung vào cuối thế kỉ 20 Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp

là lý thuyết đồ thị

Một ví dụ về câu hỏi tổ hợp là: Có bao nhiêu trật tự sắp xếp các quân bài có thể

có của một bộ bài 52 lá riêng biệt? Câu trả lời là 52!

Toán học tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để ước lượng số phần

tử của các tập hợp ”

“Ứng dụng của xác suất với đời sống hàng ngày

Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác xuất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối.Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất Một ứng dụng khác là

dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng

Các thầy cô giáo cũng có thể tìm thấy trên mạng Internet những trang thông tin thú vị về toán tổ hợp và xác suất như trang

trang web bằng tiếng Anh được xây dựng với mục đích gia sư, nhằm giải đáp những thắc mắc của học sinh về môn toán, trong đó có chuyên mục toán tổ hợp Cách giải đáp kỹ càng những thắc mắc của Dr Math trong trang web này chắc chắn sẽ giúp ích nhiều cho giáo viên về mặt kiến thức, về mặt diễn đạt, trình bày vấn đề cũng như cách thức giao tiếp, liên lạc với học sinh

Hình vẽ 2.10: Trang web hướng dẫn làm bài tập toán

Trong quá trình chuẩn bị giáo án giảng dạy, các thầy cô giáo cũng có thể tham khảo các giáo án điện tử về toán tổ hợp của thầy giáo Trần Quang Nghĩa trên trang :http://www.echip.com.vn/echiproot/html/tutor/thaygiaolang/ trangmot.htm

Hình vẽ 2.11: Giáo án điện tử của thầy Trần Quang Nghĩa

Thầy Nghĩa là giáo viên trường chuyên Lê Hồng Phong, thành phố Hồ Chí Minh, thầy là hiệp sĩ công nghệ thông tin năm 2006 của tạp chí e- Chip Những bài giảng của thầy không chỉ giúp cho học sinh hiểu sâu bài học mà còn giúp cho các thầy cô giáo có thêm kinh nghiệm để xây dựng các giáo án điện tử một cách sinh động, cuốn hút học sinh

Khi dạy về toán xác suất, giáo viên có thể cho học sinh khá, giỏi làm quen dần với phân phối nhị thức của biến ngẫu nhiên rời rạc, vì đây là loại phân phối xác suất quan trọng mà chắc chắn là các em sẽ phải học trong năm đầu của trường đại học Giáo viên có thể làm cho học sinh có hứng thú đối với phân phối nhị thức thông qua bài báo của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng trên trang http://www.nxbgd.com.vn/toanhoctuoitre/?p=7&id=10&ReportID=329

Bài báo nói về những ứng dụng quan trọng của toán xác suất, đặc biệt là khi nghiên cứu về thị trường chứng khoán Bài báo cũng nêu một số ví dụ tính xác suất lên hay xuống của mệnh giá cổ phiếu của một công ty - những ví dụ này không quá phức tạp với học sinh phổ thông

-Trích dẫn một phần nội dung bài báo:

“ Giả sử tại thời điểm hiện tại cổ phiếu của công ty A có mệnh giá là a đơn vị với a

là số nguyên dương (đơn vị ở đây có thể là mười nghìn, một trăm nghìn…) Giả thiết rằng :

- Sau một đơn vị thời gian (một giờ, nửa ngày, một ngày…) với xác suất p, giá cổ

phiếu của công ty sẽ tăng và với xác suất 1 – p giá cổ phiếu của công ty sẽ giảm (không có khả năng đứng giá)

- Mỗi lần giá cổ phiếu tăng hay giảm chỉ 1 đơn vị

- Sự lên hay xuống của giá cổ phiếu của mỗi đơn vị thời gain là độc lập với diễn

biến của giá cổ phiếu đó trong quá khứ

Bài toán 1:Tính xác suất để:

a) Sau hai ngày cổ phiếu vẫn có giá như hiện tại

b) Sau ba ngày cổ phiếu tăng giá lên 1 đơn vị

Bài toán 2: Cho hai số nguyên dương N và h (N>h) Tính xác suất để:

a) Sau N ngày giá cổ phiếu vẫn có giá như cũ

b) Sau N ngày giá cổ phiếu tăng lên h đơn vị

c) Sau N ngày giá cổ phiếu giảm đi h đơn vị ”

Tóm lại, ứng dụng công nghệ thông tin trong quá trình cập nhật kiến thức, xây dựng giáo án là một biện pháp quan trọng để giáo viên tự nâng cao trình

độ, giúp giáo viên tự học để đào tạo lại nhằm đạt được mục đích cuối cùng là nâng cao hiệu quả giảng dạy

2.1.3 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc hướng dẫn học sinh tự học

và trong việc hỗ trợ học sinh khi các em gặp khó khăn về mặt nhận thức

Giáo viên có thể thiết kế các phiếu học tập hoặc các bài tập trắc nghiệm phù hợp với trình độ nhận thức của từng nhóm học sinh Ví dụ trong giờ ôn tập, giáo viên có thể phân nhóm cho học sinh thực hiện hai loại bài tập trắc nghiệm khác nhau, nhóm học sinh trung bình sẽ làm loại bài tập trắc nghiệm

cơ bản, được phép làm lại nhiều lần và mỗi câu hỏi có giải thích rõ đáp án, còn nhóm học sinh khá giỏi sẽ phải làm loại bài tập trắc nghiệm ở mức khó hơn, có nhiều câu hỏi dạng điền khuyết

Hình vẽ 2.12: Câu hỏi trắc nghiệm trên máy tính

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh hoàn thành một hệ thống bài tập nào

đó phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh và yêu cầu các em thuyết trình Với các em học sinh trung bình thì hệ thống bài tập chỉ cần tương tự như các bài tập mẫu mà giáo viên đã chữa Còn với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể yêu cầu các em thay đổi giả thiết, điều kiện của bài toán mẫu để

tự hình thành nên những bài tập khó hơn Sau đó, giáo viên dành ra một hoặc hai tiết học ( có thể sắp xếp vào giờ học tự chọn ) để học sinh thuyết trình hệ thống bài tập của nhóm mình

Nét đặc trưng khi học toán tổ hợp, xác suất là học sinh rất dễ hiểu sai và thường các em không biết phải tìm lỗi sai từ bước nào Những lỗi sai nhỏ mà học sinh hay mắc phải thì giáo viên có thể chữa trên lớp và giải thích kỹ càng cho cả lớp rút kinh nghiệm, nhưng những lỗi sai lớn trong một bài toán phức tạp thì việc giải thích trên lớp sẽ gây mệt mỏi cho các em khác Vì vậy, giáo viên và học sinh có thể lập một hộp thư để trao đổi và giải thích những thắc mắc của học sinh

Những bài tập khó khăn có thể gây mất thời gian khi chữa trên lớp thì những em học sinh khá giỏi có thể gửi bài cho giáo viên qua mạng để giáo viên chữa và để lấy những đề bài có yêu cầu cao hơn Dạy bài tập theo hướng này giáo viên phải bỏ ra nhiều công sức nhưng bù lại, giáo viên sẽ có nhiều thời gian hơn để bồi dưỡng học sinh giỏi và nhiều thời gian ở trên lớp để quan tâm đến các học sinh có học lực trung bình

2.2 Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh

2.2.1 Vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo để hướng dẫn học sinh xây dựng các công thức toán

Trong chương Tổ hợp và Xác suất, giáo viên có thể vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo để hình thành cho học sinh công thức tính số hoán vị của n phần tử, hoặc hình thành cho học sinh công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Để hình thành công thức tính số hoán vị của n phần tử, giáo viên có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động sau:

+) Hoạt động 1 : Tính số hoán vị của tập hợp có 2, 3, 4, 5 phần tử

Học sinh sẽ đưa yêu cầu đề bài về dạng : Tìm số cách sắp xếp 3 phần tử lần lượt vào 3 vị trí khác nhau Học sinh có thể dựa vào quy tắc nhân và tìm được :

+) Hoạt động 4 : Vận dụng công thức trên để làm một số ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa

Để hình thành công thức khai triển nhị thức Niu - tơn, giáo viên có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động sau:

- Nhận xét về tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng của khai triển

- Nhận xét về sự thay đổi số mũ của a và b ở các số hạng khác nhau

- Nhận xét về quan hệ giữa số k và số mũ của a và b

+) Hoạt động 4: Dự đoán công thức khai triển nhị thức trong trường hợp tổng quát

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 1 n 1 n n

(ab) C a C a bC a  b  C a bC b

+) Hoạt động 5 : Chứng minh công thức khai triển trên và vận dụng vào một số ví dụ và bài tập

2.2.2 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy toán tổ hợp, xác suất

2.2.2.1 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy lý thuyết tổ hợp và xác suất

Các thầy cô giáo có thể vận dụng quy trình dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong một số tình huống dạy học lý thuyết sau:

 Tình huống 1: Dạy lý thuyết chỉnh hợp

Theo phân phối chương trình, thì học sinh đã nắm được đầy đủ kiến thức về hoán vị trước khi học chỉnh hợp nên giáo viên có thể đặt một số câu hỏi sau

* Ý đồ dạy học của giáo viên : Tạo ra tình huống gợi vấn đề bằng cách tăng

thêm số phần tử ( pho tượng ) trong khi số vị trí được giữ nguyên Tình huống này gợi cho học sinh nhu cầu nhận thức vì nó giống như một biến cố, một khó khăn trong thực tế vẫn hay xảy ra, đòi hỏi phải giải quyết và tình huống cũng gây cho học sinh niềm tin ở khả năng giải quyết được vì các em đã làm được câu hỏi 1 trước đó Sau đó, thông qua các câu hỏi 3 và 4, giáo viên điều khiển học sinh nhận thức được khái niệm chỉnh hợp và tự nghiên cứu để tìm ra quy tắc tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử

 Tình huống 2 : Dạy quy tắc nhân xác suất

Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề bằng cách yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau :

+) Câu hỏi 1: " Gieo 2 lần một đồng xu được chế tạo cân đối Tính xác suất của biến cố gieo lần thứ nhất được mặt ngửa, gieo lần thứ hai được mặt sấp." +) Câu hỏi 2 : " Gieo một đồng xu được chế tạo không cân đối trong 2 lần, ở mỗi lần gieo xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng ba lần xác suất xuất hiện mặt sấp Tính xác suất của biến cố gieo lần thứ nhất được mặt ngửa, gieo lần thứ hai được mặt sấp "

Yêu cầu của hai câu hỏi giống nhau nhưng giả thiết thì hoàn toàn khác nhau Ở câu hỏi 1, học sinh không học quy tắc nhân xác suất vẫn có thể làm được bài vì các em dựa vào định nghĩa cổ điển của xác suất, mô tả không gian mẫu và sau đó tìm các kết quả thuận lợi cho biến cố cần xét Không gian mẫu

là {SS, SN, NS, NN} còn tập các kết quả thuận lợi là {NS}

Nhưng ở câu hỏi 2 thì các em tiếp cận với định nghĩa thống kê của xác suất, nên không thể dùng cách làm của câu thứ nhất để giải quyết vấn đề của câu thứ hai Khi đó, ở học sinh xuất hiện nhu cầu nhận thức, các em thấy cần thiết phải được trang bị một kiến thức mới để làm bài tập Lúc này, giáo viên cung cấp quy tắc nhân xác suất thì các em sẽ tiếp thu kiến thức mới một cách

dễ dàng Giáo viên có thể cho học sinh kiểm nghiệm tri thức mới bằng cách giải quyết hai bài toán trên, sau đó cho các em nghiên cứu sâu hơn qua bài toán 40 SGK tr 85: " Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 ( không có hòa) Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95."

2.2.2.2 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bài tập tổ hợp và xác suất

Để giải được một bài toán tổ hợp và xác suất thì học sinh cần phải biết mô

ngôn ngữ toán học quen thuộc, phải biết phân tích, xử lý được quan hệ giữa các yếu tố trong đề bài cũng như triển khai cụ thể yêu cầu đề bài Giáo viên sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy bài tập tổ hợp, xác suất sẽ giúp cho học sinh có kỹ năng phân tích vấn đề để hiểu sâu sắc về bài toán, từ đó định hướng hoặc khám phá ra cách làm

Ví dụ: Dạy học bài tập tính xác suất của biến cố giao

Giáo viên cần chữa bài tập sau:

" Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2 Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập :

a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần

b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần "

Đa số học sinh trung bình, khá đều loay hoay với bài toán trên vì các em không biết phải bắt đầu từ chỗ nào Lúc này, giáo viên cần trợ giúp các em phát hiện và giải quyết vấn đề bằng cách đặt ra các yêu cầu sau:

+) Yêu cầu 1: Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất ở câu a)

( Giả sử học sinh đặt tên cho biến cố đó là biến cố A.)

+) Yêu cầu 2: Cho biết phép thử trong bài toán là gì ?

HS : Phép thử trong bài toán là : " bắn cung "

+) Yêu cầu 3: Cho biết biến cố A xuất hiện sau bao nhiêu phép thử ?

HS : Biến cố A có thể xuất hiện sau khi tiến hành hai phép thử độc lập"

+) Yêu cầu 4: Để biến cố A xảy ra ( người bắn cung bắn trúng hai lần) thì mỗi một phép thử phải có kết quả như thế nào ?

HS : Mỗi phép thử phải có kết quả là "bắn trúng"

+) Yêu cầu 5: Gọi B1, B2 là các biến cố bắn trúng trong phép thử thứ nhất và thứ hai Theo như phát hiện trên, thì "A xảy ra khi B1, B2 đồng thời xảy ra" Mệnh đề này được biểu diễn trong toán học như thế nào ? "

HS : A = B1B2 , biến cố A là giao của hai biến cố B1, B2

+) Yêu cầu 6: Vậy vấn đề mà các em cần giải quyết là gì ?

HS : Tính P(A) = P( B1B2)

Sau khi thực hiện chuỗi các mệnh lệnh, yêu cầu trên học sinh đã mô hình hóa được bài toán, phát hiện ra được "sự tồn tại " của hai biến cố B1, B2, từ đó định hướng được cách làm

Chuỗi các mệnh lệnh trên cũng có ý nghĩa như là thuật toán, giúp học sinh phát hiện ra được vấn đề cần giải quyết trong các bài toán tương tự sau:

Bài toán 1: Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập Đồng xu A chế tạo cân đối Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa Tính xác suất để khi gieo hai đồng

xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa

Bài toán 2: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 Tìm xác suất sao cho sau khi sinh 3 lần thì có ít nhất 1 con trai Xét một lần sinh một con

2.2.3 Vận dụng phương pháp dạy học tự học trong dạy toán tổ hợp, xác suất

Hình thức dạy học tự học mà giáo viên dễ sử dụng nhất khi dạy toán tổ hợp và xác suất là dạy với phiếu học tập Do đề bài và bài giải của toán tổ hợp đều dùng rất nhiều lời lẽ nên hình thức dạy học này sẽ giúp giáo viên tiết kiệm được nhiều thời gian ghi bảng và thuyết trình Học sinh đọc yêu cầu và hướng dẫn của giáo viên từ phiếu học tập cũng sẽ tập trung vào vấn đề tốt hơn

là nghe giáo viên giảng giải Ngoài ra, với hình thức dạy học tự học này giáo viên có thể tổ chức tốt việc dạy phân hóa bằng cách phát các phiếu có mức độ khó khác nhau cho các đối tượng nhận thức tương ứng, từ đó phát huy tối đa tính tích cực, sự sáng tạo, sự tự tin ở mỗi cá nhân học sinh

2.2.3.1 Dạy học tự học cho nhóm đối tượng học sinh trung bình, yếu

Khi giáo viên dạy bài tập tổ hợp, xác suất cho học sinh trung bình thì