A-phần mở đầu Chơng Cơ sở lý luận Đ1 số vấn đề phát triển lực giải toán bồi dỡng học sinh giỏi Năng lực, lực giải toán học 1.1 Năng lực Năng lực thuộc tính độc đáo cá nhân phù hợp với yêu cầu hoạt động định đảm bảo cho hoạt động có hiệu Năng lực chia thành loại: Năng lực chung lực riêng biệt - Năng lực chung lực cần thiết cho lĩnh vực hoạt hoạt động khác nhau, chẳng hạn thuộc tính thể lùc vỊ trÝ t (quan s¸t, trÝ nhí, t duy, tởng tợng, ngôn ngữ) điều kiện cần thiết ®Ĩ gióp cho nhiỊu lÜnh vùc ho¹t ®éng cã hiƯu - Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) thể độc đáo phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn nhằm đáp ứng nhu cầu lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết cao Chẳng hạn lực toán học, lực âm nhạc, lực thể dục thể thao Hai loại lực bổ sung hỗ trợ cho 1.2 Năng lực toán học Trong tâm lý học lực toán học đợc hiểu theo nghĩa với hai mức độ: Một theo ý nghĩa lực học tập (tái tạo) tức lực việc học toán, việc nắm giáo trình toán phổ thông, nắm cách nhanh có hiệu kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng Hai theo lực sáng tạo hoạt động nghiên cứu khoa học tức lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo kết mới, khách quan cống hiến cho loài ngời công trình toán học có giá trị phát triển khoa học nói riêng hoạt động thực tiễn xà hội nói chung Giữa hai mức độ hoạt động toán học ngăn cách tuyệt đối Nói đến lực học tập toán học không đề cập tới lực sáng tạo Có nhiều học sinh có lực đà nắm giáo trình toán cách độc đáo sáng tạo, đà tự đặt giải toán không phức tạp lắm, đà tự tìm đờng, phơng pháp sáng tạo để chứng minh định lý, độc lập suy đợc công thức, tự tìm phơng pháp giải độc đáo cho toán không mẫu mực Xét chất lực toán học tính chất bẩm sinh mà đợc tạo thành sống, hoạt động sáng tạo dựa sở số mầm mống xác định Việc rèn luyện phát triển lực toán häc ë häc sinh lµ viƯc rÊt quan träng cđa ngời thầy giáo Bởi vì: - Thứ nhất, toán học có vai trò to lớn phát triển nghành khoa học, kỹ thuật nghiệp cách mạng cần thiết có đội ngũ ngời có lực toán học - Thứ hai, nhà trờng nơi cung cấp cho học sinh sở toán học , không khác thầy giáo ngời chăm vun xới cho mầm mống khiếu toán học học sinh thui chột chúng 1.3 Năng lực giải tập toán Đó lực học tập toán Nói đến lực giải toán nói đến khả vận dụng kiến thức vào toán - Tìm liên hệ kiện đầu vào kiện đầu Qúa trình biến đổi kiện vào cho kết phù hợp yêu cầu toán - Khả vận dụng phơng pháp toán học khác để giải toán Nhìn nhận toán dới nhiều nội dung khác (khía cạnh khác nhau) Từ vận dụng kiến thức để giải toán - Khả chuyển từ toán khó thành nhiều toán đơn giản phải huy động kiến thức có liên quan đến khái niệm, khái niệm từ lựa chọn số kiến thức kiến thức gần gũi với kiện để giải toán Vấn đề giải toán bồi dỡng học sinh giỏi 2.1 Vai trò giải tập toán - Hình thành khắc sâu tri thức kỹ năng, kỹ xảo toán học giai đoạn khác trình d¹y häc -Båi dìng thÕ giíi quan vËt biƯn chøng høng thó häc tËp, niỊm tin vµ phÈm chÊt đạo đức ngời lao động - Bài tập nhằm phát triển lực t học sinh đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất t khoa học - Bài tập nhằm đánh giá kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán trình ®é ph¸t triĨn cđa häc sinh Khi nãi ®Õn vai trò, vị trí việc giải tập nhà s phạm, nhà giáo dục học G.Polya có viết: "Việc dạy giải toán phải phận nhiều giáo trình, trình toán học có ích phổ thông" Nắm vững môn toán, "Biết giải toán không toán thông thờng mà toán đòi hỏi t độc lập định, có óc phán đoán, tính độc đáo sáng tạo Bởi nhiệm vụ hàng đầu chủ yếu giáo trình toán học trờng trung học phải nhấn mạnh mặt phơng pháp trình giải toán A.A.Xtotiar "Giáo dục môn học Toán " cho "Dạy học qua tập toán vấn đề đà biết từ lâu đợc thảo luận rộng rÃi tài liệu giáo dục toán học Tuy nhiên cha có cách giải thoả đáng Cách giải thích hợp đòi hỏi phải soạn thảo hệ thống tập tơng ứng với chơng trình thích hợp với hoạt động toán học v.v" P.M.Ecdunhiep " Việc nắm vững toán học đợc thực trình giải tập, phát triển phơng pháp dạy học toán theo đờng vận dụng hình thức dạng tập toán nhằm kích thÝch tÝnh tÝch cùc t cña häc sinh" ë nớc ta tác giả Nguyễn Bá Kim - Vũ Dơng Thụy "Phơng pháp dạy học môn toán" đà nhấn mạnh: "ở trờng phổ thông, dạy toán hoạt động toán học Đối với học sinh, xem việc giải toán hoạt động chủ yếu hoạt động toán học Các toán trờng phổ thông phơng tiện có hiệu thay đựơc việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học toán trờng phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu việc dạy giải tập toán học có vai trò định chất lợng dạy học toán" Dạy học giải tập toán có vai trò to lớn góp phần bồi dỡng học sinh giỏi, phơng pháp để bồi dỡng học sinh giỏi 2.2 Bồi dỡng học sinh giỏi Đây hình thức dạy học phân hoá, việc bồi dỡng học sinh giỏi cần đợc tiến hành, thực tiết học biện pháp phân hoá nội thích hợp Hai hình thức thờng dùng båi dìng häc sinh giái lµ: nhãm häc sinh giỏi toán lớp học sinh chuyên toán Mục đích phát bồi dỡng em có lực to¸n häc tèt, båi dìng c¸c em ph¸t triĨn tèt mặt cở sở giáo dục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán khoa học kü tht giái, ®ã cã mét sè cã thĨ thành nhân tài đất nớc Biện pháp để bồi dỡng học sinh giỏi có biện pháp mở rộng, đào sâu hệ thống kiến thức sách giáo khoa, phân hoá tập lớp nh tập nhà Thông qua việc giải tập toán để mở rộng đào sâu kiến thức góp phần bồi dỡng học sinh giỏi Đ2 TíCH CáC PHéP BIếN HìNH 1.Phép biến hình mặt phẳng Ta ký hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng P hình H mặt phẳng tập P đợc ký hiệu HP 1.1.Định nghĩa Một song ánh : P P từ tập điểm P lên đợc gọi phép biến hình mặt phẳng Nh cho phép biến hình : P P cho quy tắc để với điểm M của P, ta tìm đợc điểm M' = (M) hoàn toàn xác định thoả mÃn điều kiện sau - Nếu M, N hai điểm P (M), (N) điểm phân biệt P - Với ®iĨm M' thc P bao giê cịng cã ®iĨm M thc P cho ƒ(M) = M' §iĨm (M) đợc gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Ngợc lại điểm M gọi tạo ảnh điểm (M) qua phép biến hình nói Ngời ta nói phép biến hình biến điểm M thành điểm (M) ta có (M) = M' Nếu H hình P ta xác định tập hợp (H) ={(M) MH} (H) gọi ảnh hình H qua phép biến hình H đợc gọi tạo ảnh hình (H) qua phép biến hình 1.2.Sự xác định phép biến hình Muốn xác định phép biến hình : P P ta cần nêu rõ quy tắc cách sau đây: - Quy tắc đợc xác định phép dựng hình mặt phẳng nh: Tìm giao điểm đờng thẳng đà đợc xác định đó, dựng đờng thẳng qua điểm vuông góc với đờng thẳng cho trớc, dựng đờng tròn với tâm bán kính đà cho v.v - Quy tắc đợc xác định biểu thức liên hệ toạ độ (x,y) ®iĨm M víi to¹ ®é (x',y') cđa ®iĨm M' = (M) hệ toạ độ Oxy cho trớc ®ã x' = x + y' = y − VÝ dơ: PhÐp biÕn h×nh cho bëi hệ thức: Phép biến hình gọi phép tịnh tiến theo véc tơ v (1, -3) 1.3 Các ví dụ phép biến hình Ví dụ Cho đờng thẳng thuộc P: Phép đặt tơng ứng điểm M với điểm M' đối xứng với M qua đợc gọi phép đối xứng trục trục đối xứng Thờng kí hiệu phép đối xứng trục Đ Ta có Đ(M) = M' ( hình bên) Ví dụ Cho điểm O cố định mặt phẳng P Phép đặt tơng ứng với điểm M với điểm M' đối xứng với M qua O đợc gọi phép đối xứng tâm O Điểm O đợc gọi tâm phép đối xứng Kí hiệu: Phép đối xứng tâm O ĐO Ta cã §O(M) = M' v VÝ dơ Trong mặt phẳng P cho véc tơ v cố định Phép đặt với điểm M ®iĨm M' cho MM ' = v gäi lµ phép tịnh tiến theo vec tơ Véc tơ v v gọi véc tơ tịnh tiến Kí hiệu: Phép tịnh tiến theo véc tơ Ta có Tv (M) = M' v lµ Tv VÝ dơ Trong mặt phẳng P phép biến hình biến điểm M thuộc P thành điểm M đợc gọi phép đồng Kí hiệu: Phép đồng e Ta cã e(M) = M: ∀ M∈P TÝch c¸c phép biến hình 2.1 Định nghĩa Trong hình học ta thờng phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp NÕu ta dïng phÐp biÕn h×nh ƒ: P → P ®Ĩ biÕn mét ®iĨm M bÊt kú cđa P thành điểm M' lại dùng phép biến hình thø hai g : P → P ®Ĩ biÕn M' thµnh M" ta cã: ƒ: M M'; g : M' M'' hay M' = ƒ (M) vµ M" = g(M') Khi phép biến hình h biến M thành M" gọi tích phép biến hình ƒ vµ g vµ kÝ hiƯu h = ƒ°g Ta cã : h(M) = ƒ°g(M) = M'' = g(M') = g[ƒ(M)] 2.2 VÝ dơ i/ XÐt phÐp biÕn h×nh phép tịnh tiến véc tơ Tv Tu Giả sử M điểm P Gäi M' = Tu (M) vµ M" = Tv (M') Theo định nghĩa ta có MM ' = u, M 'M " = v V× MM ' ' = MM ' + M 'M " = u +v u + v : Tv Tu = Tv+u Nh vËy, tÝch Tv Tu phép tịnh tiến theo véc tơ ii/ Xét tích phép đối xứng tâm ĐO ĐO' ( O O') Giả sử M điểm bÊt kú cđa P Gäi M' = §O(M), M" = ĐO(M') Theo định nghĩa ta có: OM ' = - OM O'M " = - O'M ' Vì MM ' ' = MM ' + M 'M " = MO + OM ' + M 'O ' + O' M " = 2( OM ' + M 'O' ) = OO ' Nh vậy, tích ĐOĐO' phép tịnh tiến theo véc tơ v = OO' ĐOĐO' = T2OO 2.3 Phép biến hình đảo ngợc Trong mặt phẳng cho phép biến hình biến ®iĨm M thµnh ®iĨm M' ta cã ƒ(M) = M' Khi phép biến hình biến điểm M' thành điểm M gọi phép biến hình đảo ngợc phép biến hình đà cho Kí hiệu: Phép biến hình đảo ngựơc -1 ta có -1(M) = M' Rõ ràng phép biến hình có phép biến hình đảo ngợc -1 ta cã ƒ°ƒ-1 = ƒ-1°ƒ = e (phÐp ®ång nhÊt) Ví dụ Phép tịnh tiến véc tơ Tv theo véc tơ v có phép biến hình đảo ngợc 1 phép tịnh tiến véc tơ Tv ta cã: Tv = Tv 2.4 PhÐp biÕn h×nh có tính chất đối hợp Cho phép biến hình biến điểm M thành M', sau ta thực tiếp phép biến hình điểm M' Gi¶ sư M" = ƒ(M') NÕu M" = M th× ta nãi r»ng phÐp biÕn h×nh ƒ cã tÝnh ®èi hỵp Ta cã ƒ°ƒ (M) = M hay ƒ = e Ví dụ Đ, ĐO phép biến hình có tính đối hợp Một số vấn đề nhóm phép biến hình Giả sử G gồm tất phép biến hình mặt phẳng P Ngời ta chứng minh đợc tập hợp phép biến hình lập thành nhóm phép biến hình thỏa mÃn điều kiện sau đây: i/ Tích phép biến hình phép biến hình ii/ Tích phép biến hình có tính chất kết hợp nghĩa là: với , g, h phép biÕn h×nh bÊt kú ta cã (ƒ°g) °h = ƒ°(g°h) iii/ Có phép biến hình đồng e cho phép biến hình G ta còng cã ƒ°e = ƒ (ƒ°e = e°ƒ = ƒ) Phép biến hình e gọi phép biến hình đơn vị Nh phép đồng phép biến hình đơn vị iv/ Với phép biến hình ƒ cđa G bao giê cịng cã phÐp biÕn h×nh g cđa G cho ƒ°g = e PhÐp biến hình g nh gọi phép biến hình đảo ngợc ta kí hiệu: g = -1 Nói chung phép biến hình lập thành nhóm nhng nhóm giao hoán Ví dơ Ta cã §O'° §O = T2.OO ; §O° §O' = T2.O 'O mµ T2.OO ≠ T2.O 'O Suy §O ° §O ≠ §O° §O' Mét số vấn đề tích biến hình đợc trình bày sách giáo khoa hình học phổ thông 4.1 Phép biến hình ẩn tàng nội dung SGK THCS Trong chơng trình toán học trung học sở, học sinh đợc làm quen với phép dời hình: Phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục , phép tịnh tiến (ë líp 8), phÐp quay (líp 9) vµ phÐp biÕn hình khác phép đồng dạng (ở lớp 8) Các phép dời hình trung học sở không đợc trình bày theo t tởng biến hình mà dừng việc nghiên cứu dới dạng khác Phép đối xứng tâm , đối xứng trục dừng việc nghiên cứu hình đối xứng qua điểm, đờng thẳng Phép tịnh tiến tiến đợc trình bày đọc thêm.Còn phép quay đợc trình bày với yêu cầu học sinh nắm đợc khái niệm biết dựng ảnh điểm, hình qua phép quay ứng dụng phép quay để giải toán Đối với phép đồng dạng: nêu định nghĩa số tính chất ứng dụng việc giải toán hình học Đa khái niệm tam giác đồng dạng, cách dựng tam giác đồng dạng với tam giác đà cho, nêu trờng hợp đồng dạng tam giác ( Đ3.Tr 66 HH trờng hợp đồng dạng tam giác) Định lý 1: Nếu góc tam giác lần lợt góc tam giác tam giác đồng dạng = A ' , Bˆ = Bˆ ' ta chøng minh Chøng minh : GØa sư ∆A'B'C' vµ ∆ABC cã A ∆A'B'C' ∼ ∆ABC Đặt tia AB đoạn thẳng AM = A'B' Qua M vẽ đờng thẳng MN BC (N 10 = Đ3 o QA2(1,2) Phân tích QA2(1,2) thành tích hai phép đối xứng trục.Ta có QA2(1,2) = Đ ' Đ ' Trong 2' // 3', 1'cắt 2', Làm tơng tự nh trờng hợp 3, ta có Đ3.Đ2.Đ1 phép đối xứng trợt Từ trờng hợp định lý suy ra: Tích phép đối xứng trục phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay phép đối xứng trợt Qua nội dung xét ta nhận thấy, từ ba định lý: - Định lý thuận định lý đảo tích hai phép đối xứng trục qua hai trục song song - Định lý thuận đảo vỊ tÝch hai phÐp ®èi xøng trơc qua hai trơc cắt - Định lý thuận đảo tích hai phép tịnh tiến Có thể phát triển chứng minh tích phép dời hình Trong chứng minh vận dụng cách nhuần nhuyễn định lý Ví dụ: Phép quay đợc phân tích cách tiện lợi thành tích hai phép đối xứng trục mà trục coi đờng thẳng qua tâm quay 2.4 ứng dụng tích ba phép đối xứng trục vào giải toán Trớc tiên ta xét số toán khó nhng có cách giải đặc thù cho việc vận dụng tích phép đối xứng trục sử dụng tính chất điểm bất động Bài toán11: HÃy nội tiếp đờng tròn (O) cho trớc tam giác ABC có cạnh AB, BC, CA song song với ba đờng thẳng a, b, c cho trớc (a, b, c đôi cắt nhau) Phân tích: Giả sử dựng đợc ABC nội tiếp đờng tròn (O) thoả mÃn điều 45 kiện toán Khi xét đờng thẳng trung trực la , lb , lc lần lợt chứa cạnh AB, BC,CA la , lb , lc lần lợt vuông góc với a, b, c qua O Đ l a (A) = B Ta cã : § l b (B) = C § l c (C) = A Suy §la §lb §lc (A) =A nên A điểm bất động Đla Đlb Đlc Mặt khác Đla Đlb Đlc tích ba phép đối xứng trục có trục đồng quy nên Đla Đlb Đlc phép đối xứng trục l (l qua A) Mà A(O) Từ ta có cách dựng: + Dựng đờng thẳng la ,lb ,lc qua O lần lợt vuông góc với a,b,c + Xác định đờng thẳng l (l qua O ) l thoả mÃn Đl = Đla Đlb Đlc + Xác định giao điểm l (O) cắt A + Từ A kẻ song song với a,c cắt đờng tròn B C Suy ABC dựng đợc Chứng minh: Theo cách dựng ta dễ dàng c/m ABC thoả mÃn điều kiện toán Vì l cắt (O) điểm phân biệt nên có điểm A thoả mÃn Vậy toán có nghiệm hình Bài toán12: HÃy nội tiếp đờng tròn cho trớc tứ giác có cạnh song với đờng thẳng cho trớc Đây toán mở rộng so với toán 11 Sử dụng tính chất phép đối xứng trục điểm bất động ta giải toán nh sau Hớng dẫn giải: Giả sử dựng đợc tứ giác ABCD, dựng đờng thẳng trung trực la, lb, lc, ld lần lợt cạnh AB, BC, CD, DA ta cã la, lb, lc, ld ®ång quy O Suy la, lb, lc, ld hoàn toàn dựng đợc Do chúng qua O lần lợt vuông góc víi a, b, c, d Vµ ta cã: B = §la(A); C = §lb(B); D = §lc(C); A = §ld(A) 46 Suy ra: Đld.Đlc.Đlb Đla(A) = A A điểm bất động qua tích Đld.Đlc.Đlb Đla (1) Do tích phép đối xứng trục phép đối xứng trục Tích (1) phép quay phép đồng + Nếu tích (1) phép quay đờng tròn điểm điểm bất động Suy toán nghiệm hình + Nếu tích (1) phép đồng đờng tròn điểm điểm bất động Suy toán có vô số nghiệm hình * Đối với học sinh giỏi: Bằng việc sử dụng phơng pháp tích phép biến hình em giải toán mức độ khó Bài toán 13: HÃy nội tiếp đờng tròn cho trớc góc n giác có cạnh song song với n đờng thẳng cho trớc Hớng dẫn giải: Giả sử đa giác A1, A2, ,An đà dựng đợc Kẻ qua tâm O đờng tròn đờng trung trực l1, l2 ,, ln hoàn toàn đợc xác định Vì đờng thẳng qua O vuông góc với đờng thẳng ®· cho A2 = §l1(A1); A3 = §l2(A2) … ,A1 = Đln(An) A1 điểm bất biến qua tích Đln o §ln-1 o o §l2 o §l1 (1) * Nếu n lẻ: Tích (1) phép đối xứng trục ( trục quay O) Trên đờng tròn có điểm bất động Suy toán có nghiệm hình * Nếu n chẵn: Tích (1) phép quay phép đồng + Nếu phép đồng Trên đờng tròn điểm điểm bất động cuảt tích (1) Bài toán có vô số nghiệm hình + Nếu tích phép quay đờng tròn điểm bất động Bài toán nghiệm hình 47 Dựa vµo tÝch cđa 3, 4, , n phÐp ®èi xøng trơc vµ ®iĨm bÊt ®éng ta cã thĨ giải toán tơng tự với toán Bài toán 14: Qua tâm O đờng tròn kẻ dờng thẳng a, b,c HÃy ngoại tiếp đờng tròn (O) tam giác ABC thoả mÃn A∈ a, B ∈ b, C∈c Híng dÉn gi¶i: GØa sử ABC dựng đợc ta có a, b, c lần lợt đờng thẳng góc A, B, C Khi gọi tiếp điểm A1 B1 C1 tơng ứng cạnh BC, CA, AB với đờng tròn tâm O Ta có Đc Đa Đb: (A1) = A1 (A1 điểm kép) Tích Đc Đa Đb phép đối xứng trục có trục l qua O hoàn toàn xác định dợc Mà A1 (O) Từ hoàn toàn xác định đợc A1 A1 = l (O) Khi A1, B1 ,C1 dựng đợc ta dựng đợc ABC Bài toán15: ( Mở rộng toán 14) Cho đờng tròn tâm O Qua O kẻ đờng thẳng a, b, c, d Dựng tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (O) thoả mÃn A a, B ∈ b, C ∈ c D ∈d T¬ng tự 14 Ta dựng tứ giác A1B1C1D1 nội tiếp đơng tròn (giống 12) Trong A1,B1 ,C1 ,D1 tiếp điểm cạnh tứ giác ABCD với đờng tròn (O) Từ dựng tứ giác ABCD Bài toán16 : ( Bài toán tổng quát 14 bài15) Qua tâm O đờng tròn kẻ n đờng thẳng HÃy ngoại tiếp quanh đờng tròn n giác có đỉnh nằm đờng thẳng + Bài toán có nghiệm hình , vô số nghiệm hình nghiệm hình * Sau xét số toán mang đậm phơng pháp hình học truyền thống nhng giải phơng pháp sử dụng tích phép đối xứng trục có tính chất 48 Bài toán17: Cho đờng thẳng 1,2,3 đồng quy O P điểm cho trớc Dựng tam giác ABC cho tam giác nhận 1, 2, làm đờng trung trực BC ®i qua P ViƯc dùng ∆ABC quy vỊ viƯc dùng đỉnh ABC Giả sử cần dựng điểm B Nhìn toán dới ngôn ngữ biến hình Do 1,2,3 lần lợt trung trực AB ,AC ,BC ta cã: §∆1(B) =A , §∆2(A) = C , §∆3(C) = B Suy §∆3.§∆2.§∆1(B) = B ( B điểm bất động ) Mà Đ3.Đ2.Đ1 = Đ (xác định đợc trục ,( qua O ) B ) Mặt khác : Bl (l đờng thẳng qua P vuông góc với ) Hớng dẫn giải : - Dựng đờng thẳng l qua P vuông góc với Bl Có Đ3.Đ2.Đ1 = Đ (1) Tìm giao điểm l ta có điểm B Dựng A =Đ1(B) ,C =Đ3(B) Ta có ABC cần dựng * Đối với học sinh giỏi, giải toán mở rộng cho trờng hợp tổng quát Các luyện tập Bài CMR đa giác có số ( lớn ) trục đối xứng trục đồng quy điểm Bài CMR đa giác phẳng có số chẵn trục đối xứng có tâm đối xứng Bài Đờng tròn nội tiếp , tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB ABC điểm M, N, P Giả sử M', N', P' ảnh điểm qua phép đối xứng với trục đờng phân giác góc A, B, C t¬ng øng 49 a> CMR M'N' // AB b> Gọi trung điểm cạnh ABC M1 ,N1 ,P1 CMR ABC cân M1M',N1N'và P1P' đồng quy điểm Bài Cho hình vuông ABCD Trên đờng chéo BD lấy E Gọi O1,O2 tâm đờng tròn ngoại tiếp ABE , ADE Chứng minh AO1EO2 hình vuông Bài Hai đờng thẳng cắt theo góc cào cào nhảy từ đờng thẳng sang đờng thẳng , lần nhảy mét cào cào không nhảy ngợc lại chỗ cũ nh nhảy đợc đến chỗ CMR trình nhảy lặp lặp lại theo chu kì / số hữu tỉ Đ3- Phép quay tích phép quay Ta đà biết :phép quay tích phép ®èi xøng trơc cã trơc c¾t Mäi phÐp quay lại đợc phân tích cách tiện lợi thành tích phép đối xứng trục Chính tích phép quay tích phép quay với phép dời hình khác xây dựng sở tích phép đối xứng trục 3.1 Tích hai phép quay Định lý 14 : TÝch cđa hai phÐp quay QO11 vµ QO22 phép quay phép tịnh tiến α α Chøng minh: - NÕu O1≡ O2 ≡ O dƠ dµng nhËn thÊy: TÝch QO11 QO22 = QOα1 +α XÐt O1 ≠ O2 Ta gäi đờng thẳng O1O2 đờng thẳng Chọn đờng thẳng đờng thẳng qua O1 đờng th¼ng qua O2 cho (∆1 ,∆2) = (∆2,∆3 ) = α2 α Khi ®ã : QO11 = §∆ 2.§∆1 50 α1 , QOα22 = §∆3.§∆2 α α Suy QO22 QO11 = §∆3.§∆2 §∆ 2.§∆1 = Đ3.Đ1 Nếu cắt O3 tích QO22 QO11 phép quay QO33 víi α3 = α1 + α2 ThËt vËy α3 = 2(∆1,∆3) = 2[( ∆1,∆2) + ( ∆2,∆3)] = 2( α1 α + 2) 2 ⇒ α3 = α1 + α2 α α - NÕu ∆1 // ∆3 ( α1 = -α2 ) ta cã QO22 QO11 phép tịnh tiến Chú ý : Tích phép quay tính chất giao hoán ThËt vËy : +Trong TH α1 ≠ - α2 QO22 QO11 = QO33 Bằng cách phân tích tơng tù α α α Ta cã QO22 QO11 = QO33 ' 3' -3 Đ O O (O3) = O3' α α α α + TH : α1 = α2 NÕu tÝch QO22 QO11 = Tv th× tÝch QO11 QO22 = T−v 3.2 Tích phép quay phép dời hình khác *> TÝch phÐp quay víi phÐp ®èi xøng trơc Cho phép quay QO phép đối xứng trục §∆ α + NÕu O ∈∆ th× QO §∆ phép đối xứng trục (C/m trớc) + Nếu O tích QO Đ Đ QO phép đối xứng trợt 51 *> Tích phép quay QO với phép đối xứng tâm ĐA Xét tích QO ĐA Phân tích ĐA : ĐA =Đ2 §∆1 Trong ®ã ∆1 ⊥∆2 , ∆1 ∆2 = {A} qua O Còn QO = Đ3.Đ2 (∆2, ∆3) = α Ta cã QOα §∆ = §∆3 §∆2 §∆ 2.§∆1 = §∆3 §∆ α + Nếu //3 suy QO Đ phép tịnh tiến Trong TH : = 1800 ( QO phép đối xứng tâm O) + NÕu ∆1 ∆3 =O' suy Trong ®ã α' = 2(∆1,∆3) = 2[( ∆1,∆2) + ( ∆2,∆3)] = 2( ∏ α + ) = Π+α 2 Vậy tích phép quay phép đối xứng tâm phép quay phép tịnh tiến *> TÝch phÐp quay QOα víi phÐp tÞnh tiÕn Tv α XÐt tÝch QO Tv α Ph©n tÝch : QO = Đ2.Đ1 Tv Theo định lý 10: T Đ1 Tv = Đ'1('1 ảnh qua v ) Do ®ã QOα Tv = §∆2.§∆'1 = QOα ' V× [ ∆1// ∆2 ⇒ ( ∆'1, ∆2) = α] , O' = ∆1 ∆2 T¬ng tù ta cã thĨ xÐt tÝch Tv QOα Tv QOα = QOα1 ' ( O'1 ®èi xøng O' qua O) 52 Tõ ®ã :TÝch cđa n phÐp quay phép quay phép tịnh tiến 3.3 ứng dụng tích phép quay vào giải toán Chú ý : PhÐp quay QOα (α ≠ 0) chØ cã điểm bất động O Thì O3 đợc xác định O1O2O3 có O3O2O1 = ; O1O2O3 = 2 B©y giê ta xÐt hệ thống toán sau : Bài toán18: Cho ABC phía ABC dựng vuông cân ABM ,BCN vuông cân M,N CMR OMN vuông cân O (O trung điểm AC) Hớng dẫn giải : 0 XÐt hai phÐp quay : QM90 , QN90 Ta cã : QM90 (A) = B QN90 (B) = C 0 Suy QN90 ° QM90 (A) = C N 0 180 90 90 Mà tích QN QM = QO1 = ĐO1 Do ĐO1(A) =C nên O1 trung điểm AC hay O1≡ O vµ ∆OMN cã ∠OMN =∠ONM = 450 ⇒∠MON=900 Do OMN vuông cân O Trên toán sử dụng tích hai phép quay góc 90 Bài toán toán gốc vận dụng ta giải đợc số toán khác 53 Việc đa bầi toán gốc giúp học sinh rèn luyện lực giải toán Giúp học sinh có sức bật nhanh việc tìm tòi lời giải toán Bài toán 19 : Cho hai tam giác vuông cân ABC CDE với đỉnh B,D Cho trớc ®Ønh C chung (chiỊu quay tõ AB→BC vµ tõ CD DE nh nhau).Chứng minh trung điểm AC không phụ thuộc cách chọn điểm C 0 90 90 Híng dÉn gi¶i: Ta cã QD QB (A) = E 0 Mµ QD90 QB90 = QI90 = §I Cã §I(A) = E suy I trung điểm AE Mặt khác tâm QD90 QB90 đỉnh vuông cân BID (cạnh hun BD ) Tõ ®ã suy I cè định , I không phụ thuộc điểm C Dới toán sử dụng tích hai phÐp quay gãc 90 nhng ë møc ®é khã Bài toán 20: Cho tứ giác lồi ABCD phía dng hình vuông lần lợt chứa cạnh AB,BC,CD,DA tứ giác CMR đoạn thẳng nối tâm hình vuông đối có độ dài vuông góc với Hớng dẫn giải: gọi O1,O2,O3,O4 tâm hình vuông có cạnh AB, BC,CD, DA Cần chứng minh O1O2 O2 O4, O1 O4 = O2O4 Sư dơng bµi 18: Tacó với O trung điểm AC O1OO2 vuông cân O Hay QB90 (O1) =O2 (*) Tơng tự: O3 OO4 vuông cân O Hay QO90 (O3) =O4 (**) Tõ (*) vµ (**) suy : QO90 :O1O3 → O2O4 Theo tÝnh chÊt phÐp quay ta cã : O1O3 ⊥ O2O4, O1O3 = O2O4 (đpcm) 54 Nhờ thao tác phân tích tổng hợp , khái quát hoá, đặc biệt hoá để đến toán Với toán 20 tứ giác ABCD hình bình hành Khi ta có trung điểm O AC trung điểm cña BD QO90 : O1 O2 Do ®ã ta cã : O2 O3 Tøc lµ tứ giác O1O2O3O4 hình O3 O4 vuông tâm O Tức ta có toán O4 O1 toán sau Bài toán 21: Trên cạnh hình bình hành ABCD Dựng phía tam giác vuông cân nhận cạnh hình bình hành làm cạnh huyền CMR đỉnh lại tam giac cân tạo thành hình vuông toán ta dựng vuông cân phía tứ giác dựng phía tứ giác kết nh ? Ta có toán Bài toán 22 Cho tứ giác lồi ABCD.Bên dựng vuông cân ABO1 , BCO2 , CDO3 , DAO4 đỉnh lần lợt O1,O2,O3,O4 CMR : Nếu O1 O3 O2 O4 Hớng dẫn giải : Sử dụng tích phÐp quay gãc 90 0 NÕu O1≡ O3 ta cã :( QD90 QC90 ) ( 0 0 180 180 QB90 Q A90 ) = QO3 QO1 = e ( e phép đồng ) Mặt khác : e = Q A90 e Q A−90 55 0 0 = Q A90 QD90 QC90 QB90 QC−90 0 0 = ( Q A90 QD90 ).( QC90 QB90 ) 0 0 = QO180 QO180 hay QO180 QO180 =e Tøc lµ O2 ≡ O4 4 Sau xin giới thiệu số tập giải sử dụng tích phép biến hình phép quay góc 90 Các luyện tập Bài 1.Trên cạnh ABC phía dựng hình vuông có tâm P, Q, R Trên cạnh PQR phía dựng hình vuông CMR tâm chúng trung điểm cạnh ABC Hớng dẫn : Sử dụng toán 18 Bài Cho ABC phía dựng tam giac vuông cân đỉnh A O1AB O2AC Gọi O3 điểm t/m O3BC vuông cân O3 CMR : O1O2O3 vuông cân điểm O3 ( Tợng tự toán 22) Bài Trên cạnh tứ giác lồi ABCD phía dựng tam giác vuông cân với đỉnh M, N, P, Q CMR : Trung điểm I, J, K, L lần lợt cảu cạnh AC, BD, MP, NQ tạo thành hình vuông ( Đây toán nâng cao 14) Bây xét số toán khác sử dụng tích phép quay tính chất Bài toán 23: Cho ABC phía dựng tam giác ABM, CAN Gọi O tâm BM S trung điểm BC Tính góc OSN .Với toán giải nhiều cách khác , phơng pháp truyền thống đa phơng pháp gi¶i tÝch phÐp quay 56 Gi¶i : Ta cã QO120 (B) = A 0 QN60 QO120 ( (A) = C 0 ⇒ Suy QN60 QO120 (B) = C 0 Mµ QN60 QO120 = Q180 = § I I Ta cã §I(B) = C Suy I lµ trung diĨm bc hay I ≡ S 0 Do ®ã QN60 QO120 = QS180 120 60 0 Theo tÝnh chÊt cña phÐp quay ta cã : SON = = 60 , : ONS = =300 2 VËy ∆ ABC : Cã ∠OSN =900 ∠OSN =300, ∠SON = 600 Bài toán 24: Cho ABC Dựng phía ABC tam giác ABC1, BCA1, CAB1 CMR tâm tam giác tạo thành tam giác Giải : Gọi O1, O2 ,O3 lần lợt tâm ABC, BCA, CAB1 Khi ta cã : : (A) = B QO120 : (B) = C QO120 0 Suy QO120 QO120 (A) = C 0 Mặt khác QO120 QO120 = QO240 Trong O thoà mÃn OO1O2 tam giác ®Ịu 120 1200 2400 1200 3600 Mµ QO3 QO120 = = = Tv Q Q Q Q O O B I 57 0 120 1200 Nhng QO3 QO120 (A) = A ( A điểm bất động) Q O Tv (A) = A ⇒ 120 v = o Tv phép đồng QO 0 1200 1200 QO2 QO1 = e −120 240 1200 1200 ⇒ QO2 QO1 = QO3 = QO3 240 ⇒ QO240 = QO3 ⇒ O ≡ O3 VËy ∆O1O2O3 giác Bài tập luyện tập : Bài Trên cạnh ABC dựng tam giác ®Ịu A'BC, B'AC vỊ phÝa ngoµi vµ C'AB vỊ phÝa Gọi M tâm C'AB CMR A'B'M tam giác cân với A1MB1 = 1200 Hớng dẫn : Sử dụng tích phép quay 600 Bài Trên cạnh lục giác có tâm đối xứng dựng phía tam giác CMR trung điểmcủa đoạn thẳng nối đỉnh chúng tạo thành lục giác ( đỉnh không nằm cạnh lục giác ) Híng dÉn: Sư dơng tÝch cưa c¸c phÐp quay 600 Sử dụng tích phép quay góc giải toán sau: Bài Dựng n giác biết n điểm đỉnh cân dựng cạnh n giác có góc đỉnh 1, n Bài Trên cạnh ABC dựng phía cân A'BC,AB'C,ABC' Các điểm A'B'C' điểm tam giác cân đó, góc đỉnh tơng ứng b»ng α, β, ∂ víi α+β+∂ = 2π Chøng minh r»ng c¸c gãc cđa ∆ A'B'C" b»ng α β ∂ , , 2 58 Bµi AKL AMN cân đồng dạng với có chung đỉnh A có góc đỉnh Giả sử GNK GLM cân đồng dạng với với góc đỉnh = - CMR G G (Các tam giác coi định hớng) 4- Sự xác định phép dời hìNH Vấn đề đặt ra: Cho tam giác ABC vµ ∆ A'B'C' b»ng (AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C') có hay không, có (nếu có) Phép dời hình mặt phẳng biến A A', B B', C C' Ta có định lý trả lời cho vấn đề Định lý 15 : Cho ∆ ABC = ∆ A'B'C'.Bao giê cịng x¸c định phép dời hình mặt phẳng tho· m·n ƒ(A) = A', ƒ(B) = B', ƒ(C) = C' i) Tồn Chứng minh : cần C/M ii) i) Giả sử ABC A'B'C' có A A' hai điểm phân biệt Gọi đờng trung trực A A' XÐt §∆1 Cã : §∆1 A A' hay B B' §∆1 ∆ ABC ∆ A'B'C' ⇒ ∆ ABC = ∆ A'B'C' (1) C C' * Nếu B1 B' hai điểm phân biệt Gọi đờng trung trực B1B' ta có Cã : §∆2 A' A' B1 B' (Do A'∈∆2) hay §∆2 ∆ A'B1C1 ∆ A'B' C2 ⇒ ∆ A'B1C1 = ∆ A'B' C2 (2) C1 C2 A'C2 = A' C1 = A'C =A'C' 59 ... xem tích phép vị tự phép dời hình, tích phép dời hình phép vị tự " Toàn chơng I đà định nghĩa rõ tích phép biến hình dạng tổng quát tích phép dời hình phép vị tự đợc trình bày đầy đủ chi tiết Trong. .. Đ3- Phép quay tích phép quay Ta đà biết :phép quay tích phép đối xứng trục có trục cắt Mọi phép quay lại đợc phân tích cách tiện lợi thành tích phép đối xứng trục Chính tích phép quay tích phép. .. dạy học phân hoá, việc bồi dỡng học sinh giỏi cần đợc tiến hành, thực tiết học biện pháp phân hoá nội thích hợp Hai h×nh thøc thêng dïng båi dìng häc sinh giỏi là: nhóm học sinh giỏi toán lớp học