1 tacó ĐOĐ O
2.2.ứng dụng tích phép đối xứng tâm, tịnh tiến vào giải toán.
Đối với những bài toán cho dới dạng ngôn ngữ hình học thuần tuý cần chuyển về ngôn ngữ phép biến hình ( phép đối xứng tâm phép tịnh tiến ).
Ví dụ : Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ biến hình
+ O là trung điểm của AB + ĐO: A B B A
+ AB = CD + CD là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm nào đó .
Bài toán1 : a/ Hình bị chặn không thể có nhiều hơn hai tâm đối xứng. b/ Chứng minh không có hình có đúng 2 tâm đối xứng .
* Đứng trớc bài toán này HS sẽ gặp nhiều khó khăn khi đa ra phơng pháp giải. Lời giải sẽ đơn giản hơn nếu ta sử dụng tích các phép biến hình (Tích các phép đối xứng tâm).
Giải: a/ Giả sử hình H bị chặn có 2 tâm đối xứng O1, O2.
Khi đó ta có: ĐO1(H) = H, ĐO2(H) = H. Suy ra ĐO2°ĐO1(H) = H. Tích ĐO2.ĐO1
biến hình H thành chính nó.
Theo định lý 1 ta có: ĐO2°ĐO1 = T2O1O2 là phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến này biến
hình H thành chính nó. Nhng hình H bị chặn không có tính chất đó. ⇒ (đpcm). b/ Giả sử có hình (H) có đúng 2 tâm đối xứng O1, O2.
Gọi O3 = ĐO2(O1). Ta sẽ C/m : ĐO3 = ĐO2°ĐO1°ĐO2. Thật vậy với M bất kỳ :
ĐO : M M1
ĐO2 : M2 M3 Theo định nghĩa ta có: M O2 = - O2M1 . 1 1M O = - O1M2 . 2 2M O = - O1M3. 3 2O O = - O2O1. Ta so sánh O3M và O3M3. Có : O3M = O3O2 + O2M = O2O1- O2M1 = M1O1. O3M3 = O3O2 + O2M3= O2O1- O2M2 = M2O1 . Mà M1O1 = - M2O1 suy ra: O3M3 = - O3M ⇔ ĐO3(M) = M3. Nh vậy : ĐO3= ĐO3°ĐO1°ĐO2(*).
Ta lại có O1, O2 là tâm đối xứng hình (H). Từ (*) suy ra O3 cũng là tâm đối xứng. Mà O3 ≠ O2 , O3≠ O1. Suy ra mâu thuẫn vậy ta có (đpcm).
Bài toán 2: Cho 3 điểm O1 ,O2 ,O3.Dựng tam giác ABC sao cho O1 ,O2 ,O3 lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
*Với bài toán này cách giải thông thờng ta dễ dàng dựng đợc tam giác bằng cách . C là đỉnh thứ 4 của hình bình hành O3O1O2C . Hoàn toàn tơng tự với A,B.
. Nhìn nhận bài toán dới ngôn ngữ biến hình.
O1là trung điểm của AB ⇒ ĐO1: A B O2 là trung điểm của BC ⇒ ĐO2: B C O3 là trung điểm của CA ⇒ ĐO3: C A.
Từ đó ta có : ĐO3°ĐO2°ĐO1(A) = A ⇒ A là điểm bất động.Mà ĐO3°ĐO2°ĐO1là phép đối xứng tâm. Suy ra A là tâm phép đối xứng tâm đó. Từ đó ta có :
Lời giải : Giả sử ∆ABC dựng đợc . Ta nhận thấy:
ĐO1: A B
ĐO2: B C ⇒ ĐO3°ĐO2°ĐO1: A A. ĐO2: C A
Mà ĐO3°ĐO2°ĐO1là phép đối xứng tâm. ⇒ A là tâm đối xứng của phép đối xứng tâm đó .Ta có cách dựng :
Lấy điểm M bất kỳ lần lợt xác định .
M1 = ĐO1(M) ; M2 = ĐO2(M1) ; M3 = ĐO3(M3). Khi đó ta có : Nếu M3 ≡ M ⇒ A ≡ M
Nếu M3 ≠ M ⇒ Xác định A là trung điểm MM3. A là điểm cần tìm . Từ đó xác định đỉnh còn lại :
B = ĐO1 (A) , C = ĐO2(B).
Chú ý : Với cách giải thông thờng giúp HS nhìn nhận bài toán đơn giản hơn. Nhng qua phơng pháp đó hạn chế tính phát triển trong chức năng giải bài tập. Bằng phơng pháp sử dụng tích biến hình ta có thể giải quyết bài toán sau:
Bài toán 3: Cho 5 điểm O1, O2, O3, O4, O5. Dựng ngũ giác ABCDE (có thể không lồi). Nhận O1, O2, O3, O4, O5 lần lợt làm trung điểm AB , BC, CD, DE, EA.
C Cách giải bài toán này giống ví dụ 2. Ta sử dụng tích 5 phép đối xứng tâm (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ĐO5°ĐO4°ĐO3°ĐO2°ĐO1 là một phép đối xứng tâm. Tơng tự ta có A là điểm kép duy nhất.
Suy ra cách dựng: Lấy điểm M bất kỳ M1 = ĐO1(M).
M2 = ĐO2(M1).
M3 = ĐO3(M2). M4 = ĐO4 (M3).
M5 = ĐO5(M4).
⇒ A là trung điểm của MM5.
⇒ Ngũ giác dựng đợc. Bài toán có 1 nghiệm hình.
Bài toán 4: Dựng đa giác biết 7 trung điểm ( 9 trung điểm ) của các cạnh. Cách dựng giống hoàn toàn 2 ví dụ trên.Với cách giải trên ta có thể giải quyết bài toán tổng quát:
Bài toán 5: Cho m =2n+1 điểm là trung điểm của đa giác có m cạnh. Háy dựng các đỉnh của đa giác đó:
Khi n = 1, 2, 3, 4 ta có các bài toán trên.
Đối với bài toán này, ta vẫn phải sử dụng tích của m phép đối xứng tâm (m lẻ ) là một phép đối xứng tâm.
Giả sửdựng đợc đa giác A1A2...A2n+1. Gọi Oi là trung điểm của các cạnh (i =
12 2 ; 1 n+ ). Lấy X bất kỳ . X1 = ĐO1(X1). X2 = ĐO2(X).
………
X2n+1 = ĐO2n+1(X2n-1).
ĐO2n+1°ĐO2n…°ĐO2°ĐO1 (A1) = A1. ⇒ A1 là điểm bất động của tích . ⇒ A1 là trung điểm của XX2n+1. Từ đó dựng đợc 2n+1 giác là A1A2 ...A2n+1.
Các bài toán trên ta sử dụng tích của lẻ phép đối xứng tâm. Bây giờ ta xét bài toán sử dụng tích chẵn phép đối xứng tâm.
Bài toán 6: Dựng tứ giác ABCD khi biết 4 trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
Giải : Giả sử tứ giác ABCD dựng đợc.Gọi 4 trung điểm là O1, O2,O3,O4. khi đó O1O2O3O4 là hình bình hành. Ta có : ĐO4°ĐO3°ĐO2°ĐO1(A) = A ⇒ A là điểm kép Mặt khác : ĐO4°ĐO3°ĐO2°ĐO1= (ĐO4°ĐO3)° (ĐO2°ĐO1) = T2O3O4 ° T2O1O2 = TO = e.
Từ đó ta có : Lấy A tuỳ ý . Lấy lần lợt đối xứng qua tâm O1, O2, O3, O4
ta có các điểm A, B, C, D ⇒ Tứ giác ABCD dựng đợc . ⇒ Bài toán có vô số nghiệm hình.
*Bằng cách sử dụng tích n (n chẵn) phép đối xứng tâm ta sẽ có bài toán t-
ơng tự dựng lục giác, hay n giác khi biết trung điểm các cạnh .