Q ˆ= BOA O
2.4. ng dụng tích của ba phép đối xứng trục vào giải toán.
Trớc tiên ta xét một số bài toán khá khó nhng có cách giải rất đặc thù cho việc vận dụng tích các phép đối xứng trục và sử dụng tính chất của điểm bất động.
Bài toán11: Hãy nội tiếp trong đờng tròn (O) cho trớc một tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CA song song
với ba đờng thẳng a, b, c cho trớc. (a, b, c đôi một cắt nhau).
Phân tích: Giả sử dựng đợc ∆ABC
kiện bài toán. Khi đó xét các đờng thẳng trung trực la , lb , lc lần lợt chứa các cạnh AB, BC,CA. la , lb , lc lần lợt vuông góc với a, b, c và đi qua O.
Ta có : = = = A (C) Đ C (B) Đ B (A) Đ c b a l l l
Suy ra Đla .Đlb .Đlc (A) =A nên A là điểm bất
động của Đla .Đlb .Đlc.
Mặt khác Đla .Đlb .Đlc là tích của ba phép đối xứng trục có các trục đồng quy nên Đla .Đlb .Đlc là phép đối xứng trục l (l đi qua A). Mà A∈(O). Từ đó ta có cách dựng: + Dựng các đờng thẳng la ,lb ,lc qua O lần lợt vuông góc với a,b,c .
+ Xác định đờng thẳng l (l đi qua O ) l thoả mãn Đl = Đla .Đlb .Đlc . + Xác định giao điểm của l và (O) cắt nhau tại A .
+ Từ A kẻ song song với a,c cắt đờng tròn tại B và C . Suy ra ∆ABC dựng đợc .
Chứng minh: Theo cách dựng ta dễ dàng c/m ∆ABC thoả mãn điều kiện bài toán . Vì l cắt (O) tại 2 điểm phân biệt nên có 2 điểm A thoả mãn. Vậy bài toán có 2 nghiệm hình .
Bài toán12: Hãy nội tiếp đờng tròn cho trớc tứ giác có các cạnh song với 4 đờng thẳng cho trớc .
Đây là bài toán mở rộng so với bài toán 11. Sử dụng tính chất của các phép đối xứng trục và điểm bất động ta có thể giải quyết bài toán nh sau .
Hớng dẫn giải: Giả sử dựng đợc tứ giác ABCD, dựng các đờng thẳng trung
trực la, lb, lc, ld lần lợt của các cạnh AB, BC, CD, DA ta có la, lb, lc, ld đồng quy tại O. Suy ra la, lb, lc, ld hoàn toàn dựng đ-
ợc. Do chúng qua O lần lợt vuông góc với a, b, c, d.
Và ta có: B = Đla(A); C = Đlb(B); D = Đlc(C); A = Đld(A).
Suy ra: Đld.Đlc.Đlb. Đla(A) = A. A là điểm bất động qua tích
Đld.Đlc.Đlb. Đla (1)
Do tích 3 phép đối xứng trục là một phép đối xứng trục do đó . Tích (1) hoặc là phép quay hoặc là phép đồng nhất.
+ Nếu tích (1) là phép quay thì trên đờng tròn không có điểm điểm bất động ⇒ Suy ra bài toán không có nghiệm hình.
+ Nếu tích (1) là phép đồng nhất trên đờng tròn mọi điểm đều là điểm bất động ⇒ Suy ra bài toán có vô số nghiệm hình.
* Đối với học sinh khá giỏi: Bằng việc sử dụng phơng pháp tích các phép biến hình các em giải bài toán ở mức độ khó hơn.
Bài toán 13: <Bài toán tổng quát của 2 bài toán trên >.
Hãy nội tiếp đờng tròn cho trớc một góc n giác có các cạnh song song với n đờng thẳng cho trớc.
Hớng dẫn giải: Giả sử đa giác A1, A2, …,An đã dựng đợc . Kẻ qua tâm O của đờng tròn các đờng trung trực l1, l2 ,…, ln hoàn toàn đợc xác định. Vì nó là đờng thẳng đi qua O và vuông góc với các đờng thẳng đã cho.
A2 = Đl1(A1); A3 = Đl2(A2). … ,A1 = Đln(An).
A1 là điểm bất biến qua tích Đln o Đln-1 o... o Đl2 o Đl1 (1)
* Nếu n lẻ: Tích (1) là phép đối xứng trục ( trục quay O). Trên đờng tròn có đúng 2 điểm bất động ⇒ Suy ra bài toán có đúng 2 nghiệm hình.
* Nếu n chẵn: Tích (1) là một phép quay hoặc là phép đồng nhất.
+ Nếu là phép đồng nhất ⇒ Trên đờng tròn mọi điểm đều là điểm bất động cuảt tích (1). ⇒ Bài toán có vô số nghiệm hình.
+ Nếu tích là phép quay thì trên đờng tròn không có điểm bất động ⇒ Bài toán không có nghiệm hình.
Dựa vào tích của 3, 4, . . ., n phép đối xứng trục và điểm bất động ta có thể giải quyết các bài toán tơng tự với 3 bài toán trên .
Bài toán 14: Qua tâm O của đờng tròn kẻ 3 dờng thẳng a, b,c . Hãy ngoại tiếp đờng tròn (O) tam giác ABC thoả mãn A∈ a, B ∈ b, C∈c.
Hớng dẫn giải: Gỉa sử ∆ABC dựng đợc ta có a, b, c lần lợt là các đờng
thẳng của các góc A, B, C. Khi đó gọi các tiếp điểm A1 B1 C1 tơng ứng của các cạnh BC, CA, AB với đờng tròn tâm O.
Ta có . Đc. Đa. Đb: (A1) = A1. (A1 là điểm kép).
Tích Đc. Đa. Đb là phép đối xứng trục có trục l qua O hoàn toàn xác định dợc. Mà A1∈ (O). Từ đó hoàn toàn xác định đợc A1. A1 = l (O).
Khi A1, B1 ,C1 dựng đợc ta có thể dựng đợc ∆ ABC.
Bài toán15: ( Mở rộng bài toán 14).
Cho đờng tròn tâm O. Qua O kẻ đờng thẳng a, b, c, d . Dựng tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn (O) thoả mãn A ∈ a, B ∈ b, C ∈ c D ∈d.
Tơng tự bài 14 .Ta dựng tứ giác A1B1C1D1 nội tiếp đơng tròn (giống bài 12) Trong đó A1,B1 ,C1 ,D1 là các tiếp điểm của các cạnh tứ giác ABCD với đờng tròn (O). Từ đó dựng tứ giác ABCD.
Bài toán16 : ( Bài toán tổng quát của bài 14 và bài15).
Qua tâm O của đờng tròn kẻ n đờng thẳng . Hãy ngoại tiếp quanh đờng tròn một n giác có các đỉnh nằm trên các đờng thẳng đó.
+ Bài toán có thể có 2 nghiệm hình , vô số nghiệm hình hoặc không có nghiệm hình nào .
* Sau đây xét một số bài toán mang đậm phơng pháp hình học truyền thống
nhng có thể giải quyết bằng phơng pháp sử dụng tích các phép đối xứng trục và có tính chất của nó.
Bài toán17: Cho 3 đờng thẳng ∆1,∆2,∆3 đồng quy tại O . P là một điểm cho trớc. Dựng tam giác ∆ABC sao cho tam giác đó nhận ∆1, ∆2, ∆3 làm 3 đờng trung trực và BC đi qua P.
Việc dựng ∆ABC quy về việc dựng 1 trong 3 đỉnh của ∆ABC . Giả sử cần dựng điểm B . Nhìn bài toán dới ngôn ngữ biến hình. Do ∆1,∆2,∆3 lần lợt là trung trực của AB ,AC ,BC ta có:
Đ∆1(B) =A , Đ∆2(A) = C , Đ∆3(C) = B . Suy ra Đ∆3.Đ∆2.Đ∆1(B) = B .( B là điểm bất động ) .
Mà Đ∆3.Đ∆2.Đ∆1 = Đ∆ (xác định đợc trục ∆,( ∆ qua O ) và B ∈∆ ) .
Mặt khác : B∈l (l là đờng thẳng qua P vuông góc với ∆3 ).
Hớng dẫn giải : - Dựng đờng thẳng l qua P vuông góc với ∆3 ⇒B∈l.
Có Đ∆3.Đ∆2.Đ∆1 = Đ∆ (1). Tìm giao điểm của ∆ và l ta có điểm B.
Dựng A =Đ∆1(B) ,C =Đ∆3(B). Ta có ∆ABC cần dựng .
* Đối với học sinh khá giỏi, có thể giải quyết bài toán mở rộng trên cho tr- ờng hợp tổng quát hơn .
Các bài luyện tập.
Bài 1. CMR nếu đa giác có một số ( lớn hơn 2 ) trục đối xứng thì các trục đó đồng quy tại một điểm.
Bài 2. CMR một đa giác phẳng có một số chẵn trục đối xứng thì nó có tâm đối xứng.
Bài 3. Đờng tròn nội tiếp , tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC tại các điểm M, N, P. Giả sử M', N', P' là ảnh của các điểm đó qua phép đối xứng với các trục là các đờng phân giác các góc A, B, C tơng ứng.
a> CMR M'N' // AB .
b> Gọi trung điểm các cạnh của ∆ABC là M1 ,N1 ,P1 . CMR nếu ∆ABC cân thì M1M',N1N'và P1P' đồng quy tại một điểm .
Bài 4. Cho hình vuông ABCD .Trên đờng chéo BD lấy E .Gọi O1,O2 là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABE , ∆ADE. Chứng minh rằng AO1EO2 là hình vuông.
Bài 5. Hai đờng thẳng cắt nhau theo góc β một con cào cào nhảy từ đờng thẳng này sang đờng thẳng kia , mỗi lần nhảy 1 mét và con cào cào không nhảy ngợc lại chỗ cũ nếu nh nó còn nhảy đợc đến chỗ mới . CMR quá trình nhảy sẽ lặp đi lặp lại theo chu kì ⇔ β/Π là số hữu tỉ .