Q ˆ= BOA O
2.3.Tích của 3 phép đối xứng trục.
Định nghĩa. Cho một đờng thẳng d và một véc tơ v song song với d . Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' theo quy tắc sau: Trớc hết ta lấy điểm M1 đối xứng với M qua d. Sau đó lấy M' sao cho M1M'=v (hình vẽ)
Quy tắc trên đợc gọi là phép đối xứng trợt.
- Véc tơ v gọi là vec tơ trợt.
- d gọi trục của phép đối xứng trợt .
Rõ ràng phép đối xứng trợt có đợc bằng cách thực hiện liên tiếp 2 phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến Tv. Nói cách khác: Phép đối xứng trợt là tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến Tv. (trong đó v //d ) Tv.Đd.
Vì lẽ đó phép đối xứng trợt không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Vậy nó là phép dời hình .
Chú ý: * Nếu véctơ trợt v= 0 thì phép đối xứng trợt trở thành phép đối xứng trục. Nh vậy đối xứng trục là trờng hợp riêng của phép đối xứng trợt.
* Ta cũng có thể xem phép đối xứng trợt là tích Đd .Tv . Thật vậy
v
T .Đd= Đd . Tv.
ii/ Bây giờ ta xét tích của phép đối xứng trục với phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm. Tích đó đợc thể hiện qua một số định lý sau:
Định lý 10. Cho phép đối xứng trục ∆ và phép tịnh tiến Tv . ( v ⊥∆). Khi đó Đ∆°Tv và Tv °Đ∆ là những phép đối xứng trục.
Chứng minh: a/ Chứng minh Đ∆°Tv là phép đối xứng trục. Gọi ∆' là ảnh của ∆ qua phép tịnh tiến T v
21 1
− . Theo định lý 6, tacó: Đ∆°Đ∆' = Tv. Suy ra Đ∆°Tv = Đ∆° (Đ∆°Đ∆') = (Đ∆°Đ∆)°Đ∆' = e ° Đ∆' . Nh vậy Đ∆°Tv = Đ∆' .
b/ Tv ° Đ∆ là phép đốixứg trục .
Gọi ∆’ là ảnh của ∆ qua phép tịnh tiến T v
21 1
− . Khi đó Đ∆' ° Đ∆ = Tv (theo đlý 6).
Ta nhân vào hai vế với Đ∆ vào phía bên phải ta có:
v
T °Đ∆ = (Đ∆ '° Đ∆)°Đ∆ = Đ∆° (Đ∆°Đ∆) = Đ∆'°e. Nh vậy Tv . Đ∆ = Đ ∆' (đpcm)
Định lý 11: Tích của phép đối xứng trục Đ∆ với phép đối xứng tâm ĐO (O∉
∆) là một phép đối xứng trợt.
Chứng minh: Xét tích Đ∆ o ĐO.
Qua O dựng hai đờng thẳng ∆1, ∆2 trong đó ∆12⊥∆, ∆2//∆. Suy ra ∆1⊥∆2.Ta lại có Đ∆2o Đ∆1 = ĐO.
Do đó Đ∆ o ĐO = Đ∆ o(Đ∆2oĐ∆1) = (Đ∆ o Đ∆2)oĐ∆1.
Theo định lý 6, ta có: ĐO o Đ∆2 = Tv( vlà hai lần véctơ dời biến đt∆2→đt∆1).
Vec tơ v ⊥∆⇒ v //∆1 .Do đó Đ∆ o ĐO = vo Đ∆1 là phép đối xứng trợt với véctơ trợt v, ∆1 là trục của phép đối xứng trợt.
Chú ý: * Nếu O∈ ∆ thì Đ∆ o ĐO là phép đối xứng trục ∆1 (∆1 qua O vuông góc với ∆).
iii/ Tích của 3 phép đối xứng trục. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý 12: Tích cúa 3 phép đối xứng trục với 3 trục song song là một phép đối xứng trục.
Chứng minh: ( Suy từ định lý 6 và định lý 10). Cho 3 đờng thẳng ∆1, ∆2, ∆3
đôi một song song với nhau. Một đờng thẳng vuông góc với chúng lần lợt tại H1, H2,
H3. Ta có Đ∆2o Đ∆1 = T2H1H2 .( Suy từ định lý 6 ). Do đó : Đ∆3 o Đ∆2o Đ∆1 = Đ∆ 3 o 2 1 2HH T =Đ∆' .(Theo định lý 10). Vậy Đ∆3 o Đ∆2o Đ∆1 = Đ∆' .(đpcm).
Nghĩa là tích ba phép đối xứng trục có các trục song song với nhau là phép đối xứng trục có trục song song với các trục đã cho .
Hơn nữa : Tv : ∆1→∆2 thì Tv : ∆'→∆3.
Định lý 13 <Tích giữa phép quay và phép đối xứng trục>.
Tích của phép quay tâm O với một phép đối xứng trục có trục qua O là một phép đối xứng trục.
Chứng minh: Cho phép quay α
O
Q và phép đối xứng trục Đ∆ (O∈∆ ).
Xét tích Đ∆ .QOα (1) do ∆ qua O . Gọi ∆' là ảnh của ∆ trong phép quay 2
α − O Q Tức là (∆', ∆) = 2 α . Theo định lý 8 ta có: Đ∆ o Đ∆' = QOα. Thế vào (1) ta có:
Đ∆ o α
O
Q = Đ∆ o Đ∆ o Đ∆' = e o Đ∆' = Đ∆'. ⇒ Đ∆ o.QOα = Đ∆'
Từ định lý 8 và 13 ta có hệ quả .
Hệ quả: Tích của 3 phép đối xứng trục với 3 trục đồng quy là phép đối xứng trục. Thật vậy, với 3 đờng thẳng đồng quy ∆1, ∆2, ∆3 đồng quy tại O. Khi đó Đ∆3 o Đ∆2 o Đ∆1 = Đ∆3 o (Đ∆2 o Đ∆1) dly8 Đ∆3 o 2(∆1,∆2) O Q . Theo định lý 13 ta lại có : Đ∆3 o 2(∆1,∆2) O Q = Đ∆.
Trong đó ∆ là đờng thẳng đi qua O và (∆ ,∆3) = (∆1, ∆2). Nghĩa là Đ∆3 o Đ∆2 o Đ∆1 = Đ∆ (đpcm). iv/ Bây giờ xét một số trờng hợp về tích 3 phép đối xứng trục khác. Cho các đờng thẳng ∆1, ∆2, ∆3 . Xét tích Đ∆3 . Đ∆2 .Đ∆1 trong các trờng hợp . Trờng hợp 1: ∆1// ∆2, ∆3 cắt ∆1 và ∆2 . Ta có ∆1// ∆2 . Gọi 2 v
là véc tơ tịnh tiến biến đt ∆1 → dt ∆2.
Nh vậy ta có: Đ∆2o Đ∆1 = Tv (1). Ta cần xét Đ∆3o Tv Ta phân tích Tv thành 2 phép tịnh tiến . v T = Tv1 o 2 v T . Trong đó v=v1+v2 và v2⊥∆3, v1//∆3. Khi đó Đ∆3o Tv = Đ∆3o Tv1 o 2 v T
= (Đ∆3oTv2)oTv1. (2) Theo định lý 10, do v2⊥∆3 nên Đ∆3oTv2 = Đ∆. (3) ∆ là ảnh của ∆3 qua phép tịnh tiến T v
21 1 − . Từ (1) (2) và(3) suy ra : Đ∆3 . Đ∆2 .Đ∆1 = Đ∆ .Tv1. Do ∆ // ∆3 , v1//∆3 ⇒ v1//∆. Nh vậy Đ∆ .Tv1 là một phép đối xứng trợt . Trờng hợp 2: ∆1//∆3, ∆ 1( ∆3 ) cắt ∆2 Tích Đ∆3oĐ∆2o Đ∆1 = (Đ∆3oĐ∆2) oĐ∆1 . = QI2(∆2,∆3) o Đ∆1 (4)
Theo định lý 9, ta phân tích QI2(∆2,∆3) thành tích của hai phép đối xứng trục QI2(∆2,∆3)= Đ∆'3o.Đ∆'2 (5)
Trong đó ∆'2 ≡∆3, ∆'2∆'3 = I Còn (∆'2,∆' 3) = (∆2, ∆3) ⇔ (∆3,∆'3) = (∆2, ∆3). (∆'3 là ảnh của ∆2 qua Đ∆3).Từ (4) và (5) ta có: Đ∆ 3oĐ∆2oĐ∆1 = Đ∆’3 oĐ∆3oĐ∆1 và ∆1// ∆3 ,∆ 1( ∆3 ) cắt ∆’3.. Theo trờng hợp 1 ⇒ Đ∆’3.Đ∆3.Đ∆1 là phép đối xứng trợt. Do vậy, Đ∆3.Đ∆2.Đ∆1 là một phép đối xứng trợt.
Trờng hợp 3: ∆2 // ∆3, ∆2 (∆3) cắt ∆ 1. Khi đó tích Đ∆3°Đ∆2°Đ∆1 = (Đ∆3°Đ∆2)°Đ∆1 = Tv°Đ∆1 (theo đlý6) (6) = Tv o Đ∆1 (theo đlý 6). (6) ( 2 v là véc tơ tịnh tiến ∆2 thành ∆3).
Phân tích Tv thành tích hai phép tịnh tiến. Tv=Tv2oTv1 (v1+v2 =v1 ).
Trong đó v1 ⊥∆1 , v2// ∆1.
Từ (6) ⇒ Tv o Đ∆1 =( Tv2oTv1 ) oĐ∆1 = Tv2o (Tv1o Đ∆1) (7) Xét tích Tv1 o Đ∆1.Theo định lý 10 ta có:
Tv1o Đ∆1= Đ∆ ( ∆ là ảnh của ∆1 qua phép tịnh tiến T v (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2
1 ). (8)
Từ (6), (7) và (8) suy ra: Đ∆3oĐ∆2oĐ∆1 = Tv2 oĐ∆. Do v2// ∆ nên Tv2 .Đ∆ là phép đối xứng trợt. Do đó Đ∆3o Đ∆2o Đ∆1 cũng là phép đối xứng trợt .
Trờng hợp 4: ∆1 , ∆2 , ∆3 đồng quy tại O.
Khi đó theo hệ quả (định lý 13) ta có: Đ∆3 oĐ∆2 o Đ∆1= Đ∆ là phép đối xứng trục. Trong đó ∆ là ảnh của ∆1qua phép quay QO+
(∆2,∆3).
Từ các trờng hợp trên ta suy ra một số hệ quả sau :
* Tích của phép quay QOα và phép
đối xứng trục với trục ∆ không qua O là phép
đối xứng trợt .
Thật vậy: khi xét QOαo Đ∆ . Ta phân tích QOα =Đ∆2 o Đ∆1. (∆1, ∆2 qua O, (∆1,∆2) = α/2, ∆1// ∆).
Nh vậy QOαo Đ∆ =Đ∆2 o Đ∆1 o Đ∆. ( ∆1//∆ , ∆ (∆1) cắt ∆2).
Theo trờng hợp 1 ta suy ra: Đ∆2 o Đ∆1 o Đ∆là phép đối xứng trợt ⇒ (đpcm).
*Tích của môt phép tịnh tiến Tv với phép đối xứng trục ∆ (∆ không vuông góc với v) là một phép đối xứng trợt.
Thật vậy: Tv o Đ∆=Đ∆2 oĐ∆1 oĐ∆ . Trong đó: ∆1//∆2 và T v 2 1 : ∆1→∆2 . Khi đó ∆ cắt ∆1 và ∆2. Theo trờng hợp 3: Tích Đ∆2 oĐ∆1 oĐ∆ là phép đối xứng trợt ⇒ (đpcm). Trờng hợp 5: ∆1∆2={A}, ∆2∆3 = {B}, ∆3 ∆1={C} nh hình vẽ. Xét tích Đ∆3 o Đ∆2 o Đ∆1 Ta có: Đ∆3 oĐ∆2 oĐ∆1= Đ∆3 o(Đ∆2 oĐ∆1) oQA2(∆1,∆2)
= Đ∆3 o QA2(∆1,∆2)
Phân tích QA2(∆1,∆2) thành tích hai phép đối xứng trục.Ta có QA2(∆1,∆2) = Đ∆2' ..Đ∆1'
Trong đó ∆2' // ∆3', ∆1'cắt ∆2', ∆3.
Làm tơng tự nh trờng hợp 3, ta có Đ∆3.Đ∆2′.Đ∆1′ là phép đối xứng trợt.
Từ các trờng hợp trên và các định lý suy ra: Tích của 3 phép đối xứng trục là phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay hoặc là phép đối xứng trợt.
Qua nội dung xét ở trên ta nhận thấy, từ ba định lý:
- Định lý thuận và định lý đảo về tích hai phép đối xứng trục qua hai trục song song
- Định lý thuận và đảo về tích hai phép đối xứng trục qua hai trục cắt nhau.
- Định lý thuận và đảo về tích hai phép tịnh tiến.
Có thể phát triển và chứng minh tích của các phép dời hình. Trong chứng minh vận dụng một cách nhuần nhuyễn các định lý đó. Ví dụ: Phép quay đợc phân tích một cách tiện lợi thành tích của hai phép đối xứng trục mà một trong các trục có thể coi là đờng thẳng bất kì qua tâm quay.