Dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua việc dạy học giới hạn ở các lớp THPT

Đề tài: Dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua việc dạy học Giới hạn ở các lớp THPT PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài 1.1. Cơ sở lí luận Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực trong hoạt động học tập của học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Luật giáo dục năm 2005 chương II mục 2 điều 25 có ghi: “phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh”. Đứng trước nhu cầu đó đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học dần dần khắc phục những tồn tại phổ biến của phương pháp dạy học cũ như: thuyết trình tràn lan; GV cung cấp kiến thức dưới dạng có sẵn, thiếu yếu tố tìm tòi phát hiện; thầy áp đặt, trò thụ động; thiên về dạy, yếu về học; không kiểm soát được việc học. Thay vào đó là sự đổi mới về phương pháp dạy học với mục tiêu cốt lõi là phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Trong môn Toán ở trường THPT, dạy học chủ đề Giới hạn là minh chứng rõ nét cho việc dạy học theo hướng phát huy tính tích cực trong hoạt động học tập của học sinh, phù hợp với mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Chủ đề “Giới hạn” là một trong những nội dung quan trọng, cơ bản, nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở THPT. Bởi lẽ: “không có Giới hạn thì không có Giải tích. Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn”. Khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”. Do vậy nắm vững được nội dung khái niệm Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu 1 quả các kiến thức Giải tích toán học ở phổ thông. Ngoài ra, Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng chứa đựng nhiều kiến thức, nhiều tư duy, nhất là tư duy trừu tượng, tư duy logic....Trong đó thể hiện nhiều thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa... nó đòi hỏi phẩm chất tư duy: linh hoạt sáng tạo, sự tính toán chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó. Do đó, việc phát huy tính tích cực trong dạy học chủ đề Giới hạn cần được chú trọng và quan tâm. 1.2. Cơ sở thực tiễn Quá trình dạy học tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Trong cách tiếp cận dạy học truyền thống người ta thường chú ý đến chất lượng của hoạt động dạy (chất lượng bài giảng, khả năng lôi cuốn học sinh, phong thái, cách trình bày bảng,...) xong lại xem nhẹ hoạt động học, chưa chú ý đến việc phát huy tính tích cực tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học. Vì thế, đã có một số công trình nghiên cứu về việc phát huy tính tích cực trong dạy học: “vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông, của Bùi Văn Nghị, NXB Đại học sư phạm, 2009”; Luận án tiến sĩ “phát huy tính tích cực trong dạy học Toán” của Lê Thị Xuân Liên, 2006; “phương pháp dạy học môn Toán ở THPT theo định hướng tích cực” của Bùi Thị Hường, NXB Giáo dục, 2010....Chủ đề Giới hạn tuy mới, trừu tượng nhưng đã có những đề tài nghiên cứu: Luận văn “quan điểm giải tích về cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT”, Đại học sư phạm Thái Nguyên; đề tài nghiên cứu khoa học “bồi dưỡng năng lực giải bài toán Giới hạn cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm” của Đoàn Quỳnh Giang...Từ đó cho thấy, việc phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh là vấn đề cấp bách trong dạy học, được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm và tìm hiểu; đặc biệt việc dạy học Giới hạn, một chủ đề quan trọng trong Giải tích Toán học cũng được chú trọng nghiên cứu. Không chỉ vậy, Giới hạn là một khái niệm mới và trừu tượng đối với học sinh THPT, HS còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng khi học về lí thuyết và vận dụng vào làm bài tập. Bởi vậy để HS hiểu được chứng minh, nắm vững nội dung kiến thức về Giới hạn đòi hỏi GV phải có những biện pháp sư phạm tốt, đó là các cách thức và phương tiện thích hợp như: tổ chức cho HS đa dạng các hoạt động trong quá trình học tập; kết hợp nhiều phương pháp trong giờ dạy; thực hiện kiểm tra đánh giá cho HS sau 2 mỗi bài học thông qua những bài tập thích hợp....Trong quá trình dạy học, GV phối hợp sử dụng các biện pháp thích hợp với từng nội dung bài học để góp phần tạo nên những hoạt động giao lưu của GV với HS, HS với HS, nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác trong học tập của HS khi học về chủ đề quan trọng này. Xuất phát từ cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu khóa luận: “Dạy học phát huy tính tích cực trong hoạt động học tập của học sinh thông qua việc dạy học Giới hạn ở các lớp THPT”. II. Mục đích nghiên cứu Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh ở trường THPT. Vận dụng các biện pháp đó vào phần dạy học Giới hạn ở các lớp THPT nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán ở trường THPT. III. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu cơ sở lí luận cơ bản về phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh qua học môn Toán. - Tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề Giới hạn ở trường THPT. - Đề xuất những biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát huy tính tích cực của học sinh khi dạy học chủ đề Giới hạn. - Khảo nghiệm sư phạm qua thiết kế một số giáo án. IV. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở nội dung chương trình và SGK hiện hành nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm thích hợp vào dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh thì sẽ kích thích tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải toán Giới hạn. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của GV và HS. V. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận các văn bản của ngành Giáo dục - Đào tạo, các tài liệu lí luận có liên quan đến việc dạy học môn Toán ở trường THPT, các tài liệu tâm lí giáo dục về phát huy tính tích cực trong hoạt động học tập của học sinh. - Tìm hiểu phân tích chương trình SGK liên quan đến chủ đề Giới hạn và các tài liệu tham khảo khác có liên quan. - Điều tra tìm hiểu thực tiễn dạy học Giới hạn ở trường THPT. - Khảo nghiệm sư phạm. VI. Cấu trúc của luận văn 3 Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn có 3 chương: Chương 1: Tính tích cực học tập và thực tiễn dạy học Giới hạn ở trường THPT. Chương 2: Dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua dạy học Giới hạn ở các lớp THPT. Chương 3: Khảo nghiệm sư phạm. PHẦN NỘI DUNG Chương 1 TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP VÀ THỰC TIỄN DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở TRƯỜNG THPT 1.1. Tính tích cực của học sinh trong dạy học 1.1.1. Quan niệm về tính tích cực của học sinh 1.1.1.1. Tính tích cực Theo nghĩa từ điển: “tích cực là một trạng thái tinh thần có tác dụng khẳng định và thúc đẩy sự phát triển. Người tích cực là người tỏ ra chủ động, có những hoạt động nhằm tạo ra sự biến đổi theo hướng phát triển”. Các nhà tâm lí học cũng đã phân tích, làm rõ hơn nội hàm của khái niệm tích cực: Theo V.O.Kôn: “khi nói đến tính tích cực, chúng ta quan niệm là mong muốn hành động được nảy sinh một cách không chủ định và gây nên những biểu hiện bên ngoài hoặc bên trong của sự hoạt động”. Theo Kharlamop: “tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể nghĩa là người hành động. Vậy tính tích cực của nhận thức là trạng thái hoạt động đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức”. Như vậy hiểu một cách đầy đủ, tích cực là một trạng thái của hành động trí óc hoặc chân tay của người có mong muốn hoàn thành tốt mọi công việc nào đó, thể hiện một phẩm chất vốn có của con người trong đời sống xã hội. Việc hình thành và phát triển tính tích cực là một trong các nhiệm vụ chủ yếu của giáo dục nhằm đào tạo những con người năng động, thích ứng và góp phần phát triển cộng đồng. 1.1.1.2. Tính tích cực học tập Học tập là hoạt động chủ đạo ở lứa tuổi đi học. Thông qua quá trình học tập, con người nhận thức được, lĩnh hội được những tri thức loài người đã tích lũy, đồng thời có thể nghiên cứu và tìm ra những tri thức mới cho khoa học. 4 Theo Nguyễn Ngọc Bảo: “tính tích cực học tập là thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể, thông qua sự huy động ở mức độ cao các chức năng tâm lí nhằm giải quyết những vấn đề học tập, nhận thức”. Tính tích cực học tập là một phẩm chất, nhân cách của người học, được thể hiện ở tình cảm, ý chí quyết tâm giải quyết các vấn đề mà tình huống học tập đặt ra để có tri thức mới, kĩ năng mới; giúp cho người học có khả năng học tập không ngừng. Trong hoạt động học tập, nó diễn ra ở nhiều phương diện khác nhau: tri giác tài liệu, thông hiểu tài liệu, ghi nhớ, luyện tập, vận dụng... Tính tích cực học tập, vận dụng đối với HS liên quan trước hết với động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác. Tính tích cực nhận thức trong học tập sản sinh nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm móng của sự sáng tạo. Do đó tích cực sẽ gắn liền với động cơ, với sự kích thích hứng thú, với ý thức hứng thú, có ý thức về sự tự giác học tập, ý thức về sự giáo dục của chính mình nên có thể hiểu tiêu chí nhằm phát huy tích tích cực học tập là tính tích cực tư duy. Biểu hiện ở 3 mức độ tư duy khác nhau. + Tư duy tích cực: Học sinh chăm chú nghe giảng để hiểu bài. Nghiêm túc thực hiện các yêu cầu của GV. + Tư duy độc lập: Học sinh tự mình tìm tòi suy nghĩ xây dựng khái niệm, phân tích định lí dựa trên sự gợi mở của GV. Trong quá trình học tập khi vấn đề được đặt ra HS suy nghĩ tìm tòi hướng giải quyết vấn đề. + Tư duy sáng tạo: Học sinh không chịu dừng lại ở những cái đã biết mà tìm tòi giải pháp mới hoặc khám phá ra vấn đề mới. 1.1.2. Vì sao phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh ? Trong quá trình dạy học, tính tích cực học tập của học sinh không chỉ tồn tại như một trạng thái, một điều kiện, mà nó còn là kết quả của quá trình hoạt động nhận thức, là mục đích của quá trình dạy học, chỉ có quá trình nhận thức tích cực mới tạo cho HS có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, hình thành ở HS tính độc lập sáng tạo và nhạy bén khi giải quyết các vấn đề trong học tập. Hiện nay và trong tương lai xã hội loài người đang và sẽ phát triển tới một hình mẫu “xã hội có sự thống trị của kiến thức” dưới tác động của sự bùng nổ về khoa học và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác. Để có thể tồn tại và phát triển trong một xã hội như vậy, đòi hỏi con người phải có khả năng chiếm lĩnh tri thức một cách độc lập sáng 5 tạo. Điều này đòi hỏi HS phải hoạt động tích cực, tìm tòi khám phá những khâu còn thiếu trong thông tin đã tiếp thu được và mở rộng, cải biến nó thành cái có nghĩa đối với mình. Phát huy tính tích cực trong học tập của HS và tăng cường hoạt động trí tuệ độc lập của HS trong quá trình thu nhận tri thức sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho HS. Phát huy tính tích cực học tập của HS có tác dụng phát triển những đức tính quý giá như luôn xác định mục đích, động cơ; lòng ham hiểu biết, tính kiên trì, óc sáng tạo, tính tò mò... Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kích thích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của HS đó là những điều kiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt. Quán triệt tinh thần đó việc vận dụng phương pháp dạy học hiện đại vào dạy học môn Toán đòi hỏi phải tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh nhằm hình thành cho HS tư duy tích cực độc lập và sáng tạo, tự tìm tòi khám phá phát hiện nguyên nhân, khai thác và xử lí thông tin, tự hình thành hiểu biết năng lực và phẩm chất dựa trên cơ sở những kiến thức Toán học được tích lũy có hệ thống. Để khai thác hết năng lực học tập của HS, việc tổ chức quá trình dạy học phải theo đúng con đường nhận thức khách quan “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” mà điều quan trọng nhất là học sinh hứng thú, tự giác tham gia vào quá trình học tập và chỉ có thế mới đảm bảo cho quá trình học tập đạt kết quả cao. 1.1.3. Các cấp độ của tính tích cực nhận thức Trong tác phẩm “Giáo dục học trường phổ thông” G.I.Sukina đã chia trong học tập tính tích cực có ba cấp độ từ thấp đến cao: a) Tính tích cực bắt chước, chấp nhận và tái hiện: Là tính tích cực chủ yếu dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện do các tác động bên ngoài như yêu cầu bắt buộc của của giáo viên. Trong trường hợp này học sinh bắt chước và tái hiện các kiến thức đã học, thực hiện các thao tác và kĩ năng dựa trên mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào bên trong theo cơ chế nhập tâm chưa có nỗ lực của tư duy. Cấp độ này thường phát triển mạnh ở HS có năng lực nhận thức ở mức độ trung bình và dưới trung bình. Ví dụ 1: Trong dạy bài tập toán Giới hạn, để giúp HS giải dạng toán vô định 0 , 0 GV có thể giải một bài tập mẫu lên bảng, để HS nhận dạng và HS dựa vào đó để giải quyết các bài tập tương tự cùng dạng trên. 6 b) Tính tích cực tìm tòi áp dụng: Học sinh độc lập giải quyết các tình huống học tập như quá trình lĩnh hội khái niệm, định lí, bài toán...với sự tham gia của động cơ nhu cầu hứng thú và ý chí của học sinh, sự tự giác tìm kiếm các phương thức lĩnh hội có hiệu quả. Tính tích cực tìm tòi không bị hạn chế trong khuôn khổ những yêu cầu của GV trong giờ học mà hoàn toàn tự phát trong quá trình nhận thức học tập của HS. Trong giờ học loại này thường phát triển mạnh mẽ ở những học sinh có lực học trên trung bình và khá, giỏi. Ví dụ 2: Đứng trước một bài toán tìm Giới hạn của hàm số, HS không chỉ dừng lại ở việc giải được bài toán mà còn có nhu cầu tìm ra lời giải ngắn gọn nhất, hay nhất như sử dụng tìm Giới hạn bằng định nghĩa hay sử dụng các quy tắc, đặt ẩn phụ, sử dụng đạo hàm, đó là sự thể hiện tính tích cực tìm tòi. c) Tính tích cực sáng tạo: Là tính tích cực có mức độ cao nhất, thể hiện ở chỗ trong học tập học sinh tự mình cũng có thể tìm ra được những cách giải quyết mới, không dập khuôn máy móc hay thực hiện tốt các yêu cầu hành động do GV đưa ra mà không cần sự giúp đỡ của giáo viên. Loại này thường thấy ở học sinh có năng lực nhận thức ở mức độ giỏi, học sinh năng khiếu. Ví dụ 3: Khi giải một bài toán người học thể hiện tính tích cực sáng tạo ở việc cố gắng tìm cách giải bài toán bằng nhiều con đường khác nhau, nhiều phương pháp khác nhau, đó chính là thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau. 1.1.4. Các mặt biểu hiện tính tích cực trong học tập của học sinh a) Biểu hiện về mặt hoạt động nhận thức: Tính tích cực học tập của HS thể hiện ở thao tác tư duy, ngôn ngữ, sự quan sát, ghi nhớ, tư duy hình thành khái niệm, phương thức hành động, hình thành kĩ năng, kĩ xảo các câu hỏi nhận thức của HS; giải đáp các câu hỏi do GV đưa ra nhanh chóng chính xác, sự khát khao học hỏi, biết nhận rõ đúng sai khi bạn đưa ra ý kiến, hoài nghi, phê phán và xác lập các quan hệ giúp ích cho hoạt động nhận thức. b) Biểu hiện về mặt cảm xúc, tình cảm: Thể hiện ở niềm vui, sốt sắng thực hiện yêu cầu của GV, hăng hái trả lời các câu hỏi của GV, thích phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề nêu ra. Hay thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ. c) Biểu hiện về mặt động cơ ý chí: Thể hiện ở sự nỗ lực ý chí giải quyết nhiệm vụ học tập, tập trung chú ý vào vấn đề đang học, có nhu cầu hứng thú học tập, hoàn thành 7 các bài tập, kiên trì tìm tòi đến cùng, không nản trước những tình huống khó khăn và hơn nữa là vạch ra được mục tiêu kế hoạch học tập. d) Biểu hiện về kết quả nhận thức: Thể hiện ở kết quả lĩnh hội kiến thức một cách nhanh chóng, chính xác, chủ động vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề mới. 1.1.5. Những yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực học tập của học sinh a) Hứng thú: Có vai trò rất lớn trong quá trình học tập của học sinh, khi HS có hứng thú với đối tượng nào đó sẽ hướng toàn bộ quá trình nhận thức của mình vào đối tượng, làm cho sự quan sát nhạy bén hơn, tư duy linh hoạt tích cực, ghi nhớ nhanh chóng và lâu bền, góp phần nâng cao tính tích cực học tập của HS. b) Nhu cầu: Là yếu tố đặt ra để nảy sinh, thúc đẩy hành động là nguồn gốc của tính tích cực học tập. Đôi khi, nhu cầu là nguyên nhân nảy sinh những hứng thú trực tiếp trong học tập như nhu cầu được điểm tốt, nhu cầu được tuyên dương trong buổi chào cờ đầu tuần....Nhưng quan trọng hơn là nhu cầu tìm hiểu và vận dụng kiến thức thực tiễn, điều này sẽ kích thích HS thường xuyên trau dồi tri thức trong quá trình học tập. c) Động cơ hoạt động: Được thúc đẩy bởi động cơ xác định và diễn ra trong một tình huống cụ thể. Động cơ học tập sẽ làm cho HS có lòng khao khát được mở rộng tri thức, say mê với quá trình giải quyết các nhiệm vụ học tập, nỗ lực vượt qua mọi khó khăn. Động cơ học tập là nguyên nhân bên trong đã được học sinh ý thức trở thành động lực tâm lí nội tại, có tác dụng phát huy mọi sức mạnh về trí tuệ của người học, thúc đẩy họ học tập một cách tích cực. d) Năng lực: Là điều kiện về mặt trí tuệ giúp cho HS có khả năng lĩnh hội với tốc độ nhanh, có nghĩa là có sự khái quát nhanh, trình độ phân tích tổng hợp cao với tính mềm dẻo của tư duy. e) Ý chí: Là một trong những phẩm chất quan trọng của nhân cách con người. Ý chí giúp con người vượt qua mọi khó khăn, đi sâu vào nhận thức các biểu hiện của tính tích cực. Ngược lại có tình cảm học tập và một số yếu tố mang tính tự phát như: tò mò yêu thích hoạt động sẽ kích thích được học sinh có ý thức tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức góp phần hình thành ý chí bản lĩnh cho HS. f) Môi trường: Là một trong những nhân tố tác động mạnh mẽ tới tính tích cực học tập của HS. Khi giáo viên tạo dựng được môi trường học tập tốt sẽ tạo nên hứng thú 8 học tập cho HS bởi sự cạnh tranh, thi đua giữa các HS trong lớp với nhau, từ đó hình thành ý chí học tập và phát huy được tính tích cực trong học tập của HS. g) Sức khỏe: Là nền tảng cho tính tích cực học tập của học sinh, người có sức khỏe, thể lực phát triển thì tác phong cử chỉ nhanh nhẹn, khả năng tư duy nhạy bén, linh hoạt, cường độ hoạt động học tập cao, tập trung chú ý lâu bền. Bên cạnh những yếu tố trên, để phát huy tính tích cực trong học tập của HS, người giáo viên cần xây dựng những biện pháp sư phạm thích hợp từ đó xác định thiết kế phương thức dạy học sao cho kích thích tính chủ động, tự giác, khả năng tự thể hiện, đánh giá... trong học tập, phát triển những cơ hội, động cơ học tập, xây dựng mối quan hệ tương tác giữa GV và HS, HS và HS. 1.2. Thực tiễn dạy học Giới hạn ở trường THPT Qua quá trình dự giờ, giảng dạy và tham dự các tiết thao giảng, thi giáo viên dạy giỏi của thầy cô ở các trường THPT trong đợt kiến tập và thực tập vừa qua; kết hợp tham khảo qua sách vở, các sáng kiến kinh nghiệm, đề tài nghiên cứu khoa học của thầy cô và các bạn sinh viên, tôi đã tìm hiểu thực tiễn dạy học chủ đề Giới hạn ở trường THPT như sau: 1.2.1. Thuận lợi - Các khái niệm cơ bản trong SGK được trình bày theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, nghĩa là xuất phát từ kiến thức cũ đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới. - Phân biệt rõ cho HS khái niệm +  và  chứ không trình bày chung là  như trước đây. - Các khái niệm giới hạn 0, giới hạn vô cực của dãy số, được định nghĩa theo con đường qui nạp. Cụ thể qua các hoạt động xây dựng khái niệm được mô tả nhờ vào ghi nhận trực giác số và trực giác hình học, sau đó đi đến định nghĩa trọng tâm làm cho HS tiếp cận vấn đề dễ hơn. - Các bài tập trong SGK đa dạng, phong phú, có sự phân loại trình độ HS, bám chặt với nội dung kiến thức của mỗi bài học. 1.2.2. Khó khăn a) Về kiến thức - Trong nhận thức khái niệm Giới hạn, HS thường gặp khó khăn liên quan đến ngôn ngữ: “giới hạn”, “dần về”, “nhỏ tùy ý” có ý nghĩa thông thường không tương hợp với 9 khái niệm giới hạn dạng hình thức trong mỗi bài tập, do đó khiến cho HS khó hiểu, dẫn đến áp dụng các định nghĩa trở nên máy móc. - Ở chương trình SGK ban cơ bản không đưa qui tắc tìm giới hạn dạng vô định dẫn tới khó khăn cho GV khi dạy phần này. - Việc vận dụng qui tắc tìm giới hạn ở SGK rất khó đối với học sinh có trình độ trung bình và dưới trung bình vì HS phải thực hiện qua một số bước biến đổi trung gian trước khi áp dụng. Ngoài ra, học sinh có thể nhầm lẫn giữa các qui tắc khi giải các bài toán tìm giới hạn. Học sinh thường hiểu nhầm bản chất của +  và   , đó không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra là nói đến lân cận của +  tức là trong khoảng (a; ) và lân cận của   là khoảng (; a) với a R , do đó không thể thực hiện các phép toán đại số trên chúng. b) Về tư duy: Trong quá trình giải các bài toán về Giới hạn đòi hỏi HS phải vận dụng linh hoạt các qui tắc và định lí, các phép biến đổi đại số, có sự nhìn nhận và phân tích bài toán theo nhiều hướng nhằm tìm ra hướng đi đúng. Tuy nhiên, điều này không phải học sinh nào cũng làm được với kiến thức Giới hạn vừa khó, vừa trừu tượng và mới mẻ. c) Về phương pháp - Khi học về chủ đề này HS đôi khi phải sử dụng phương pháp đặc biệt hóa, khái quát hóa....để làm công cụ học tập. Nhưng khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh trừu tượng của HS còn gặp nhiều hạn chế dẫn đến sự khó khăn trong quá trình học. - Các hoạt động chỉ đạo, nghiên cứu, bồi dưỡng giảng dạy còn nặng về tìm hiểu, làm quen và khai thác nội dung chương trình và SGK. Thiếu sự chuẩn bị đồng bộ đối với các mắt xích trong mối quan hệ rất chặt chẽ là mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện giảng dạy, đánh giá. Ngoài ra, việc cụ thể hóa, quy trình hóa những phương pháp dạy học về chủ đề Giới hạn để giúp GV sử dụng trong giảng dạy còn hạn chế. d) Về kĩ năng: Kĩ năng linh hoạt trong biến đổi các khâu trung gian, phân tích bài toán trước khi áp dụng qui tắc, định lí để tính Giới hạn ở HS còn khó khăn. e) Về đánh giá: Các kiểu đánh giá và thi cử cũng ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp giảng dạy. Do đó, trong giảng dạy, mỗi GV cần có quá trình kiểm tra đánh giá chính xác, khắt khe, công bằng, tạo điều kiện cho HS tự đánh giá lẫn nhau nhằm tăng tính hứng thú học tập và giúp HS nắm chắc kiến thức bài học. 10 1.2.3. Những sai lầm thường mắc phải của học sinh khi học “ Giới hạn” Khi học chủ đề Giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối tượng mới, kiểu tư duy mang tính biện chứng, do đó HS gặp phải rất nhiều khó khăn sai lầm không thể tránh khỏi. Tuy nhiên, những sai lầm lại có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có ích trong việc xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức đã biết trước đây. Hơn nữa, việc phát triển và biết khai thác các tình huống sai lầm HS hay mắc phải trong học tập cũng chính là quá trình phát huy tính tích cực của HS. Sau đây là một số sai lầm học sinh thường hay mắc phải khi học về Giới hạn: a) Sai lầm khi áp dụng sai định lý Ví dụ 1: Tính giới hạn 1 L= lim( n2  1 1  n2  2 1  ....  n2  n ) - Sai lầm: Học sinh làm như sau: L= lim( = lim 1 n 1 2 1 n2  1 1  n 2 2 1  lim 1  ...  n n 2  ...  lim n2  2 ) 1 n2  n = 0+0+...+0 = 0 Vậy HS đã sai lầm ở đâu? Cách giải đúng là gì? - Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ HS hiểu sai định lí các phép toán về giới hạn, định lí này chỉ đúng cho hữu hạn số hạng, còn trong bài này là tổng vô hạn nên không thể áp dụng định lí đó được. - Lời giải đúng: Với mỗi số nguyên k mà 1  k  n , ta có 1 n2  n Mà n2  n lim n n2  n  lim n2  k n n Do đó 1   n n2  1 k 1 1  1 n2  k n2  1  n n2  1 , n 1 Áp dụng nguyên lí kẹp ta được kết quả: n L= lim  k 1 11 1 n k 2 1 Từ sai lầm trên ta có nhận xét: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0 và các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và được sử dụng cho hữu hạn các số hạng. b) Sai lầm do biến đổi đại số x2  4 lim x2 x  2 Ví dụ 2: Tìm giới hạn - Sai lầm: HS giải như sau: x2  4 ( x  2)( x  2) lim  lim  lim( x  2)  4 x 2 x  2 x 2 x 2 x2 - Phân tích sai lầm: Lời giải trên là chưa chính xác do HS đã xem x  2  x  2, x . HS nhầm lẫn trong cách biến đổi đại số.  x  2, x  2 - Lời giải đúng: x  2   ( x  2), x  2 Tức là: khi x  2 thì x  2  ( x  2) và khi x  2 thì x  2  ( x  2) Để xem giới hạn khi x  2 có tồn tại hay không ta thực hiện tính các giới hạn : lim x 2 x2  4 x2  4 và lim x 2 x  2 x2 Ta có: lim x2 x2  4 x2  4 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)  lim  lim  4  4 ; lim x 2 x  2 x 2 x  2 x 2 ( x  2) x2 Ta thấy: lim x 2 x2  4 x2  4 x2  4  lim . Vậy không tồn tại giới hạn lim x2 x  2 x  2 x 2 x  2 Ví dụ 3: Tính giới hạn: lim x  x2  1 x 1 - Sai lầm: HS làm như sau: 1 x 1 x2  1 lim  lim x  x  1 x 1 1 x 2 1 12 - Phân tích sai lầm: Lời giải trên đã chia cả tử và mẫu của phân thức khử dạng vô định x2  1 cho x để x 1  . Nhưng sai lầm ở chỗ khi cho x vào trong dấu căn không để ý  x   . - Lời giải đúng: 1 1 ) x 1 2 2 x  lim x x  1 x 1 x(1  ) x x 2 (1  x 1  lim x x 1 2 lim x 1 1  1 2 2 x  lim x  1  lim x  x  1 1 x(1  ) 1 x x x 1 c) Sai lầm của học sinh khi gặp giới hạn vô cực Ví dụ 4: Tìm giới hạn 5x  1 x  x  3 I= lim - HS giải như sau: (5 x 1)  5x  1 xlim    1 x x  3 lim ( x  3)  I= lim x - Phân tích sai lầm: Lời giải trên sai ở chỗ + Áp dụng định lí các phép toán về giới hạn là sai vì tử số và mẫu số không có giới hạn hữu hạn. + HS chưa hiểu rõ khái niệm vô cực, vô cực không phải là một số cụ thể mà chỉ là một kí hiệu. - Lời giải đúng: 1 1 1 x(5  ) 5 lim (5  ) 5x  1 x  lim x  x x 5  lim I= lim x  x  3 x  x 3 3 3 x(1  ) 1 lim (1  ) x x x x Ví dụ 5: Tính lim ( x2  1  x) x - HS giải như sau: 13 lim ( x2  1  x)  lim ( x2  1)  lim ( x)    ()  0 x x x - Phân tích sai lầm: Lời giải trên sai ở chỗ coi +  ,   là một số cụ thể nên áp dụng định lí các phép toán về giới hạn hữu hạn và thực hiện phép toán    =0 như một biểu thức đại số. - Lời giải đúng : lim ( x  1  x)  lim 2 x  ( x 2  1  x)( x 2  1  x) x2  1  x x  lim x x2  1  x2 x 1  x 2  lim x 1 x 1  x 2 0 d) Sai lầm của học sinh khi tìm giới hạn bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Tính 2x  1 1 x lim x 0 - HS giải như sau: t 2 1 2 x  1  t  2x  1  x  2 Đặt t = 2 Vậy: lim x 0 2x  1 1 t 1 2  lim 2  lim 2 t  0 t  0 t 1 x t 1 2 - Phân tích sai lầm: Sau khi biến x chuyển qua biến t học sinh chưa tìm giới hạn cho biến t. t 2 1 - Lời giải đúng: Đặt t  2 x  1  t  2 x  1  x  2 2 Khi x  0 thì t  1 Vậy: lim x 0 2x  1 1 t 1 2  lim 2  lim 1 t 1 t  1 t 1 t  1 x 2 e) Sai lầm khi không hiểu rõ khái niệm giới hạn một phía Ví dụ 7: Cho hàm số  x 1 , x 1  f ( x)   x  1  2, x  1  Tìm lim f ( x) x1 14 - HS làm như sau: lim f ( x)  lim x1 x1 x 1 ( x  1)( x  1)  lim  lim x  1  0 x1 x  1 x1 x 1 - Phân tích sai lầm: HS đã nhầm lẫn cho rằng giới hạn của f(x) khi x  1 chính là giới hạn của f(x) khi x  1 và x  1 - Lời giải đúng: lim f ( x)  lim x1 x1 x 1 ( x  1)( x  1)  lim  lim x  1  0 x1 x  1 x1 x 1 lim f ( x)  lim 2  2 x1 x1 Vì lim f ( x)  lim f ( x) . Nên không tồn tại lim f ( x) . x1 x1 x1 Như vậy, những sai lầm phổ biến của HS khi làm các bài tập về Giới hạn thường xuất phát từ chỗ các em chưa nắm vững lí thuyết, nhầm lẫn trong cách biến đổi đại số, khả năng vận dụng các định lí, qui tắc chưa nhuần nhuyễn, chưa hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Vì thế, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh những ý trọng tâm của định nghĩa, khái niệm, nhấn mạnh điều kiện áp dụng của định lí và rèn luyện cho HS làm nhiều bài tập hơn, nhằm khắc phục những sai lầm các em thường hay mắc phải. 1.3. Kết luận chương Từ sự phân tích về lí luận tính tích cực và thực tiễn dạy học chủ đề Giới hạn cho thấy: - Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động, trong đó học tập là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh. Tính tích cực nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, là trạng thái hoạt động của học sinh, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức. - Tính tích cực học tập ở HS thể hiện ở sự tập trung chú ý vào vấn đề đang học, sự tự nguyện tham gia xây dựng bài, tham gia thảo luận, tranh luận, đóng góp những suy nghĩ về các vấn đề được đưa ra, không nản chí trước những tình huống khó khăn. Tính tích cực học tập được chia ra thành ba cấp độ: tính tích cực bắt chước,chấp nhận và tái hiện; tính tích cực tìm tòi và áp dụng; tính tích cực sáng tạo. 15 - Để HS hoạt động trong học tập một cách tích cực, độc lập và sáng tạo, người GV cần thúc đẩy các yếu tố như: hứng thú, gợi động cơ, nhu cầu, năng lực..., thực hiện tốt vai trò thiết kế, tổ chức các hoạt động nhận thức cho người học, tạo ra tình huống học tập hấp dẫn, lôi cuốn. - Trong thực tế dạy học ở THPT hiện nay, kĩ năng giải toán của HS nói chung cũng như kĩ năng giải bài tập về Giới hạn nói riêng còn gặp nhiều hạn chế; HS còn gặp không ít khó khăn trong quá trình tiếp cận các khái niệm giới hạn, vận dụng các qui tắc, định lí. Để khắc phục tình trạng này, trong chương 2 của đề tài đề cập tới vấn đề dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn ở các lớp THPT với mục đích xây những biện pháp sư phạm để phát huy tính tích cực trong học tập của HS. 16 Chương 2 DẠY HỌC PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở CÁC LỚP THPT 2.1. Mục tiêu dạy học Giới hạn ở các lớp THPT 2.1.1. Mục tiêu dạy học Giới hạn ở lớp 11 THPT Khi dạy học chủ đề này giáo viên phải làm cho HS nắm được những nội dung: - Các khái niệm về Giới hạn của dãy số, hàm số. - Các định lý, tính chất về Giới hạn của dãy số, hàm số. - Các quy tắc phương pháp tìm Giới hạn hữu hạn, Giới hạn vô cực, Giới hạn một bên của dãy số, hàm số. - Học sinh vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc để làm các bài tập về Giới hạn và một số bài toán thực tế trong đời sống. - HS biết được ứng dụng Giới hạn trong xây dựng định nghĩa đạo hàm, vi phân; hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong khoảng xác định. 2.1.2. Mục tiêu dạy học ứng dụng Giới hạn ở lớp 12 THPT Sau khi HS được tiếp cận với nội dung kiến thức của Giới hạn ở chương trình lớp 11, GV cần giúp HS nắm bắt được những vấn đề sau về ứng dụng của Giới hạn trong Giải tích: - Ứng dụng Giới hạn vào xác định tiệm cận của đồ thị hàm số. - Dãy số, hàm số cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm tích phân. - Giới hạn như một phương pháp để giải một số dạng toán: tìm điều kiện để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm; chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức...trong ôn thi Đại học, Cao đẳng. Không chỉ vậy, qua chủ đề này, rèn luyện cho HS kỹ năng biến đổi đại số. Rèn luyện tính tự giác, tích cực, chủ động phát hiện cũng như lĩnh hội được kiến thức, rèn luyện tính cẩn thận chính xác trong lập luận và tính toán. 2.2. Những tình huống trong dạy học Giới hạn ở các lớp THPT 2.2.1. Dạy học khái niệm Giới hạn Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học ở bất cứ một môn khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho HS một hệ thống khái niệm. Đó là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học 17 sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan cho HS. * Việc dạy học khái niệm Toán học nói chung và dạy khái niệm Giới hạn nói riêng phải làm cho HS dần dần đạt được những yếu tố sau: - Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm. - Biết nhận dạng khái niệm: biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm. - Biết phát biểu rõ ràng, chính xác, nắm chắc định nghĩa của một số khái niệm. - Biết vận dụng khái niệm trong hoạt động giải toán và trong ứng dụng thực tế. - Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong hệ thống khái niệm. Ví dụ: Trong chủ đề Giới hạn, HS phải nhận biết được mối liên hệ giữa khái niệm Giới hạn của dãy số và Giới hạn của hàm số. Những yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lí do sư phạm, các yêu cầu này không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau của từng khái niệm. Chẳng hạn: đối với khái niệm Giới hạn hữu hạn của một dãy số, đòi hỏi HS phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được định nghĩa trong khi làm bài tập. Còn đối với khái niệm Giới hạn vô cực của dãy số, thì không đòi hỏi phải nêu được khái niệm một cách tường minh mà chỉ cần HS hình dung ra được khái niệm, một cách trực quan thông qua ví dụ cụ thể. * Trong Giải tích, Giới hạn là một khái niệm trừu tượng, khó hiểu đối với học sinh THPT. Do vậy, GV cần phải làm cho HS tiếp cận được khái niệm. Đó là khâu đầu tiên, trong quá trình hình thành khái niệm Giới hạn. Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm như sau: - Con đường suy diễn - Con đường quy nạp - Con đường kiến thiết Tùy theo từng khái niệm cụ thể, mà GV nên chọn con đường hình thành khái niệm khác nhau để HS có hứng thú trong việc hình thành, nắm bắt khái niệm một cách say mê chủ động và tích cực. Ví dụ 1: Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau: + Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số: 18 (1) Dãy (un ) với un  1 n (1)n (2) Dãy (un ) với un  n (3) Dãy (un ) với un  3n  1 n (4) Dãy (un ) với un  7n  1 n (5) Dãy (un ) với un  3n  1 2  4n + HS quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên có tính chất gì? Nêu lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng ? + GV hướng dẫn HS nhận xét: từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy (1), (2) gần bằng 0, các số hạng của dãy (3) gần bằng 3, các số hạng của dãy (4) gần bằng 7, các số hạng 3 của dãy (5) gần bằng  . 4 + Sau khi cùng HS quan sát, GV yêu cầu HS nhận xét, từ đó đưa ra định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn L của dãy số. Qua ví dụ trên, GV đã cho HS tiếp cận theo con đường quy nạp; GV gợi mở để HS phát biểu định nghĩa cần tìm hiểu. Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng trong dạy học khái niệm là củng cố khái niệm. * Trong hoạt động củng cố khái niệm thường được tiến hành bằng các hoạt động : - Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm: Một trong những chủ nghĩa hình thức trong học tập môn Toán là một số HS học thuộc cách phát biểu khái niệm nhưng lại không nhận biết một đối tượng cụ thể thỏa mãn khái niệm đó hay không tự mình tạo ra những đối tượng thỏa mãn khái niệm. Vì vậy cần thiết phải cho HS tiến hành hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” để củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho vận dụng khái niệm. Ví dụ 2: Sau khi học xong khái niệm Giới hạn hữu hạn của dãy số, để giúp HS khắc sâu khái niệm và hiểu rõ nội dung trọng tâm của khái niệm, GV yêu cầu HS làm các bài tập sau: 19  2  5n  5 1. Chứng minh rằng: lim  ( nhận dạng)   2n  2 2. Cho un  1 . Tìm lim(un ) (thể hiện) 5n - Hoạt động ngôn ngữ: Để giúp HS củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích HS diễn đạt các định nghĩa bằng lời theo cách hiểu của bản thân. Sự chú ý đến phương diện ngôn ngữ trong dạy học khái niệm sẽ góp phần phát triển ngôn ngữ toán học cho HS, bao gồm vốn từ ngữ và các kí hiệu toán học, tạo cơ sở phát triển năng lực vận dụng toán học vào học tập các bộ môn khác, vào khoa học và đời sống. Ví dụ 3: Từ cách hiểu về khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số, học sinh có thể phát biểu lại khái niệm đó theo các cách như sau: Cách 1: Dãy (un ) được gọi là có giới hạn L nếu khoảng cách từ un đến L càng dần tới 0 khi n càng lớn. Cách 2: Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn L khi n tăng lên vô hạn nếu có thể làm cho un sai khác với L một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn n đủ lớn. - Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa: Là các hoạt động nhằm mở rộng khái niệm, nêu lên sự đặc trưng của khái niệm, sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học hay nhận biết mối quan hệ giữa các khái niệm khác nhau. Ví dụ 4: Sau khi học xong phần Giới hạn của dãy số, GV cho HS hệ thống lại các khái niệm Giới hạn của dãy số đã học như sau: Giới hạn 0  Giới hạn hữu hạn L  Giới hạn vô cực của dãy số. Trong quá trình dạy học GV cần hướng dẫn cho HS phân biệt rõ “Giới hạn hữu hạn” và “Giới hạn vô cực” của dãy số, hàm số; cụ thể ở sự khác nhau trong định nghĩa khái niệm cũng như về kí hiệu của mỗi giới hạn. * Phân chia khái niệm: Giúp HS nắm vững những khái niệm Toán học. 20 Khi dạy học khái niệm Giới hạn GV có thể cho HS phân chia như sau: Giới hạn Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số Giới hạn vô cực Giới hạn hữu hạn Giới hạn tại vô cực Giới hạn một bên Bên cạnh đó, khi dạy học khái niệm giới hạn, GV cần làm cho HS hiểu rõ không phải dãy số, hàm số nào cũng có giới hạn. Ví dụ 5: Dãy số (un ) với un  (1)n . Dãy này không có giới hạn vì khi biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số ta thấy nếu n chẵn thì: un  1 và nếu n lẻ thì: un  1. Nên khi n tăng các điểm un  (1)n không chụm lại quanh bất kỳ một điểm L nào. 2.2.2. Dạy học về định lý của Giới hạn Các định lý cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức. Việc dạy học định lý Toán học nói chung và định lý về Giới hạn nói riêng cần đạt được các yêu cầu sau: - Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. - Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý; thấy được chứng minh định lý là một yếu tố quan trọng trong học toán. - Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra cách chứng minh mới. 21 Trong việc dạy học định lý Toán học có hai con đường khác nhau: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn được minh họa như sau: Con đường suy diễn Con đường có khâu suy đoán Gợi động cơ và phát biểu vấn đề Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý Chứng minh định lý Phát biểu định lý Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra Củng cố định lý Tùy thuộc vào nội dung của mỗi định lý và tùy thuộc vào điều kiện cụ thể của HS mà GV lựa chọn con đường tiếp cận định lý cho thích hợp. Ví dụ 1: Khi dạy cho HS định lý kẹp về giới hạn của dãy số, theo con đường suy diễn, GV có thể gợi động cơ và phát biểu vấn đề bằng cách cho HS làm bài tập sau: Bài tập: Cho 3 dãy số ( un ), (vn ) , (w n ) với lim un  lim w n  a và un  vn  wn . Hãy tìm lim vn ? HS có thể giải như sau: Từ giả thiết: un  vn  wn suy ra 0  vn  un  wn  un , n Theo định lí về giới hạn của dãy số ta có: lim(w n  un )  lim w n  lim vn  a  a  0 nên lim(vn  un )  0 Do đó: lim vn  lim (vn  un )  un   lim(vn  un )  lim un  0  a  a Vậy: lim vn  a Từ bài toán này, GV có thể hướng dẫn để HS suy diễn dẫn tới phát biểu định lý sau đây: 22 Định lý: “Cho ba dãy số ( un ), (vn ) , (w n ) . Nếu un  vn  wn , với mọi n và lim un  lim w n  a,(a  R) thì lim vn  a ”. Sau khi phát biểu xong định lý, GV cho HS vận dụng định lý để giải bài toán sau: Bài toán: Tìm giới hạn: lim 3sin n  4cos n n5 Giải: HS nhận xét: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: (3sin n  4cos n)2  (32  42 )(sin 2 n  cos 2 n)  25 Suy ra: 3sin n  4cos n  5  5  3sin n  4cos n  5 Vì n+5 >0, n  N * . Nên 5 3sin n  4cos n 5   n5 n5 n5 Mà lim 3sin n  4cos n 5 5  lim 0  0  lim n5 n5 n5 Trên đây chính là hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý kẹp của giới hạn dãy số. Trong việc dạy học định lý cũng như khái niệm việc phát triển ngôn ngữ cho HS là không thể thiếu. GV cần cho HS phát biểu định lý dưới dạng nhiều ngôn ngữ khác nhau: dạng công thức, dạng mệnh đề “ Nếu - thì ”. Ví dụ 2: Từ định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số ở SGK, HS có thể phát biểu lại theo cách hiểu của mình như sau: Cách 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương thì giới hạn của mẫu phải khác không). Cách 2: Nếu “ lim f ( x)  L và lim g ( x)  M ( L, M  R ) thì: x  x0 x  x0 lim  f ( x)  g ( x)  L  M ; x  x0 lim  f ( x) g ( x)  LM ; lim x  x0 x  x0 lim  f ( x)  g ( x)  L  M ; x  x0 f ( x) L  ( M  0 )” g ( x) M Ngoài ra, từ định lý này ta có thể khái quát hóa thành định lý tổng quát sau: “ Nếu lim f1 ( x)  M1 , lim f 2 ( x)  M 2 ,...., lim f n ( x)  M n ( M1, M 2 ,...M n  R) thì x x0 x x0 x  x0 23 lim  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)  M1  M 2  ...  M n ” x  x0 Hoặc cũng từ định lý: “Nếu lim f ( x)  L và lim g ( x)  M thì lim  f ( x) g ( x)  LM ” x  x0 x  x0 xx0 Ta có thể đặc biệt hóa thành nhận xét sau: “ Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số thì với mọi x0 R ta có: lim ax k  a(lim x)k  ax0k ” x  x0 x  x0 * Khi dạy định lý cho học sinh cần lưu ý tới các điều kiện để áp dụng định lý, để tránh những sai lầm đáng tiếc, những suy luận vô nghĩa. Ví dụ 3: Tính lim( 1  x2  x  1) x1 + Có học sinh lập luận như sau: Ta có: lim 1  x2  0,lim x  1  0 . Vậy theo định lý về giới hạn của tổng hai hàm số x1 thì: x1 lim( 1  x2  x  1)  0 x1 + Thực ra hàm số f ( x)  1  x 2  x  1 không có giới hạn tại x=1 do biểu thức 1  x 2  x  1 chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x=1 nên tập xác định của f(x) là D  1 . Do đó không thể định nghĩa lim f ( x) được, vì không thể lấy bất kỳ dãy  xn  x1 nào với xn  D, xn  1 mà  xn  dần tới 1 được. + Qua ví dụ ta thấy: HS đã áp dụng định lý nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng định lý. * Sau khi học xong định lý để giúp HS có thể nắm vững và hiểu sâu định lý, GV có thể củng cố định lý bằng cách thành lập các mệnh đề đảo, phản đảo rồi cho HS nhận xét xem các mệnh đề có đúng không hoặc từ các ví dụ để rút ra những nhận xét có ích cho HS trong quá trình làm toán Giới hạn. Ví dụ 4: Tính 1  2  ...  n x  n2  2 lim + Ở bài toán này, nếu không nắm vững định lí về phép toán giới hạn thì HS sai lầm trong khi làm, cụ thể: 1 2 n 1  2  ...  n  lim 2  lim 2  ...  lim 2  0  0  ...  0  0 2 x n  2 x n  2 x n  2 x  n 2 lim 24 Ta thấy: định lý về phép toán giới hạn chỉ áp dụng cho hữu hạn số hạng nhưng trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng. + Lời giải đúng: Ta có: 1  2  ...  n  n(n  1) . Nên 2 1  2  ...  n n(n  1) n2  n lim  lim  lim 2 x  x 2(n 2  2) x 2n  4 n2  2 1 n 1  lim x 4 2 2 2 n 1 + Từ bài toán trên đi đến nhận xét: Tổng vô hạn của các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0. Ví dụ 5: Xét xem mệnh đề sau có đúng không: “Nếu hai dãy số (un ),(vn ) đều không có giới hạn thì tổng của chúng cũng không có giới hạn” Giải: Ta thấy mệnh đề trên rõ ràng là sai vì: Phản chứng: xét 2 dãy số un  (1)n và vn  (1)n1 . Ta thấy rằng: (un ),(vn ) đều không có giới hạn nhưng: lim(un  vn )  lim (1)n  (1)n1   lim0  0 Như vậy: Hai dãy số không có giới hạn nhưng tổng của chúng vẫn có thể có giới hạn. 2.2.3. Dạy học quy tắc tìm Giới hạn Thực ra, những quy tắc không hoàn toàn độc lập với định nghĩa, định lý. Có những quy tắc dựa vào một định nghĩa hay định lý, có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của định nghĩa hay định lý. Đối với dạng toán tìm Giới hạn, ta trình bày các quy tắc dựa trên khái niệm thuật giải. Trong môi trường toán học, chúng ta sẽ được tiếp xúc với nhiều bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp; trong số đó, có những bài toán tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải. Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải. Thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau hữu hạn bước. Ví dụ 1: Khi dạy cho HS quy tắc 2 tìm Giới hạn vô cực của hàm số, GV có thể hướng dẫn HS : để tính lim x  x0 f ( x) ta làm như sau: g ( x) Bước 1: Tính lim f ( x), lim g ( x) x x0 x x0 25 Bước 2: Nếu lim f ( x)  L  0, lim g ( x)  0 , g(x) > 0 hoặc g(x) < 0, với mọi x x0 x x0 x  J \  x0  , với J là một khoảng nào đó chứa x0 thì lim x  x0 Dấu của L Dấu của g(x) f ( x) được cho trong bảng: g ( x) lim x  x0 f ( x) g ( x) + +  +    +     Tuy nhiên, trong quá trình dạy học, ta cũng gặp một số quy tắc, tuy chưa mang đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm đó luôn đúng trong quá trình áp dụng phương pháp làm, đó là những quy tắc tựa thuật giải. Ví dụ 2: Khi gặp giới hạn dạng 0 , ta có thể áp dụng một số phương pháp sau để khử: 0 + Sử dụng hằng đẳng thức + Phân tích đa thức thành nhân tử + Nhân chia với lượng liên hợp * Trong dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý một số vấn đề sau: - Nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, phát biểu rõ quy tắc thành các bước, tạo điều kiện thuận lợi cho HS nắm vững được nội dung từng bước và trình tự thực hiện các bước đó. - Cần trình bày rõ ràng các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán. x  x 2  x3  x 4  4 x1 x  x 2  x3  3 Ví dụ 3: Tính giới hạn lim Bước 1: Nhận dạng Ta thấy: lim( x  x 2  x3  x 4  4)  0 , lim( x  x 2  x3  3)  0 x1 x1 Suy ra giới hạn có dạng Bước 2: Khử dạng 0 0 0 0 26 + Sử dụng hằng đẳng thức để phân tích x  x 2  x3  x 4  4  ( x  1)  ( x 2  1)  ( x3  1)  ( x 4  1) = ( x  1) 1  ( x  1)  ( x 2  x  1)  ( x3  x 2  x  1)  x  x 2  x3  3  ( x  1)  ( x 2  1)  ( x3  1) = ( x  1) 1  ( x  1)  ( x 2  x  1)  + Giản ước x  x2  x3  x4  4 1  ( x  1)  ( x 2  x  1)  ( x3  x 2  x  1) = x  x 2  x3  3 1  ( x  1)  ( x 2  x  1) Bước 3: Áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính x  x 2  x3  x 4  4 1  ( x  1)  ( x 2  x  1)  ( x3  x 2  x  1) 5 = = lim x1 x1 3 x  x 2  x3  3 1  ( x  1)  ( x 2  x  1) lim - Cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các bước đã nêu trong thuật giải, nếu chủ thể không biết thực hiện các chỉ dẫn thì dù có thuộc quy tắc tổng quát cũng không áp dụng được vào trường hợp cụ thể. Ví dụ 4: Tính lim x 1 2x  3 x 1 Nếu HS không biết là lim( x 1)  0 và x  1  0 khi x  1 thì cũng không áp dụng  x1 được quy tắc tìm giới hạn. - Cần cho HS thấy được và biết cách sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước. - Thông qua dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS. Ví dụ 5: Khi gặp dạng toán tính giới hạn khử 0 của hàm phân thức chứa căn thức thì ta 0 0 bằng cách nhân chia lượng liên hợp. Dựa vào đó, GV hướng dẫn HS tìm cách 0 giải cho trường hợp giới hạn dạng 0 của hàm phân thức có chứa căn thức mà không 0 tìm được lượng liên hợp hoặc nhân tử chung bằng phương pháp chèn hằng số vắng, với dạng tổng quát sau: m Tìm: lim x x0 f ( x)  n g ( x ) h( x) 27 Bên cạnh những quy tắc thuật giải, tựa thuật giải giúp giải các dạng toán chính xác và nhanh gọn thì ta còn có một số quy tắc mang tính chất tìm đoán như: quy lạ về quen, khái quát hóa, trừu tượng hóa.....Các quy tắc này thường được thực hiện theo hai con đường: - Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động. - Tập luyện cho HS những hoạt động ăn khớp với những quy tắc, phương pháp mà ta mong muốn HS thực hiện. Cần lưu ý rằng, những quy tắc phương pháp tìm đoán chỉ là gợi ý, giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán, đảm bảo chắc chắn sẽ dẫn đến kết quả. Vì vậy, khi cho HS sử dụng chúng, cần rèn luyện cho HS tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sẽ không có gì đáng ngại nếu học sinh không thành công khi áp dụng quy tắc tìm đoán nào đó; mà điều quan trọng là HS nhận ra được sai lầm, điều chỉnh hướng đi thích hợp để tìm ra phương pháp đúng. Đó chính là việc học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, một phương pháp học đang được chú trọng trong trường phổ thông hiện nay. 2.2.4. Dạy học giải bài tập Giới hạn 2.2.4.1. Vai trò của bài tập Giới hạn Bài tập Giới hạn có vai trò rất quan trọng trong phần giải tích Toán học ở THPT, là tiền đề, cơ sở, phương pháp cho các bài tập về hàm số, phương trình - bất phương trình; dạng bài tập đạo hàm, tích phân, vi phân. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện các hoạt động nhất định: nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán phức hợp, những hoạt động trí tuệ. * Khi dạy bài tập, GV cần phải hướng tới mục tiêu dạy học: + Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình dạy và học, kể cả những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn. + Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. + Bồi dưỡng thế giới quan duy vật, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới như: tích cực, chủ động, chịu khó, ý thức tự giác cao, luôn say mê học hỏi, khám phá cái mới, yêu khoa học.... 28 * Về phần nội dung của bài tập phần Giới hạn: giúp người học nhận dạng, rèn luyện các khái niệm, định lý, quy tắc một cách thành thạo và người học có thể nắm vững kiến thức thông qua mỗi loại bài tập. * Phương pháp dạy học bài tập Giới hạn là yếu tố để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác nhau. Nếu GV linh hoạt trong khai thác những dạng bài tập sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập ở mỗi HS hoặc trong nhóm HS với nhau. 2.2.4.2. Các yêu cầu đối với lời giải Khi giải các bài tập về Giới hạn, yêu cầu phải có lời giải tốt, chính xác, khoa học, tức là: - Lời giải phải có kết quả đúng, kể cả những bước trung gian. - Lập luận chặt chẽ. - Lời giải đầy đủ. - Ngôn ngữ chính xác. - Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Ngoài ra yêu cầu đối với HS khá, giỏi: - Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất. - Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Ví dụ 1: Tính giới hạn 1  2 ( x  1)  I = lim sin  sin  ...  sin x x x x   x HS giải như sau: Đặt Ax  1  2 ( x  1)  sin  sin  ...  sin  x x x x  Biến đổi: 2 xAx sin     2  ( x  1)    2sin sin  2sin sin  ...  2sin sin 2x  2x x 2x x 2x x   3   3 5  (2 x  1)    (2 x  3)  cos  cos   cos  cos   ...  cos  cos 2x 2x   2x 2x  2x 2 x    = 2sin ( x  1) . 2x 29 Suy ra: Ax  2sin ( x  1) 2x 2 x.sin  2x   2 2 ( x  1) 2 Vậy: lim Ax  lim . 2 x sin = .1.sin  x  x     2  2x sin 2x Ví dụ 2: Tìm giới hạn x2 K  lim x0 9  x sin 3x  4  5cos 2 x HS giải như sau: Áp dụng phương pháp nhân biểu thức liên hợp Ta có: K  lim x0 x2 9  x sin 3x  4  5cos 2 x x2 ( 9  x sin3x  4  5cos 2 x )  lim x0 (9  x sin3x)  (4  5cos 2 x) ( 9  x sin 3x  4  5cos 2 x ) 33 6   x0 sin 3x 1  cos 2 x 3.1  5.2 13 3.  5. 2 3x x  lim sin 3x 1  cos2x 2sin 2 x  1 ; lim (Vì: lim  lim  2) x0 3x x0 x0 x2 x2 Trên đây là các lời giải của HS đảm bảo được 5 yêu cầu đó là lời giải tốt. Trong thực tế dạy toán, tùy từng đối tượng mà dạy cho các em giải nhiều bài toán cùng một phương pháp hoặc hướng dẫn cho HS giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho HS tăng cường tính sáng tạo, độc lập suy nghĩ để tìm ra các lời giải mới. Ví dụ 3: Tính giới hạn: I  lim x 6 x2 2 x6 GV có thể hướng dẫn HS các cách giải như sau: Cách 1: Nhân chia lượng liên hợp I  lim x 6  lim x 6 ( x  2  2)( x  2  2) x6  lim x  6 ( x  6)( x  2  2) ( x  6)( x  2  2) 1 1  x2 2 4 30 Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( x  2  2) ( x  2  2) 1  lim  x6 ( x  2)  4 x6 ( x  2  2)( x  2  2) 4 Ta có: I  lim Cách 3: Đặt ẩn phụ t  x  2, t  0, t 2  x  2  x  t 2  2 Đặt Khi x  6 thì t  2 Vậy: t 2 t 2 1  lim  2 t 2 t  4 t 2 (t  2)(t  2) 4 I  lim 2.2.4.3. Dạy học phương pháp chung để giải các bài toán về Giới hạn và các dạng bài tập Giới hạn Hiện nay một bộ phận của GV khi dạy giải bài tập toán học chỉ đơn thuần là cung cấp cho HS lời giải của bài toán, chưa đào sâu và khắc sâu cho HS nắm rõ phương pháp, hướng đi cho từng dạng bài toán. Vấn đề đặt ra ở đây là dạy học như thế nào để HS có khả năng giải được các bài toán. Trong chương trình toán phổ thông có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật giải; đối với những dạng bài toán này GV cần hướng dẫn HS suy nghĩ cách tìm tòi lời giải, nên bắt đầu từ đâu, trình tự các bước đi như thế nào...Chúng ta biết rằng, không có phương pháp tổng quát nào, không có thuật toán chung nào để giải mọi bài toán. Chỉ có thể thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể, dần truyền cho các em kinh nghiệm, nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp HS tự tìm thấy lời giải của các bài toán khác. Với ý nghĩa đó, để tổ chức các hoạt động học tập của HS trong quá trình dạy học giải bài tập toán GV cần hình thành cho HS về cách thức giải bài toán theo bốn bước của Polya như sau: Bước 1: tìm hiểu nội dung đề bài. Bước 2: tìm cách giải. Bước 3: trình bày lời giải. Bước 4: nghiên cứu sâu lời giải. Từ đó ta thấy, khi dạy bài tập Giới hạn GV có thể khái quát để phân dạng bài tập, nhằm tìm ra phương pháp chung để giải mỗi dạng đó, cụ thể GV có thể phân chia một số dạng toán về Giới hạn như sau: Dạng 1: Chứng minh sự tồn tại giới hạn * Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, định lý và các tính chất của giới hạn. * Một số bài tập minh họa 31 Bài tập 1: CMR dãy số un  (1)n không có giới hạn Bài tập 2: CMR hàm số f(x) có giới hạn khi x  1 , với:  x2  x  2 , x 1  f ( x)   x  1  x 2  x  1, x  1  Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy số, hàm số *Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số. Ngoài ra, có thể sử dụng nguyên lý kẹp, sự biến thiên của hàm số. * Một số bài tập minh họa Bài tập 1: Chứng minh rằng:  2  n  a. lim    1  1  5   1  b. lim  x cos   0 x 0 x  Bài tập 2: Tính giới hạn a a a  a. K  lim  cos .cos 2 ....cos n  2 2 2     n  b. I  lim 2 2  2  2  ...  2  3  n   n  daucan   Bài tập 3: Tính các giới hạn sau: a. lim x2  x  3  2x  3 sin ax (ab  0) x 0 bx b. lim x  2  3 x2  2 Hướng dẫn giải: x 0 3 n 2 Bài tập 1: a. Đặt un     1 5 n 2 Vì lim(un  1)  lim    0 . Nên lim un  1 (đpcm). 5 1 1 b. Ta có: 1  cos  1   x  x.cos  x , x  0 x x Mà lim x  lim x  0  lim x.cos x0 x0 x0 1 1   0 . Vậy lim  x cos   0 (đpcm). x 0 x x  a a a Bài tập 2: a. Đặt A  cos .cos 2 ...cos n 2 2 2 TH1: Nếu a  k 2 , ta có: A  0  K  0 TH2: Nếu a  k 2 , ta có: 32 a sin a  2 2sin a 2 a sin a 2 A2  cos 2  a 2 2sin 2 2 ... a a sin 2n1 An  cos n  a 2 2sin n 2 sin a  A  A1. A2 ... An  a 2n.sin n 2 a n sin a sin a sin a  K  lim  lim 2  n n a a n sin a a 2 .sin n n 2 2 Vậy: Nếu a  k 2 thì K=0 A1  cos a  k 2 thì K= sin a a b. Đặt 3    2.cos  2.cos 1 2 6 3.2     A2  2  A1  2  2.cos 1  2(1  cos 1 )  2.2.cos2 2  2cos 2 3.2 3.2 3.2 3.2 A1  3  2. A3  2  A2  2  2cos      2.(1  cos 2 )  2.2.cos2 3  2cos 3 2 3.2 3.2 3.2 3.2 ....    2 )  2.2.cos  2cos 3.2n2 3.2n1 3.2n1     2(1  cos n1 )  2.sin 2 n  2.sin n 3.2 3.2 3.2 An1  2  An2  2(1  cos An  2  An1   2   K  lim 2n. An  lim  2n1.sin n   lim n n 3.2  3 n  sin  3.2n  2  3 n 3.2 Bài tập 3: Sử dụng hằng đẳng thức và thêm bớt lượng cho thích hợp. 33 Đáp án: a.  6 27 4 b. a b Dạng 3: Các dạng vô định thường gặp Giới hạn có dạng “vô định” là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản vì nó không thỏa mãn điều kiện áp dụng các định lý. Vấn đề đặt ra là muốn sử dụng các định lý về giới hạn thì ta phải “khử” dạng vô định và chuyển chúng về các dạng xác định, rồi giải bình thường. Trong chương trình toán phổ thông các dạng vô định thường gặp là giới hạn có dạng: 0  , ,   ,0. 0  * Các bước để giải bài tập giới hạn dạng vô định Bước 1: Nhận dạng giới hạn dạng vô định a. Giả sử: Tính lim f ( x) (khi x  x0 hoặc x  x0 , x  x0 , x  , x   ) g ( x) + Nếu lim f ( x)  0 và lim g ( x)  0 thì có dạng x x x x 0 0 0 . 0 Lưu ý: Khi giảng dạy GV đưa ra một số dạng toán khác để HS nhận dạng: lim x  x0 f ( x) g ( x) với lim f ( x)  0 hoặc lim g ( x)  0 để tránh tình trạng HS không nhận dạng mà áp x x0 x  x0 dụng ngay phương pháp giải. + Nếu lim f ( x)   và lim g ( x)   thì A có dạng   b. Tính lim f ( x)  g ( x) (khi x  x0 hoặc x  x0 , x  x0 , x  , x   ) Nếu lim f ( x)   và lim g ( x)   thì có dạng    c. Tính lim f ( x).g ( x) , (khi x  x0 hoặc x  x0 , x  x0 , x  , x   ) Nếu lim f ( x)  0 và lim g ( x)   thì có dạng 0. Bước 2: Khử các dạng vô định 34 + Giới hạn có dạng 0 0 Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử Cho f(x), g(x) là các đa thức ta có: ( x  x0 ) f1 ( x) f ( x) f1 ( x) f1 ( x0 )  xlim  lim  g ( x)  x0 ( x  x0 ) g1 ( x) xx0 g1 ( x) g1 ( x0 ) I  xlim x 0 ( lim g1( x)  0 ) x x0 Nếu f1 ( x0 )  g1 ( x0 )  0 thì ta lại tiếp tục phân tích , quá trình này sẽ dừng lại khi nhận được giới hạn lim gk ( x)  0 . x x0 Ví dụ 1. Tìm các giới hạn: x 3  5 x 2  3x  9 b. J  lim x3 x2  9 x2  4 a. I  lim x2 x  2 Giải: a. + Nhận dạng Ta thấy lim( x 2  4)  lim( x  2)  0 x 2 x 2 Vậy giới hạn có dạng + Khử dạng 0 0 0 0 ( x  2)( x  2)  lim( x  2)  4 x 2 x 2 x2 I= lim b. + Nhận dạng Ta thấy: lim( x3  5x 2  3x  9)  lim( x 2  9)  0 x3 x3 Vậy giới hạn có dạng + Khử dạng 0 0 0 0 ( x  3)( x 2  2 x  3) x2  2x  3 0  lim  0 x3 x3 ( x  3)( x  3) ( x  3) 6 J  lim 1  cos 2 x x 0 x sin x 2. Tìm giới hạn: I  lim Giải: Ta thấy giới hạn trên có dạng vô định biến đổi lượng giác: 35 0 0 . Để khử dạng , ta sử dụng kỹ năng 0 0 2sin 2 x sinx  lim2 2 x0 x sin x x0 x 3. Các ví dụ tương tự: Tìm các giới hạn sau Ta có: I  lim 1  sin 2 x  cos 2 x 2 x 4  5 x3  3x 2  x  1 a. lim b. lim 4 2 x0 1  sin 2 x  cos 2 x x1 3x  8 x  6 x  1 Để giải bài tập dạng vô định trên yêu cầu HS phải có tri thức về phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đa thức, kỹ năng biến đổi biểu thức lượng giác. Phương pháp 2: Nhân chia lượng liên hợp cả tử và mẫu (với biểu thức đại số có chứa căn thức ở tử, mẫu) Tìm lượng liên hợp bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức: x 2  y 2  ( x  y )( x  y ) x3  y3  ( x  y)( x 2 xy  y 2 ) Ví dụ 1. Tìm giới hạn: 1  x2  1 a. A= lim x 0 x2 Giải: a. A có dạng Khử dạng x 1 3x  1  2 x 1 0 0 0 0 A= lim x 0 b. Ta thấy B có dạng Khử dạng b. B  lim ( x 2  1  1)( x 2  1  1) x 2 ( x 2  1  1)  lim x 0 1  x2  1 x 2 ( x 2  1  1)  1 2 0 0 0 0 ( 3x  1  2)( 3x  1  2)( x  1) x1 ( 3x  1  2)( x  1)( x  1) B  lim  lim x1 3( x  1)( x  1) 3  ( x  1)( 3x  1  2) 2 2. Tìm giới hạn sau: 3 a. lim x 1 2x 1  3 x x 1 3 b. lim x 4 2x  1  3 2 x Ở bài tập này hàm số chứa hai căn thức ở tử và mẫu do vậy ta phải nhân cả tử và mẫu với hai biểu thức liên hợp của cả tử và mẫu. 36 Lưu ý: Có những bài toán ta phải sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng quen thuộc thì mới khử được dạng vô định. 3. Tìm giới hạn sau x  x2  x  1 B = lim x 1 x 1 3 + Giới hạn có dạng 0 0 + Biến đổi đại số x 1 x2  x  lim B = lim x 1 x  1 x 1 x  1 3 0 bằng cách nhân lượng liên hợp và phân tích thành nhân tử lần lượt từng 0 giới hạn trên. + Khử dạng Ngoài ra, để khử dạng vô định 0 , GV có thể hướng dẫn HS áp dụng phương pháp mở 0 rộng sau: Phương pháp 3: Nếu f(x), g(x) là biểu thức có chứa căn thức mà không tìm được lượng liên hợp hoặc nhân tử chung thì ta sử dụng phương pháp chèn hằng số để quy lạ về quen. Cụ thể, biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng tổng quát sau: m F(x) = Phân tích f ( x)  u ( x)  n v( x) f ( x) 0  có giới hạn dạng 0 g ( x) g ( x) f1 ( x)  c f 2 ( x)  c  g ( x) g ( x) Tìm c: gọi i (i  1,2,...) là nghiệm của g(x)=0. Khi đó c là nghiệm của hệ:  f1 (i )  c  0 (i=1,2,...)  f (  )  c  0  2 i Với c tìm được thì lim x i f1 ( x)  c f ( x)  c , lim 1 sẽ là dạng xác định hoặc dạng quen g ( x) xi g ( x) thuộc. Ví dụ: 1. Tìm giới hạn: 2 x 1  3 8  x x 0 x I = lim Giải: + Nhận dạng: giới hạn có dạng 0 0 37 + Sử dụng phương pháp chèn hằng số vắng ta có: c  R , 2 x 1  c c  3 8  x  x x 2 0  1  c  0 Nghiệm của mẫu thức x=0 suy ra c là nghiệm của hệ:  c2  c  3 8  0  0  2 x 1  2 2  3 8  x  2 x 1  2 2 3 8 x  lim  lim Vậy I = lim    x0 x 0 x0 x x x x   x 1 3 1 x  1 1 8 )  2. 1  2. 1  13  2lim( )  2lim( x0 x 0 x x 2 24 12  n 1  ax  1  a (Vì áp dụng giới hạn cơ bản đã chứng minh được là: lim   ) x 0 x   n 2. Một số ví dụ tương tự: Tìm các giới hạn sau 1  2 x  3 1  3x ) a. lim( x 0 x2 +Giới hạn dạng  cos 2 x  2 x  4 1  2 x 2  4 x   b. lim  x 0   x2     f ( x) với f(x), g(x) là các đa thức đại số. x  g ( x) Dạng: lim Phương pháp 1: - Trường hợp hàm số hữu tỉ: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x có mặt trong biểu thức. - Trường hợp hàm số vô tỉ: Hãy đặt biến số x làm thừa số chung rồi đơn giản. a1xm  a2 xm1  ...  am1 - Trường hợp giới hạn có dạng: I  lim sẽ xảy ra một trong 3 x b x n  b x n1  ...  b 1 2 n1 trường hợp sau: Nếu m = n thì: chia cả tử và mẫu cho x n ta được: I  a1 b1 Nếu m > n thì: chia cả tử và mẫu cho x m ta có kết quả: I   Nếu m < n thì ta được kết quả : I  0 Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau 38 x 1 a. A  lim 2 x 3x  5 x  9 b. B  lim x  x2  1  x 3x  5 Giải: a. Ta có : 1 1 x2 (  2 ) 0 x x A  lim  0 x 2 5 9 x (3   2 ) 3 x x b. Ta có: B  lim x  2. Tính giới hạn 1 1 x x( 1  2  1) 2 2 x x  lim  x 5 5 3 x(3  ) x(3  ) x x x 1 I  lim Giải: + Giới hạn có dạng (2)n  3n (2)n1  3n1   + Khử dạng: Chia cả tử và mẫu cho 3n1 ta có  2  1 1   .  3 3 3 1  lim   n1  3  2     1  3  n I  lim (2)n  3n (2)n1  3n1 3. Ví dụ tương tự: Tìm các giới hạn a. lim x  x2  2  x 3x  1  x 2 b. lim x 2 7x 14 x  1  16 x 2  x  1 Phương pháp 2: Sử dụng nguyên lý kẹp Chọn k(x) và h(x) sao cho k ( x)  f ( x)  h( x ) . g ( x) f ( x) A x  g ( x) Chứng minh: lim k ( x)  lim h( x)  A . Kết luận: lim x x Ví dụ: Tính giới hạn sau Giải: Ta có: x  R thì 1 lim sinx x  x 1 1 1 1 1 sinx    sinx  x x x x x 1  1  1 Mà: lim    lim    0 . Vậy lim sinx =0 x  x x  x  x  x  39 Nhận xét: + So với dạng vô định  0 thì dạng “dễ tìm” hơn. HS cần xác định đúng  0 dạng và chỉ cần quan tâm đến bậc của tử và mẫu. Chú ý đối với giới hạn  của hàm  số chứa căn thức ta không nhân liên hợp. + Với giới hạn x   cần lưu ý hai khả năng x  , x   trong phép lấy giới hạn có chứa căn bậc chẵn. Nếu HS không để ý đến vấn đề này thì rất dễ mắc sai lầm. + Giới hạn dạng   ,0. Phương pháp: Để khử dạng này ta nhân chia với lượng liên hợp để đưa về dạng 0  , 0  đã biết cách giải. Lưu ý: - Khi giải bài tập này cần áp dụng hằng đẳng thức, phép biến đổi cơ bản của đại số, lượng giác. 0  - Nắm vững cách tính giới hạn của , 0  Ví dụ 1.Tính giới hạn:    b. J  lim(1  x).tan  x  x1 2  a. I  lim tan 2 x.tan(  x) 4 x 4 Giải: a. Ta thấy : khi x   4 hàm số có giới hạn dạng 0.   tan x 2 tan x 2 tan x 1  tan x 4 .  . Ta có: tan 2 x.tan(  x)  2 4 1  tan x 1  tan  .tan x 1  tan 2 x 1  tan x 4 tan   2 tan x  ( x   k , k  Z ) (1  tan x)2 4 2 tan  2 tan x 4 1  2  x  (1  tan x) (1  tan )2 2 4 4 b. Ta thấy giới hạn có dạng 0. Đặt t  1  x  x  1  t . Khi x  1 thì t  0  I  lim Suy ra:     J  lim t.tan   t   lim t.cot t t 0 2  2 2  t 0 40    t.cos t t t 2  lim 2 2 .cos  t  2 lim 2 .limcos 2 t = lim t 0 t 0    2  t 0 sin  t t 0  sin t sin t 2 2 2  2  .1.1  2  2. Tìm giới hạn: E  lim ( x  1  x ) x Giải: Hàm số có giới hạn dạng    khi x   1 ( x  1  x )( x  1  x )  lim 0 x  x x 1  x x 1  x 3. Ví dụ tương tự: Tìm các giới hạn sau Ta có: E  lim a. lim  3 x3  5 x 2  3 x3  8 x  x      x) tan x b. lim(  2 x 2 Từ các tình huống dạy học điển hình trên, GV giúp HS nắm chắc được những kiến thức trọng tâm về khái niệm, định lý, quy tắc, dạng bài tập của Giới hạn. Không chỉ dừng lại ở đó, Giới hạn còn có ứng dụng quan trọng trong Giải tích toán học. Dạy học về ứng dụng của Giới hạn, GV cần có sự linh hoạt trong việc tạo dựng mối quan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, để từ đó HS thấy được tầm quan trọng của chủ đề Giới hạn trong Toán học THPT và tạo điều kiện cho HS khắc sâu các kiến thức đã học. 2.2.5. Dạy học về ứng dụng của Giới hạn trong toán học THPT Chủ đề Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học của phổ thông nói riêng; là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở trường phổ thông. Chính vì vậy, Giới hạn được sử dụng như một công cụ để xây dựng nên các khái niệm của Giải tích: đạo hàm, vi phân, tích phân; xét tính liên tục của hàm số. Không chỉ vậy, Giới hạn còn được dùng như một phương pháp để giải một số dạng toán THPT. Do đó, trong quá trình dạy học GV cần có sự liên kết các kiến thức trong chương trình học từ lớp 11 đến lớp 12 liên quan đến Giới hạn nhằm giúp HS có cách nhìn xuyên suốt giữa các kiến thức, nắm vững chúng và có sự tìm tòi, mở rộng tri thức mới. 2.2.5.1. Sử dụng Giới hạn để xét tính liên tục của hàm số Khái niệm Giới hạn của hàm số là cơ sở nhằm xác định tính liên tục của hàm số, đặc biệt đối với các hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác... Sau 41 đây là những ứng dụng cụ thể của khái niệm Giới hạn trong xét tính liên tục của hàm số: 1. Tính liên tục của hàm số tại một điểm; liên tục một bên tại một điểm; liên tục trên khoảng, đoạn và tính gián đoạn của hàm số: a. Tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và x0  (a; b) . Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu: + Tồn tại lim f ( x) x  x0 + lim f ( x) = f ( x0 ) x  x0 Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số sau:  x2  5x  6 ,x 1  f ( x)   x  1  7, x  1  Giải: Ta có: f (1)  7 x2  5x  6 ( x  1)( x  6) lim f ( x)  lim  lim  lim( x  6)  7 x1 x1 x1 x1 x 1 x 1  lim f ( x)  f (1)  f(x) liên tục tại x=1 x1 b. Liên tục một bên tại một điểm Phương pháp: + Nếu lim f ( x)  f ( x0 )  f ( x) liên tục bên phải tại x0 . xx0 + Nếu lim f ( x)  f ( x0 )  f ( x) liên tục trái tại x0 . xx0 + Nếu lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 )  f ( x) liên tục tại x = x0 xx0 xx0 Ví dụ: Xét tính liên tục một bên của hàm số sau:  x 1  , x  0 f ( x)   x  2, x  0  Giải: Ta có: f(0)=2 x lim f ( x)  lim(1  )  2  f (0) . Vậy hàm số trên liên tục bên phải tại x= 0 x0 x0 x lim f ( x)  lim(1   x 0 x 0 x )  0  2 . Vậy hàm số không liên tục bên trái tại x= 0 x KL: Hàm số f(x) không liên tục tại x=0 42 c. Liên tục trên khoảng, đoạn của hàm số Phương pháp: + Xét tính liên tục của f ( x) tại mọi điểm của khoảng xác định  f ( x) liên tục trên khoảng. + Hàm số f xác định trên  a; b  được gọi là liên tục trên đoạn  a; b  nếu f ( x) liên tục trên khoảng (a;b) và lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b) . xa xb Ví dụ: Cho hàm số f ( x) xác định như sau:  x4  3( x  2) , x  4 f ( x)   4  ,x  4  3 Chứng minh rằng: f ( x) liên tục trên đoạn  0;4 Giải: Theo giả thiết, ta được: f ( x) liên tục trên  0; 4  . Ta cần chứng minh f ( x) liên tục bên trái tại x=4 lim f ( x)  lim x4 x4 x4 ( x  2)( x  2) 4  lim   f (4) 3 3( x  2) x4 3( x  2)  f ( x) liên tục trái tại x=4. Vậy f ( x) liên tục trên đoạn  0;4 Ngoài ra, còn có dạng toán tìm tham số để hàm số liên tục trên khoảng hoặc đoạn xác định. d. Xét tính gián đoạn của hàm số tại một điểm Phương pháp: + Tìm x0 để hàm số không xác định. + Chứng minh lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0 Ví dụ: Tìm điểm gián đoạn của hàm số: f ( x)  x x 9 2 Giải: Ta có: x2  9  0  x  3 Ta thấy tại x  3 hàm số đã cho không xác định  hàm số gián đoạn tại x  3 2. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm trên  a; b  Từ khái niệm Giới hạn của hàm số ta xét được tính liên tục của hàm số. Qua đó, một ứng dụng quan trọng của tính liên tục của hàm số là chứng minh phương trình có nghiệm trên  a; b  bằng phương pháp sau: + Ta chứng minh f(x) liên tục trên đoạn  a; b  43 + Tìm hai số c,d   a; b : f (c). f (d )  0  x0   a; b  : f ( x0 )  0 . Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0   a; b  Ví dụ: Chứng minh các phương trình sau có ít nhất một nghiệm trong khoảng xác định: a. f(x)= 3x  4x  9x  0 trong đoạn  0;1 b. f(x)= ( x  a)( x  b)  2 x 2  a 2  b2  0 ,biết 0 < a [...]... các lớp THPT với mục đích xây những biện pháp sư phạm để phát huy tính tích cực trong học tập của HS 16 Chương 2 DẠY HỌC PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở CÁC LỚP THPT 2.1 Mục tiêu dạy học Giới hạn ở các lớp THPT 2.1.1 Mục tiêu dạy học Giới hạn ở lớp 11 THPT Khi dạy học chủ đề này giáo viên phải làm cho HS nắm được những nội dung: - Các khái niệm về Giới hạn của. .. Toán học 20 Khi dạy học khái niệm Giới hạn GV có thể cho HS phân chia như sau: Giới hạn Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Giới hạn hàm số Giới hạn vô cực Giới hạn hữu hạn Giới hạn tại vô cực Giới hạn một bên Bên cạnh đó, khi dạy học khái niệm giới hạn, GV cần làm cho HS hiểu rõ không phải dãy số, hàm số nào cũng có giới hạn Ví dụ 5: Dãy số (un ) với un  (1)n Dãy này không có giới hạn. .. học ở THPT hiện nay, kĩ năng giải toán của HS nói chung cũng như kĩ năng giải bài tập về Giới hạn nói riêng còn gặp nhiều hạn chế; HS còn gặp không ít khó khăn trong quá trình tiếp cận các khái niệm giới hạn, vận dụng các qui tắc, định lí Để khắc phục tình trạng này, trong chương 2 của đề tài đề cập tới vấn đề dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn ở các. .. dụ 4: Sau khi học xong phần Giới hạn của dãy số, GV cho HS hệ thống lại các khái niệm Giới hạn của dãy số đã học như sau: Giới hạn 0  Giới hạn hữu hạn L  Giới hạn vô cực của dãy số Trong quá trình dạy học GV cần hướng dẫn cho HS phân biệt rõ Giới hạn hữu hạn và Giới hạn vô cực của dãy số, hàm số; cụ thể ở sự khác nhau trong định nghĩa khái niệm cũng như về kí hiệu của mỗi giới hạn * Phân chia... được chú trọng trong trường phổ thông hiện nay 2.2.4 Dạy học giải bài tập Giới hạn 2.2.4.1 Vai trò của bài tập Giới hạn Bài tập Giới hạn có vai trò rất quan trọng trong phần giải tích Toán học ở THPT, là tiền đề, cơ sở, phương pháp cho các bài tập về hàm số, phương trình - bất phương trình; dạng bài tập đạo hàm, tích phân, vi phân Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện các hoạt động nhất định: nhận... niệm sẽ góp phần phát triển ngôn ngữ toán học cho HS, bao gồm vốn từ ngữ và các kí hiệu toán học, tạo cơ sở phát triển năng lực vận dụng toán học vào học tập các bộ môn khác, vào khoa học và đời sống Ví dụ 3: Từ cách hiểu về khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số, học sinh có thể phát biểu lại khái niệm đó theo các cách như sau: Cách 1: Dãy (un ) được gọi là có giới hạn L nếu khoảng cách từ un đến L... niệm về Giới hạn của dãy số, hàm số - Các định lý, tính chất về Giới hạn của dãy số, hàm số - Các quy tắc phương pháp tìm Giới hạn hữu hạn, Giới hạn vô cực, Giới hạn một bên của dãy số, hàm số - Học sinh vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc để làm các bài tập về Giới hạn và một số bài toán thực tế trong đời sống - HS biết được ứng dụng Giới hạn trong xây dựng định nghĩa đạo hàm,... xác định 2.1.2 Mục tiêu dạy học ứng dụng Giới hạn ở lớp 12 THPT Sau khi HS được tiếp cận với nội dung kiến thức của Giới hạn ở chương trình lớp 11, GV cần giúp HS nắm bắt được những vấn đề sau về ứng dụng của Giới hạn trong Giải tích: - Ứng dụng Giới hạn vào xác định tiệm cận của đồ thị hàm số - Dãy số, hàm số cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm tích phân - Giới hạn như một phương pháp để... minh các đẳng thức và bất đẳng thức trong ôn thi Đại học, Cao đẳng Không chỉ vậy, qua chủ đề này, rèn luyện cho HS kỹ năng biến đổi đại số Rèn luyện tính tự giác, tích cực, chủ động phát hiện cũng như lĩnh hội được kiến thức, rèn luyện tính cẩn thận chính xác trong lập luận và tính toán 2.2 Những tình huống trong dạy học Giới hạn ở các lớp THPT 2.2.1 Dạy học khái niệm Giới hạn Trong việc dạy học Toán,... nhiều bài tập hơn, nhằm khắc phục những sai lầm các em thường hay mắc phải 1.3 Kết luận chương Từ sự phân tích về lí luận tính tích cực và thực tiễn dạy học chủ đề Giới hạn cho thấy: - Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động, trong đó học tập là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh Tính tích cực nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, là ... sư phạm để phát huy tính tích cực học tập HS 16 Chương DẠY HỌC PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở CÁC LỚP THPT 2.1 Mục tiêu dạy học Giới hạn lớp THPT 2.1.1... tiễn dạy học Giới hạn trường THPT Chương 2: Dạy học phát huy tính tích cực học tập học sinh thông qua dạy học Giới hạn lớp THPT Chương 3: Khảo nghiệm sư phạm PHẦN NỘI DUNG Chương TÍNH TÍCH CỰC HỌC... TÍCH CỰC HỌC TẬP VÀ THỰC TIỄN DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở TRƯỜNG THPT 1.1 Tính tích cực học sinh dạy học 1.1.1 Quan niệm tính tích cực học sinh 1.1.1.1 Tính tích cực Theo nghĩa từ điển: tích cực trạng thái