Bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập hình học 12 THPT

Hình học 12 THPT là một trong những mảng kiến thức quan trọng, xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập cho nội dung này khá phù hợp cho việc bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.. Tóm lại

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

Tri thức nhân loại là vô tận, kiến thức của từng người thì có hạn Cứ sau một chu kỳ ngắn khối lượng tri thức trên các lĩnh vực lại tăng lên gấp đôi vì vậy không một nhà trường nào có thể dạy đủ và dạy hết tri thức cho học sinh Để người học

có thể cập nhật được tri thức của nhân loại và tiếp tục học ngay cả khi không còn ngồi trên ghế nhà trường thì cần phải được rèn luyện, bồi dưỡng năng lực tự học

Trong nhà trường phổ thông hiện nay, nhiều nơi việc dạy học còn chủ yếu hướng vào khối lượng kiến thức cần ghi nhớ, rèn luyện kỹ năng giải toán mà chưa chú ý nhiều đến việc dạy cách học, phương pháp học Nhiều bài dạy trong chương trình được coi là quá dài so với thời lượng quy định Vì vậy, để đạt được mục tiêu dạy học phù hợp với nội dung dạy học thì giáo viên cần phải thiết kế nội dung dạy học nhằm học sinh tự học cũng như bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh Đối với học sinh lớp 12,_lớp cuối cấp của THPT, thì tự học là rất quan trọng trong quá trình ôn thi đại học, cao đẳng Các em phải biết phân chia quỹ thời gian có hạn của mình, lập kế hoạch cụ thể để rà soát lại toàn bộ những mảng kiến thức thu lượm được.; sau đó phải biết đánh giá để thi của các năm , đánh giá năng lực bản thân

để có hướng tự học, tự bồi dưỡng

Hình học 12 THPT là một trong những mảng kiến thức quan trọng, xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập cho nội dung này khá phù hợp cho việc bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

Nhiều kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy để nâng cao chất lượng giáo dục thì phải biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo, biến quá trình

giáo dục thành quá trình tự giáo dục Vì những lí do trên, đề tài được chọn là: “Bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập Hình học 12 THPT”

2 Phương pháp tiến hành

- Tập hợp và nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến phương pháp dạy học tự học

nói chung và phương pháp dạy học tự học môn Toán nói riêng

- Tìm hiểu thực trạng dạy học tự học hiện nay đối với môn Toán

- Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập Hình học 12 THPT nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh

- Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập Hình học 12 THPT

- Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các hệ thống câu hỏi và bài tập Hình học 12 thông qua điều tra, kiểm tra và bài thu hoạch của học sinh

3 Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung chủ yếu vào việc bồi dưỡng năng lực tự

học cho học sinh THPT, đặc biệt là học sinh khối 12 thông qua nghiên cứu nội dung hình học 12 THPT

4 Cấu trúc

Đề tài gồm ba phần mở đầu, nội dung và kết luận

Phần nội dung được chia thành ba phần:

Nhà xuất bản giáo dục Trung học phổ thông Véctơ chỉ phương Véctơ pháp tuyến

NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

1 Tổng quan về cơ sở lý luận của đề tài

Qua nghiên cứu một số tài liệu, tác giả thấy rằng:

Bồi dưỡng là làm tăng thêm năng lực hoặc phẩm chất

Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một

hoạt động nào đó

Tự học là quá trình chủ thể nhận thức tự mình hoạt động lĩnh hội tri thức và rèn

luyện kỹ năng thực hành, không có sự hướng dẫn trực tiếp của giáo viên và sự quản lí trực tiếp của cơ sở giáo dục đào tạo

Hệ thống là tập hợp nhiều yếu tố, đơn vị cùng loại hoặc cùng chức năng, có quan

hệ hoặc liên hệ với nhau chặt chẽ, làm thành một thể thống nhất

Bài tập là bài ra cho học sinh làm để tập vận dụng những điều đã học

Tóm lại, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh thông qua hệ thống câu hỏi

và bài tập là thông qua tập hợp các câu hỏi và bài tập được sắp xếp theo một chủ

đề nhất định, theo một định hướng cụ thể phù hợp với năng lực của học sinh và mục tiêu của chương trình nhằm làm tăng thêm khả năng tự nhận thức, rèn luyện

kỹ năng thực hành do bản thân học sinh tự mình hoạt động

2 Mục tiêu chung của đề tài

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn, xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập Hình học 12 một cách hợp lý nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

3 Những yêu cầu về kiến thức, kỹ năng, năng lực cần thiết cho học sinh

Về kiến thức:

- Học sinh nắm vững được các khái niệm các khối đa diện đơn giản, về thể tích,

…; biết tính theo công thức diện tích các mặt, thể tích các khối đơn giản;nắm vững các khái niệm, tính chất, định lý về vectơ và tọa độ trong không gian

Về kỹ năng:

- Kỹ năng vẽ hình, thực hành tính toán, trình bày lời giải

- Kỹ năng chung để tìm lời giải, khai thác bài toán

- Kỹ năng sử dụng vectơ và tọa độ trong giải toán

- Kỹ năng “đọc” và “viết” phương trình đường, mặt

Về năng lực:

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ, chuyển đổi ngôn ngữ từ hình học tổng hợp sang hình học giải tích và ngược lại Có thể nói gọn đây là năng lực chuyển đổi giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của nội dung toán học

- Năng lực suy luận; tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa,

II Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập Hình học 12 THPT nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

1 Hệ thống câu hỏi và bài tập về “Hệ tọa độ trong không gian”

Khi dạy bài “Hệ tọa độ trong không gian” giáo viên có thể yêu cầu học sinh

đọc nội dung ba phần đầu rồi ghi những nội dung mà mình cho là cần thiết ra giấy Sau đó, giáo viên phát cho mỗi học sinh hệ thống câu hỏi và bài tập dưới đây và yêu

cầu học sinh trả lời và giải các bài tập đó bằng những kiến thức mà các em đã ghi lại

Trong hệ trục tọa độ Oxyz

1 Liên hệ giữa hệ trục tọa độ trong không gian với hệ trục tọa độ trong mặt phẳng?

2 Cho véctơ u 3i 5k Hãy viết tọa độ của véctơ u



3 Cho điểm M thỏa mãn OM 2i 4k 5 j Hãy viết tọa độ của điểm M 4

Tọa độ của một điểm M trong hệ tọa độ Oxyz được xác định như thế nào?

5 Các phép toán về véctơ bao gồm những phép toán nào? Biểu thức tọa độ của

những phép toán này? Hãy phát biểu bằng lời biểu thức tọa độ của những phép toán đó? Chứng minh những kết quả này như thế nào?

6 Điều kiện để hai véctơ cùng phương là gì? Hai véctơ u 2;1; 3 , v 4;2;6   có cùng phương không?

7 Nêu biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai véctơ? Các ứng dụng của tích vô

hướng? Có thể chứng minh các kết quả này không?

8 Cho các véctơ u 2; 5;3 , v 1;3;    2

a) Tìm tọa độ của mỗi véctơ sau: a u v,b 2u3v

b) Tính u.v; u ; 2u   v

c) Tính cosin của góc giữa hai véctơ u, v

  d) Tìm t để ut v  2uv

9 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A 1;0;1 ,B 2;1;2 ,D 1; 1;1 ,       C' 4;5; 5   a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp

b) Tính các kích thước của hình hộp

10 Cho ba điểm A 3; 2;5 ,B 2;1; 3 ,C 5;1; 1    

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác

b) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác

d) Tìm tọa độ của điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

ý khi viết tọa độ của véctơ này ĐS: u 3;0; 5  

3 Véctơ OM



có thứ tự các véctơ i, j, k

   không đúng thứ tự để học sinh cần phải lưu ý đến thứ tự của các véctơ này và viết lại véctơ OM

ut v  2u v ut v 2u  v 0 ĐS: t 95

52



9 Bài tập này nhằm hai mục tiêu:

- Kiểm tra xem học sinh có nắm được tính chất của hình hộp không?

- Kiểm tra xem học sinh có biết vận dụng các kiến thức đã đọc vào một tình huống

10 Bài tập này nhằm kiểm tra xem học sinh có biết vận dụng các kiến thức đã đọc

được để vận dụng vào tính huống cụ thể không?

a) Để chứng minh ba điểm A, B, C lập thành một tam giác ta cần chứng minh ba điểm này không thẳng hàng Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta cần chứng minh hai véctơ AB,AC

d) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ADBC ĐS: D 10; 2;7  

2 Hệ thống câu hỏi và bài tập về thể tích khối đa diện

1.[ĐH KD.2010] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh

bên SAa; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là điểm H

thuộc đoạn AC; AH AC

4

 Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh

rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

2.[ĐH KB.2006] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a, ADa 2;SAa và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M và

N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SMB và tính thể tích khối tứ diện ANIB theo a

3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có ABa, góc giữa hai mặt phẳng A'BC và ABC bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a

4.[ĐH KA.2009] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D; ABAD2a,CD ; góc giữa hai mặt phẳng a SBC và ABCD bằng 0

60 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

5 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có A'AA'BA'C3a, đáy ABC là tam giác cân ở A với AB3a, BC2a Tính theo a thể tích của khối đa diện A'BCC'B'

6 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền ACa, góc

BAC30 ; SASBSCb Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, b

7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAa,SBa 3

và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN

8 Cho tứ diện ABCD có ABx, các cạnh còn lại có độ dài bằng a

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x

b) Tính x theo a để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất?

Gợi ý hướng giải và ĐS

1 Để chứng minh M là trung điểm của đoạn SA ta có thể chứng minh tam giác

SAC cân tại C

Để tính thể tích của khối chóp S.MBC ta có thể dựa vào một trong hai cách sau: Cách 1: Xác định chiều cao và tính thể tích của khối chóp này trực tiếp bằng công thức

Cách 2: Dựa vào một khối đa diện khác

mà ta dễ dàng tính được thể tích, chẳng

hạn như S.ABC,M.ABC

Với bài toán này ta hoàn toàn xác định

được chiều cao của khối chóp đã cho

nên ta tính thể tích của khối chóp

* Tính thể tích của khối chóp S.MBC

Ta có thể tích của khối chóp S.ABC là

3 ABC

2 Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng

này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Chứng minh hai mặt phẳng SAC , SMB   vuông góc với nhau

Ta có I là trọng tâm tam giác ABD nênBI 2BM a 6

AI IB a AB nên tam giác AIB vuông tại I

Như vậy BMAC, BMSA nên BMSAC  SBM  SAC

* Tính thể tích khối tứ diện ABIN

3 Để tính được thể tích của khối lăng trụ ta cần xác định được góc giữa hai mặt

phẳng A'BC và ABC   Để xác định được góc giữa hai mặt phẳng   và  

ta có thể tiến hành như sau:

- Xác định giao tuyến  của hai mặt phẳng     và 

- Lấy một mặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng 

- Gọi a, b lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng  P với hai mặt phẳng   và   Khi đó góc giữa hai đường thẳng a,b là góc giữa hai mặt phẳng     ,

Kẻ AHBC, HBC Do tam giác

ABC đều nên H là trung điểm của cạnh

BC

Tam giác A'BC cân tại A' nên

A'HBC, do đó góc giữa hai mặt

phẳng A'BC và ABC   bằng góc



A 'HA

Theo giả thiết ta có  0

A'HA60 nên AA ' AH.tan 600 3a

2

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là

3 ABC

3a 3

V AA '.S

8

4 Với những giả thiết của bài toán ta nhận thấy để tính được thể tích của khối

chóp S.ABCD ta cần phải xác định góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD

A '

C ' B'

Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD   bằng góc SHI

Theo giả thiết ta có  0

đa diện A'BCC'B' gián tiếp thông qua hai khối ABC.A 'B'C', A'.ABC

Tam giác ABC cân tại A

nên

1BC

Thể tích của khối đa diện A'BCC'B' là

Trong tam giác vuông SAH ta có

Vậy thể tích khối chóp S.BMDN là

3 BMDN

8 a) Ta có thể giải bài toán bằng hai cách sau đây:

Cách 1: Coi tứ diện ABCD là hình chóp đỉnh D

Do DADBDC nên hình chiếu vuông góc H của D trên mặt phẳng ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC cân tại C, với CAa, AB nên x

1

2cos A

2 2 ABC

b) Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD, ta có thể giải bằng một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng hàm số Điều kiện để tứ diện tồn tại là 0 x a 3

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x :

Từ bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số f x  là

49a

4 Do đó thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng

Đồng thời, thông qua việc giải quyết từng bài tập trong hệ thống học sinh cần phải điều chỉnh cách tính thể tích trực tiếp theo công thức hoặc dựa vào các khối

đa diện khác liên quan Do đó góp phần bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tư duy quyết định đúng từ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề cho

học sinh

Thông qua việc giải các bài tập trên đây học sinh có thể nhận thấy rằng để giải một bài tập về thể tích ta có thể tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Xác định chiều cao của khối đa diện(khối chóp, khối lăng trụ)

Một số trường hợp đặc biệt giúp xác định nhanh chiều cao của khối chóp, khối lăng trụ:

- Trên hình vẽ đã sẵn có 1 đường thẳng vuông góc với đáy Khi đó ta chỉ cần kẻ đường thẳng qua đỉnh và song song với đường thẳng nói trên, chẳng hạn bài tập 2

- Đỉnh của hình chóp hoặc hình lăng trụ cách đều các đỉnh ở đáy Khi đó chiều cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ là đoạn nối đỉnh với tâm đường tròn đi qua các đỉnh mà đỉnh của hình chóp hoặc hình lăng trụ cách đều, chẳng hạn bài tập 5, bài tập 6

- Có một mặt nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ đi qua đỉnh và vuông góc đáy Khi đó chiều cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ là đoạn vuông góc kẻ

từ đỉnh xuống giao tuyến của hai mặt nói trên, chẳng hạn bài tập 7

Bước 2: Tính độ dài chiều cao

Sau khi xác định được chiều cao, ta cần tính chiều cao Trong phần này có thể việc tính độ dài chiều cao gắn liền với góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng Học sinh phải nắm được cách xác định và tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng, chẳng hạn bài tập 3, bài tập 4

Bước 3: Tính diện tích đáy và thể tích khối đa diện

Việc nêu lên các bước này cũng chỉ mang tính chất tương đối Nó có ý nghĩa làm cho học sinh thấy được để tính thể tích của khối đa diện cần phải tiến hành những công việc đó, chứ không nhất thiết đúng trình tự đã nêu

Cũng thông qua hệ thống bài tập trên đây, học sinh nhận thấy rằng có những tình huống tính thể tích của khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp gặp khó khăn thì

có thể sử dụng đến các khối đa diện khác dễ tính thể tích hơn và có mối liên hệ với khối đa diện ta đang cần tính thể tích, chẳng hạn bài tập 1, bài tập 5

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

3 Hệ thống bài tập về phương trình mặt phẳng

Hệ thống bài tập về mặt phẳng được chia thành ba phần dựa vào việc xác định VTPT của mặt phẳng

Xác định được trực tiếp VTPT của mặt phẳng

Xây dựng hệ thống bài tập thuộc phần này có thể dựa vào sơ đồ sau :

Dựa vào sơ đồ trên đây, ta có thể xây dựng hệ thống bài tập như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng  Ptrong mỗi trường hợp sau:

1 Đi qua điểm M 1;1;1  và song song với mặt phẳng  Q có phương trình

4 Song song và cách đều hai mặt phẳng

Song song với 1 mp Vuông góc với 1 đt

Đi qua 1 điểm Thỏa mãn điều kiện về

khoảng cách

MẶT PHẲNG

Gợi ý hướng giải và ĐS

1 Mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q nên có phương trình dạng

x2y3z c 0,c Mặt phẳng 5  P đi qua điểm M nên

3 Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu  S

Mặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng d nên phương trình có dạng

2x2y   (nhận véctơ chỉ phương của d làm 1 VTPT) z c 0

Mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r được xác định bởi 2 2   

r R d I, P Phương trình  P là 2x2y   , 2x 2y z 19 0z 1 0    

4 Mặt phẳng  P song song với hai mặt phẳng đã cho nên phương trình có dạng

x2y3z c 0,c 6;c 4  P cách đều hai mặt phẳng nên

   

       

d  , P d  , P Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta lấy

1 điểm thuộc mặt phẳng này và tính khoảng cách đến mặt phẳng kia

ĐS: phương trình mặt phẳng  P là x2y3z  1 0

5 Mặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng d nên phương trình có dạng

2x y 3z  Khoảng cách từ hai điểm c 0 A, B đến mặt phẳng  P bằng

nhau nên d A, P   d B, P    ĐS: phương trình mặt phẳng  P là 2x y 3z  1 0

Xác định được cặp véctơ không cùng phương vuông góc với VTPT của mặt phẳng

Xây dựng hệ thống bài tập thuộc phần này, ta có thể dựa vào sơ đồ sau:

Dựa vào sơ đồ trên, ta có thể xây dựng được hệ thống bài tập như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng  Ptrong mỗi trường hợp sau:

6 Đi qua ba điểm A 4;1;4 ,B 3;3;1 ,C 1;5;5     

khoảng cách

Đi qua 2 điểm hoặc chứa 1 đt

MẶT PHẲNG

hoặc song song

10 Chứa 2 đường thẳng cắt nhaud :x 1 y 7 z 3;d ' :x 6 y 1 z 2

 sao cho đường thẳng d là hình chiếu

vuông góc của đường thẳng

Gợi ý hướng giải và ĐS

6 Mặt phẳng  P đi qua ba điểm A, B,C nên hai véctơ AB,AC

 

cùng vuông góc với VTPT của mặt phẳng  P Do đó mặt phẳng  P nhận véctơ n AB,AC



không cùng phương với u



Mặt phẳng  P chứa đường thẳng d nên đi qua điểm M và nhận véctơ u, n

Mặt phẳng  P chứa d nên đi qua M và nhận véctơ u,u '



không cùng phương với u



Mặt phẳng  P chứa d và d ' nên đi qua M, nhận véctơ u,u '



cùng phương với u



Mặt phẳng  P chứa d và d ' nên đi qua M, nhận véctơ u, MN

 

làm một VTPT

Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S nên d I, P    R

Cần chú ý kiểm tra lại điều kiện mặt phẳng  P song song với d, d '

ĐS: phương trình mặt phẳng  P là x4y5z6414 660 hoặc

x4y5z64 14 66 0

13 Đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d ' trên mặt phẳng

 P nên hai đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng  Q Xác định phương trình của mặt phẳng  Q làm tương tự như bài 10, 11

Mặt phẳng  P cần tìm chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng  Q Việc xác định phương trình của  P làm tương tự như bài 7

ĐS: phương trình mặt phẳng  P là 2x3y  z 0

Xác định được một véctơ vuông góc với VTPT của mặt phẳng

Xây dựng hệ thống bài tập thuộc phần này, có thể dựa vào sơ đồ sau:

Dựa vào sơ đồ trên, ta có thể xây dựng hệ thống bài tập như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng  Ptrong mỗi trường hợp sau:

Đi qua 1 điểm

Thỏa mãn điều kiện về

18 Đi qua điểm A 1; 1;1  , vuông góc với mặt phẳng  Q :2x   y z 1 0 và tạo với trục Oy một góc 450

19 Đi qua điểm A 1;1; 1  , vuông góc với mặt phẳng  Q :2x   y z 2 0 và tạo với Oy một góc lớn nhất

20 Đi qua điểm A 2; 1;0  , song song với đường thẳng

và tạo với mặt phẳng xOy một góc nhỏ nhất

Gợi ý hướng giải và ĐS

14 Đường thẳng d đi qua điểm M3;1;7, có véctơ chỉ phương u 1;1;1 



Gọi   2 2 2

n a;b;c ,a b c 0 là VTPT của mặt phẳng  P Khi đó n.u 0 Bài toán liên quan đến khoảng cách nên có thể phải viết phương trình của  P dưới dạng tổng quát Sau đó tìm ra VTPT nhờ sử dụng điều kiện d A, P   d B, P    Hoặc có thể giải theo cách khác như sau: Khoảng cách từ A,B đến mặt phẳng  P bằng nhau nên xảy ra một trong hai trường hợp: hoặc là mặt phẳng  P song song với AB, hoặc là mặt phẳng

 P đi qua trung điểm I của đoạn AB

Đường thẳng d đi qua điểm M3;1;7, có véctơ chỉ phương u 1;1;1 

Với b2c, ta có phương trình mặt phẳng  P là x2y   z 2 0

15 Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu  S

Đường thẳng d đi qua điểm M 13; 1;0  , có véctơ chỉ phương u1;1;4

Gọi n a;b;c 

là VTPT của mặt phẳng  P , với 2 2 2

a b c  Khi đó 0 n.u 0,

từ đó định dạng tọa độ cho n và viết phương trình  P như ở bài 14

Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S nên d I, P    R

b4c x 13b y   1 cz 0 Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S nên

a b c  , ta có b 0;c 00   Với b4c, ta có phương trình mặt phẳng  P là 8x4y z 100 0

Với b2c, ta có phương trình mặt phẳng  P là 2x2y z 28 0

16 Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu  S Xác định VTPT nQ



của mặt phẳng  Q Gọi n a;b;c 

là VTPT của mặt phẳng  P , với 2 2 2

a b c  0

Hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau nên n.n Q0, từ đó định dạng tọa

độ cho n và viết phương trình của  P

Mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r nên

 

d I, P  R  ĐS: phương trình mặt phẳng r  P là

 31 x  2 3 y    hoặc z 2 0  31 x  2 3 y    z 2 0

17 Đường thẳng d đi qua điểm M 1;0;2 , có véctơ chỉ phương u 2;1;2 



Gọi n a;b;c 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a c 0

Vậy d A, P lớn nhất bằng     3 2 khi a c 0 và khi đó phương trình mặt phẳng

2a c5

20 Bài toán này liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng vì vậy ta cần phải xác định

n.u 0, từ đó định dạng tọa độ cho véctơ n Xác định góc giữa hai mặt phẳng

 P và Oxy, rồi đánh giá giá trị nhỏ nhất

VTPT của  P có dạng n a;b;a b.Góc  giữa hai mặt phẳng  P vàOxy :

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 0

Góc  nhỏ nhất khi và chỉ khi cos lớn nhất Vậy với a b 0 thì góc  nhỏ nhất Khi đó mặt phẳng  P có phương trình là x y 2z  1 0

thuẫn, phát hiện các bế tắc, nghịch lý cần khai thông, làm sáng tỏ Do đó cần phải điều chỉnh lại cách xem xét vấn đề; giải quyết vấn đề để giải quyết được bài toán

Và như vậy học sinh được bồi dưỡng các năng lực nhận biết, tìm tòi và phát hiện vấn đề; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực đánh giá và tự đánh giá; năng lực vận dụng tư duy logic, tư duy biện chứng vào việc phát hiện và giải quyết vấn đề

4 Hệ thống bài tập về phương trình mặt cầu

Hệ thống bài tập về phương trình mặt cầu được chia thành 4 phần nhỏ theo việc xác định tâm của mặt cầu

Cho trước tâm của mặt cầu

Hệ thống bài tập này nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, đồng thời cũng rèn luyện kỹ năng phân tích, so sánh trong những tình huống bài toán cụ thể Thông qua đó, học sinh tổng hợp lại và khắc sâu hơn phần lý thuyết đã học

Ta có thể xây dựng hệ thống bài tập về phương trình mặt cầu theo sơ đồ sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình mặt cầu  Strong mỗi trường hợp sau:

1 Có tâm I 4;2;1  và đi qua điểm A 1; 2;3

2 Có tâm I 1;4;7  và tiếp xúc với mặt phẳng   :6x6y7z410

3 Có tâm I 3;5; 1   và cắt mặt phẳng   :2x2y  z 4 0 theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r4

Biết tọa độ của tâm

Tiếp xúc với

1 mp

Cắt 1

mp theo một đường tròn

Tiếp xúc với

1 mp

Cắt 1

đt theo

1 đoạn thẳng xác định

4 Có tâm I 1;2;3  và tiếp xúc với đường thẳng d :x 2 y 1 z 1

 tại hai điểm

M, N sao cho tam giác IMN có diện tích bằng 12

Gợi ý hướng giải và ĐS

Để viết được phương trình mặt cầu ta cần xác định được tâm và bán kính Các bài tập trên đây ta đã biết được tâm của mặt cầu, vì vậy ta cần xác định được bán kính Thông qua hệ thống bài tập này hãy hệ thống lại các trường hợp xác định bán kính của mặt cầu

1 Bán kính mặt cầu được xác định bởi RIA

Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M, có véctơ chỉ phương u

S : x2  y 3  z 1 289

6 Ta cần lựa chọn công thức diện tích một cách phù hợp Do điểm I, đường thẳng

d đã xác định nên khoảng cách từ I đến đường thẳng d xác định Hình chiếu vuông góc H của I trên d là trung điểm của đoạn MN nên ta tính diện tích tam

giác IMN theo công thức S 1IH.MN

PQ2 R d I,d Tính toán ta được d I,d  17

Khi đó giải phương trình 2

R R 1717 ta được R9

ĐS:     2  2 2

S : x1  y 1  z 1 81

Tâm mặt cầu nằm trên một đường thẳng cho trước

Ta có thể xây dựng hệ thống bài tập này dựa vào sơ đồ sau:

Dựa vào sơ đồ trên, ta có thể xây dựng được hệ thống bài tập như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình mặt cầu  Strong mỗi trường hợp sau:

8 Có tâm thuộc đường thẳng d :x 1 y 2 z 2

 , bán kính R4 và tiếp xúc với mặt phẳng  P :2x2y  z 4 0

9 Có tâm thuộc đường thẳng d :x y 1 z 1

Cách 1

đt 1 khoảng xác định

Cách 2

mp 2 khoảng xác định

Cách 1

mp, 1

đt 2 khoảng xác định

Cách 1

mp, 1

đt 2 khoảng xác định

MẶT CẦU

13 Có tâm nằm trên đường thẳng d :x 2 y 1 z 1

 , bán kính R13 và cắt mặt phẳng  P :2x2y  z 6 0 theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r12

14 Có tâm nằm trên đường thẳng d :x 1 y 3 z 3

15 Có tâm thuộc đường thẳng d :x 3 y 4 z 4

Gợi ý hướng giải và ĐS

8 Gọi I 3t   1; 2t 2;2t 2 d là tâm của mặt cầu  S

Mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng  P nên d I, P    Từ đó tìm ra tham số R t, tọa độ tâm I

ĐS:   2 2  2

S : x2 y  z 4 16 hoặc    2  2 2

S : x16  y 12  z 8  4

9 Gọi I 2t;t 1;2t 1 d là tâm của mặt cầu  S

Mặt cầu  S tiếp xúc với hai mặt phẳng    P , Q nên d I, P   d I, Q   

Mặt cầu  S đi qua hai điểm M, N nên IMINR Từ đó tìm được t, tọa độ tâm I và bán kính R

ĐS:     2  2 2

S : x5  y3  z 4 74

11 Gọi I t 1;t1;2t 1 d là tâm của mặt cầu  S

Mặt cầu  S đi qua điểm A nên IA R 13 Từ đó tìm được t,I

12 Gọi I 2t   1; 3t 4;t 1 d là tâm của mặt cầu  S

Mặt cầu  S đi qua điểm A và tiếp xúc với mặt phẳng  P nên ta có

13 Gọi I t   2; t 1;2t 1 d là tâm của mặt cầu  S

Mặt cầu  S cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r nên

14 Gọi I 2t   1; t 3;t 3 d là tâm và R là bán kính của mặt cầu  S

Mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng  P nên Rd I, P   

Mặt cầu  S cắt mặt phẳng  Q theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r nên

S : x3  y 2  z 2 25 hoặc