Bài giảng chuỗi lũy thừa

... 1 − x   n =1  x = , x ∈ − 1,1 ( ) (1 − x) CHUỖI TAYLOR Nhận xét: chuỗi đạo hàm chuỗi lũy thừa có khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa hàm khả vi vơ hạn khoảng htụ f ( x) = a0... khai triển chuỗi 1.Vận dụng chuỗi Maclaurin 2.Viết dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n với hàm f cho trước 3.Chỉ miền hội tụ chuỗi tìm được, miền mà hàm f khai triển thành chuỗi Taylor Chuỗi Maclaurin...ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 n , an ∈ R giá trị cho trước Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập hợp: ∞   n D =  x ∈ R : ∑ an

CHUỖI LŨY THỪA

ĐỊNH NGHĨAChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:

0 1

( ) ,n

n n

a x x







 a n  R là giá trị cho trước

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:

0 1

n n n

a x x

  hội tụ   hội tụ

n n n

Số sao cho hội tụ trong

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính hội tụ của

>0

chuỗi

  R R,  gọi là khoảng hội tụ của chuỗi

Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của

chuỗi chỉ cần xét thêm tại R

Trường hợp chuỗi tổng quát

0 1

( )n

n n

n n

Số sao cho hội tụ trong

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính hội tụ của

>0

chu ỗi.

Lưu ý1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau:

1

1lim hay lim n

2 Trường hợp R = 0 hay R = , không được

gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng

3 Ta có thể tìm bán kính hội tụ để suy ra

khoảng ht Sau đó xét thêm 2 đầu khoảng này

để chỉ ra MHT

1: chuỗi trở thành phân kỳ

2 1

( !)(2 )!

2 / Tìm bán kính hội tụ: n

n

n

x n

( !)(2 )!

2 1

n n

  : chuoãi caáp soá nhaân

Điều kiện hội tụ: 3 1 8 2

Tính chất của chuỗi lũy thừa

Chú ý1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định

2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân)của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tíchphân) tương ứng

3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗitích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu

n n



x x

Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa

có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên

tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong khoảng htụ

0 0 1 0

0 2

( )

0

( ), ( )( )

f x a

CHUỖI TAYLOR

Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0

khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là

( )

0

0 0

x x n

Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi

1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản 2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n

với hàm f cho trước

3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được,

đó chính là miền mà hàm f được khai triểnthành chuỗi Taylor

Chuỗi Maclaurin cơ bản

x x

n n n

x x

n

x e

ln(1 ) n ,

n

x x

n

n n

n

x x

n x x

n n

n

D

x x

( 1)

4

n n

n

X n

1 1

( 1)

4

n n

n

x n

x 

 

với

2 2

n n

x

1

( )( 1)n n

n

x n

n

x n

3 / Tìm chuoãi Maclaurin : f x( ) e x(1 x)

0

( )( ) (1 )

( 1) ( 1)1

! ( 1)!

n n

n x n







Các ví dụ về tính tổng

2 1

2

1( 1)!

n

n

e n





    2e2  e2  1 3e2  1

Các ví dụ về tính tổng

1 0

n n

 

1 1

1 1( 1)

1 1

2 2

2 !!

n n

)

3

n

n n

x d

n

n

Hướng dẫn

2

3 2 2

)

n n

n n

 

1 0

n

x n

 



3

n

n n

x d

n

n R

2

1 2

n n

x n

1

n n n n

n n

1

n n n

3

3lim 1

2 Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:

1

1)

x a

!

n

n n

x e

Hướng dẫn

 0

R 

x n

Chuỗi ht theo tc Leibnitz

: 3,3

n n

2 1 2 1 5

51

x n

 

2 0

1 2

n

n

x n

n n

1

29

n n

n n

3 3

MHT D   

 

1

8)

!

n

n n

x e

3 Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau:

x n

x x

2n n

n

x n

4 Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau:

4 Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau:

1

2 1

4 Tính tổng của các chuỗi số sau:

1

13)