Bai 19 CHUOI LUY THUA

CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 n , an ∈ R giá trị cho trước Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập hợp: ∞   n D =  x ∈ R : ∑ an ( x − x0 ) hội tụ  n =1   ∞ n a X Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành ∑ n , n =1 nên không tính tổng quát ta xét chuỗi Định lý Abel Neáu ∞ n a x ∑ n hội tụ x0 ≠ hội tụ n =1 tuyệt đối ( − x0 , x0 ) Hệ quả: Nếu ∞ n a x ∑ n phân kỳ x0 phân kỳ n =1 x ∉ [ − x0 , x0 ] Chứng minh định lý ∞ n n a x hộ i tụ tạ i x ≠ lim a x ∑ n n =0 Neáu n →∞ n =1 ⇒ ∃M > : n an x = n an x0 n an x0  ≤ M , ∀n n x  x ≤M ÷ x0  x0  n x ∀x ∈ ( − x0 , x0 ) : 0 cho ∞ n a x ∑ n hội tụ ( −R , R ) n =1 phân kỳ bên [ −R , R ] gọi bán kính hội tụ chuỗi ( −R , R ) gọi khoảng hội tụ chuỗi Vậy biết BKHT miền hội tụ chuỗi cần xét thêm ±R Trường hợp chuỗi tổng quát ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 ∞ Soá R >0 cho ∑ an ( x − x0 ) n n hội tụ n =1 ( x0 − R , x0 + R ) vaø phân kỳ bên [ x0 − R , x0 + R ] gọi bán kính hội tụ chuoãi Khoảng hội tụ: ( x0 − R , x0 + R ) Cách tìm bán kính hội tụ Tính: α = lim n →∞ n an an +1 α = lim n →∞ an 0, α = +∞  ⇒ R =  , < α < +∞ (BKHT) α +∞, α = R = : MHT ={ 0} ( hoaëc{ x0 } cho chuoãi TQ )  R = ∞ : MHT = ( −∞, +∞ ) Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ sau: R = lim n →∞ n an an hay R = lim x →∞ an +1 Trường hợp R = hay R = ∞, khơng gọi bán kính hội tụ gọi tạm cho dễ sử dụng Ví dụ ∞ n (−1) n / Tìm miền hội tụ ∑ x n =1 n R = lim n →∞ n (−1) an = n n n = lim n = ⇒ Khoảng ht: (−1,1) an n →∞ ∞ (−1)n x = : chuỗi trở thaønh ∑ , ht theo tc L n =1∞ n x = −1: chuỗi trở thành ∑ , phân kỳ n =1 n Vậy miền hội tụ là: D = ( −1,1] ∞ (n !) n / Tìm bán kính hội tụ: ∑ x n =1 (2n )! (n !) an = (2n )! an R = lim n →∞ an +1 = lim n →∞ (n !) (2n )! [ (n + 1)!] (2n + 2)! (2n + 1)(2n + 2) = lim =4 n →∞ (n + 1) Chuỗi Maclaurin ∞ n x 1/ e = ∑ , MKT: D = R n! n = 0∞ ∞ 1 n n n 2/ = ∑x , = ∑ (−1) x , D = ( −1,1) − x n =0 + x n =0 x ∞ α (α − 1) (α − n + 1) n / (1+ x) =1+ ∑ x n! n =1 α α ∈N R , [ −1,1] , α >  D= ( −1,1] , − < α < ( −1,1) , α ≤ −1 ∞ / ln(1 + x ) = ∑ (−1) n −1 x n n =1 ∞ n , D = ( −1,1] 2n +1 x / sin x = ∑ ( −1) (2n + 1)! n =0 n ∞ 2n x cos x = ∑ (−1)n (2n )! n =0 ∞ 2n +1 x n / arctan x = ∑ ( −1) , 2n + n =0 D=R D = [ −1,1] Ví dụ / Tìm chuỗi Taylor lân cận x = f ( x ) = ln( x + 2) Đặt: X = x − X  f ( x ) = ln ( + X ) = ln + ln 1 + ÷ 4  ∞ n −1 (−1) = ln + ∑ n n =1 n X X ,  ÷ MKT : ∈ ( −1,1] 4 ∞ n −1 ∞ n −1 (−1) f ( x ) = ln + ∑ n n =1 n X X ,  ÷ MKT : ∈ ( −1,1] 4 (−1) n = ln + ∑ ( x − 2) , n n =1 n.4 với x−2 ∈ ( −1,1] hay x ∈ ( −2,6] / Tìm chuoãi Maclaurin : f ( x ) = ln(1 + x − x )    f ( x ) = ln  −2( x − 1)  x + ÷ = ln(1 − x )(1 + x )    = ln(1 − x ) + ln(1 + x ) ∞ n ∞ n ( − x ) n −1 n −1 (2 x ) = ∑ (−1) + ∑ (−1) n n n =1 n =1 Điều kiện: −1 < − x ≤ −1 ⇔ < −x ≤ 2 −1 < x ≤ f (x) = ∞ ∑ (−1) n −1 ( − x ) n n =1 ∞ n n −1 − (−2) n =∑ x n n =1 −1 < −x ≤ Với: 2 + ∞ ∑ (−1) n =1 n −1 (2 x ) n n / Tìm chuoãi Maclaurin : f ( x ) = e −x ∞ ( − x )n f ( x ) = (1 + x ) ∑ n =0 n ! ∞ n ∞ n ∞ (− x ) (− x ) = ∑ +∑x n! n =0 n ! n =0 ∞ n n (−1) n (−1) n +1 = ∑ x +∑ x n =0 n ! n =0 n ! ∞ (−1)n n ∞ (−1)n −1 n = ∑ x +∑ x n =0 n ! n =1 (n − 1)! (1 + x ) (1 + x )e −x ∞ ∞ n n −1 (−1) n (−1) n = ∑ x +∑ x n =0 n ! n =1 (n − 1)! ∞ n ∞ n −1 (−1) n (−1) n = 1+ ∑ x +∑ x n =1 n ! n =1 (n − 1)! ∞  (−1)n (−1)n −1  n = 1+ ∑  + x (n − 1)!  n =1  n ! ∞ (−1)n n = 1+ ∑ − n x ( ) n =1 n ! D=R ( / Tìm chuỗi Maclaurin : f ( x ) = ln x + + x 1+ x 1 + x f ′( x ) = = x + 1+ x2 1+ x2 Khai triển cho f’(x)  −1  − − 1 ÷  ÷   ′ f (x) = − x + x +L 2!  −  − − 1L  − − n + 1  ÷ ÷  ÷    2n   +L x +L n! ) f ′( x ) = + ∞ ∑ n =1 n 1.3.5 (2n − 1) 2n (−1) x n n! Điều kiện: ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ x ′(t )dt f f (x) = ∫ =x+ ∞ ∑ n =1 + f (0) n 1.3.5 (2n − 1) 2n +1 (−1) x n n !(2n + 1) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Các ví dụ tính tổng ∞ (n + 1).2 1/ S = ∑ n! n =1 ∞ n 2n ∞ 2n s = ∑ n + ∑ n =1 n ! n =1 n ! ∞ ∞ 2n =∑ + e2 − n =1 (n − 1)! n −1 2 = 2∑ + e −1 n =1 (n − 1)! ∞ n 2 =2∑ + e − = 2e + e − = 3e − n =0 n ! 2/S = ∞ ∑ (−1) n =1 1 1 − ÷ n  n 3 n −1  Xét chuỗi lũy thừa: R(x) = ∞ n −1 n ( − 1) x ∑ n =1 ∞ ∞ n x T ( x ) = ∑ ( −1)n −1 n n =1 −x R ( x ) = − ∑ (− x ) = − , x ∈ ( −1,1) 1+ x n =1 n T ( x ) = ln(1 + x ), x ∈ ( −1,1] 1 1   ⇒ S = R  ÷− T  ÷  3  3 ∞ (−3)n 3/S = ∑ n +1 n ( n + 2) n =1 ∞ n 1   n1 S = ∑ (−1)  − ÷ ÷ 10 n =1  n n +   n n+2    3  3 ∞   ∞  ÷  ÷ 5 5  n − n +       = − ∑ (−1) +  ÷ ∑ (−1) 10  n =1 n n+2    n =1     n n+2    3  3 ∞   ∞  ÷  ÷ 5 5  n − n +       = − ∑ (−1) +  ÷ ∑ (−1) 10  n =1 n n+2    n =1     n   3   ∞  ÷  25  n −1     = − ln 1 + ÷+ (−1) ∑ 10  n    n =3     n   3   ∞  ÷  25  n −1     = − ln 1 + ÷+ (−1) ∑ 10  n    n =3     1  25       =  − ln 1 + ÷+ ln 1 + ÷− +   10       25   16 = ln − 90 60