Các dạngbàitập chuỗi số và chuỗilũythừa – Toán cao cấp HP2
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 1
DẠNG BÀITẬPCHUỖISỐ-CHUỖILŨYTHỪA
(tham khảo thêm SBT và HDG bàitập Toán cao cấp HP2)
Dạng 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số:
Ví dụ 1: Sử dụng điều kiện cần để xét sự hội tụ của các chuỗisố sau:
( )
1
1
1. 1
2 1
n
n
n
n
+∞
=
+
−
−
∑
( )
1
3 5
2.
5 2 1
n n
n
n
n
+∞
=
+
− +
∑
(
)
2
ln 2 1
3.
1
n
n n
n
+∞
=
+ −
−
∑
Ví dụ 2: Sử dụng tiêu chuẩn so sánh để xét sự hội tụ của các chuỗisố sau:
2
3
1
1
1.
100 1
n
n
n n
+∞
=
+
− −
∑
3
4
1
1 1
2.
n
n n
n
+∞
=
+ − −
∑
2
1 1
3. ln
1
n
n
n
n
+∞
=
+
−
∑
2
2
1
1
3.
3
n
n
n
+∞
=
+
−
∑
2
1
5.
( 3)
n
n
n
n
n
+∞
+
=
+
∑
(
)
4
3
1
ln 1
6.
3 3
n
n n
n n
+∞
=
+ +
− +
∑
(
)
5
1
ln 1 2
7.
n
n
n
+∞
=
+
∑
2
ln
8.
1
n
n
n
n
+∞
=
+
∑
1
1 1
9. ln
n
n
n n
+∞
=
+
−
∑
2
1
10.
n
n
n
n
+∞
=
−
∑
2
1
1 1
11. ln
1
n
n n
+∞
=
+
∑
2
1
1
12. 1
n
n
n e
+∞
=
−
∑
(
)
2
1
ln 2 1
13.
1
n
n
n
+∞
=
+
+
∑
2
1
14.
ln
n
n
n n
+∞
=
+
∑
3
1
cos
15.
1
n
n n
n
+∞
=
+
+
∑
1
1
16. arcsin
n
n
n n
+∞
=
+
∑
1
3 1
17.
4 2 1
n
n
n
n
+∞
=
+
− +
∑
1
18.
n
n
e
+∞
−
=
∑
3
1
1
19.
1
n
n
n n
n
+∞
=
+
+
∑
1
20. tan
3
n
n
n
π
+∞
=
+
∑
2
3
1
sin
21.
1
n
n
n
+∞
=
+
∑
Ví dụ 3: Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, Dalambe để sự hội tụ của các chuỗisố sau:
(
)
2
1
3 1 !
1.
.8
n
n
n
n
+∞
=
+
∑
(
)
( )
2
1
3 !
2.
2 !
n
n
n
n
+∞
=
∑
2 1
1
2 5
3. tan
2
n
n
n
n
π
+∞
+
=
−
∑
2
1
2 1
4.
2
n
n
n
+∞
=
−
∑
1
2 7
5.
.3
n
n
n
n
+∞
=
−
∑
(
)
2
2
1
5 !
6.
n
n
n
n
n
+∞
=
∑
2
1
1 2 3
7.
2 2 1
n
n
n
n
n
+∞
=
+
+
∑
2
1
8.
4 1
n
n
n
n
n
+∞
=
−
∑
(
)
2
1
1
1
9.
3 .
n n
n
n
n
+∞
+
=
+
∑
Các dạngbàitập chuỗi số và chuỗilũythừa – Toán cao cấp HP2
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 2
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗisố đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ sau:
( )
1
ln
1. 1
1
n
n
n
n
+∞
=
−
+
∑
(
)
3 1
1
1
2.
ln
n
n
n n
−
+∞
=
−
−
∑
( )
1
1
1
3. 1
1
n
n
n
n
+∞
+
=
−
−
+
∑
( )
( )
2
1
1
4. 1
3 1 .3
n
n
n
n
n
+∞
+
=
−
+
∑
( )
( )
1
5. 1
1
n
n
n
n
n n
+∞
=
−
+
∑
( )
( )
2
1
1 1
6. 1 ln
1
n
n
n
n
+∞
=
−
+
∑
1
sin
7.
2 1
n
n
n n
+∞
=
−
∑
( )
( )
1
2
1
8. 1
!
n
n
n
n
n
+∞
−
=
−
∑
( )
2
1
9. 1 sin
2 1
n
n
n
n
+∞
=
−
−
∑
Dạng 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗilũy thừa:
1
1
1.
.3
n
n
n
x
n
+∞
+
=
∑
2
1
3
2.
5 2
n
n
n
n
x
n
+∞
=
−
∑
( )
3
1
2 1
3. 2
1
n
n
n
x
n
+∞
=
−
−
+
∑
( )
1
4.
1
n
n
n
n x
+∞
=
+
∑
( )
1
1
5. 2 1
2 1
n
n
n
n
x
n
+∞
=
+
−
−
∑
2
1
1 2
6.
2 1
2 1
n
n
n x
x
n
+∞
=
− +
+
+
∑
2
ln 3
7.
3 1
.2
n
n
n
n x
x
n
+∞
=
+
−
∑
( )
1
1
8.
4 .ln 1
n
n
n
x
n
+∞
+
=
+
∑
( )
2
1
9. 1
n
n
n
nx
+∞
=
−
∑
(
)
1
1
10.
3 5 .
n n n
n
x
+∞
=
+
∑
1
1
11. .
(2 1)
n
n
n
n
x
n
+∞
=
+
∑
( )
1
!
12. 2 3
3 17
n
n
n
x
n
+∞
=
−
−
∑
2
1
4 2
13.
3 1
3 1
n
n
n x
x
n
+∞
=
−
+
+
∑
(
)
2
3
1
1
14.
1 2
n
n
n
n x
x
n
+∞
=
+
+
∑
( )
1
15. tan
n
n
n x
+∞
=
∑
Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm tổng quát:
2
1
1.
2 1
n
n
x
n n
+∞
=
− +
∑
( )
2 1
1
1
2.
2 1 ! 2 1
n
n
n
n x
n x
+
+∞
=
+
− −
∑
1
2
3. .
3 8 1
n
n
n
x
n x
+∞
=
− −
∑
( )
1
1
3 1
4. 3
3 2
n
n
n
n
x
+∞
+
=
−
−
+
∑
(
)
(
)
1
4
7 2
1
ln 2
5.
. 1
n
n
n
n x
+∞
−
=
+
−
∑
( )
3 1
1
ln 1
6.
1 .
n
n
n
n
n x
+∞
+
=
+
+
∑
Các dạngbàitập chuỗi số và chuỗilũythừa – Toán cao cấp HP2
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 3
1
2
7.
2 .ln
n
n
n
x
n
+∞
+
=
∑
( )( )
2 1
1
2 1
8.
5 ln
n
n
n
n x
+∞
+
=
−
+
∑
( )
2 1
1
2 1
9.
3 .5
n
n
n
x
n
−
+∞
=
−
∑
( )
4 1
2
1
1
10.
.4
n
n
n
x
n
+
+∞
=
+
∑
2
1
1
1
11.
2 1
n n
n
n
n x
−
+∞
=
+
∑
( )
2
1
2
12. 1
5 2
n
n
n
n
x
n
+∞
=
−
−
∑
Ví dụ 3: Sử dụng định lý Abel và hệ quả:
1. Tìm miền hội tụ của chuỗilũythừa
1
n
n
n
a x
+∞
=
∑
biết rằng chuỗisố
1
n
n
a
+∞
=
∑
là chuỗi đan
dấu và bán hội tụ.
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
( )
1
2
n
n
n
a x
+∞
=
−
∑
biết rằng
0 1
n
a n
> ∀ ≥
và tại
0
x
=
chuỗi bán hội tụ.
3. Cho chuỗilũythừa
( )
1
1
n
n
n
a x
+∞
=
∑
có
lim
n
n
a
α
→+∞
=
. CMR
a) Nếu
0
α
≠
thì miền hội tụ của chuỗi
(
)
1
là
(
)
1;1
T
= −
b) Nếu
0
α
=
chuỗi
(
)
1
có bán kính hội tụ là
1
R
=
Dạng 3: Tính tổng (nếu có) của chuỗisố sau:
1
2
1.
.5
n
n
n
n
+∞
=
+
∑
(
)
( )
1
1
1
2.
1 5
n
n
n
n
+∞
+
=
−
+
∑
( )
1
1
3.
2 .2
n
n
n
+∞
=
+
∑
1
1
4.
(2 1)2
n
n
n
+∞
=
+
∑
( )
1
1
1
5.
(2 1)2
n
n
n
n
+∞
−
=
−
−
∑
1
2 1
6.
3
n
n
n
+∞
=
+
∑
( ) ( )
2 2
1
2 1 . 1
7.
5
n
n
n
n
+∞
−
=
− −
∑
( )
1
2
2
8.
1 3
n
n
n
n
−
+∞
=
−
∑
1
2 1
9.
.4
n
n
n
n
+∞
=
+
∑
. Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 1
DẠNG BÀI TẬP CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA
(tham.
Các dạng bài tập chuỗi số và chuỗi lũy thừa – Toán cao cấp HP2
Mail: lvthinha1t@gmail.com Page 2
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu, chuỗi