Các dạng bài tập vận dụng cao lũy thừa và hàm số lũy thừa

Dạng 1: Các phép toán biến đổi lũy thừa.. 1.[r]

BÀI LŨY THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I Khái niệm lũy thừa

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n số nguyên dương, a số thực tùy ý Lũy thừa bậc n a tích n thừa số a

1 thừa số

; n

n a a =a a a a =a Trong biểu thức an, a gọi số, số nguyên n số mũ

Với a¹0, n=0 n số nguyên âm, lũy thừa bậc n số a số an xác định bởi: 1; n

n

a a

a

-= =

Chú ý:

Kí hiệu 0 , 00 n ( n ngun âm) khơng có nghĩa. Với a¹0 n ngun, ta có n

n a

a

-= 2 Phương trình xnb

a) Trường hợp nlẻ: Với số thực b, phương trình có nghiệm nhất b) Trường hợp n chẵn

 Với b0, phương trình vơ nghiệm

 Với b0, phương trình có nghiệm x0  Với b0, phương trình có hai nghiệm đối 3 Căn bậc n

a)Khái niệm: Với n nguyên dương, bậc n số thực a số thực b cho bn=a. Ta thừa nhận hai khẳng định sau:

Khi n số lẻ, số thực a có bậc n Căn kí hiệu na

Khi n số chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối na ( gọi là bậc số học a) -na.

b) Tính chất bậc n: Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

nab=na bn ; n n ( 0) n

a a

b

b= b > ;

( )p( 0)

nap = na a> ; m na=mna Nếu p q thì an p maq (a 0)

n=m = > ; Đặc biệt

mn m na= a  

 

, , nan a nle

a n chan 

  

4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương r số hữu tỉ Giả sử r m n

II TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho ,a b số dương; , 

a a  a  ; a a b

   



 ;  a  a; a a

b b

 



       Nếu a1thì a a   

Nếu a1thì a a   

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Các phép toán biến đổi lũy thừa

1 Phương pháp:

Ta cần nắm công thức biến đổi lũy thừa sau:  Với a 0;b 0   và  ,  ta có



 

          

 

 

      

 

a a a

a a a ; a ; (a ) a ; (ab) a b ; b

a b

 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:

 nab n na b

;   

n n

n

a a (b 0)

b b ;    

p

nap na (a 0);

      m na mna

 n p m q 

p q

Nếu a a (a 0)

n m ;  Đặc biệt namn ma Công thức đặc biệt

  x x

a f x

a a



 f x   f 1x1 Thật vậy, ta có:

1 

x

x x

a

a a

f x

a a a a a

a

  



  

1 x a

f x

a a

  

 Nên: f x    f 1x 1

2 Bài tập

Bài tập Viết biểu thức

3 0,75

2

16 dạng lũy thừa

m ta m? A 13

6

 B 13

6 C.

5

6 D

5

Hướng dẫn giải Chọn A   13 6 0,75 4

2 2 2

16 2



  

Bài tập Chox0;y 0 Viết biểu thức

4 5.

x x x dạngxm biểu thức

5 5:

y y y dạngyn Ta có m n ?

A 11

 B. 11

6 C. D 

Hướng dẫn giải Chọn B

4 103

5

5. 5 .6 12 60 103

60

x x x x x x x  m

4

5

5: 5: 6. 12 60

60 y y y  y y y  y   n

 

11

m n   

Bài tập Biết 4x4x 23 tính giá trị biểu thức P2x2x:

A.5 B. 27 C. 23 D. 25

Hướng dẫn giải Chọn A

Do 2 2x x  0, x 

Nên  2 2 2

2x2x  2x2x  x  2 2 x  4x4x2  23 2 5

Bài tập Biểu thức thu gọn biểu thức  

1 1

2 2

1

2

2 ,( 0, 1),

1

2

a a a

P a a

a

a a a

                  có dạng P m

a n

 

 Khi biểu thức liên hệ m n là:

A. m3n 1 B. m n  2 C. m n 0 D. 2m n 5 Hướng dẫn giải

Chọn D

 

    

1 1

2 2

1

2

2 2

1 1 1

2

a a a a a a

P

a a a a a

a a a

                             

2 2

1

1

a a a

a a

a a a a

   

      

 

 

 

Bài tập Cho số thực dương x Biểu thức x x x x x x x x viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ có dạng xab, với a

b phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ

a b là:

A. a b 509 B. a2b767 C. 2a b 709 D. 3a b 510 Hướng dẫn giải

Chọn B

x x x x x x x x

1

x x x x x x x x

   x x x x x x x32

 1 2

x x x x x x x 

7 x x x x x x 

7

x x x x x x

 

15

x x x x x

  x x x x x 1516

31 16 x x x x 

31 32

x x xx

  x x x6332

63 64

x x x

   x x12764

127 128 x x  255 128 x x

   x128255 x256255 Do a  255,b 256

Nhận xét:

8

2 255 256

x x x x x x x x x x



 

Bài tập Cho a0; 0b Viết biểu thức

2

a a dạng am biểu thức 3:

b b dạng bn Ta có ?m n 

A.

3 B. 1 C.1 D.

1 Hướng dẫn giải

Chọn C

2

3 3. 5

6

a a a a a  m ;

2 1

3: 3: 1

6

b b b b   b n

1 m n    Bài tập Viết biểu thức

4

2

8 dạng2

x biểu thức

3

2

4 dạng2

y Ta có x2 y2 ?

A. 2017

567 B.

11

6 C.

5

2 D.

2017 576 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: 38

4

2 2

8    x ;

3 11 3

2 2.2 11

2

6

2

y

     2 53

24

Bài tập Cho a  1 2x, b 1 2x Biểu thức biểu diễn b theo a là:

A

1

a a



 B.

1

a a

 . C.

1

a a



 D

a

a

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: a  1 2x   1, x  nên 2

1 x

a 



Do đó: 1

1 a b a a      

Bài tập Cho số thực dương a b Biểu thức thu gọn biểu thức

 1  1  1

4 4 2

2 3

P  a  b  a  b  a  b có dạng làP xayb Tính x y?

A. x y 97 B. x y 65 C. x y 56 D. y  x 97 Hướng dẫn giải

Chọn D Ta có:

 1 1  1 1  1 1     1 1 1 1

4 4 2 4 2

2 3 9

P a  b  a  b  a  b  a  b  a  b

 1  1

2 2

4a 9b 4a 9b

       

2

1

2

4a 9b 16a 81b

   

Do đó: x16,y 81

Bài tập 10 Cho số thực dương phân biệt a b Biểu thức thu gọn biểu thức

4

4 4

4 16

a b a ab

P

a b a b

 

 

  có dạng

4

P m a n b  Khi biểu thức liên hệ m

n là:

A. 2m n  3 B. m n  2 C. m n 0 D. m3n 1 Hướng dẫn giải

Chọn A

   2

4 4 4 4

4 4 4 4

4 16 2 2

a b a ab a b a a a b

P

a b a b a b a b

   

   

   

4 4  4 

4 4

2

a b a b a a b

a b a b

  

 

 

4a 4b 24a 4b 4a

    

Do m  1;n 1

Bài tập 11: Cho   2018 2018 2018

x x

f x 

 Tính giá trị biểu thức sau ta

1 2018 2019 2019 2019

S f   f   f 

     

A. S2018 B. S2019 C. S1009 D. S 2018

Chọn C

Ta có: 1  2018   1 

2018x 2018

f x   f x  f x 



Suy 2018 2018

2019 2019 2019 2019 2019

S f   f   f  f  f 

         

2 2017 1009 1010 1009. 2019 2019 2019 2019

f  f  f  f 

         

       

Bài tập 12: Cho 9x 9x 23. Tính giá trị biểu thức 3 3

x x x x

P   

  ta A.2 B 3

2 C 1 D 5

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:  

 

2 3

9 23 3 25

3 loại

x x

x x x x

x x



 

   

      

   

Từ đó, vào  

 

5 3 5 5 5 3

x x x x

P





  

   

  

Dạng 2: So sánh, đẳng thức bất đẳng thức đơn giản

1 Phương pháp

Ta cần lưu ý tính chất sau

Cho  , . Khi đó 

 a > 1 : aa   ;

 0 < a < 1 : aa   

Với 0 < a < b, m ta có: 

 am  bm  m 0; am  bm  m 0

 Với a b , n là số tự nhiên lẻ thì an  bn

 Với a, b là những số dương, n là một số ngun dương khác khơng anbn  a b

Chú ý: Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì nanb.     Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì nanb. 

Bài tập Với giá trị a đẳng thức 24

1

2 a a a



 đúng?

A. a 1 B. a2 C. a0 D. a 3

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

1 2 3 17

3 4 24

24

1 17

24 24 24

1

2

2 2 2

a a a a a a a

a a a a



 

 

    

     

      

  



  



Bài tập Cho số thực 0a Với giá trị x đẳng thức 1 

x x

a a  đúng?

A. x1 B. x0 C. x a D. x

a 

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 1  1  2

2

x x x x x

x

a a a a a

a



        

 2

1

x x

a a x

      

Bài tập Tìm tất giá trị a thỏa mãn 15a7 5a2

A a0 B a0 C. a 1 D. 0 a

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 15a7  a2  a157 a25  a157 a156   a 1.

Bài tập Tìm tất giá trị a thỏa mãn a123  a 131

A a2 B a 1 C.1 a D. 0 a

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có 3

   , kết hợp với    

2

3

1 1

a   a  Suy hàm số đặc trưng ya1x đồng biến  số 1a   a

Bài tập Nếu a12  a16và b b Tìm mối điều kiện đáp án a b A. a 1; 0 b B. a 1;b1

C. 0 a 1;b 1 D. a 1; 0 b

Vì

1

6 1

2 a 1

a a

  

  

  

2

2

0 b

b b

 

   

  

Bài tập Kết luận số thực a

2

3

(a1)  (a 1)

A. a2 B. a0 C. a 1 D.1 a

Hướng dẫn giải Chọn A

Do

3

   số mũ không nguyên nên

2

3

(a1)  (a 1) a   1 a Bài tập Kết luận số thực a (2 1)a 3(2 1)a 1

A

1 0

2

a a    

   

B

2 a

   C

1 a a

     

 D. a  1

Hướng dẫn giải Chọn A

Do   3 số mũ nguyên âm nên (2 1)a 3(2 1)a 1

0 1

2

2 1 1

a a

a a



     

 

    

   

Bài tập Kết luận số thực a

0,2

1

a a



  

   

A. 0 a B. a0 C. a 1 D. a0

Hướng dẫn giải Chọn C

0,2

2 0,2

1

a a a

a 

    

   

HÀM SỐ LŨY THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1 Khái niệm hàm lũy thừa

Hàm số lũy thừa hàm số có dạng yx,

Chú ý: Tập xác định hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị  - Với  nguyên dương tập xác định R

- Với nguyên âm 0, tập xác định \ 0  - Với  khơng ngun tập xác định là0;

Theo định nghĩa, đẳng thức nx =xn1 xảy x>0 Do đó, hàm số

1

n

y=x không đồng với hàm số n ( *)

y= x nỴ Bài tập y=3x hàm số bậc 3, xác định với xỴ; cịn hàm số lũy thừa y=x31 xác định x>0

2.Đạo hàm hàm số lũy thừa

( ) ( )

( ) ( )

'

1 '

1

với 0; ',với , với 0 chẵn, với 0 lẻ

' , với u chẵn, với u lẻ

1

' '

n

n n

n

n n

x u u

x x n x n

n x u

u n n

n u

xa axa ua aua

-> >

= > ¹

= > ¹

-

-= =

3.Khảo sát hàm số lũy thừa

Tập xác định hàm số lũy thừa yx chứa khoảng 0; với  Trong trường

hợp tổng quát ta khảo sát hàm số yx khoảng * 

* ,n n

    2n1, n

Tập xác định: D

Sự biến thiên:

2n 2 2n yx  y n x  .

0

y   x

Bảng biến thiên

Tập xác định: D

Sự biến thiên:

 

2n 2 1 2n 0

yx  y n x y  x D.

Hàm sốđồng biến D

Hàm sốđồng biến 0; Hàm số nghịch biến ;0

Đồ thị:

Đồ thị:

\

 

2 ,k k \

    2k1,k \ Tập xác định: D\ 0

Sự biến thiên:

2n 2 2n yx  y n x  .

Giới hạn:

lim 0

xy  y TCN

0 lim

0 lim

x

x

y

x y





 

 

  

  

 TCĐ

Bảng biến thiên

Tập xác định: D\ 0 Sự biến thiên:

 

2k 2 1 2k 0

yx  y k x    y x D.

Hàm số nghịch biến D

Giới hạn:

lim 0

xy  y TCN

0 lim

0 lim

x

x

y

x y





 

 

  

  

 TCĐ

Hàm sốđồng biến ;0 Hàm số nghịch biến 0;

Đồ thị:

Đồ thị:



Trong giới hạn chương trình ta khảo sát 0;

  0

Tập khảo sát: D0; Sự biến thiên:

1

y x   hàm sốđồng biến trên

0;

Giới hạn: xlim0 x 0; limx x

 

 

   

 Hàm số khơng có tiệm cận Bảng biến thiên

Tập khảo sát: D0; Sự biến thiên:

1



 

  

y x  hàm số nghịch biến 0;

Giới hạn:

lim 

  

x x TCĐ:

0



x lim 

  

HÀM SỐ LŨY THỪA

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng Tìm tập xác định hàm số lũy thừa 1 Phương pháp giải

Ta tìm điều kiện xác định hàm số y f x , dựa vào số mũ  sau: • Nếu  số ngun dương khơng có điều kiện xác định f x 

• Nếu  số nguyên âm điều kiện xác định làf x 0 • Nếu  số khơng ngun điều kiện xác định f x 0

2 Bài tập

Bài tập Tìm giá trị thực tham số mđể hàm số yx2m có tập xác định  A.mọi giá trị m B. m0 C. m0 D. m0

Hướng dẫn giải Chọn C

Để hàm số yx2m có tập xác định  0

Bài tập Tìm tập xác định D hàm số 4 1.

1

x

y x x

x 

    



A. D  2;2  B. D  2;2 \   

C. D    ; 2 2;. D. D  2;2 \    Hướng dẫn giải

Chọn B

Hàm số xác định 2 1

x x

x x

     

 

   

 



Vậy tập xác định hàm số D  2;2 \   

Bài tập Tìm tập xác định D hàm số    

3 5

2 9 5 2.

y x  x    x x

A. D    ; 3 3;. B. D2;. C. D3;. D. D\ 3,3,2  

Hướng dẫn giải Chọn C

Hàm số xác định 2

2

3

9

3

x x

x x

x

x    

      

 

 

 

  



Vậy tập xác định hàm số D3;.

Bài tập Tìm tập xác định D hàm số yx25x4 3  x23x 7 x3x22x1 A. D   ;1 4;  \ B. D   ;1 4;.

C. D 1;4 D. D 1;4

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số xác định

2 5 4 0

0

x x x

x x

x      

  

  

  



Bài tập 5: Có giá trị nguyên m  2018;2018 để hàm số yx22x m 1 có tập xác định ?

A.4036 B.2018 C.2017 D.Vô số

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì số mũ khơng phải số nguyên nên hàm số xác định với  x 

2 2 1 0,

x x m x

      

 

0

0

a a

   

    



 

1 m

    

m

 

Mà m  2018;2018 m 1,2,3, ,2017  m

  

  

 

 

Vậy có 2017 giá trị nguyên tham sốm thỏa mãn yêu cầu

Dạng 2: Đồ thị hàm số lũy thừa Bài tập Cho hàm số lũy thừa y=xa, y=xb

(0;+¥) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau

đúng?

A. 0< < <b a

B. a< < <0 b

C. 0< < <b a

D. b< < <0 a

Hướng dẫn giải Chọn C

Từ hình vẽ ta thấy hàm số

ã y=xa ng bin trờn (1;+ Ơ) v nm trờn đường thẳng y=x nên a>1 • y=xb đồng biến (1;+ ¥) nằm đường thẳng y=x nên 0< <b Vậy 0< < <b a

Bài tập Cho hàm số lũy thừa y=xa, y=xb, y=xg (0;+¥) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề

nào sau đúng? A. g< <a b

C. a g< <b

D. g< <b a

Hướng dẫn giải Chọn D

Từ hình vẽ ta thấy hàm số

ã y=xg nghch bin trờn (0 ;+ Ơ) nờn g<0

• câu ta có 0< < <b a Vậy g< < < <0 b a

Bài tập Cho hàm số lũy thừa y=xa, y=xb, y=xg (0;+¥) có đồ thị hình vẽ Mệnh đề

nào sau đúng? A. g< < <b a

B. 0< < < <g b a

C. 1< < <g b a

D. 0< < < <a b g

Hướng dẫn giải Chọn C

Dựa vào đồ thị, ta có •Với 0< <x

1 1

xa<xb<xg<x ¾¾ > > >a b g

•Với x>1

1 1

x <xg<xb<xa ¾¾ < < <g b a

Vậy với x>0, ta có a b> > >g

Nhận xét Ởđây so sánh với đường 1.

y= =x x

Bài tập Cho hàm số y=(x-1)-41 Khẳng định sau đúng? A.Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng

B.Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x= -1

C.Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x=0

Hướng dẫn giải Chọn D

Bài tập Cho hàm số y=x-12. Cho khẳng định sau: i) Hàm số xác định với x

ii) Đồ thị hàm số qua điểm ( )1;1 iii) Hàm số nghịch biến 

iv) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận

Trong khẳng định có khẳng định đúng?

A 1 B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có khẳng định ii) iv) i) sai hàm sốđã cho xác định x>0