Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2012 2013

Gọi M là trung điểm của cạnh BC, ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.. a Chứng minh AH vuông góc với BH b Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I.. Chứng

Trang 1

PHẦN A: CÁC ĐỀ CẤP TỈNH Phần I (A): Các Năm 2012-2013 …

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nghệ An 2012-2013

Đề thi HSG lớp 9 TP Đà Nẵng năm học 2011 - 2012

Trang 3

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Trị năm học 2012 - 2013

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Bắc Ninh 2012-2013.

Trang 5

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi 2012-2013.

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Bình năm học 2012 - 2013

Trang 7

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Bình Phước năm học 2012-2013

Trang 8

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2012- 2013

Môn thi: Toán

Câu I (4,0 điểm):

x

x x

x

x x

3 2

3 2 3

1 Rút gọn P

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x

Câu II (5,0 điểm):

1 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình x4 – 4x3 + 8x + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

8 3 2 3

3

y x

Câu III (4,0 điểm):

1 Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên

2 Cho m, n là các số tự nhiên thoả mãn 6   0

n

m

Chứng minh rằng

mn n

m

2

1

6  

Câu IV (6,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn tâm (Ω) Các

đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm của cạnh BC, (ω) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Đường tròn (ω) cắt (Ω) tại hai điểm A, N (A N), Đường thẳng AM cắt đường tròn (ω) tại hai điểm A, K (K A)

1 Chứng minh rằng ba điểm N, H, M thẳng hàng

2 Chứng minh góc NDE = góc FDK

3 Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp

Câu V (1,0 điểm): Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn vị) Đặt

22đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ Hai đấu thủ được

Trang 10

Chứng minh tam giác ABC đều

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC Lấy M bất

kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu

vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của

N xuống đường thẳng PD

a) Chứng minh AH vuông góc với BH

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I

Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng

Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề )

Ngày thi : 28/2/2013

Bài 1: (2điểm) Cho hàm số f(x) = x4 – 4x2 +12x – 9

a) Phân tích f(x) thành nhân tử b) Giải phương trình f(x) = 0

Bài 2: (2điểm) Cho A = 1 : 1 2 .

Bài 3: (2điểm) Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác

a) So sánh diện tích các tam giác sau: GAB; GAC; GBC

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP

Bài 4: (2điểm) Cho hàm số f(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1 Chứng minh rằng f(x)

luôn có giá trị là số chính phương với mọi giá trị nguyên của x

Bài 5: (2điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a; BC = a 2 Gọi M là trung điểm

của BC Chứng minh rằng AM vuông góc với BD

Trang 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2012 – 2013

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

a Phân tích đa thức Q x  thành nhân tử

b Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2 = x4 + 3x2 +1

Trang 12

a Chứng minh rằng hai tam giác IAD và IBC vuơng

b Cho AB = 2x (0 < x < 2) Tính diện tích hình thang ABCD theo x

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

BÌNH DƯƠNG Năm học: 2012-2013

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: ( 4 điểm)

1 Chứng minh rằng n6 - n4 – n2 + 1 chia hết cho 128 với n là số tự nhiên lẻ

2 Trong phép chia a cho b (a,b là các số tự nhiên), nếu tăng số chia b cho một đơn vị thì thương số không thay đổi trong trường hợp nào ?

1 Gọi D là trung điểm cung BC không chứa A của (O), E là giao đểm của AD

và BC Chứng minh rằng E là điểm cố định khi đường tròn (O) thay đổi

2 Gọi H là chân đường cao AH của tam giác AOM Chứng minh rằng tứ giác

BHOC nội tiếp đường tròn

Trang 13

a) Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có ba chữ số bất kỳ, bao giờ cũng tìm được hai

số mà khi viết chúng liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7

b) Cho hai số thực x, y dương thõa mãn điều kiện x2 + y2 – xy = 4 Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 + y2

Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là trung điểm của cạnh AB và E là

trọng tâm của ΔACD Chứng minh rằng : OE  CD

Bài 5: ( 4 điểm)

Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đối (CD không

trùng với AB) Vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O;R) tại B Các đường thẳng AC, AD lần lượt

cắt đường thẳng (d) tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp

b) Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔCDP Chứng minh rằng khi đường kính CD

thay đổi (CD không trùng với AB) thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định

Trang 14

b, CMR :PQRS là tứ giác nội tiếp

2, Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông CMR:S ABCD ≤

Trang 15

UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012-2013

Môn: Toán Ngày thi: 16/3/2013

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Trang 16

a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA

b) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Cho góc xOy có số đo bằng 60o Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia

Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F

1 Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ

2 Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn

3 Gọi D là trung điểm của đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều

Trang 17

y y x x

1 3

4 3

3 x  x Bài 3:(2đ): Giải hệ phương trình

1 2 3 3

2 2

ab b

a

ab b

a

Bài 4:(5 đ)

a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:

0 243 54

3 85

b

a

Trang 18

18

Bài 6:(5 đ) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R Gọi I là trung điểm đoạn thẳng OB, M

là điểm nằm trên đường tròn (O) Đường thẳng trung trực d của đoạn OB cắt AM, BM lần lượt tại N, P

Cho S là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 1000

1) Tính số phần tử của tập hợp S là bội của 3

2) Tính số phần tử của tập hợp S không là bội của 2 và không là bội của 3

Câu 5 (4, 5 điểm)

Cho tứ giác HIJK có   0

90

IHK JKH  , 0<IH – JK <IJ<IH + JK

Gọi (I) là đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng HK tại H Gọi (J) là đường tròn tâm J và tiếp xúc với đường thẳng HK tại K Đường tròn (I) cắt đường tròn (J) tại M và N, với hai điểm M và H nằm khác phía đối với đường thẳng IJ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng HK; đường thẳng d cắt đường tròn (I) tại A (A

M); đường thẳng d cắt đường tròn (J) tại điểm B, với (B M) Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng MN và HK

1) Chứng minh HK là đường trung bình tam giác ABC

2) Chứng minh rằng DH = DK

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang )

ĐỀ THI CHÍNH

Trang 19

Câu 1 (2,0 điểm):

A = x 50  x + 50 x + x 50 với x 50 b) Cho x + 3 = 2 Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018

Câu 4 (3,0 điểm):

Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C) Vẽ đường

tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d) Kẻ AM và

AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN

tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K

a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại

E Chứng minh P là trung điểm ME

Bài 1 : (2,00 điểm)

a) Không dùng máy tính, hãy tính M  4  7  4  7  2

b) Không dùng máy tính, hãy chứng minh 5 2  7  8 10 2

Trang 20

2

1 2

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, gọi AD,BE,CF là các đường cao Lấy M trên đoạn FD,

N trên tia DE sao cho M AN B AC

 Chứng minh AM là phân giác góc N MF

Bài 7 : (3,00 điểm)

Trong hội trại ngày 26 tháng 3 , lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào rổ

Bảy học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào

rổ không ít hơn 50 quả

Đề thi chọn HSG lớp 9 tỉnh Phú Yên năm học 2012-2013

Trang 21

Phần II ( A ) : Từ Các Năm 2011-2012 …

Trang 22

22

Trang 24

24

Trang 26

26

Trang 28

28

Trang 30

30

Trang 32

32

Trang 34

34

Trang 36

36

Trang 38

38

Trang 40

40

Trang 42

42

Trang 43

Phần III ( A ) : Các Năm Cũ Hơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

MÔN THI: TOÁN Bài thi: 1 Thời gian làm bài: 90 phút

1) Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến cạnh BC bằng nửa đoạn AH

2) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC bằng R

Trang 44

2) BC cắt Ay tại E, BD cắt Ax tại F Chứng minh AF=AB

3) Giả sử góc xAy quay quanh A Chứng minh đường tròn đường kính CD luôn đi qua một điểm cố định

Bài 1: (4 điểm) Với điều kiện nào của a và b thì:

1) Chứng minh rằng 2

MB  MC.MN2) Chứng minh rằng AB//CD

3) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi Tính diện tích của hình thoi đó

Bài 1: (4 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức:



x y ; biết x 14 6 5  và y 14 6 5 2) Rút gọn biểu thức:

Trang 45

ac b c  adbdq2 p2

Bài 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD cố định, độ dài cạnh a, E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D); đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F; đường thẳng vuông góc với

AE tại A cắt đường thẳng CD tại K

1) Chứng minh tam giác AKF vuông cân

2) Gọi I là trung điểm của FK, chứng minh tứ giác ABFI nội tiếp được

3) Đặt DE x 0 xa, tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x

4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất và chứng minh điều ấy

Trang 46

1) Chứng minh rằng (1) và (2) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm

2) Với giả thiết (1) có nghiệm là x x1, 2 và (2) có nghiệm là x1',x2' và x1x2 x1',x2'

Chứng minh rằng b 0

3) Trong trường hợp (1) và (2) đều vô nghiệm, chứng minh bac

Bài 4: (6 điểm)

Cho đường tròn bán kính R, đường kính AB, hình thang ABCD nội tiếp trong đường tròn

đó và ngoại tiếp được một đường tròn khác Tính CD theo R

Tính diện tích tam giác MNP

Trang 47

Xác định vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ có giá trị nhỏ nhất

Bài 1: (5 điểm)

Trang 48

Chứng minh tam giác đó là tam giác đều

b b

2) Với giá trị a vừa tìm, hãy tính diện tích và chu vi tam giác tạo bởi (d3) với các trục

Trang 49

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x Tìm x để 3  y 6

Bài 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình:   

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích R R1. 2 theo R

1) Tìm điều kiện xác định của hàm số

2) Tính giá trị của hàm số khi x 27 8 5 

Bài 2: (5 điểm)

Cho hàm số y f x   2 x 31) Vẽ đồ thị của hàm số

2) Dựa vào đồ thị, tìm điều kiện của x để cho: f x  0; f x  1

Trang 50

1) Gọi d là độ dài đoạn thẳng OK, tính AC 2  BD 2 theo R và d

2) Tìm điều kiện của AC và BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, M là điểm di động trên nửa đường tròn, qua

M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn Gọi D, C lần lượt là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất

Trang 51

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

MÔN THI: TOÁN Bài thi: 1 (phần II) Thời gian làm bài: 150 phút

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O,R)

a) Tính theo R độ dài các cạnh và chiều cao của tam giác ABC

b) Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC (M khác B và C) Trên tia đối của tia MB lấy đoạn MD=MC Chứng tỏ tam giác MCD là tam giác đều

c) Tìm vị trí của M sao cho tổng MA + MB + MC lớn nhất

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

a) Tìm giá trị của x để A có nghĩa

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

b) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất x y;  với x y, là các số nguyên

Bài 4: (6 điểm)

Trang 52

a) Chứng minh AEF ABC

b) Gọi A' là trung điểm của BC Chứng minh AH=2A'O

c) Gọi A1 là trung điểm của EF Chứng minh R.AA1=AA'.OA'

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Trang 53

Bài 1 Cho phương trình: 3

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt

Bài 2 a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:

và 1 2 là một nghiệm của phương trình

Bài 3 Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: xy2011

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2

x(x y)y(y x)

Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R

di chuyển trên nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song với ON

cắt đường thẳng AB tai E Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB tại F

a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng

b) Gọi K là giao điểm của EN và FM Hãy xác định vị trí của dây MN để

tam giác MKN có chu vi lớn nhất

Bài 5 Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: abc 1 Chứng minh :

Trang 54

Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5  3  29 12 5  = cotg450

Bài 2: (4đ) Cho biểu thức    

 2

1 1

Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ

góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F

Chứng minh rằng: EF 1

4

Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với

đường tròn (B và C là các tiếp điểm) Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O) Chứng minh MK = MA

PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

TRƯỜNG THCS AN BÌNH (Thời gian : 120 phút)

x Q

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	4,21 MB