Phép đo yếu và các giá trị yếu trong vật lí lượng tử (LV00998)

Có thể nói, khi kết quả của phép đo được biết đến thì trạng thái lượng tử của hệ trước thời điểm đo được đã được thay thế bằng các vectơ riêng có thể quan sát bởi các giá trị riêng ghi l

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn, em đã nhận được

sự quan tâm của các thầy giáo, cô giáo trong tổ vật lí lí thuyết nói riêng và các thầy cô trong khoa lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung cũng như

sự hỗ trợ động viên của các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn sự giúp

đỡ quý báu này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành tới thầy TS Trần Thái Hoa đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành tốt luận văn Tuy nhiên do thời gian có hạn và trình độ nhận thức còn hạn chế, dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn những vấn đề em trình bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót

Vì vậy, em kính mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của thầy cô giáo cũng như sự đóng góp ý kiến của các bạn học viên để khóa luận của em hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2013

Học viên

Hoàng Minh Nguyệt

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả và đầy trách nhiệm của TS Trần Thái Hoa Đây là đề tài không trùng với đề tài khác

và kết quả đạt được không trùng với các kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 05 tháng 07 năm 2013

Học viên

Hoàng Minh Nguyệt

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 2

Chương 1: Giới thiệu về phép đo yếu và giá trị yếu 2

1 Phép đo yếu 2

2 Giá trị yếu 3

3 Kết luận 6

Chương 2: Giới thiệu một vài hướng trong vật lí lượng tử 7

1 Thời gian đối xứng trong quá trình đo lượng tử 7

1.1 Giới thiệu 7

1.2 Chuyển động lượng tử là đối xứng thời gian 8

1.3 Thời gian không đối xứng trong MP 9

1.4 Trình tự quan sát 9

1.5 Mô tả trạng thái lượng tử tại thời điểm t 15

2 Những tính chất của hệ lượng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo 16

2.1 Giới thiệu 16

2.2 Nghịch đảo thời gian 17

2.3 Hai quan sát không giao hoán có giá trị xác định ở khoảng thời gian giữa hai phép đo 19

2.4 Phép đo von Neumann 20

2.5 Giá trị trung bình của toán tử 31

2.6 Phép đo yếu được thực hiện trên một hệ lượng tử đơn 33

2.7 Một “nghịch lí” toán học 36

3 Kết luận 40

Chương 3: Một vài ứng dụng trong vật lí lượng tử 41

1 Nghịch lí Hardy 41

2 Làm thế nào để phép đo thành phần của một hạt có spin 1 2có thể đạt được 100 50

3 Kết luận 57

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các phép

đo yếu, các giá trị yếu và các khả năng ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử và vật lý lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các phép đo yếu, các giá trị yếu và khả năng ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử và vật lý lượng tử

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Vật lý lượng tử & các vấn đề đo đạc trong vật lý lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý toán

2

NỘI DUNG Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ PHÉP ĐO YẾU VÀ GIÁ TRỊ YẾU

1 Phép đo yếu

Phép đo yếu là một loại của đo lường lượng tử, trong đó hệ thống đo là rất yếu cùng với thiết bị đo lường Sau khi đo số đo con trỏ của thiết bị đo được dịch chuyển bởi cái gọi là “giá trị yếu” Vì vậy, một con trỏ ban đầu chỉ tại số 0 trước khi đo sẽ chỉ vào giá trị yếu sau khi đo Hệ thống không bị nhiễu loạn bởi cách đo Mặc dù điều này có vẻ mâu thuẫn với một số khía cạnh cơ bản của lý thuyết và không mâu thuẫn với bất kì khái niệm cơ bản nào, đặc biệt là nguyên lí bất định của Heisenberg

Ý tưởng của các phép đo yếu và các giá trị yếu lần đầu tiên được phát triển bởi Yakir Ahanorov, David Albert và Vaidman Lev (AAV), xuất bản năm 1988, đặc biệt hữu ích cho việc đạt được thông tin của hệ lượng tử pre-selected và post-selected được mô tả bởi hệ thức vectơ hai trạng thái Điều này là lí do ban đầu mà Ahanorov và các cộng sự phát triển phép đo yếu Từ một phép đo có “nhiễu loạn lớn” có thể làm đảo lộn và làm rối tất cả các kết quả của post-selection và làm xáo trộn các phép đo sau đó Phép đo không làm nhiễu loạn yếu có thể được sử dụng để tìm hiểu về hệ thống như vậy trong quá trính phát triển của chúng

Theo định nghĩa phép đo yếu đôi khi được sử dụng để đo một hệ lượng

tử với mục đích thông tin phản hồi và kiểm soát Ví dụ, phép đo yếu liên tục được sử dụng để hướng một chất khí nguyên tử cực mạnh vào một trạng thái lượng tử đã được chọn Định nghĩa mở rộng cũng bao gồm một loại đo lường

mà được xem là một phép đo một quan sát vĩ mô gồm các quan sát bằng kính hiển vi của nhiều hệ con giống hệt nhau, mỗi một hệ trong số đó chỉ tương tác một cách tối thiểu với thiết bị đo Việc đo từ tính của một tập hợp lớn spin là

sự xuất hiện của sự tán sắc mode phân cực, mô hình hóa của hiệu ứng ánh sáng chậm và nhanh trong lưỡng chiết tinh thể quang tử Lĩnh vực thứ hai của ứng dụng là nghiên cứu hiện tượng một cách hàn lâm không phù hợp với đặc điểm của phép đo chuẩn Các nghiên cứu này có nhiều thành tựu mà bao gồm việc đưa đến một quan điểm thống nhất mới để tránh những cuộc tranh cãi đường hầm- thời gian Về vai trò của đường dẫn thông tin và nguyên lý bất định Heisenberg trong thí nghiệm hai khe và cung cấp hướng giải quyết phù hợp cho nghịch lý Hardy

Quá trình của phép đo yếu được mô tả ban đầu bởi AAV sử dụng mô hình đo lường von Neumann Điều này dẫn đến sự chỉ trích rằng kết luận của

họ không phổ quát cho tất cả các loại phép đo và đặc biệt, các dự đoán của họ chỉ đơn giản là được tạo ra từ mô hình đơn giản von Neumann Kể từ những ngày đầu, phép đo yếu đã được mở rộng đa dạng hơn các loại phép đo khác,

vì vậy để bây giờ nó có sức thuyết phục, mặc dù không kết luận, nhưng bằng chứng cho thấy phép đo yếu thật sự phổ quát

2 Giá trị yếu

2.1 Giá trị yếu

Kết quả của phép đo yếu, giá trị yếu, không chỉ đặc biệt vì chúng rất khác các kết quả của phép đo chuẩn Chúng là một phần của cấu trúc mới đơn giản và phong phú tồn tại trong thế giới lượng tử Khái niệm của giá trị yếu là

4 đơn giản và phổ quát Các giá trị yếu được xác định cho tất cả các biến và cho tất cả các tiền sử có thể có của hệ lượng tử Chúng tự xuất hiện trong tất cả các liên kết mà là đủ yếu

Nếu 1 và 2 là các trạng thái cơ học lượng tử pre- selected và post-selected, giá trị yếu của toán tử µA có thể quan sát được định nghĩa là:

0 1

1 ˆUt t pre selection ) Giá trị yếu của các quan sát trở nên lớn khi trạng thái post-selected,

2 , tiến tới trực giao với trạng thái pre-selected, 1 Trong cách này, bằng việc lựa chọn trạng thái, giá trị yếu của toán tử được thực hiện lớn tùy ý và các hiệu ứng nhỏ khác có thể được khuếch đại

2.2 Tính chất của giá trị yếu

Giá trị yếu có một số đặc tính chung với các giá trị trung bình chuẩn a) Nếu không có post-selection, giá trị yếu bằng với giá trị trung bình chuẩn của quan sát được đo yếu:

Một phép đo mạnh của toán tử ˆA sau pre-selection trong trạng thái a i

sẽ trở thành ai một cách chắc chắn, bất kể điều gì post-selection được thực hiện sau Tương tự như vậy, nếu trạng thái là post-selection trong a thì một iphép đo mạnh trước của toán tử ˆA phải trở thành ai và rút gọn trạng thái thành a Do đó, giá trị yếu bằng giá trị trung bình chuẩn của toán tử i ˆA

trong trạng thái này

c) Các giá trị yếu có quan hệ tuyến tính trong các hình thức tương tự như toán

Giá trị trung bình chuẩn liên quan trong cách thức tương tự

d) Như giá trị trung bình chuẩn, giá trị yếu của tích hai quan sát không nhất thiết phải bằng với tích của các giá trị yếu cho hai quan sát

w

ˆ ˆABAB

Thực hiện một cách riêng, mỗi tính chất trong bốn tính chất này không

là điều ngạc nhiên vì chúng phù hợp với giá trị trung bình chuẩn Tuy nhiên,

vì các phép đo yếu không nhiễu loạn hệ được đo, tất cả các tính chất này phải được giữ đồng thời (không giống như phép đo mạnh sử dụng để đo giá trị

e) Nói chung, giá trị yếu có thể ở bất cứ đâu trong mặt phẳng phức

w

ˆAA

Tử số và mẫu số là các số phức với xác suất

Vì vậy phép đo yếu, các giá trị yếu hiện nay có rất nhiều ứng dụng trong vật lý lượng tử

có thể tăng hướng tới tương lai Một lĩnh vực khác là sự nghiên cứu về vũ trụ,

vũ trụ của chúng ta đang mở rộng hướng tới tương lai Gold đã cho rằng hai hiện tượng không đối xứng cũng có thể là quan hệ nhân quả có liên quan với nhau Một tác động thời gian không đối xứng thứ ba, ưu thế của bức xạ ra trong tự nhiên qua bức xạ tới, có thể được coi là một khía cạnh đặc biệt của định luật thứ hai

Trong lí thuyết lượng tử định luật động học của chuyển động, hoặc là phương trình Schrodinger hoặc là phương trình Heisenberg, là đối xứng thời gian như bản sao cổ điển của chúng, phương trình chuyển động Hamilton Mặc

dù, nó đã được cho rằng sự bất đối xứng trong hướng của thời gian, và thậm chí nhiệt động lực học không thể nghịch đảo, đi vào lí thuyết lượng tử thông qua lí thuyết của phép đo Bất kì phép đo biểu diễn trên một hệ lượng tử thay đổi trạng thái của nó theo cách dán đoạn không được mô tả bởi các phương trình Schrodinger hay Heisenberg của hệ bị cô lập Việc thực hiện phép đo dẫn đến

8

“sự giảm của gói sóng” Có thể nói, khi kết quả của phép đo được biết đến thì trạng thái lượng tử của hệ trước thời điểm đo được đã được thay thế bằng các vectơ riêng có thể quan sát bởi các giá trị riêng ghi lại Nếu kết quả của phép đo không được biết, các vectơ trạng thái ban đầu bây giờ phải được thay thế bằng một ma trận mật độ chéo đối với các vectơ riêng trong những quan sát đo, mỗi phần tử đường chéo trong hình vuông tương ứng thành phần của vectơ trạng thái ban đầu Mật độ ma trận này là tương ứng với vecto trạng thái ban đầu trong tất cả các pha quan hệ giữa các thành phần bị phá hủy bởi việc đo lường, mặc dù định thức tồn tại trong ma trận mật độ Lí thuyết lượng tử thông thường của phép đo liên quan riêng đến dự đoán xác suất kết quả cụ thể của phép đo tương lai trên cơ sở kết quả quan sát trước đó

Chúng ta đề xuất xem xét tính chất của sự đối xứng về thời gian trong lí thuyết lượng tử của các phép đo Thay vì đi sâu vào chính quá trình đo lường, trong đó liên quan đến sự tương tác đặc biệt giữa hệ thống nguyên tử và thiết

bị vĩ mô, ta sẽ đơn giản chấp nhận các biểu thức chuẩn cho xác suất các giá trị được cung cấp bởi lí thuyết thông thường Trong khi đó, lí thuyết thông thường với tập hợp hệ lượng tử mà đã được “preselection” trên cơ sở của một

số quan sát ban đầu, ta sẽ suy ra từ nó biểu thức xác suất đề cập đến tập hợp

mà được lựa chọn từ sự kết hợp từ dữ liệu ưu tiên không phải quá khứ cũng không phải tương lai Một lí thuyết liên quan chính nó là tập hợp được chọn đối xứng (“lí thuyết đối xứng thời gian”) sẽ chỉ chứa biểu thức đối xứng thời gian với xác suất của các quan sát

1.2 Chuyển động lƣợng tử là đối xứng thời gian

Trong cơ học lượng tử (QM) chuyển động lượng tử được mô tả bởi phương trình Schrodinger

(t)

t

9

t t0

Hai phương trình (2.1.1) và (2.1.2) trên có nghĩa đối xứng thời gian: t0 t

1.3 Thời gian không đối xứng do MP

QM: Thời gian- không đối xứng xuất hiện thông qua Measurement Postulate (tiên đề phép đo) (MP): Một phép đo trên một hệ thay đổi trạng thái của nó trong một tác động gián đoạn, điều đó không thể mô tả bằng phương trình Schrodinger

Giả sử µA ˆA an a an n được đo trên Nếu biết được kết quả an, với xác suất:

hệ ban đầu của tập hợp mang lại một giá trị riêng không suy biến đặc trưng của một quan sát J, không có điều kiện khác được áp đặt Trong những trường hợp lí thuyết lượng tử thông thường của các trạng thái đo lường, có hai phép

10

đo liên tiếp xác suất của một kết quả cụ thể của quan sát sau phụ thuộc kết quả quan sát trước đó của tích vô hướng của hai vécto trạng thái thuộc hai giá trị riêng tương ứng

Xét hai phép đo (trên ) của ˆA tại t1 và ˆBtại t2> t1 Xác suất thu được b tại t2 tùy thuộc vào kết quả đo ˆAtại t1 Nếu a được thu tại t1, thì a Vì vậy xác suất thu được b tại t2 và a tại t1 là:

thêm rằng tất cả các Ak là hằng số chuyển động, không nhất thiết phải rõ ràng độc lập thời gian Ở một mức nào, giữa các phép đo cả trạng thái lượng tử của

hệ và yếu tố ma trận của các quan sát sẽ không đổi Nếu quan sát Ak được đo trong bất kì trình tự cụ thể, nói chung, sẽ không tương ứng thứ tự của các chỉ số….k…., ta sẽ chỉ ra chuỗi phép đo bằng chữ Latinh, như sau: ˆAmk

Giả sử bây giờ ta thực hiện một chuỗi các quan sát M j 1

phụ thuộc trạng thái đo di.

Trong đó Dk biểu thị toán tử lũy đẳng

Phương trình (2.1.4) và (2.1.6) không phụ thuộc kết quả của phép đo

sau đó để thực hiện các quan sát cụ thể Hay nói cách khác, quy ước MP cho phép dự đoán xác suất của kết quả tương lai (d , ,d ,d ) dựa trên kết quả k r shiện tại (di) không phụ thuộc vào quá khứ (dm) Các biểu thức này tóm tắt định lượng nội dung của lí thuyết phép đo thông thường của vật lí lượng tử

Thông qua đó chúng ta sẽ nhận xét ngắn gọn sự cần thiết trong lí thuyết lượng tử để xây dựng tập hợp với đặc tính xác suất được xác định rõ Nếu trong cơ học cổ điển, ta phải giải quyết với một hệ sở hữu một không gian pha với một thể tích hữu hạn , thì ta có thể xác định mật độ xác suất tiên nghiệm trong không gian pha đó là bất biến với biến đổi chính tắc: mật độ xác suất không đổi -1 Người ta có thể thay đổi mật độ này phù hợp với bất kì hạn chế áp đặt lên hệ vật lí, để có được xác suất ngẫu nhiên bằng phương pháp hoàn toàn suy luận Nói cách khác, trong một không gian pha hữu hạn người

ta có thể xây dựng cơ học thống kê, tập hợp chuẩn như ban đầu Bởi vì trong

hệ vật lí thực tế không gian pha có thể tích vô hạn, một mật độ xác suất chuẩn chuyển đổi- bất biến là không tồn tại, và người ta đã dẫn đến xây dựng phân

bố xác suất để phù hợp với điều kiện khác nhau của tập hợp

Trong lí thuyết lượng tử cũng tương tự như vậy Nếu không gian Hilbert là hữu hạn chiều, thì có một mật độ ma trận bất biến được chuẩn hóa

từ ma trận đơn vị, từ đó tất cả các ma trận khác được rút ra để đáp ứng tất cả các tình huống bất ngờ khác nhau Một lần nữa, cho tất cả các hệ vật lí thực

12

không gian Hilbert là vô hạn chiều, vì vậy, không có “tập hợp chuẩn” tồn tại độc lập với bất kì thông tin về hệ vật lí của chúng ta Như vậy, một cách hình thức chúng ta phải xây dựng các tập hợp của hệ có tình chất hạn chế nhất định Cho dù các lớp đặc biệt có hạn chế dẫn đến tập hợp với các đặc điểm xác suất không rõ ràng để quyết định chính thức bởi phân tích riêng, mặc dù các mâu thuẫn nội bộ có thể loại trừ một số giả thuyết Rõ ràng các giả định

về lí thuyết thông thường hợp lí với phép đo lượng tử và được chấp nhận

Tiếp theo ta xét một chuỗi các phép đo theo thứ tự M 1

trị khác, và các giá trị riêng của chúng được kí hiệu tương ứng là a và b Bây giờ ta xét một tổ hợp các hệ có trạng thái đầu và trạng thái cuối cố định tương ứng với giá trị riêng cụ thể là a và b, ta yêu cầu xác suất mà kết quả của các phép đo trung gian là d , ,d , Xác suất này, theo độ lớn của phương trình j n(2.1.6), được tìm thấy là

p(d , ,d , b / a)p(d , ,d / a, b)

p(b / a)

1Tr(AD D BD D )

Trong trường hợp đặc biệt H(a,b)=0 thì xác suất P d , ,d / a, bj n không xác định

- Điều thú vị là không chỉ quá khứ (a), như trong lí thuyết thông thường, mà còn tương lai (b) ảnh hưởng đến hiện tại (dj dn): tương lai bay ngược lại để kết hợp với quá khứ mang lại kết quả của hiện tại tức: dòng thời gian theo cả hai hướng hướng lên và hướng trở lại

Như vậy, với pre-và post-selection thì thời gian đối xứng một cách rõ ràng: quá khứ và tương lai quan trọng như nhau đối với hiện tại

Các xác suất (2.1.7), (2.1.8) đề cập đến một mẫu mà đã được lựa chọn trên cơ sở của các kết quả quan sát đầu và cuối Quá trình này có vẻ không xác thực so với quy định thông thường: "Chuẩn bị một hệ thống để các giá trị của J tại một thời điểm (tại lúc đầu) là a” Nhưng từ một quan điểm chính thức chúng tôi xem xét một cách hợp lý bất kỳ lựa chọn nào có thể thực hiện đối với các thiết bị vật lý, tuy nhiên phức tạp hơn

Như một vấn đề của thực tế, trong các lựa chọn vật lý thực nghiệm thường xuyên dựa trên sự kết hợp của các đặc điểm đầu và cuối Xét một chùm hạt đi vào một buồng điện như những đám mây hoặc các thiết bị tương tự kiểm soát một xung tổng thể Cho thiết bị lựa chọn một biến cố phụ thuộc vào mẫu được đánh giá thống kê hạt phải đi vào buồng trước khi qua từ trường, v.v…,

để đáp ứng một số yêu cầu nhất định Nhưng để đếm được hạt cũng phải kích hoạt các mạch điện của bộ đếm đặt dưới buồng, do đó, chúng tôi thực hiện sự lựa chọn dựa trên cơ sở của cả hai trạng thái đầu và trạng thái cuối Trong một

số thí nghiệm thậm chí cả các chi tiết kỹ thuật trung gian cũng được áp dụng bổ sung cho điều kiện đầu và cuối Vì vậy, chúng tôi xử lý chính thức các trạng thái đầu và cuối dựa trên một cơ sở tương đương là không phù hợp với thực nghiệm về quy trình được sử dụng trong một số điều tra

14 Phương trình (2.1.7), (2.1.8) có thể được coi như cung cấp nền tảng cho một lý thuyết của phép đo đối xứng thời gian Trên cơ sở của các phương trình (2.1.3), (2.1.4), chúng ta có thể tính toán xác suất liên quan đến một vài các phép đo giữa J và F, hoặc chúng ta có thể tính toán xác suất ngẫu nhiên đề cập tới các mẫu một phần trong đó kết quả của một vài phép đo được cố định Đặc biệt chúng ta có thể tính toán xác suất ngẫu nhiên tìm kết quả của 1

l

d cho kết quả di0 Dĩ nhiên để có được xác suất này chúng ta phải tổng hợp trên tất

cả các kết quả có thể của các phép đo trước 0

i

A và trên tất cả các kết quả có thể xảy ra sau 1

15

không gian con tuyến tính (đa chiều) của không gian Hilbert, và có thể được biểu diễn bởi một toán tử lũy đẳng Dk Dạng của các phương trình (2.1.7), (2.1.8) sẽ không thay đổi dưới sự giải thích lại của kí hiệu Dk Tuy nhiên cần lưu ý phương trình (2.1.9) nắm giữ chỉ khi Ai là không suy biến

Nếu chúng ta tạo thành một tập hợp, trong đó bắt đầu lịch sử với trạng thái a và kết thúc với trạng thái b tạo thành một cab phần nhỏ của toàn bộ

1.5 Mô tả trạng thái lƣợng tử tại thời điểm t

Hệ thức vectơ trạng thái đơn (SSVF) hay trạng thái lượng tử thường Trong (quy ước) QM một hệ tại t được mô tả bởi một trạng thái lượng

tử, một “ket” , mà xác định như kết quả của phép đo đầy đủ trong quá khứ tại t1<t sau đó phát triển dưới hàm U từ t1 đến t là

(t) U(t, t ) (t ) (2.1.12) Cho thông tin về hệ tại t (đối với việc làm thế nào hệ có thể ảnh hưởng các hệ khác)

Là thời gian- không đối xứng (trong ý nghĩa): kết quả của một phép đo tại t chỉ phụ thuộc vào vào quá khứ (từ t1 tới t) nhưng tương lai không đóng vai trò

16

2 Những tính chất của hệ lƣợng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo

Một mô tả của các hệ lưởng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo liên tiếp đã được thực hiện Với hai hàm sóng, trước tiên preselected bởi phép

đo đầu và thứ hai postselected bởi phép đo cuối, mô tả hệ lượng tử tại một thời điểm duy nhất Nó chỉ ra rằng làm thế nào phương pháp này đưa đến một khái niệm mới: giá trị yếu của một quan sát Các giá trị yếu này là kết quả của một đặc điểm mới của hệ lượng tử giữa hai phép đo Chúng là kết quả của một quá trình đo chuẩn mà thực hiện một số yêu cầu của “sự yếu” Chúng tôi gọi đó là phép đo yếu Ý nghĩa vật lý, nhờ công thức toán học và sự thành công của việc sử dụng thực tế phép đo yếu đã được khám phá!

2.1 Giới thiệu

Gần đây chúng tôi phát triển một hệ lượng tử trong khoảng thời gian giữa hai phép đo Mô tả này đã khám phá ra một số khía cạnh mới của lý thuyết lượng tử

Trong cách tiếp cận của chúng tôi, chúng tôi chỉ ra một hệ lượng tử tại một thời điểm cho hai hàm sóng (thay vì một hàm sóng) Ngoài ra cùng với hàm sóng chuẩn, chúng tôi xét một hàm sóng khác, phát triển từ tương lai đến quá khứ Về hình thức hai hàm sóng được giới thiệu bởi Ahanorov, Bergman

và Lebonitz để đơn giản hóa phép tính toán xác suất trong việc tìm kiếm kết quả đưa ra trong một phép đo được thực hiện trong thời gian trung gian giữa hai phép đo khác

Kết quả quan trọng nhất trong cách tiếp cận của chúng tôi là khả năng định nghĩa một khái niệm mới: giá trị yếu của một biến lượng tử Nó là một đặc tính vật lý của một hệ lượng tử giữa hai phép đo, tức là, đặc tính của một

hệ lượng tử thuộc một tập hợp là cả preselected and postselected Đặc tính này có thể biểu thị chính nó thông qua phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu

17

của “sự yếu” Thực tế, ảnh hưởng của một tương tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị yếu Giá trị yếu của một biến có thể khác nhau đáng kể từ giá trị riêng của một toán tử liên quan Vì vậy đặc tính này của phép đo yếu có thể dùng như một chương trình mở rộng mới

2.2 Nghịch đảo thời gian

Một mô tả hệ lượng tử ở khoảng thời gian giữa hai phép đo là đối xứng theo nghịch đảo thời gian Trong lí thuyết lượng tử của các định luật động lực

là đối xứng thời gian như là một bản sao cổ điển của chúng, cụ thể, các phương trình chuyển động Hamilton Sự bất đối xứng đi vào thông qua lý thuyết của các phép đo Sự “sụp đổ” của một hàm sóng là một phần của quá trình đo không phải là (ít nhất trong cách tiếp cận chuẩn) đối xứng thời gian: hàm sóng tồn tại trước khi phép đo “sụp đổ”, nói chung, một hàm sóng mới phù hợp với kết quả của phép đo Trong cách tiếp cận chuẩn, nó không rõ ràng làm thế nào chúng ta khôi phục lại đối xứng nghịch đảo thời gian vì không có trạng thái phát triển ngược lại trong thời gian Ví dụ sau sẽ làm rõ

sự khác biệt giữa hai hướng thời gian

Giả sử ta có tập hợp hạt có spin 1

2, mà ta tìm thấy ở thời điểm t, trong trạng thái x=1 Ta có thể dự đoán rằng xác suất tìm thấy y=1 ngay sau đó là 1

2 Tuy nhiên, ta không thể xác định bởi “retrodiction” rằng xác suất tìm thấy

y=1 ngay trước thời điểm t cũng là 1

2 Nó có thể xảy ra với tất cả các hạt trong tập hợp được chuẩn bị trong trạng thái y=-1, trong trường hợp không

có hạt sẽ được tìm thấy với y=1 hoặc nó có thể là tất cả các hạt đã được chuẩn bị với y=1 và sau đó tất cả chúng đều mang lại y=1 Ta vẫn có thể xác định bởi retrodiction rằng xác suất tìm thấy x=1 trước thời điểm t là 1,

18

tuy nhiên, cho kết quả các phép đo các quan sát khác chúng tôi đưa vào lý giải trạng thái của hệ trước thời điểm t Chúng tôi giả định rằng một trạng thái tồn tại, và nếu chúng tôi không hiểu nó là gì, thì chúng tôi không thể tìm thấy xác suất cho các kết quả của hầu hết các phép đo

Với phép đo sau thời điểm t, vấn đề này không phát sinh vì chúng tôi không giả định có trạng thái (thậm chí không biết) đến từ tương lai Vì vậy, sự khác biệt giữa quá khứ và tương lai không phải là một đặc tính nội tại của lý thuyết lượng tử, nhưng nó là đặc trưng phương pháp của chúng tôi về mũi tên thời gian: hiện tại chúng tôi xem quá khứ như tồn tại và tương lai như không tồn tại (chưa) (giả định rằng cả hai phép đo được hoàn thành) Do đó đối với khoảng thời gian trung gian, có một sự đối xứng hoàn toàn dưới sự nghịch đảo thời gian Sự đóng góp mô tả hệ lượng tử từ kết quả của phép đo đầu là hàm sóng thông thường phát triển từ quá khứ tới tương lai, từ phép đo đầu tới phép đo cuối Vì tính đối xứng dưới nghịch đảo thời gian, sự đóng góp của phép đo cuối tương tự như: hàm sóng phát triển ngược trở lại trong thời gian

từ phép đo cuối đến phép đo đầu

Một hệ tại thời điểm t (t1<t<t2) được mô tả bởi vecto 2-trạng thái

2 1 với 1 được định nghĩa ở phương trình (2.1.12) và “bra” 2 được định nghĩa như kết quả trạng thái 2(t ) của phép đo đầy đủ trong tương lai 2

t2>t và phát triển dưới V(t2, t) ngược trở lại từ t2 đến t

2(t) 2(t ) V(t , t) 2 2

Bra 2 cho thông tin về hệ tại t Nó là thời gian đối xứng: kết quả của một phép đo tại thời điểm t phụ thuộc không chỉ vào quá khứ (từ t1 đến t) mà còn vào tương lai (từ t2 về t)

Chúng ta xét hệ lượng tử giữa các phép đo của hai biến A và B Tại thời điểm t1 một quan sát A được đo và không suy biến, giá trị riêng a đã

19 được tìm thấy, tại thời điểm t2 B được đo và không suy biến, b đã được tìm thấy Tại thời điểm t trung gian hệ được mô tả bởi hai hàm sóng sau: một bra

1 (hàm sóng phát triển hướng tới tương lai) và môt ket 2 (hàm sóng phát triển hướng tới quá khứ)

b V(t , t) c c U(t, t ) a

b V(t , t) c c U(t, t ) a

(2.2.2)

điều này phụ thuộc quá khứ a và tương lai b Trường hợp đặc biệt với

“chuyển động tự do” trong đoạn [t1,t2], tức, U(t,t1)=V(t2,t)=0

20

khi Hamilton tự do của hệ là 0, và để đơn giản, chúng tôi sẽ xem xét trường hợp này Bây giờ mô tả hệ lượng tử ở thời điểm t, t1<t<t2 bởi 1 A a và

2 B b thấy rằng cả A=a và B=b tại thời điểm đó Rõ ràng, nếu A được

đo ở thời điểm t, kết quả sẽ là A=a và nếu thay là B, kết quả sẽ là B=b Các cuộc thảo luận ở trên có thể đưa đến gợi ý rằng giá trị của C=A+B trong thời gian trung gian phải là a+b Nhưng đối với các biến A, B không giao hoán giá trị a+b có thể khác giá trị riêng bất kì của C và, do đó, phép đo C không thể mang đến giá trị a+b Lí do cho sự khác biệt này là cả A=a và B=b là chính xác tại thời điểm t nếu chỉ một trong hai phép đo được thực hiện Nếu A và B được đo ở giữa và phép đo A xẩy ra trước khi đo B, thì rõ ràng A=a và B=b Tuy nhiên, nếu B được đo trước A, nói chung, phép đo A và B mang lại kết quả khác Nếu chúng ta thực hiện phép đo A và B đồng thời, sau đó chúng lại làm nhiễu loạn lẫn nhau, do đó, kết quả của phép đo A+B không phải là a+b

Sự thất bại để có được cả hai đặc điểm A=a và B=b bằng cách sử dụng các phép đo của C=A+B không phải là đáng ngạc nhiên Phép đo C thay đổi tình hình và do đó, chúng tôi không thể kết hợp hàm sóng 1 và 2 với

hệ của chúng tôi trong khoảng thời gian [t1,t2] Điều này cho thấy chúng tôi sử dụng các phép đo mà không làm thay đổi đáng kể hai hàm sóng trên Chúng tôi dẫn đến xem xét một quá trình đo với tương tác “sự yếu” mang lại A=a và B=b ngay cả khi phép đo được tiến hành trong trật tự “sai”, cụ thể là, B trước

A nhưng cũng sẽ đúng nếu các phép đo thực hiện đồng thời, và do đó, phép

đo yếu của C=A+B phải mang lại giá trị “cấm” a+b

2.4 Phép đo Von Neumann

2.4.1 Phép đo thường (“mạnh”)

Chúng ta muốn đo quan sát A(A aˆ ˆ n a a ) của trạng thái lượng tử n n

1 tại t1

g độ lớn liên kết, ˆP(Q)ˆ thiết bị momem- giống toán tử

ˆQ q q q ; ˆP p p p Chúng ta định rõ 1 như sau

1 1

dq%(q) 1

Mà chiều rộng q 1 / trong không gian q

Dưới H cho t>t1:

t t1

i H d

22

2 2

2 2 n

2 2 n

n

ˆ igPA

n

igpa p / 4 1/ 2

21

21

21

2

(2.4.8) Làm thế nào biến đổi biểu diễn q? Đưa vào1 dq q q →

n

igpa p / 4 1/ 2

23

2 p

n

P (q) q T

(q) a a(q)

(iii) Nếu kết quả là A=an hệ rút gọn thành an

2.4.2 Các phép đo thường không thực hiện được

Điều gì xảy ra nếu x g = 1 (g nhỏ hoặc/ và q lớn)? Chúng ta xét điều này chi tiết hơn

2 4 ga

2 q

n n

đo duy nhất hầu như không nhận được thông tin → sự lặp lại phép đo nhiều lần là cần thiết

25

2.4.3 Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu

Bây giờ, tại t2>t đo một vài ˆB Aˆ và postselect của hệ trong một trạng thái nhất định

Trạng thái chưa chuẩn hóa thiết bị tương ứng với pre và postselected là:

t t1

i H( )d '

Trạng thái chuẩn hóa thiết bị là:

' 2

2 2 xác suất của post-selection Xét '

2 trong chi tiết

t

2 2 t1

( 2 )1

( 2 )1

26

2 n

2 2

(q 2gb g a )

*

n n n

2 ga

n n n

27

2

2 2

w n

2 2 w n

2 gA

n n

(q 2gA )

* n n