Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÍ NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN Chun ngành: Vật lí lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÍ NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN Chun ngành: Vật lí lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Tích phân trạng thái hàm nhiệt động vật lí thống kê cổ điển” hồn thành Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo cho em suốt trình xây dựng hồn thành đề tài Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy tổ vật lí lý thuyết, thầy khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền đạt cho em kiến thức quý báu suốt bốn năm học vừa qua Cảm ơn tất bạn bè, người động viên giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để hồn thiện khố luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Ánh LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu sở kiến thức học Đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Trong nghiên cứu hồn thành khố luận này, em có tham khảo tài liệu có liên quan ghi mục tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin khẳng định kết nghiên cứu đề tài “Tích phân trạng thái hàm nhiệt động vật lí thống kê cổ điển” không trùng lặp với kết đề tài khác Người thực Nguyễn Thị Ngọc Ánh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ 1.1 Khái niệm 1.2 Phương pháp Gipxơ 1.3 Định lí Liuvin KẾT LUẬN CHƯƠNG 12 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI 13 2.1 Tích phân trạng thái hệ đẳng nhiệt 13 2.2 Tích phân trạng thái hệ có số hạt thay đổi 16 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 19 3.1 Biểu thức hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái 19 3.2 Tích phân trạng thái hàm nhiệt động khí lí tưởng 21 3.3 Tích phân trạng thái hàm nhiệt động khí thực 25 3.4 Một số tập ứng dụng 30 KẾT LUẬN CHƯƠNG 35 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lí lý thuyết mơn chun sâu vào vấn đề xây dựng thuyết vật lí Dựa tảng mơ hình vật lí, nhà khoa học vật lí xây dựng thuyết vật lí.Thuyết vật lí hiểu biết tổng quát người lĩnh vực , phạm vi vật lí định Dựa mơ hình vật lí tưởng tượng, nhà vật lí lý thuyết phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đề hệ thống quy tắc, định luật, nguyên lý vật lí dùng làm sở để giải thích tượng, kiện vật lí để tạo khả tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu vào đời sống thực tiễn Để biết cấu tạo phân tử tạo nên vật chất qua giải thích tính chất chúng liên quan đến chuyển động phân tử, phải nghiên cứu trạng thái khác vật chất Muốn nghiên cứu phải xuất phát từ việc nghiên cứu trạng thái đơn giản đến trạng thái phức tạp Trong trình tìm hiểu em thấy vật lí thống kê học phần quan trọng vật lí lý thuyết Vật lí thống kê nghiên cứu hệ nhiều hạt cân khơng cân Vật lí thống kê áp dụng phương pháp thống kê để giải toán liên quan đến hệ chứa số lớn phần tử, hệ có số bậc tự cao đến mức giải xác cách theo dõi phần tử Hơn hệ nhiều hạt tồn quy luật khách quan quy luật tính thống kê Vì khảo sát hệ nhiều hạt ta phải dùng lý thuyết xác suất phương pháp thống kê Trong vật lí thống kê cổ điển, tích phân trạng thái đóng vai trò đặc biệt quan trọng xác định tích phân trạng thái hệ ta tìm loạt đại lượng đặc trưng cho hệ vật lí Vật lí thống kê đặt sở lý thuyết cho quy luật nhiệt động lực học Nhiệt động lực học thống kê khơng cho phép tính tốn đại lượng nhiệt động mà giúp thiết lập mối liên hệ trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mơ hệ cho phép ta tính hàm nhiệt động hệ khác Và xuất phát từ nên em chọn đề tài “ Tích phân trạng thái hàm nhiệt động vật lí thống kê cổ điển” đề tài nghiên cứu Mục đích, nhiệm vụ đề tài Nắm khái niệm vật lí thống kê Nghiên cứu tích phân trạng thái từ tìm hàm nhiệt động để thấy mối quan hệ chúng Vận dụng để giải số tập dựa vào tích phân trạng thái Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tích phân trạng thái vật lí thống kê cổ điển Các hàm nhiệt động tìm từ tích phân trạng thái Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết Đọc tra cứu tài liệu Sử dụng thống kê cổ điển phương pháp tốn vật lí CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ 1.1 Khái niệm 1.1.1 Quy luật tính thống kê Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mơ hệ mà ta khảo sát với đặc tính định luật chuyển động hạt vi mô cấu thành hệ Do phức tạp chuyển động không ngừng trạng thái vi mô mà ta phải sử dụng phương pháp thống kê dựa lý thuyết xác suất 13 Trong hệ nhiều hạt xuất quy luật gọi quy luật thống kê Quy luật tính thống kê quy luật khách quan hệ nhiều hạt tính cách hệ nhiều hạt thời điểm xét hồn tồn khơng phụ thuộc vào trạng thái lúc trước Ví dụ hệ khí ( bao gồm số lớn phân tử), kim loại ( bao gồm số lớn electron) 1.1.2 Trạng thái vi mô trạng thái vĩ mô Xác suất nhiệt động Trạng thái vi mô: trạng thái xác định thông số vi mô tức toạ độ xung lượng hạt cấu thành hệ chúng có ý nghĩa giới vi mơ ta xét phân tử ( hạt) riêng lẻ 3 Trạng thái vĩ mô: trạng thái xác định thông số đo thí nghiệm vĩ mơ thơng thường Ví dụ T , p,V khối khí thơng số vĩ mơ Mỗi trạng thái vĩ mô hệ tương ứng với số lớn trạng thái vi mô Các trạng thái vi mô biến đổi liên tục theo thời gian Xác suất nhiệt động WT : trạng thái vi mô khác tương ứng với số lượng khác trạng thái vi mô, trạng thái vĩ mô bền số trạng thái vi mơ tương ứng với mà hệ thực lớn Xác suất nhiệt động WT trạng thái vĩ mô định hệ số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mơ 1.1.3 Khơng gian pha Không gian pha không gian quy ước nhiều chiều, toạ độ khơng gian pha thông số độc lập xác định trạng thái vi mô hệ ( tức toạ độ xung lượng suy rộng tất hạt cấu thành hệ)  23 Có hai loại khơng gian pha: Khơng gian  : hạt có bậc tự ta đưa vào không gian � chiều có sáu toạ độ Khơng gian K : n hạt hạt có f bậc tự do, khơng gian có fN chiều Các yếu tố không gian pha: Điểm pha ( điểm không gian pha ): trạng thái hệ xác định giá trị tất toạ độ xung lượng suy rộng hạt cấu thành nên hệ biểu diễn không gian pha điểm, gọi điểm pha, yếu tố đơn giản không gian pha Quỹ đạo pha: trạng thái hệ biến đổi với thời gian, điểm pha “ chuyển động” vạch đường cong gọi quỹ đạo pha, đồng thời điểm quỹ đạo tương ứng với trạng thái tức thời xác định hệ Dựa vào quỹ đạo pha ta biết biến đổi trạng thái vi mô hệ Đối với mối điểm không gian pha, có quỹ đạo pha qua Mặt lượng ( siêu diện lượng ): hệ lập Từ ta tìm biểu thức áp suất khí thực: N N    p  kT   2 V  V 2V  (3.40) Cuối tính nội khí thực: U th  U lt  U tt U lt  kNT Vì chất khí ta có N (N 1)  N cặp phân tử tương tác nên ta có: N a U tt tt   N 2 V Do tồn nội khí thực là: U th  kNT  N  2 tt 3.4 Một số tập ứng dụng (3.41) Bài 1: Thiết lập phương trình trạng thái khí lí tưởng đơn nguyên tử lượng xung lượng hạt khí liên hệ với hệ thức   cp  4 Giải Tích phân trạng thái hạt khí lí tưởng: Zk   e H kT dX X + Trong H    cp , U  q    Z k   e X 31   kT dxdydzdpx dp y dpz     kT   kT dpx dp y dp z  V  e Z k  V  e p dp  3 Mà  4 cp  p     dp d   4.c c     kT Z k  4 V e    c   d4.c   V   1 kT e d  c4 Đặt   , n   thì: kT  Z k  V Zk     n e d c   V   n  1  n1 c o 4 Zk  V     kT      V 4   T c  c k Tích phân trạng thái khí lí tưởng có N hạt là: V N 3N kT  Z  Z         N!  N!  c  N k N Vậy phương trình trạng thái khí lí tưởng có dạng: kNT   ln Z   p  kT  V V T Bài 2: Tìm lượng tự F phương trình trạng thái khí lí tưởng đơn nguyên tử tương đối tính Năng lượng xung lượng thoả mãn hệ thức   cp  4 Giải Ta có tích phân trạng thái: Z Nk Z N!   Z k e V   kT    2 4  p dp 4 V  ekT p dp 0 Mà  p    dp  d c ,p  eZ  4 V   nên:  c    c    k 2        d 4 kT V e d    V    k 3T kT    c c  c  c Hàm gamma   3  Vậy Z  k 8 V 3 k T  Z  c3  8 Vk 3T N3  N!  c  Năng lượng tự do:   F  kT ln Z  kT ln   ln  N !    8 Vk 3T N3   8 Vk T       kT ln  N !  NkT ln  3   c  c  N Sử dụng công thức Stecling N !  Khi N lớn ta được:  e  ln  N !  N  ln N  ln e  Vậy lượng tự là: 3  8 Vk 3T  8 Vk T   F  kNT ln     NkT  ln N  ln e   kNT 1 c Nc  ln   Phương trình trạng thái:  F  NkT p    V V   T  Bài 3: Tìm lượng tự F nội U cột khí lí tưởng có chiều cao h diện tích đáy  trường trọng lực chiều có gia tốc g, có nhiệt độ T, biết số hạt khí N, khối lượng hạt m   Giải: Đối với khí lí tưởng đặt trường lực ta có: Z  Z Mx Z B , Z Mx tích phân thống kê tương ứng với phân bố Macxoen Z B tích phân thống kê tương ứng với phân bố Bơnxơman Ta có: Z Mx  h ZB   e 0 mgz kT  N N! 2 mkT N kT  dz      3N  1  e mg   N   mgh kT N Mà N !  N thay vào Z , Z thay vào Z , ta có: Mx B    e N e Z      N  N  N  mgh   kT kT   2 mkT e    mg   3N Năng lượng tự do: F  kT ln Z  F 3N ln  kT N  ln e lnN  N      ln  2 mkT  N ln   kT  e F  kNT ln  2 mkT   NkT ln   1 e N mg   F  Nội U : U  F  TS  F  T  V T Mà:    mgh kT   kT    mg  mgh  e kT      F   kT  e   mgh  kT   NkT  2 mkT   NkT ln  1   ln e  T T  mg  N   3 e kT   kn  kN ln  2 mkT  NkT  Nk ln  NkT ln  N T mg T mgh m gh   k T Nk ln  1 e 1 e kT   NkT kT e  22 mkT  N  kN ln  F  T  e kT =mgh   kT    kN ln     mg  e   kNT ln T V  mgh   2 mk N 2  mgh  e1  kT     Nk kT   mgh  T 1  kT e      kT mghN e m gh  mgh   mghN e mgh  kT    e  F   kT U F T  NkT  2 mkT   NkT ln 1   ln e   mg  N T V   mgh mgh  kT     mghN e kT  e  kT kNT  ln  2 mkT   kNT ln  mgh 1    NkT  e   mg  N    e kT NkT  mghN  NkT  kT  kNT ln   1 kT   NkT e mgh    mg    1 e kT Vậy:  mgh mghN  e mgh1 kT mgh e kT 1 KẾT LUẬN CHƯƠNG Nội dung chương em trình bày việc dựa vào tích phân trạng thái để tìm hàm nhiệt động khí thực, khí lí tưởng Dựa vào nội dung ta vận dụng để giải số tập đơn giản KẾT LUẬN Với đề tài “Tích phân trạng thái hàm nhiệt động vật lí thống kê cổ điển” em trình bày khái niệm định luật vật lí thống kê, nghiên cứu biểu thức tích phân trạng thái hệ đẳng nhiệt hệ có số hạt thay đổi dựa vào phân bố tắc phân bố tắc lớn từ nghiên cứu tích phân trạng thái hàm nhiệt động khí thực khí lí tưởng Khố luận tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên có đam mê nghiên cứu chun ngành vật lí lý thuyết nói riêng vật lí nói chung Tuy nhiên lần em thực đề tài nghiên cứu khoa học nên khố luận em khơng thể tránh khỏi sai sót, kính mong đóng góp, giúp đỡ thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Báu - Bùi Bằng Đoan – Nguyễn Văn Hùng (1999), Vật lí thống kê, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đỗ Trần Cát (2001), Vật lí thống kê, NXB Khoa học Kĩ thuật [3] Vũ Thanh Khiết (2002), Nhiệt động lực học vật lí thống kê, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Mình( chủ biên ) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Trường (2003), Bài tập vật lí lý thuyết tập 2, NXB Giáo dục ... niệm vật lí thống kê, phương pháp Gipxơ, định lí Liuvin Đây sở để em nghiên cứu tích phân trạng thái hàm nhiệt động vật lí thống kê cổ điển CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI 2.1 Tích phân trạng thái. .. 13 2.1 Tích phân trạng thái hệ đẳng nhiệt 13 2.2 Tích phân trạng thái hệ có số hạt thay đổi 16 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN ... dụng để giải số tập dựa vào tích phân trạng thái Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tích phân trạng thái vật lí thống kê cổ điển Các hàm nhiệt động tìm từ tích phân trạng thái Phương pháp nghiên