Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ --- NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết KHOÁ LUẬN T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÍ -

NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH

TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG

TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÍ -

NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH

TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG

TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2018

Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ vật lí lý thuyết, các thầy cô trong khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học vừa qua Cảm ơn tất cả bạn bè, những người đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Ánh

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu trên cơ sở những kiến thức đã học Đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh

Trong khi nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em có tham khảo các tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu của đề tài “Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển” không trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác

Người thực hiện

Nguyễn Thị Ngọc Ánh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ của đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ 3

1.1 Khái niệm cơ bản 3

1.2 Phương pháp Gipxơ 6

1.3 Định lí Liuvin 7

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 12

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI 13

2.1 Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt 13

2.2 Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi 16

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ CÁC HÀM NHIỆT ĐỘNG TRONG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 19

3.1 Biểu thức của các hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái 19

3.2 Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng 21

3.3 Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí thực 25

3.4 Một số bài tập ứng dụng 30

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 35

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lí lý thuyết là một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí.Thuyết vật lí là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực , một phạm vi vật lí nhất định Dựa trên một mô hình vật lí tưởng tượng, các nhà vật lí lý thuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lí dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn Để biết được cấu tạo của các phân tử tạo nên vật chất qua đó giải thích được những tính chất của chúng liên quan đến sự chuyển động của các phân tử, chúng ta phải nghiên cứu các trạng thái khác nhau của vật chất Muốn nghiên cứu được chúng ta phải xuất phát từ việc nghiên cứu các trạng thái đơn giản đến các trạng thái phức tạp hơn

Trong quá trình tìm hiểu em thấy rằng vật lí thống kê là một trong những học phần quan trọng của vật lí lý thuyết Vật lí thống kê nghiên cứu các hệ nhiều hạt cân bằng cũng như không cân bằng Vật lí thống kê áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến hệ chứa một số rất lớn những phần tử, vì thế hệ có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử Hơn nữa trong hệ nhiều hạt tồn tại một quy luật khách quan là quy luật tính thống kê Vì vậy khi khảo sát hệ nhiều hạt ta phải dùng lý thuyết xác suất và phương pháp thống kê Trong vật

lí thống kê cổ điển, tích phân trạng thái đóng vai trò đặc biệt quan trọng bởi

vì khi xác định được tích phân trạng thái của hệ ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí đó Vật lí thống kê đã đặt cơ sở lý

thuyết cho các quy luật nhiệt động lực học Nhiệt động lực học thống kê không những cho phép tính toán các đại lượng nhiệt động mà còn giúp chúng

ta thiết lập được mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mô của

hệ và cho phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau Và xuất phát từ đó nên em chọn đề tài “ Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động trong vật lí thống kê cổ điển” là đề tài nghiên cứu

2 Mục đích, nhiệm vụ của đề tài

 Nắm được các khái niệm cơ bản của vật lí thống kê

 Nghiên cứu tích phân trạng thái từ đó tìm hàm nhiệt động để thấy mối quan hệ giữa chúng

 Vận dụng để giải một số bài tập dựa vào tích phân trạng thái

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Tích phân trạng thái trong vật lí thống kê cổ điển

 Các hàm nhiệt động tìm được từ tích phân trạng thái

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu vật lí lý thuyết Đọc và tra cứu tài liệu

 Sử dụng thống kê cổ điển và phương pháp toán trong vật lí

CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ

1.1 Khái niệm cơ bản

1.1.1 Quy luật tính thống kê

Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ Do sự phức tạp và chuyển động không ngừng của trạng thái vi mô

mà ta phải sử dụng phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất.  1 3 Trong hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê Quy luật tính thống kê là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt vì tính cách của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc trước Ví dụ như một hệ khí ( bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một thanh kim loại ( bao gồm một số rất lớn các electron)

1.1.2 Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô Xác suất nhiệt động

Trạng thái vi mô: là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là các toạ độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa đối với thế giới vi mô ở đó ta xét các phân tử ( các hạt) riêng lẻ. 3

Trạng thái vĩ mô: là trạng thái được xác định bởi các thông số đo được trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường Ví dụ như , ,T p Vcủa khối khí là những thông số vĩ mô

Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số rất lớn các trạng thái vi mô Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo thời gian

Xác suất nhiệt động WT: các trạng thái vi mô khác nhau tương ứng với các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ mô sẽ là càng bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện

được là càng lớn Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó

1.1.3 Không gian pha

Không gian pha là một không gian quy ước nhiều chiều, các toạ độ của không gian pha chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ ( tức là các toạ độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ).  2 3

Có hai loại không gian pha:

 Không gian  : đối với 1 hạt có 3 bậc tự do ta đưa vào không gian 𝜇 6 chiều có sáu toạ độ

 Không gian K : đối với n hạt mỗi hạt có f bậc tự do, không gian đó

có 2 fN chiều

Các yếu tố cơ bản của không gian pha:

 Điểm pha ( điểm trong không gian pha ): trạng thái của hệ được xác định bởi giá trị của tất cả các toạ độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành nên hệ và được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là điểm pha, và đó là yếu tố đơn giản nhất của không gian pha

 Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ “ chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thời mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định nào đó của hệ Dựa vào quỹ đạo pha ta biết được sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ Đối với mối điểm của không gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi qua

 Mặt năng lượng ( siêu diện năng lượng ): đối với một hệ cô lập thì năng lượng toàn phần là không đổi E E q q  1, , , = const2 p p1 2  Điều kiện đó như là một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi mô của trạng thái và trong không gian nó là phương trình của một mặt nào đó Mặt đó gọi là siêu

diện năng lượng hay là mặt năng lượng trong không gian pha, có 2fN 1

1.1.4 Cách mô tả thống kê nhiều hạt Xác suất trạng thái

Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt:

Trong không gian pha K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt

là tập hợp pha. 3

Xác suất trạng thái:

Giả sử có n hệ trong tập hợp thống kê, các hệ này đều bình đẳng như nhau Gọi   f q q( , , 1 2 p p t1 2 ) , dX là một yếu tố thể tích bao quanh một điểm pha ở thời điểm t

Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu diễn pha dX Gọi dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha dX

dndXXác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể tích nguyên tố dX sẽ là:

Ý nghĩa của hàm phân bố thống kê: biết hàm phân bố ( ,t) X ta có thể tìm được trung bình thống kê của một đại lượng vật lí bất kì F X theo công thức:  

F F X d  F X  X t dX

1.2 Phương pháp Gipxơ

Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kỳ F đều là hàm của các thông

số vi mô, vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thời gian Tuy nhiên, trong bất kỳ một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải là giá trị tức thời của các đại lượng vật lí mà là đo các trị trung bình theo thời gian Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất chẳng hạn ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung bình của F theo thời gian t  2

1 3 1 3 0

1( , , , )

t t

Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ ( Gibbs) đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ

Cơ sở của phương pháp Gipxơ : thay việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô) của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê

Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng

và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các trạng thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời, phải đảm bảo rằng mỗi một

hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thiết écgôđíc Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với những trạng thái vi mô của các hệ khác; đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các

hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc

Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê Như vậy trong phương pháp cơ bản của vật lý thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp; muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm phân bố thống kê của hệ Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn

hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất

Khi đó, hiển nhiên là:  3

1 1 2 2

dndX  dX (1.1) Đẳng thức (1.1) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm biểu diễn pha của các hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như chuyển động của chất lỏng Vì vậy tạm quên không gian pha và xét phương trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường

Ta hãy tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố thể tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx dy dz, , Giả sử chất lỏng chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc toạ độ và sau đó chảy ra qua bề mặt khác Khi đó khối lượng của chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo hướng của trục y trong thời gian dt là bằng v dtdxdzy , trong đó: là khối lượng riêng của chất lỏng và nói chung nó là hàm của toạ độ và thời gian; vy

là hình chiếu của vận tốc trên trục Oy Cũng trong thời gian trên khối lượng chất lỏng chảy ra qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng trục







Đối với các trục khác, ta tìm được khối lượng chất lỏng dư ra tổng cộng, khi nó chảy vào và chảy ra khỏi nguyên tố thể tích theo cả 3 trục:

K, ta có thể lặp lại các lập luận giống như trên Muốn vậy, trong không gian pha ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần là

 

Hệ thức trên có ý nghĩa vật lí: “ Sự phân bố các hệ trên những trạng thái

là không đổi theo thời gian”

Tóm lại định lí Liuvin cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với trạng thái cân bằng là tập hợp =const trong không gian pha tức là các trạng thái khả dĩ là đồng xác suất Điều này hoàn toàn phù hợp với tiên đề cơ bản của vật lí thống kê

Kết quả cuối cùng này phát biểu như là nguyên lý về sự bảo toàn thể tích nguyên tố pha, cụ thể là: khi các hệ ( tức là các điểm biểu diễn pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng Đó chính là định lí Liuvin

Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị

biến dạng Giá trị căn bản của định lí Liuvin là: nhờ nó ta chứng minh được giả thiết đã nêu ra nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX

Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ không phụ thuộc thời gian Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc

tường minh vào thời gian Khi đó ta có:  , 

0

X tt







 Kết hợp với (1.2) suy ra: H, Theo cơ học lý thuyết, một đại lượng không phụ thuộc tường 0minh vào thời gian và ngoặc Poátxông giữa hàm Haminton với đại lượng đó

là bằng 0 thì đại lượng đó được gọi là tích phân chuyển động Đối với các hệ bảo toàn, nếu bỏ qua chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ

hệ thì trong các tích phân chuyển động ta chỉ cần chú ý đến năng lượng Do

đó đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có:

 X f H X   

Mặt khác, một tiên đề cơ bản của nhiệt động lực học nói rằng: “ Khi có cân bằng nhiệt động tất cả các thông số nội của hệ là hàm của các thông số ngoại a a1, , 2 và năng lượng” Điều đó chỉ được thoả mãn trong Vật lí thống

kê trong trường hợp nếu như mật độ xác suất pha  chỉ phụ thuộc vào năng lượng và không phụ thuộc vào các tích phân chuyển động khác Như vậy việc chấp nhận giả thiết (1.3) là hoàn toàn hợp lí Hơn nữa, lẽ dĩ nhiên hàm Haminton trong (1.3) phải phụ thuộc cả vào các thông số ngoại a a1, , 2 mà viết tắt là: H H X a( , ) Tóm lại ta có thể kết luận đối với các hệ cân bằng nhiệt động, hàm phân bố thống kê có dạng:

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI

2.1 Tích phân trạng thái của hệ đẳng nhiệt

Bây giờ ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt ( tecmôxta) Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát C và hệ điều nhiệt 1 C có 2các số hạt tương ứng là N N và được diễn tả bằng các biến số chính tắc 1, 2

Trong đó hàm Haminton của hệ chung bao gồm các hàm Haminton của

cả hai hệ con cộng với năng lượng tương tác U : 12

H X X H X H X U X X (2.3) Hiển nhiên là hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 sẽ bằng:

  2

1 1, 2 2 X

Để tìm  X1 trong trường hợp tổng quát, ta dựa vào ba giả thiết sau đây:

 Một là, ta sẽ coi rằng năng lượng của các hệ C và 1 C luôn luôn lớn 2hơn năng lượng tương tác U rất nhiều Đối với các hệ có năng lượng cộng 12tính, thì khi N lớn ta có thể bỏ qua năng lượng tương tác, có nghĩa là, trong biểu thức (2.3) ta đặt:

E

N   const (2.5) Bởi vì ta đã quy ước coi rằng N2 nên điều kiện (2.5) có thể viết N1

dưới dạng:

32

cho  X1 sẽ chỉ đúng khi điều kiện (2.6) được thoả mãn

Để tìm  X1 một cách đơn giản, ta làm như sau Ta chia hệ mà ta muốn

khảo sát C ra thành 1 C và '1 C Các hàm phân bố "1  X'1 và X"1đối với

hai hệ con đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của từng hệ con:

năng lượng toàn phần của cả hai hệ con và năng lượng tương tác giữa chúng:

1( )1 '1 '1 "2 "2 '12

Nếu như các hệ con C và '1 C là đủ lớn thì tương tự như giả thiết thứ nhất "1

ở trên, ta có thể coi năng lượng tương tác U giữa hai hệ con là rất nhỏ so với '12

năng lượng toàn phần của các hệ con H và '1 H nghĩa là, ta có thể viết: "1

1 1 '1 '1 "1 "1

Do đó ta có thể coi hai hệ con đó là độc lập với nhau và có thể vận dụng

định lí nhân xác suất, có nghĩa là có:

Thông số θ được gọi là môđun của phân bố chính tắc, còn đại lượng 

được xác định từ điều kiện chuẩn hoá hàm phân bố:

ta có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì Nếu hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau thì các phép chuyển vị khác nhau của các hạt đó sẽ không đưa đến một trạng thái vi mô mới nào đó, mặc dù chúng được biểu diễn bằng các điểm khác nhau của không gian pha Vì thế đối với các hệ gồm các hạt đồng nhất như nhau ta cần phải loại trừ tất cả các điểm của không gian pha tương ứng với các phép chuyển vị khác nhau của hạt Bởi vì N hạt có thể thực hiện !N phép chuyển vị, nên không gian pha của hệ gồm N hạt đồng nhất như nhau phải giảm đi !N lần Phân bố chính tắc sẽ được viết dưới dạng:

!

XN

2.2 Tích phân trạng thái của hệ có số hạt thay đổi

Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt động lực học đã đưa vào thế hoá học  được biểu thị qua năng lượng tự do  như sau: 3