Xây dựng tôpô trên tập các số colombeau

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ, Ban giám hiệu, Tổ Toán - Lí - Tin và đồng nghiệp trường THPT Cẩm Khê - Phú Thọ, đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2012 Tác giả Tạ Minh Đức LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2012 Tác giả Tạ Minh Đức Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Một số khái niệm và thuật ngữ . . . . . . . 8 1.2. Không gian các hàm thử. . . . . . . . . . . 9 1.3. Hàm suy rộng Schwartz . . . . . . . . . . . 13 1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng. . . . . . . . . . . 16 1.5. Vấn đề tích hai hàm suy rộng. . . . . . . . . . . 18 1.5.1. Tích chập của hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2. Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.3. Vấn đề tích của hai hàm suy rộng tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . 25 2.1. Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . . 25 2.1.1. Hàm suy rộng Colombeau (G-suy rộng) trên R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2. Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Ω ⊂ R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Các tính chất về vi phân trong đại số G (R n ) . . . . 30 2.3. Số Colombeau . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng . . . . . . 38 Chương 3. Xây dựng tôpô trên tập các số Colombeau . . 41 3.1. Giới thiệu chung về tôpô trên tập số Colombeau . . 41 3.2. Tôpô trên tập các số Colombeau . . . . . . . . . . 44 3.3. Định lí Fermat-Reyes trong G (Ω) . . . . . . . 54 1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Bảng kí hiệu Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng những kí hiệu sau: N = {0, 1, 2 }: tập các số tự nhiên. N ∗ : tập các số tự nhiên khác 0. R: tập số thực R + : tập các số thực không âm. R ∗ + : tập các số thực dương. C: tập số phức với đơn vị ảo i (i 2 = −1). Với mỗi số tự nhiên n khác 0, ta ký hiệu: • N n = {α = (α 1 , α 2 , , α n ) |α j ∈ N , j = 1, 2, , n}. • R n = {x = (x 1 , x 2 , , x n ) |x j ∈ R , j = 1, 2, , n} là không gian thực n chiều với chuẩn Euclid x =   n j=1 x 2 j  1 2 . n! = n(n − 1) 1: n giai thừa, là tích của n số nguyên dương đầu tiên. C k n = n! k!.(n−k)! (k, n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n, n ≥ 1): số tổ hợp chập k của tập có n phần tử. 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thường gặp. Tuy nhiên không phải với hàm số nào ta cũng làm được điều đó. Ví dụ như hàm số f(x) = |x| là hàm số liên tục trên toàn bộ R nhưng nó chỉ có đạo hàm tại những điểm x = 0. Điều này làm nảy sinh vấn đề là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy đạo hàm đồng thời hàm đó bao hàm những hàm đã biết. Từ đó trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là "Hàm suy rộng". Tiêu biểu phải kể đến lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz và lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau. Lý thuyết hàm suy rộng được phát triển bởi Schwartz đã mở ra cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã được nhận Huy chương Fields vào năm 1950. Lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz đóng vai trò quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Tuy nhiên những bài toán phi tuyến dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ. Về vấn đề này L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết quả không thể" trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát. Trong kết luận đó L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích. Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai 4 hàm suy rộng, điều này làm cho rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này. Vào năm 1980, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhà toán học người Pháp là J.F.Colombeau giới thiệu. Trong lý thuyết này, hàm suy rộng Schwartz được coi như một tập con và trong đó có thể lấy tích hai hàm suy rộng tùy ý. Sau khi lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau ra đời, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và có những kết quả quan trọng trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Hiện nay, việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau vẫn thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới và có những kết quả quan trọng. Đối với hàm suy rông Schwartz nói chung, ta không thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Với hàm suy rộng Colombeau, dựa trên việc mở rộng tập số phức C ta có thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Điều này dẫn tới việc cần xây dựng trên tập số phức suy rộng (số Colombeau) các tôpô sao cho một số kết quả trong giải tích cổ điển cũng đúng với hàm suy rộng Colombeau. Một vấn đề quan tâm của luận văn này là kết quả trong bài báo "New topologies on Colombeau generalized num- bers and the Fermat-Reyes theorem" của các tác giả Paolo Giordano và Michael Kunzinger (đường link http://arxiv.org/pdf/1201.3887). Trong bài báo này, các tác giả đề cập một cách chi tiết đến việc xây dựng một số tôpô như tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpô. Số Colombeau có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giá trị của hàm suy rộng Colombeau, nó có tác dụng giống như tập số phức đối với các hàm thông thường. Vì vậy, việc thiết lập và nghiên cứu các tính chất trên tập các số 5 Colombeau đặt ra nhiều bài toán mới cho các nhà toán học nghiên cứu về lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Bài báo trên góp một phần vào việc tìm hiểu sâu sắc hơn tập số Colombeau bằng cách xây dựng tôpô trên đó, từ đó chúng ta có thể nghiên cứu được các vấn đề tiếp theo liên quan đến hàm suy rộng Colombeau. Đây cũng chính là một phần quan tâm của luận văn này ngoài việc tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, dưới sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài "Xây dựng tôpô trên tập các số Colombeau" cho luận văn tốt nghiệp khoá học thạc sĩ của mình. Trong luận văn này, chúng tôi cũng sẽ tóm tắt các kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, cuối cùng luận văn sẽ trình bày xây dựng tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpô trên tập các số Colombeau và các kết quả liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, xây dựng tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpô trên tập các số Colombeau. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz; • Tìm hiểu các lý thuyết hàm suy rộng Colombeau; • Xây dựng tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpôtrên tập các số Colombeau; 6 • Định lý Fermat - Reyes. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau, tôpô trên tập các số Colombeau. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, một số bài báo liên quan đến các lý thuyết hàm suy rộng và số Colombeau. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức, phương pháp và các công cụ của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về tôpô trên tập các số Colombeau. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn là tài liệu liên quan đến một số kết quả mới trên tập các số Colombeau, từ đó có thể là cơ sở cho việc phát triển những kết quả tiếp theo. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Để thuận lợi cho việc theo dõi, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàm suy rộng Schwartz. Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [3], [5], [9]. 1.1. Một số khái niệm và thuật ngữ Ta gọi mỗi phần tử α = (α 1 , α 2 , , α n ) ∈ N n là một n-chỉ số (hay đa chỉ số) với bậc |α| = α 1 + α 2 + · · · + α n . Với mỗi đa chỉ số α, toán tử vi phân ký hiệu ∂ α = ∂ α 1 1 ∂ α 2 2 ∂ α n n , ở đây ∂ j = ∂ ∂x j và toán tử D α = D α 1 1 D α 2 2 D α n n , trong đó D j = ∂ i∂x j = −i∂ j , j = 1, 2, , n. Nếu không có gì đặc biệt thì ta hiểu Ω là một tập mở trong R n . Với mỗi 1 ≤ p < ∞ ta ký hiệu L p (Ω) =  f : Ω → C      Ω |f (x)| p dx < +∞  . L p (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn f p =    Ω |f (x)| p dx   1 p . Khi p = ∞ thì L ∞ (Ω) =  f : Ω → C     esssup x∈Ω |f(x)| < +∞  , trong đó esssup x∈Ω |f(x)| = inf {M > 0 sao cho µ {x ∈ Ω ||f(x)| > M } = 0} . 8 [...]... do đó I là một ideal của EM [Rn ] Trên cơ sở đó ta có thể xây dựng được đại số thương EM [Rn ]/I Định nghĩa 2.1.3 (Hàm suy rộng Colombeau) Đại số thương EM [Rn ]/I, ký hiệu G (Rn ) (hoặc G) được gọi là đại số các hàm suy rộng Colombeau Mỗi phần tử thuộc G được gọi là một hàm suy rộng Colombeau Để tiện phân biệt với hàm suy rộng thông thường ta sẽ gọi các hàm suy rộng Colombeau là hàm G-suy rộng Ta thấy... tích 2.1.2 Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Ω ⊂ Rn Việc định nghĩa hàm suy rộng Colombeau hoặc ta còn gọi là hàm Gsuy rộng trên tập mở Ω ⊂ Rn tương tự định nghĩa trên Rn Khi Ω = Rn thì ta có định nghĩa hàm G-suy rộng trên Rn Trước hết, với x ∈ Rn ta xét phép tịnh tiến xác định bởi τx : D (Rn ) → D (Rn ) φ → (τx φ) (t) = φ(t − x) với t ∈ Rn Ký hiệu U (Ω) là tập hợp tất cả các phần tử (φ, x) ∈ A1... hiệu E [Ω] là tập hợp tất cả các hàm R : U (Ω) → C sao cho với mọi φ ∈ A1 thì R (φ, x) là hàm thuộc lớp C ∞ trên Ω (φ) theo x E [Ω] là không gian vectơ và là một đại số Ta cũng ký hiệu EM [Ω] và I [Ω] lần lượt là tập hợp các phần tử ôn hòa và null của E [Ω] như trong các định nghĩa 2.1.1 và định nghĩa 2.1.2 Ở đây K là một tập hợp compact của Ω Khi đó, tập hợp G (Ω) = EM [Ω]/I [Ω] là một đại số và cũng... ∈ D(Ω0 ) sao cho ω(0) = ψ(0) = 1 và ψ = 1 trên supp ω ở đây Ω0 là một lân cận của điểm 0 Giả sử rằng δ 2 ∈ M (R) thì (ωδ)(ψδ) ˆ ˇkhả tích trên R Mặt khác ta lại có (ωδ) 1 và (ψδ) ˆ= ˇ= 1 2π khả tích trên R, điều này là vô lý Vậy chứng tỏ δ 2 không thuộc M (R) Mặc dù ở trên các nhà toán học đã cố gắng xây dựng những định nghĩa cho tích hai hàm suy rộng Các cách đó là tự nhiên nhưng vẫn chưa giải quyết... phương Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiện đại Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng các khái niệm đã có Sau đây ta thừa nhận các tính chất của D (Ω) Định lý 1.2.2 Cho không gian D (Ω) với tôpô τ Ta có 1 Dãy các hàm thử {φl }∞ hội tụ theo tôpô τ tới φ0 trong D (Ω) khi l=1 và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho suppφl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và φl... không gian các hàm thử 1 Phép lấy vi phân ∂ α : φ → ∂ α φ là tuyến tính và liên tục trên D (Ω) với mọi đa chỉ số α 2 Với mọi f ∈ C ∞ (Ω) thì ánh xạ Mf : φ → f φ cũng là tuyến tính liên tục trên D (Ω) 1.3 Hàm suy rộng Schwartz Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D (Ω) → C tuyến tính và liên tục với tôpô trên D (Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz Không gian các hàm suy rộng trên Ω được... ta ký hiệu K là một tập compact của Ω và Kj là một trong các tập compact trong họ Kj nói trong bổ đề trên Bổ đề 1.2.2 C ∞ (Ω) là một không gian Fr´chet và DK là không gian e con đóng của C ∞ (Ω) với mọi K ⊂ Ω Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK (Ω) là một không gian Fr´chet Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử e Định nghĩa 1.2.1 Ta ký hiệu D (Ω) là tập hợp D (Ω) = φ ∈... và cũng được gọi là đại số hàm suy rộng Colombeau trên Ω Nhận xét 2.1.2 Ta thấy rằng DG (Ω) ⊂ G (Ω) với mọi phép lấy vi phân D và công thức Leibniz vẫn đúng trong G (Ω) 2.2 Các tính chất về vi phân trong đại số G (Rn) Theo định nghĩa của hàm suy rộng Colombeau thì mỗi hàm G-suy rộng là một lớp tương đương trong đại số G (Rn ) Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm hàm biểu diễn của các hàm đã biết trong G... trong đó K là tập compact tùy ý Từ đó, vói mỗi K 30 đa chỉ số α thì c sup ∂ α f (φ , x) ≤ c ≤ 0 K , φ ∈ A1 , 0 < < 1, suy ra f ∈ EM [Rn ], do đó f + I ∈ G (Rn ) Ngoài ra, nếu f ∈ C ∞ (Rn ) và có f + I = I, thì suy ra f (φ, x) = f (x) ∈ I Từ đó suy ra với mỗi tập compact K ⊂ Rn , f (x) = O( ) khi ↓0 đều trên K, do đó f = 0 trên K Mà K là tập compact tùy ý, nên f = 0 trên Rn Từ đó, ánh xạ trên là một... tập compact trong Ω Khi đó ta gọi D (Ω) là không gian các hàm thử (test function) ∞ Ta thấy D (Ω) = DKj (Ω), nên D (Ω) là không gian vectơ, đó còn j=1 là không gian vectơ lồi địa phương Điều này được thể hiện qua định lý sau: Định lý 1.2.1 Không gian các hàm thử D (Ω) là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương Chứng minh Theo nhận xét trên ta có DK (Ω) là không gian Fr´chet e Ký hiệu τK là tôpô trên . rộng . . . . . . 38 Chương 3. Xây dựng tôpô trên tập các số Colombeau . . 41 3.1. Giới thiệu chung về tôpô trên tập số Colombeau . . 41 3.2. Tôpô trên tập các số Colombeau . . . . . . . . . }: tập các số tự nhiên. N ∗ : tập các số tự nhiên khác 0. R: tập số thực R + : tập các số thực không âm. R ∗ + : tập các số thực dương. C: tập số phức với đơn vị ảo i (i 2 = −1). Với mỗi số tự. Colombeau, dựa trên việc mở rộng tập số phức C ta có thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Điều này dẫn tới việc cần xây dựng trên tập số phức suy rộng (số Colombeau) các tôpô sao cho một số