Một cách cụ thể hơn, ở đây chúng tôi muốn bàn đến việc sử dụng các tôpô "mịn" cho phép "khôi phục" các tính chất tiệm cận của đại số các hàm suy rộng trong một cách giả mêtric thích hợp. Trong chương này chúng tôi đề cập vấn đề trên theo hai hướng chính sau đây:
• Nghiên cứu các tôpô trên các số Colombeau: Ý tưởng chủ đạo ở đây là khai thác sự giống nhau về cấu trúc của lý thuyết Colombeau và lí thuyết về số thực Fermat. Điều này cho phép chúng ta giới thiệu các tôpô mới được gọi là Fermat và ω-tôpô, nó có thể sử dụng được tại các điểm suy rộng. Hơn nữa chúng ta sẽ chỉ ra chi tiết một tôpô mịn theo quan điểm mở rộng tự nhiên từ khái niệm giá trị tuyệt đối, hoặc một cách tổng quát hơn từ cách xác định nửa chuẩn trong không gian lồi địa phương trong các số Colombeau. Cách tiếp cận này cho phép làm việc với các tôpô mịn giống như tôpô thông thường (tôpô Euclid hoặc tôpô lồi địa phương) vẫn giữ được một số kết quả căn bản đối với các hàm Colombeau nhận giá trị trên tập số Colombeau.
Reyes đối với hàm suy rộng Colombeau, cũng giống như việc xem xét tôpô ở trên, cách tiếp cận với đạo hàm theo hướng này rất gần gũi với lí thuyết giải tích cổ điển và theo đánh giá của một số các nhà toán học, sẽ còn có rất nhiều kết quả thú vị nữa, đặc biệt là theo hướng giải tích trên không gian vô hạn chiều liên quan đến các hàm suy rộng Colombeau. Bằng cách như vậy, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng về giá trị điểm của hàm suy rộng Colombeau. Các kết quả ở đây được tham khảo trong [8].
Giả sử Ω là tập mở trong Rn và I = (0,1], Ω = Ωe M/ ∼ với ΩM =
(xε) ∈ C0(I,Ω)∃N ∈ N : |xε| = O ε−N và(xε) ∼ (yε)nếu|xε −yε| =
O(εm) với mỗi m ∈ R. Không gian thương ΩeC = ΩC/ ∼ với ΩC =
(xε) ∈ C0(I,Ω)|∃K ⊂ Ω∃ε0∀ε < ε0 :xε ∈ K và(xε) ∼ (yε)nếu|xε −yε| →
0. Chúng ta gọi x ∈ ΩeC là gần tiêu chuẩn (near-standard) nếu như tồn tại lim
ε→0+xε = x0 ∈ Ω. với một đại diện nào đó của x, chúng ta viết
x ≈ x0. Có thể chỉ ra rằng mỗi phần tử của G(Ω) trên thực tế được xác định duy nhất bởi các giá trị điểm của nó trên các điểm suy rộng gần tiêu chuẩn. Với một điểm gần tiêu chuẩn x ∈ ΩeC thì chúng ta gọi
δ(x) =x−x0 là phần vô cùng bé của x. Thế thì δ(x) = 0. Tập hợp tất cả các điểm gần tiêu chuẩn trong ΩeC được ký hiệu là Ω•.
Khả năng xác định các tôpô và định lí Fermat-Reyes trong khuôn khổ của các hàm suy rộng Colombeau được suy ra từ lí thuyết về số thực Fermat (xem chi tiết trong [8]).
Định nghĩa 3.1.1. Chúng ta nói rằng x là một đa thức nhỏ-oh (a little-oh) và viết x ∈ R0[t] nếu
1) x : R+ →R là hàm liên tục khi t→ 0+. 2) Ta viết xt = r+ k P i=1 αi.tai +o(t) khi t→ 0+ với k thích hợp k ∈ N, r, α1, α2, .., αk ∈ R, a1, a2, ..., ak ∈ R+.
Do đó, mỗi một đa thức nhỏ-oh x ∈ R0[t] là một hàm đa thức với hệ số thực theo biến t ≥0 và chúng ta định nghĩa:
Định nghĩa 3.1.2. Chox, y ∈ R0[t], ta nói rằngx ∼y nếuxt = yt+o(t) khi t→ 0+.
Ta có thể chỉ ra đây là mối quan hệ tương đương. Từ đó chúng ta định nghĩa vành thương •R = R0[t]/∼ . Tương tự như vậy chúng ta có thể xem xét tập A0[t] của các đa thức nhỏ-oh với giá trị trong một tập mở A ⊂R và đặt •A = A0[t]/∼.
Trên vành •R có một quan hệ sắp thứ tự toàn phần, trong đó x < y
nếu như tồn tại các lớp tương đương (đại diện) x = [xt]∼ và y = [yt]∼ sao cho với t đủ nhỏ.
Thế thì hàm trơn f : R →R có thể được mở rộng như sau:
Định nghĩa 3.1.3. Giả sử A là một tập mở của Rvà f : A →R là một hàm trơn. Với [x]∼ ∈ •A đặt •f ([x]∼) = [f ◦x]∼.
Theo cách này, mỗi một hàm trơn thì ta có thể viết: •f (x+ h) =
•f (x) + h.f0(x) ∀h ∈ D. ở đó D = h ∈ •Rh2 = 0. Nhưng không phải là bất cứ hàm chúng ta quan tâm nào đều có dạng •f như trên. Ví dụ, f (x) = x +p với p = t1/2˜ ∈ •R thì không thuộc dạng này vì nó nhận các giá trị thực.
Dựa vào những nhận xét trên chúng ta có thể nghiên cứu dạng định lí Fermat-Reyes đối với các hàm suy rộng Colombeau như kết quả ở cuối chương này.