Định lí Fermat-Reyes trong G (Ω)

Để nghiên cứu định lí Fermat-Reyes đối với các hàm suy rộng Colombeau trước hết chúng ta xét kết quả sau đây

Định lý 3.3.1. Với u ∈ G(R) thì u = 0 ⇔u(x) = 0 ∀x ∈ R• và x khả nghịch.

Chứng minh. Vì u đã hoàn toàn xác định bởi các giá trị điểm của nó trên R• nên chỉ cần chỉ ra rằng nếu u(x) = 0 với tất cả phần tử khả nghịch x ∈ R• thì cũng đúng với tất cả các giá trị của R•.

Để chỉ ra điều này, trước hết ta có nhận xét u(0) = 0.

Đặt xk = εk thì với mỗi xk khả nghịch và |xk|e = e−k →0 khi k → ∞. Theo bổ đề 3.2.2, 0 = u(xk) →u(0).

Giả sử u 6= 0, thế thì ∃x ∈ ReC với u(x) 6= 0 và theo kết quả ở trên ta có

x 6= 0 nhưng x0 = 0 (vì ngược lại thì x sẽ khả nghịch). Bởi vì u(x) 6= 0 nên tồn tại đại diện (uε) của u, m1 nào đó và một dãy 1 > εk → 0+ sao cho |uεk (xεk)| ≥ εm1

k với mọi k, vì x0 = 0, chúng ta có thể giả thiết là đã chọn được (εk)k sao cho 0≤ xεk+1 < xεk hoặc xεk < xεk+1 ≤ 0. Ta xét trường hợp thứ nhất, còn trường hợp thứ hai làm tương tự. Chúng ta chỉ ra rằng có một dãy con xεk hội tụ đến một số suy rộng khả nghịch.

Thật vậy, bằng điều kiện thứ nhất ta có: ∃m2 ∀l ∃kl ≥ l : xεkl ≥εm2k l . (3.8)

Giả sử ngược lại chúng ta có thể giả thiết ∀m ∃lm ∀k ≥lm : |xεk| < εmk . Giả thiết rằng lk+1 > lk, chúng ta xây dựng ánh xạ ε 7→rε như sau: Đầu tiên ta nối các điểm xεl

1 < ... < xεl

0 bằng một đường cong trơn r

(rεi = xεi, l0 ≤ i ≤ l1) sao cho |rε| < ε0 trên [εl1, εl0]; chú ý rằng xεl

0

< ε0l0 và xεl1

< ε1l1 < 1. Bước tiếp theo ta khai triển (trơn) r qua các điểm

xεl

2 < ... < xεl

1sao cho|rε| < ε1 trên [εl2, εl1]; chú ý rằng xεl

2

< ε2l

2 < εl2. Lặp lại quá trình trên ta được ánh xạ trơn r : (0,1] → R sao cho

rεlm = xεlm với mọi m ∈ N0 và |rε| < εm với ε < εlm. Do đó, r là đại diện của 0 ∈ ReC. Tuy nhiên

uεlm rεlm = uεlm xεlm ≥εm1 lm,

với mọi m ∈ N0. Cho nên u(0) = u(r) 6= 0, đó là điều mâu thuẫn. Điều này chứng tỏ sự tồn tại của m2 như đã khẳng định và bằng cách tách ra một dãy con chúng ta có thể thêm vào đó giả sử rằng kl < kl+1 với mọi l

trong (3.8). Giả sử ϕ : R→ [0,1] là một hàm trơn sao cho ϕ(t) = 0 với

t≤ 0 và ϕ(t) = 1 với t ≥ 1. Đặt y : (0,1] → R xác định bởi công thức:

yε =    xεk+1 + ϕ ε−εk+1 εk−εk+1 xεk −xεk+1 , εk+1 ≤ ε≤ εk xε1, ε1 ≤ ε ≤1.

Thế thìy được parametric hoá trơn của đa giác qua các xεk. Bởi vì|yεk|=

|xεk| ≥ εm2k với tất cả các k và bởi vì tập {(ε, x) ∈ (0,1]×R|x≥ εm2} là lồi, |yε| ≥ εm2 với tất cả ε ∈ (0,1]. Do đó, (yε) là đại diện cho phần tử khả nghịch y củaReC. Hơn nữa, với ε < εk,|yε| ≤ |xεk|+ 2xεk+1

y ∈ R• với y0 = 0. Nhưng u(y) 6= 0 bởi vì uεkl yεkl = uεkl xεkl ≥ εm1k

l . Đó chính là điều mâu thuẫn.

Hệ quả 3.3.1. Giả sử Ω ∈ Rn là một tập mở và u ∈ G(Ω). Thế thì

u = 0 khi và chỉ khi u(x) = 0 với mọi x ∈ Ω• với |x| là phần tử khả nghịch trong Re.

Chứng minh. Trước tiên ta mở rộng kết quả của định lý 3.3.1 cho các tập mở Ω ∈ R. Với 0 ∈/ Ω thì mỗi phần tử của Ω• là khả nghịch, cho nên ta nhận được kết quả trên. Ngược lại với ta sử dụng phương pháp chứng minh tương tự như trong định lý 3.3.1.

Bây giờ ta giả sửΩ ⊆Rn (n > 1) và giả sử u(x) = 0 ∀x ∈ Ω• với|x| khả nghịch. Lấy x ∈ ΩeC tuỳ ý và xét ánh xạ eu : y 7→ [uε(y, x2,ε, ..., xn,ε)] ∈ G(pr1(Ω)). Nếu y ∈ pr1(Ω)• khả nghịch thì điều này cũng đúng với phần tử |(yε, x2ε, ..., xnε)|, do đó eu(y) = 0. Điều này kéo theo eu = 0 trong G(pr1(Ω)). Do đó u(x) = 0 ∀x ∈ ΩeC. Tức là u = 0.

Định lí Fermat-Reyes phát biểu sự tồn tại và duy nhất của hàm suy rộng tác động trên các số gia của một hàm cho trước f ∈ G(U). Miền tự nhiên của định nghĩa của số gia này được xác định trong định nghĩa sau:

Định nghĩa 3.3.1. Vớia, h∈ Rn, ký hiệu−−→

[a, b]là{a+s(b−a)|s ∈ R, 0≤ s ≤ 1}. Với mỗi U ⊆ Rlà tập mở thì cái làm dày (the thickening) của U ký hiệu

th(U) = n (x, h) ∈ R2n −−−−−−→ [x, x+h] ⊆U o .

Bổ đề 3.3.1. Với mỗi tập mở U ∈ Rn thì tập

th(U)• = (x, h) ∈ R2n• x0, h0 ⊆ th(U)

là tập mở xét theo tôpô Fermat trên R2n• (và do đó, nó cũng làω-tôpô và tôpô mịn bởi mệnh đề 3.2.2)

Chứng minh.Lấy(x, h) ∈ th(U)•, thế thìK = x0 +s.h0|s ∈ R, 0≤ s ≤1 là compact và được chứa trong tập mở U. Đặt 2a = d(K,Rn\U) > 0 là khoảng cách từ K đến phần bù của U. Thế thì Ba(c) ⊆ U với mọi

c ∈ K. Lấy (y, k) ∈ R2n• sao cho dF (x, y) < a/2 và dF (h, k) < a/2 . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng (y, k) ∈ th(U)•; thật vậy, nếu s ∈ R, 0 ≤ s ≤1 ta có: y0 +sk0 −x0 −sh0 ≤ y0 −x0+|s|.k0 −h0 < a 2 + 1· a 2 = a. Do đó, y0 +sk0 ∈ Ba(c) ⊆ U ở đó c = x0 + sh0 ∈ K (từ định nghĩa về tập compact) và do đó: −−−−−−−−→ y0, y0 +k0 ⊆ U tức là y0, k0 ∈ th (U). Sau đây là định lí Fermat-Reyes đối với hàm suy rộng Colombeau. Định lý 3.3.2. Cho U là tập mở trong R và f ∈ G(th(U)). Thế thì tồn tại duy nhất một hàm r ∈ G(U) sao cho:

f (x+ h) =f (x) +h.r(x, h) ∀(x, h) ∈ th(U)• (3.9)

và r(x,0) = f0(x).

Chứng minh. Để chỉ ra sự tồn tại ta đặt rε(x, h) = R01fε/(x+sh)ds

moderate và lớp r của nó thoả mãn (3.9).

Để chỉ ra sự duy nhất, giả sử rằng er là một số gia khác và khi cố định (x, h) ∈ th(U)•. Theo bổ đề 3.3.1 ta có thể tìm được a > 0 sao cho

dF (x, y) < a và dF (h, k) < a. Suy ra (y, k) ∈ th(U)•. Trên khoảng mở K = h0 −a, h0 +a chúng ta có thể xét các hàm suy rộng ρε(k) =

rε(xε, k)và ρeε(k) = erε(xε, k). Chú ý rằng nếuk ∈ K thì(x, k) ∈ th(U)•; hơn nữa do tính chất của ε và, cả ρε và ρeε đều là moderate, cho nên

ρε, ρeε ∈ G(K) được xác định.

Từ (3.9) chúng ta cók.ρ(k) =k.ρe(k)với mỗi k ∈ K•, do đóρ(k) =ρe(k) với mỗi k khả nghịch thuộc K•. Từ hệ quả 3.3.1 suy ra rằng ρ= ρevà do đó ρ(h) = r(x, y) = ρe(h) = re(x, y) với mỗi (x, h) ∈ th(U)•. Bằng cách áp dụng hệ quả 3.3.1 lần nữa ta được r = er.

KẾT LUẬN

Nội dung chính của luận văn là trình bày:

• Tóm tắt một số kiến thức về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz.

• Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng Colombeau.

• Xây dựng tôpô trên tập các số Colombeau, mở rộng của định lý Fermat - Reyes trong lý thuyết hàm suy rộng Colombeau.

Luận văn với mục đích tiếp cận và nghiên cứu hàm suy rộng Colombeau, xây dựng tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpô trên tập các số Colombeau. Trong thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chế, tác giả mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau, việc xây dựng tôpô trên tập các số Colombeau, đồng thời tìm hiểu định lý Fermat - Reyes trong lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Luận văn có thể được phát triển tiếp theo hướng tìm hiểu các định lý khác như trong giải tích cổ điển trong lý thuyết hàm suy rộng. Tác giả kính mong các quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn.

Tài liệu tham khảo

1. Tiếng Việt

[1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Tôpô đại cương, độ đo và tích phân, NXB Giáo dục.

[2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, tập 1, 2, NXB Giáo Dục.

[3] Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Đại học Quốc gia Hà Nội.

2. Tiếng Anh

[4] F. Treves (1967), Topological vector spaces, distributions and ker- nels, Academic Press, New York and London.

[5] G. Grubb (2008), Distributions and Operators, Springer New York, Inc.

[6] J.F.Colombeau (1984), New Generalized Functional and Multiplica- tion of Distributions, North Holland, Math. Study 84, Amsterdams. [7] Khaled Benmeriem and Chikh Bouzar (2008), Ultra- regular Generalized functions, link http://journal.ms.u- tokyo.ac.jp/pdf/jms150401.pdf.

[8] Paolo Giordano, Michael Kunzinger (2012), New topologies on Colombeau generalized numbers and the Fermat-Reyes theorem, link http://arxiv.org/pdf/1201.3887

[9] L. Schwartz (1966), Théorie des distributions, Hermann, Paris. [10] Tạ Ngọc Trí (2005), The Colombeau theory of generalized func-

tions,Master Thesis, KdV Institute, University of Amsterdams, The Netherlands .

[11] W. Rudin (1985), Functional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi.