Chúng ta đã có định nghĩa không gian các hàm suy rộng G(Rn) mà trong đó ta có thể nhân hai hàm suy rộng tùy ý. Tuy nhiên, chúng ta cũng cần hiểu giá trị của hàm suy rộng F tại một điểm x ∈ R2n. Trong mục này chúng ta sẽ làm điều đó. Trước hết, ta sẽ nói đến số Colombeau (hay còn gọi là số phức suy rộng).
Ký hiệu E0 là tập tất cả các hàm đi từ A1 tới C. Dễ thấy rằng E0 là một không gian vectơ và là một đại số.
Định nghĩa 2.3.1. Chúng ta gọi R ∈ E0 là một phần tử ôn hoà của
E0 nếu có số nguyên dương N sao cho với mọi φ ∈ AN ta có R(φ) =
O −N khi ↓ 0. Ta cũng ký hiệu EM là tập hợp tất cả các phần tử ôn hoà của E0.
Ta cũng thấy rằng EM là một không gian con và là một đại số con của E0.
EM thỏa mãn tính chất: có số N ∈ N và β ∈ Γ sao cho với mọi q ≥ N
và với mọi φ ∈ Aq ta có R(φ) =O β(q)−N khi ↓ 0.
Ta có thể chứng minh rằng I0 là một ideal của EM. Do đó ta có thể định nghĩa một đại số thương như sau
Định nghĩa 2.3.3. Ta ký hiệu C đại số thương EM/I0 và mỗi phần tử của nó ta gọi là một số Colombeau (hay số phức suy rộng).
Vậy có sự liên hệ nào giữa số phức và số Colombeau? Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.3.1. Tập các số phức thông thường C có thể nhúng được vào tập các số Colombeau C bằng ánh xạ z ∈ C 7→ z + I0 ∈ C, ở đây
z(φ) =z,∀φ ∈ A1.
Chứng minh. Thật vậy, ta có |z(φ)|= |z| = |z|
0 , do đó z ∈ EM và ánh xạ đó là đơn ánh. Hơn nữa, nếu z ∈ I0 thì z(φ) = z = O() khi ↓ 0, nên suy ra z = 0. Mệnh đề được chứng minh.
Tương tự ta hiểu "số thực" x trong Clà tập các hàm x như trên sao cho
x(φ) = x, ∀φ ∈ A1. Chúng ta sẽ ký hiệu Re là tập tất cả các đại diện của các số thực x trong C. Chú ý rằng Re sẽ là đối tượng mà chúng ta quan tâm ở chương sau.
Định nghĩa 2.3.4. Số phức z ∈ C được gọi là liên hợp với một số Colombeau Rz = R+ I0, R ∈ EM, ký hiệu bởi Rz ` z, nếu có số q ∈ N
sao cho với mọi φ ∈ Aq ta có lim
↓0 R(φ) = z.
Chúng ta thấy rằng z ở trên (tương ứng Rz) là duy nhất. Hơn nữa,
R+ I0 ` 0 nếu R ∈ I0 vì khi R ∈ I0 thì lim
là tập tất cả các Rz ở trên. Chúng ta thấy rằng C0 6⊂ C. Thật vậy, lấy
Rz ∈ C, Rz = R+ I0, với R(φ) = φ(0),∀φ ∈ A1 thì R ∈ EM. Mặt khác, ta có R(φ) = 1
nφ(0). Từ đó suy ra không tồn tại q ∈ N và z ∈ C sao cho với mọi φ ∈ Aq thì lim
↓0 R(φ) = z hay Rz ∈/ C0.
Sau đây chúng ta sẽ xét một số tính chất của quan hệ trên.
Mệnh đề 2.3.2. Nếu Rz ∈ C, z1, z2 ∈ C sao cho Rz ` z1 và Rz ` z2 thì
z1 = z2.
Nếu Rz = z với z ∈ C⊂ C thì Rz ` z.
NếuRz1, Rz2 ∈ C;z1, z2 ∈ Cvà Rz1 ` z1, Rz2 ` z2 thìRz1+Rz2 ` z1+z2
và Rz1Rz2 ` z1z2.
Nếu Rz ∈ C, z ∈ C và Rz ` z thì −Rz ` (−z).
Việc chứng minh được suy ra từ định nghĩa.
Từ kết quả của mệnh đề trên ta có thể định nghĩa một ánh xạ Rz ∈
C0 7→ z ∈ C sao cho Rz ` z. Tuy nhiên ánh xạ đó không phải là phép chiếu. Thật vậy, lấy Rz ∈ C với Rz = R+ I0 và R(φ) = R
R|x|φ(x)dx
thì R(φ) = R
R|x|1φ xdx = R(φ), φ ∈ A1 và lim
↓0 R(φ) = 0. Do đó ta có Rz ` 0. Tuy nhiên, với mỗi q = 1,2, ... ta có thể xây dựng φ ∈ Aq
sao cho R(φ) 6= 0. Điều đó có nghĩa là Rz 6= 0 trong C.
Bây giờ ta sẽ định nghĩa cho giá trị của hàm suy rộng F ∈ G(Rn) tại mỗi điểm x ∈ Rn.