Với q = 1,2, ..., đặt Aq = φ ∈ D(Rn) : Z Rn φ(t)dt= 1 và Z Rn tαφ(t)dt= 0 với 1 ≤ |α| ≤ q , trong đó t = (t1, t2, ..., tn) ∈ Rn, α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Nn và tα = (tα1 1 , ..., tαn n ). Ta có thể thấy rằng A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ Aq ⊃ Aq+1. . .. Hơn nữa ta có Mệnh đề 2.1.1. ∞ \ q=1 Aq = ∅.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử tồn tại φ ∈
∞ T
q=1
Aq. Ta có khai triển Fourier của φ(t),φb(t) =R
Rn φ(x)e−ixtdx là hàm giải tích trên Cn. Từ đó suy ra φb(0) = 1 và ∂αφb(0) = 0,|α| ≥ 1,∀x ∈ Rn, nên φb(x) = 1,∀x ∈ Rn.
Mặt khác, do φ ∈ Aq, q = 1,2, ..., nên φ ∈ D(Rn) và với mỗi m = 1,2, ...
tồn tại Cm ≥ 0 sao cho
|φb(ξ)| ≤ Cm(1 +|ξ|)−mea|Imξ|, (2.1) ở đây ξ ∈ Cn và a > 0 sao cho suppφ ⊂ {x : |x| ≤a} (theo Định lý Paley-Wiener).
Đặc biệt, cho ξ = x ∈ Rn sao cho |ξ| = |x| → ∞ thì từ (2.1) ta có
b
φ(x) → 0. Điều này mâu thuẫn với φb(x) = 1,∀x ∈ Rn. Vậy chứng tỏ rằng ∞ T q=1 Aq = ∅. Mệnh đề 2.1.2. Với mỗi q = 1,2, ... chúng ta có Aq 6= ∅.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với n = 1. Xét các toán tử tuyến tính liên tục trên D(R) L0(φ) = Z Rn φ(x)dx, Lj(φ) = Z Rn xjφ(x)dx, 1≤ j ≤ q.
Dễ thấy họ (Lj),0 ≤ j ≤ q độc lập tuyến tính, do đó với mỗi φ có một không gian con hữu hạn chiều sinh bởi L0, L1, ..., Lq. Theo nguyên lý Hahn-Banach về thác triển liên tục, ta có thể thác triển liên tục các toán tử tuyến tính liên tục Lj,0 ≤ j ≤ q thành các toán tử tuyến tính liên tục trên D0(R). Mặt khác, ta lại có D00(R) = D(R), do đó tồn tại
ψk ∈ D(R), k = 1,2, ..., q sao cho
Lj (ψk) =σjk; j, k = 1,2, ..., q.
Đặtϕ = ψ0, chúng ta cóLj(ϕ) = σj0 hayR
Rnφ(x)dx = 1vàR
Rnxjϕ(x)dx = 0,1≤ j ≤ q. Điều đó chứng tỏ ϕ ∈ Aq với mỗi q = 1,2, ....
Vớiφ ∈ D(Rn) và > 0, ta đặtφ(t) = 1 nφ 1 . Ta thấy rằngφ ∈ Aq
khi và chỉ khi φ ∈ Aq. Ký hiệu Tx là phép tịnh tiến biến φ 7→ φ(.−x) và φ,x(t) = (Txφ) (t).
Ta cũng đặtE [Rn]là tập hợp các hàm có dạngR : A1×Rn →C,(φ, x) 7→
R(φ, x), trong đó R(φ, x)là hàm khả vi vô hạn theo x với mỗi φ cố định. Ta có thể chứng minh được rằng E [Rn] là một đại số với các phép toán theo điểm.
Định nghĩa 2.1.1. Ta nói phần tửR ∈ E[Rn] là một phần tử "ôn hòa" (moderate) nếu vói mỗi tập compact K ⊂ Rn và mọi phép lấy vi phân
∂α tồn tại N ∈ N∗ sao cho với mọi φ ∈ AN chúng ta có
(∂αR) (φ, x) =O −N (2.2) khi ↓ 0 đều trên K, trong đó (2.2) nghĩa là sup
x∈K
|(∂αR) (φ, x)| ≤ c−N
với c > 0 và với mọi đủ nhỏ.
Ta ký hiệu EM [Rn] là tập tất cả các phần tử ôn hòa của E [Rn].
Nhận xét 2.1.1. Ta thấy rằngN nói chung phụ thuộc vào α và K. Nếu ta có N = N(α, K) thì (2.2) vẫn còn đúng nếu ta thay N bởi N0 > N. Ngoài ra, nếu R1, R2 ∈ E [Rn] thì ta có đồng thời ∂α1R1∂α2R2(φ, x) =
O −N1 và ∂α2R2∂α1R1(φ, x) = O −N1 với N1 nào đó. Do đó theo công thức Leibniz chúng ta có EM [Rn] là đại số con của E [Rn].
Đặt Γ :=
β : N →R+ sao cho nếu q < r thì β(q) ≤ β(r) và lim
q→∞β(q) =∞
,
Định nghĩa 2.1.2. Ta gọi phần tử R ∈ E [Rn] là null nếu mọi tập compact K ⊂ Rn và mọi toán tử vi phân ∂α có một số N ∈ N∗ và β ∈ Γ sao cho với mọi q ≥ N và mọi φ ∈ Aq chúng ta có
(∂αR) (φ, x) =Oβ(q)−N
(2.3) khi ↓ 0 đều trên K. Ta ký hiệu tập hợp các phần tử null của E[Rn] là
I.
Dễ thấy rằng I ⊂ EM [Rn]. Hơn nữa, nếu R1, R2 ∈ EM [Rn] và ít nhất một trong hai phần tử đó thuộcI thìR1.R2 ∈ I, do đóI là một ideal của
EM [Rn]. Trên cơ sở đó ta có thể xây dựng được đại số thươngEM [Rn]/I. Định nghĩa 2.1.3. (Hàm suy rộng Colombeau) Đại số thươngEM [Rn]/I, ký hiệuG(Rn) (hoặc G) được gọi là đại số các hàm suy rộng Colombeau. Mỗi phần tử thuộc G được gọi là một hàm suy rộng Colombeau. Để tiện phân biệt với hàm suy rộng thông thường ta sẽ gọi các hàm suy rộng Colombeau là hàm G-suy rộng.
Ta thấy rằng f là một hàm suy rộng thuộc G(Rn) khi và chỉ khi
f = f +I, trong đó f ∈ EM [Rn] là phần tử đại diện cho f. Ta cũng nói rằng f = g trong G(Rn) khi và chỉ khi f −g ∈ I với f, g tương ứng là các phần tử đại diện của f và g.
Ngoài ra ta cũng có ∀f ∈ EM [Rn] thì ∂α ∈ EM [Rn] và ∀f ∈ I thì ∂α ∈ I, do đó ta có thể định nghĩa đạo hàm của một hàm suy rộng trong G(Rn) như sau
Định nghĩa 2.1.4. Với mọi f ∈ G(Rn) thì đạo hàm cấp α của f, ký hiệu ∂αf, được xác định bởi ∂αf = ∂αf +I. Nói cách khác ∂α xác định
một ánh xạ
∂α : G(Rn) → G (Rn)
f 7→ ∂αf = ∂αf +I.
Dễ thấy toán tử ∂α là toán tử tuyến tính và thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích.
2.1.2. Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Ω ⊂ Rn
Việc định nghĩa hàm suy rộng Colombeau hoặc ta còn gọi là hàm G- suy rộng trên tập mở Ω ⊂ Rn tương tự định nghĩa trên Rn. Khi Ω = Rn thì ta có định nghĩa hàm G-suy rộng trên Rn.
Trước hết, với x ∈ Rn ta xét phép tịnh tiến xác định bởi
τx : D(Rn) → D(Rn)
φ 7→(τxφ) (t) = φ(t−x)
với t ∈ Rn. Ký hiệu U (Ω) là tập hợp tất cả các phần tử (φ, x) ∈ A1 ×Ω sao cho τxφ ∈ D(Ω), nghĩa làsuppτxφ ⊂Ω. Khi đó, do φ có giá compact nên với mọi tập compact K của Ω và mọi φ ∈ A1 thì tồn tại η > 0 sao cho (φ, x) ∈ U (Ω),∀x ∈ K và 0 < < η. Từ đó suy ra với mỗi phần tử (φ, x) ∈ U (Ω)có một lân cận mở ωxcủaxsao cho tập hợp {(φ, y)}y∈ω
x ⊂ U (Ω). Vậy nên, với mọiφ ∈ A1 tập hợp Ω (φ) = {x ∈ Ω : (φ, x) ∈ U (Ω)}
là tập con của Ω và với > 0 đủ nhỏ thì Ω (φ) 6= ∅. Bây giờ mở rộng định nghĩa hàm suy rộng Colombeau trên Rn bằng cách dùng U (Ω) để thay cho A1 ×Ω.
Định nghĩa 2.1.5. Với mỗi Ω ta ký hiệu E [Ω] là tập hợp tất cả các hàm R : U (Ω) → C sao cho với mọi φ ∈ A1 thì R(φ, x) là hàm thuộc lớp C∞ trên Ω (φ) theo x. E [Ω] là không gian vectơ và là một đại số. Ta cũng ký hiệu EM [Ω] và I[Ω] lần lượt là tập hợp các phần tử ôn hòa và null của E [Ω] như trong các định nghĩa 2.1.1 và định nghĩa 2.1.2. Ở đây
K là một tập hợp compact của Ω. Khi đó, tập hợp G(Ω) = EM [Ω]/I[Ω] là một đại số và cũng được gọi là đại số hàm suy rộng Colombeau trên Ω.
Nhận xét 2.1.2. Ta thấy rằng DG(Ω) ⊂ G(Ω) với mọi phép lấy vi phân D và công thức Leibniz vẫn đúng trong G(Ω).
2.2. Các tính chất về vi phân trong đại số G (Rn)
Theo định nghĩa của hàm suy rộng Colombeau thì mỗi hàm G-suy rộng là một lớp tương đương trong đại số G(Rn). Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm hàm biểu diễn của các hàm đã biết trong G(Rn).
Định lý 2.2.1. Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Rn có thể nhúng vào G(Rn) bằng ánh xạC∞(Rn) ,→ G(Rn) biến f ∈ C∞(Rn) 7→ fe+I ∈ G(Rn), trong đó fe(φ, x) =f(x),∀φ ∈ A1 và x ∈ Rn.
Chứng minh. Trước hết, ta thấy ánh xạ trên là hoàn toàn xác định. Thật vậy, vì f ∈ C∞(Rn) nên fe(φ,·) = f(·) ∈ C∞(Rn). Mặt khác, ∂αfe(φ, x) =∂αf(x), φ ∈ A1, x ∈ Rn và vớif ∈ C∞(Rn)ta cósup K ∂αfe(φ, x) = sup K
đa chỉ số α thì sup K ∂αfe(φ, x) ≤ c ≤ c 0, φ ∈ A1,0 < < 1, suy ra fe∈ EM [Rn], do đó fe+ I ∈ G(Rn).
Ngoài ra, nếu f ∈ C∞(Rn) và có fe+I = I, thì suy ra fe(φ, x) = f(x) ∈ I. Từ đó suy ra với mỗi tập compact K ⊂ Rn, f(x) = O() khi ↓ 0 đều trên K, do đó f = 0 trên K. Mà K là tập compact tùy ý, nên f = 0 trên Rn. Từ đó, ánh xạ trên là một phép nhúng từ C∞(Rn) và G(Rn). Định lý được chứng minh.
Như vậy, với mỗi f ∈ C∞(Rn) có duy nhất một phần tử tương ứng
e
f +I ∈ G(Rn) và qua chứng minh định lý trên ta có thể coi C∞(Rn) ⊂ G(Rn). Cũng theo đó thì nếu f ∈ C∞(Rn), đạo hàm của f trong G(Rn) đồng nhất với đạo hàm thông thường trong C∞(Rn).
Định lý 2.2.2. Không gian các hàm liên tục trên Rn có thể nhúng vào
G(Rn) bằng ánh xạ C(Rn) ,→ G(Rn) f 7→ f +I ∈ G(Rn), ở đây f (φ, x) = Z Rn f(x+y)φ(y)dy = Z Rn f(y)φ(y −x)dy, φ ∈ A1, x ∈ Rn.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh f ∈ EM [Rn]. Thật vậy, vì φ ∈ A1 nên ta có f (φ,·) ∈ C∞(Rn) và
∂αf (φ, x) = (−1)|α|
Z
n
Mặt khác, f (φ, x) = Z Rn f(y)φ(y−x)dy = 1 n Z Rn f(y)φ y −x dy = Z Rn f(x+t)φ(t)dt. Suy ra ∂αf (φ, x) = (−1)|α| |α|+n Z Rn f(y) (∂αφ) y −x dy = (−1)|α| |α| Z Rn f(x+t)∂αφ(t)dt.
Vói mọi tập compact K và mọi đa chỉ số α ta có sup K Z Rn f (x+t)∂αφ(t)dt ≤ sup x∈K y∈suppφ δ∈[0,1] |f (x+δy)| Z Rn |∂αφ(t)|dt = c < ∞
và không phụ thuộc vào (0 < < 1) với mọi φ ∈ A1. Do đó chúng ta có f ∈ EM [Rn].
Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu f ∈ C(Rn) và f ∈ I thì f = 0. Thật vậy, nếu f ∈ I thì với mọi tập compact K có số N ∈ N sao cho với mọi
φ ∈ AN ta có
f (φ, x) = O() khi ↓0 đều trên K.
Mặt khác, ta lại có lim ↓0 f (φ, x) = lim ↓0 Z Rn f (x+t)φ(t)dt = Z Rn f(x)φ(t)dt= f(x).
Từ đó suy ra f(x) = 0 trên K. Mà K là tập compact tùy ý trong Rn, nên suy ra f = 0.
Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.2.1. Tương tự, ta cũng chứng minh được không gian các hàm liên tục trên Ω có thể nhúng vào G(Ω) bằng ánh xạ f 7→R(φ, x) ∈ U (Ω), trong đó
R(φ, x) =
Z
Ω
f(y)φ(y −x)dy.
Chú ý rằng ta có thể coi C(Rn) chứa trong EM [Rn] như là một không gian con tuyến tính, nhưng không phải là một đại số con. Thật vậy, với f, g ∈ C (Rn) thì f (φ, x) = R Rnf (x+t)φ(t)dt và g(φ, x) = R Rng(x+t)φ(t)dt, nhưng nhìn chung f (φ, x)g(φ, x) = Z Rn f (x+t)φ(t)dt. Z Rn g(x+t)φ(t)dt 6 = Z Rn f (x+t)g(x+t)φ(t)dt. Do đó f g /∈ EM [Rn].
Ta biết rằng C∞(Rn) ⊂ C(Rn). Vậy nếu f ∈ C∞(Rn) ta có thể áp dụng cả hai Định lý 2.2.1 và 2.2.2, do đó f sẽ có hai cách xác định phần tử tương ứng trong G(Rn). Điều này có gì mâu thuẫn không? Mệnh đề sau đây trả lời cho câu hỏi đó.
Mệnh đề 2.2.1. Cho f ∈ C∞(Rn). Gọi felà phần tử biểu diễn cho f
theo Định lý 2.2.1 và f là phần tử biểu diễn cho f theo Định lý 2.2.2. Thế thì ta có fe+I = f +I trong G(Rn).
minh cho trường hợp n= 1. Ta có e f −f (φ, x) =fe(φ, x)−f (φ, x) = f(x)− Z R f(x+y)φ(y)dy, φ ∈ A1. Do đó ta có e f −f (φ, x) = f(x)− Z R f(x+y)φ(y)dy = f(x)− Z R f(x+t)φ(t)dt = Z R [f(x+t)−f(x)]φ(t)dt.
Sử dụng công thức khai triển Taylor ta được
f(x+t)−f(x) = q X j=1 (t)j j! ∂f (j)(x) + q+1 t q+1 (q + 1)!∂f (q+1)(x+θt),
trong đó 0 < θ < 1. Do đó, với tập compact tùy ý K, mọi q ∈ N và
φ ∈ Aq ta có e f −f (φ, x) =O q+1, ↓ 0 đều trên K.
Điều này thỏa mãn định nghĩa 2.1.2 ứng với trường hợp α = 0, N = 0 và β(q) = q+ 1. Ta cũng có điều tương tự với ∂α
e f −f (φ, x), do đó e f −f ∈ I.
Như vậy ta có thể coi C∞(Rn) ⊂ C (Rn) ⊂ G(Rn). Tiếp theo ta có
D0(Rn) cũng có thể được coi là tập con của G(Rn).
Định lý 2.2.3. Không gian các hàm suy rộng D0(Rn) có thể nhúng vào
G(Rn) bằng ánh xạ u ∈ D0(Rn) 7→ u+ I ∈ G(Rn), trong đó u(φ, x) =
Chứng minh. Đặt φ−(t) = φ(−t), với φ ∈ D(Rn) ta có u(φ, x) = (u∗φ−) (x). Do đó ta có u(φ, x) ∈ C∞(Rn) và
∂αu(φ, x) = (−1)|α|hu(y),(∂xαφ) (y −x)i.
Như vậy hàm suy rộng Dirac δ có dạng fδ+I ∈ G(Rn) với fδ(φ, x) =
hδ(y), φ(y −x)i = φ(−x). Ta còn chứng minh được δ2G(Rn) có dạng
φ2(−x) + I.
2.3. Số Colombeau
Chúng ta đã có định nghĩa không gian các hàm suy rộng G(Rn) mà trong đó ta có thể nhân hai hàm suy rộng tùy ý. Tuy nhiên, chúng ta cũng cần hiểu giá trị của hàm suy rộng F tại một điểm x ∈ R2n. Trong mục này chúng ta sẽ làm điều đó. Trước hết, ta sẽ nói đến số Colombeau (hay còn gọi là số phức suy rộng).
Ký hiệu E0 là tập tất cả các hàm đi từ A1 tới C. Dễ thấy rằng E0 là một không gian vectơ và là một đại số.
Định nghĩa 2.3.1. Chúng ta gọi R ∈ E0 là một phần tử ôn hoà của
E0 nếu có số nguyên dương N sao cho với mọi φ ∈ AN ta có R(φ) =
O −N khi ↓ 0. Ta cũng ký hiệu EM là tập hợp tất cả các phần tử ôn hoà của E0.
Ta cũng thấy rằng EM là một không gian con và là một đại số con của E0.
EM thỏa mãn tính chất: có số N ∈ N và β ∈ Γ sao cho với mọi q ≥ N
và với mọi φ ∈ Aq ta có R(φ) =O β(q)−N khi ↓ 0.
Ta có thể chứng minh rằng I0 là một ideal của EM. Do đó ta có thể định nghĩa một đại số thương như sau
Định nghĩa 2.3.3. Ta ký hiệu C đại số thương EM/I0 và mỗi phần tử của nó ta gọi là một số Colombeau (hay số phức suy rộng).
Vậy có sự liên hệ nào giữa số phức và số Colombeau? Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 2.3.1. Tập các số phức thông thường C có thể nhúng được vào tập các số Colombeau C bằng ánh xạ z ∈ C 7→ z + I0 ∈ C, ở đây
z(φ) =z,∀φ ∈ A1.
Chứng minh. Thật vậy, ta có |z(φ)|= |z| = |z|
0 , do đó z ∈ EM và ánh xạ đó là đơn ánh. Hơn nữa, nếu z ∈ I0 thì z(φ) = z = O() khi ↓ 0, nên suy ra z = 0. Mệnh đề được chứng minh.
Tương tự ta hiểu "số thực" x trong Clà tập các hàm x như trên sao cho
x(φ) = x, ∀φ ∈ A1. Chúng ta sẽ ký hiệu Re là tập tất cả các đại diện của các số thực x trong C. Chú ý rằng Re sẽ là đối tượng mà chúng ta quan tâm ở chương sau.
Định nghĩa 2.3.4. Số phức z ∈ C được gọi là liên hợp với một số Colombeau Rz = R+ I0, R ∈ EM, ký hiệu bởi Rz ` z, nếu có số q ∈ N
sao cho với mọi φ ∈ Aq ta có lim
↓0 R(φ) = z.
Chúng ta thấy rằng z ở trên (tương ứng Rz) là duy nhất. Hơn nữa,
R+ I0 ` 0 nếu R ∈ I0 vì khi R ∈ I0 thì lim
là tập tất cả các Rz ở trên. Chúng ta thấy rằng C0 6⊂ C. Thật vậy, lấy
Rz ∈ C, Rz = R+ I0, với R(φ) = φ(0),∀φ ∈ A1 thì R ∈ EM. Mặt khác, ta có R(φ) = 1
nφ(0). Từ đó suy ra không tồn tại q ∈ N và z ∈ C sao cho với mọi φ ∈ Aq thì lim
↓0 R(φ) = z hay Rz ∈/ C0.
Sau đây chúng ta sẽ xét một số tính chất của quan hệ trên.
Mệnh đề 2.3.2. Nếu Rz ∈ C, z1, z2 ∈ C sao cho Rz ` z1 và Rz ` z2 thì
z1 = z2.
Nếu Rz = z với z ∈ C⊂ C thì Rz ` z.
NếuRz1, Rz2 ∈ C;z1, z2 ∈ Cvà Rz1 ` z1, Rz2 ` z2 thìRz1+Rz2 ` z1+z2
và Rz1Rz2 ` z1z2.
Nếu Rz ∈ C, z ∈ C và Rz ` z thì −Rz ` (−z).
Việc chứng minh được suy ra từ định nghĩa.
Từ kết quả của mệnh đề trên ta có thể định nghĩa một ánh xạ Rz ∈
C0 7→ z ∈ C sao cho Rz ` z. Tuy nhiên ánh xạ đó không phải là phép chiếu. Thật vậy, lấy Rz ∈ C với Rz = R+ I0 và R(φ) = R
R|x|φ(x)dx
thì R(φ) = R
R|x|1φ xdx = R(φ), φ ∈ A1 và lim
↓0 R(φ) = 0. Do đó ta có Rz ` 0. Tuy nhiên, với mỗi q = 1,2, ... ta có thể xây dựng φ ∈ Aq
sao cho R(φ) 6= 0. Điều đó có nghĩa là Rz 6= 0 trong C.
Bây giờ ta sẽ định nghĩa cho giá trị của hàm suy rộng F ∈ G(Rn) tại mỗi điểm x ∈ Rn.
2.4. Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng
Cho F = f +I ∈ G(Rn), với mỗi x ∈ Rn chúng ta có f(·, x) ∈ EM. Vì f (φ, x) ∈ EM [Rn], nên ta có thể định nghĩa
F(x) := fx+I0 ở đây fx(φ) = f (φ, x), φ ∈ A1.