Việc giới thiệu một tôpô thích hợp để có thể nghiên cứu tính chất tiệm cận thường được gọi là các tôpô mịn trên không gian các hàm suy rộng Colombeau được nghiên cứu bởi D.Scarpalezos vào đầu những năm 1990. Các tôpô mịn có ảnh hưởng rất lớn trong việc nghiên cứu cấu trúc các hàm suy rộng Colombeau. Chúng ta đề cập đến một số khái niệm và tính chất chính của tôpô mịn trên Re.
Giả sử
v : EM →(−∞,∞],
v((uε)) = supb ∈ R|uε|= O εb .
Thế thì v((uε) + (nε)) = v((uε)) với mọi (nε) ∈ N. Cho nên v cảm sinh ra tựa-dovaluation (pseu-dovaluation) (và chúng ta cũng kí hiệu làv) trên
e
Rvà chúng ta có v(u) =∞nếu và chỉ nếuu = 0, v(u.w) ≥ v(u)+v(w), vàv(u+w) ≥ min{v(u), v(w)},v(u−w) = v(w −u). Đặt|−|e : Re →
[0,∞), |u|e = exp (−v(u)) ta rút ra|u+v|e ≤ max (|u|e,|v|e), cũng như là |uv|e ≤ |u|e.|v|e. Chúng ta đạt được ultrametric bất biến đối với phép tịnh tiến sau trên Re
ds : Re ×Re →R+, ds(u, v) = |u−v|e.
Nhận xét rằng ds tạo ra một tôpô mịn trên Re. Tương tự chúng ta có thể xác định tôpô mịn trên Ren ∼= f
Rn, nó trùng với tôpô tích. ds là phép ultrametric bất biến đối với phép tịnh tiến và Re với tôpô mịn là đủ.
Tổng quát hơn như C.Garetto đã chỉ ra trong [9], [10], chúng ta có thể gắn vào không gian các hàm suy rộng Colombeau GE với E là không gian lồi địa phương. Giả sử rằng tôpô trên E được sinh ra bởi họ các nửa chuẩn (pα)α∈A và tập:
ME = (uε) ∈ C∞(I, E)∀α∃N :pα(uε) =O ε−N
NE = {(uε) ∈ C∞(I, E)|∀α∀m :pα(uε) =O(εm)} GE = Me/NE.
Thế thì GE là một Ce-module và đại số Colombeau như đã xác định ở trên tương ứng với trường hợp đặc biệt E = C∞(Ω).
Trên GE chúng ta giới thiệu các hàm sau
vα(u) = supb ∈ R|pα(uε) = O εb .
Thì họ vα(u) sinh ra tựa nửa chuẩn ultrametric xác định bởi
Pα = e−vα,
và họ (Pα)α∈A xác định tôpô mà ta gọi là tôpô mịn trên GE. Tôpô mịn này là tôpô Hausdorff và cảm sinh ra một tôpô rời rạc trên R⊆ Re. Thật vậy, với a, b ∈ R, a 6= b,
ds(a, b) =|a−b|e = exp (−v(a−b)) = exp (0) = 1.
Trên đây là điều kiện cần và tổng quát, thật vậy giả sử rằng (R, τ) là một không gian tôpô chứa các dãy số thực R⊆ R. Hơn nữa chúng ta
giả sử rằng R nửa sắp thứ tự (partially ordered) mở rộng cấu trúc thông thường trên tập số thực (R,+,·,≤). Do đó có thể định nghĩa h là một vô cùng bé và viết h ≈ 0 nếu
∀r ∈ R∗+ : −r < h < r. (3.1) Cuối cùng chúng ta nói rằngx, y ∈ Rlà gần nhau vô hạn nếuy−x ≈ 0và chúng ta xác định lớp tương đương củax ∈ R là µ(x) = {y ∈ R|y ≈x}. Thế thì ta có kết quả sau đây:
Mệnh đề 3.2.1. Dưới các giả thiết ở trên, nếu (R, τ) chứa các lân cận vô cùng bé của các số thực, tức là ∀r ∈ R∃U ∈ τ : r ∈ U và U ⊆ µ(τ)
thì tôpô sinh ra bởi (R, τ) trên R là rời rạc.
Chứng minh. Lấy r ∈ R và U ⊆ µ(r) là một lân cận vô cùng bé của
r, thế thì U T
R = {r} do định nghĩa của vô cùng bé.
Tất nhiên Re với tôpô mịn sẽ thoả mãn tất cả các giả thiết của mệnh đề này. Cũng như vậy, bởi vì ||e do ε-tiệm cận của các phần tử của Re
và nó không phân biệt giữa các nhân tử vô hướng, tức là |λu|e = |u|e (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
với mọi λ ∈ R\ {0}. Những tính chất như vậy có thể xuất hiện một cách không cần thiết khi so sánh trên tập R. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy ở phần dưới làm thế nào để có được một tôpô mịn sử dụng giá trị tuyệt đối trong Re. Nó có tính chất |λ.x| = |λ|.|x| và rất nhiều tính chất thông thường khác. Mệnh đề 3.2.1 suy ra với mọi metric trên Rmà chấp nhận một lân cận vô cùng bé không thể mở rộng thành khoảng cách Euclide thông thường. Nói một cách khác thì mỗi metric trên Re nhận được từ metric thông thường trên R không thể có lân cận vô cùng bé
như trên. Để chỉ ra rằng có một metric như thế tồn tại thì ta dùng ý tưởng chuyển từ lí thuyết số thực Fermat sang không gian của các hàm suy rộng Colombeau. Bổ đề 3.2.1. Giả sử D = n x ∈ Ren|x ≈ 0 o là tập vô cùng bé của Ren
thì D là tập con đóng (do đó là đầy đủ) của
e
Rn, ds.
Chứng minh. Giả sử (xm) là một dãy trong D hội tụ đến x ∈ Ren
thế thì v(xn−x) → ∞ khi m → ∞. Chọn m0 sao cho ∀m ≥ m0, v(xm−x) > 1, khi đó tồn tại ε0 > 0 với |xm0,ε −xε| ≤ ε với ε < ε0. Vì
xm0 ∈ D suy ra xε → 0 với ε → 0, tức là x ∈ D.
Với một tập con mở Ω của Rn ta định nghĩa hai hàm khoảng cách mới dF và dω trên Ω• như sau:
x, y ∈ Ω• đặt dF (x, y) = x0 −y0, dω(x, y) =x0 −y0+ds(δ(x), δ(y)).
Thế thì các tôpô tương ứng gọi là tôpô Fermat và ω- tôpô trên Ω•. Mệnh đề 3.2.2. (i) dF là một giả metric trên Ω•.
(ii) dω là metric trên Ω•.
(iii) ω-tôpô mịn hơn thực sự tôpô Fermat.
(iv) Tôpô mịn trên Ω• mịn hơn thực sự ω-tôpô trên Ω•.
Chứng minh. (i) và (ii) và là hiển nhiên.
(iii) Từ thực tế ω-tôpô mịn hơn tôpô Fertmat. Để chứng minh mịn hơn thực sự, ta lấy 0 < R < 1 và giả sử x ∈ Ω•, ta chỉ ra rằng với mỗi
r > 0, Br(x, dF) * BR(x, dω). Chọn s > 0 sao cho e−s > R và giả sử
nhiên dω(x, y) =ds(δ(x), δ(y)) = |εs|e = ε−s > R.
(iv) Chú ý rằng vớir < 1ta có{x ∈ Ω•|ds(x,0) < r} ⊆ {x ∈ Ω•|dω(x,0) < r}. Thật vậy, nếu ds(x,0) < 1 ⇒ x0 = 0, cho nên dω(x,0) = ds(δ(x),0) =
ds(x,0) với x đó. Do sự bất biến của phép tịnh tiến thì điều này suy ra rằng tôpô mịn thì mịn hơn ω-tôpô trên Ω•. Tính chất mịn hơn thực sự suy ra từ Ví dụ 3.2.1 ở bên dưới.
Chú ý. Những tính chất sau đây được suy ra từ các định nghĩa ở trên (i) Nếu x, y ∈ Ω thì dF (x, y) = |x−y| = dω(x, y), do đó cả dF và dω
đều cảm sinh ra tôpô Euclide thông thường trên Ω.
(ii) Từ Mệnh đề 3.2.1 thì cả tôpô Fermat và ω-tôpô không chứa các lân cận vô cùng bé. Ví dụ, dω(x, y) < r khi và chỉ khi có b, c ∈ R∗
+ sao cho
b+c < r, x0 −y0 ≤b và |δ(x)−δ(y)|e ≤ c và do đó mỗi một lân cận của x luôn chứa cả những điểm gần thông thường và gần vô hạn.
(iii) Ánh xạ x 7→ x0, δ(x), Ω• → Ω×(D, ds) là một đẳng cấu của các không gian metric.
(iv) Nếu x ∈ Ω và y, z ∈ µ(x) thì dω(y, z) =e−v(δ(y),δ(z)). (v) Tôpô Fermat không phải là tôpô Hausdorff.
Mệnh đề 3.2.3. (Rn)• là đầy đủ với tôpô Fermat.
Chứng minh. Giả sử (xm) là một dãy số Cauchy (xét theo dF trong (Rn)•) thế thì x0m ở trên là một dãy Cauchy trong Rn, do đó nó hội tụ đến x ∈ Rn, vì vậy (xm) sẽ hội tụ đến một phần tử nào đó của lớp µ(x). Từ (iii) của nhận xét trên và Bổ đề 3.2.1 ta cũng có:
Kết quả này cũng chỉ ra rằng tính chất đầy đủ Cauchy liên quan đến metric mở rộng metric Euclide thông thường không tương thích với sự tồn tại của các vô cùng bé. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Để so sánh với ω-tôpô chúng ta nhắc lại kết quả về tính liên tục sau đây với tôpô mịn.
Bổ đề 3.2.2. Giả sử u ∈ G(Ω). thế thì ánh xạ u : Ωec → Re là liên tục xét theo tôpô mịn.
Chứng minh. Giả sử x ∈ ΩeC và giả sử (xk) là một dãy trong ΩeC hội tụ đến x xét theo metric ds. Lấy k0 sao cho v(x−xk) ≥ 1 ∀k ≥ k0. Thế thì với mỗi k như vậy và ε đủ nhỏ thì đường nối xk,ε và xε được chứa trong Ω và ta có uε(xk,ε)−uε(xε) = 1 Z 0 Duε(xε +τ (xk,ε −xε))dτ.(xk,ε −xε),
cho nên |uε(xk,ε)−uε(xε)| ≤ ε−N |xk,ε −xε| với N > 0 và ε đủ nhỏ bởi tính chất của(uε). Do đó, cuối cùng ta có|u(xk)−u(x)|e ≤eN|xk−x|e →
0 (k → ∞).
Tuy nhiên nếu u ∈ G(Ω)thì ánh xạ liên kết u : Ω• →Re nói chung không liên tục, điều này được minh hoạ bằng ví dụ dưới đây.
Ví dụ 3.2.1. Giả sử Ω = R, uε(x) = x ε và xk = 1 k thế thì u ∈ G(Ω), dω(xk,0) →0, nhưng ds(u(xk),0) = 1 kε e = 1 ε e = e1 6 →0.
Xét theo một nghĩa nào đó thì đây cũng là kết quả tổng quát và là điều kiện cần khác. Thậy vậy giả sử rằng (M, d) là một không gian metric
chứa [0,1] và mở rộng metric thông thường trên các số thực này ∀x, y ∈ [0,1] : d(x, y) =|x−y|. (3.2) Thế thì d 1 k,0
→ 0. Điều này cho thấy điều vô lý nếu như trong M
chúng ta có ít nhất một vô cùng bé khác không h ∈ M| {0}. Trên thực tế
d 1 k, h →d(0, h) > 0. Do đó, mặc dù dãy 1kk∈ N hội tụ đến 0 nhưng nó không gần bất cứ một vô cùng bé nào.
Định nghĩa 3.2.1. Nếu x, y ∈ Re thì
|x−y|g = [|xε −yε|] ∈ Re
min (x, y) = [min (xε, yε)] ∈ Re
max (x, y) = [max (xε, yε)] ∈ Re.
Ta suy ra các tính chất sau đây:
|x|g = max (x,−x) |x|g ≥0 |x|g = 0 ⇒x = 0 |λ.x|g = |λ|g.|x|g |x+y|g ≤ |x|g +|y|g |r|g = |r| ∀r ∈ R.
Ở đây, quan hệ ≤ là quan hệ thứ tự thông thường trên Re tức là x ≤ y
nếu tồn tại các đại diện (xε) và (yω) sao cho xε ≤yε với ε đủ nhỏ. Thông thường, các tôpô thứ tự được xác định đối với các tập được sắp thứ tự hoàn toàn trong khi đó Re chỉ là nửa sắp thứ tự.
Ví dụ, chúng ta chỉ có
và với các số a và c không thể so sánh được với nhau thì chúng ta có thể có: max (a, c) ∈ (a, b)T (c, d) (tức là aε = sin 1 ε và cε = cos 1 ε ). Một điều rất lí thú là chúng ta có thể có cách khác để biểu diễn một khoảng, thí dụ như (a, b) =
n
x ∈ Re |a ≤x ≤ b
o
với a−x, b−x là khả
nghịch. Điều này mâu thuẫn với tính chất(a, b)∩(c, d) = (max (a, c),min (b, d)). Với lí do này theo thì tính chất (3.3) suy ra từ việc trên Re có các nhân
tử 0.
Tiếp theo sau đây chúng ta có
Định lý 3.2.1. Một tập con U ⊆Re là một tôpô mịn nếu và chỉ nếu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∀x ∈ U ∃ρ ∈ Re∗+ : ρ là khả nghịch và Bρg(x) ⊆ U. (3.4) Chứng minh. Xét hình cầu Brs(x) theo tôpô mịn, trong đó r ∈ R∗+. Lấy bất kỳ q > −log (r/2 ) và đặt ρε = εq thì ρ là khả nghịch. Và ta có thể chứng minh được rằng điều này chỉ ra rằng tôpô mịn thì mịn hơn các tôpô xác định bởi (3.4).
Ngược lại nếu chúng ta lấy hình cầu Bρg(x) theo tôpô thứ tự nhưng với ρ khả nghịch thì ρε ≥ εq với một đại diện (ρε) của ρ và q nào đó thuộc N.
Điều này đủ để xem xétr ∈ R>0 sao chor < −q để cóBrs(x) ∈ Bρg(x).
Điều đó kéo theo rằng tôpô mịn có thể được đặc trưng tương đương sử dụng giá trị tuyệt đối |−|g trên Re, nó mở rộng khái niệm về giá trị tuyệt đối thông thường trên R và với cách mở rộng đó thì vẫn giữ được một số tính chất quan trọng.
Ví dụ 3.2.2. i) l ∈ Re là giới hạn của f : Re → Re khi x → x0 xét theo tôpô mịn khi và chỉ khi
∀η ∈ Re∗+∃δ ∈ Re∗+∀x ∈ Re : |x−x0|g < δ ⇒ |f (x)−l|g < η,
ở đó Re∗ = nx ∈ Re| khả nghịch
o
. Điều này bao gồm cả η ≈ 0 như đã đề cập ở trên.
ii) Nếu r ∈ R và ρ ∈ Re+∗ khả nghịch thì vết trên Rcủa hình cầu Bρg(r) (xét theo tôpô mịn |−|g) là Bρg(r)T R= {s ∈ R||s−r| < ρ} cho nên Bρg(r)T R= (r−p, r+p)nếu ρ∈ R∗+ Bpg(r)T R= {r} nếu ρ ≈0.
Do đó theo kết quả của Mệnh đề 3.2.1 thì tôpô cảm sinh trên R là rời rạc trong khi đó, nếu chúng ta chỉ quan tâm đến hình cầu thường xét thì ta nhận được một tôpô Euclide thường gặp.
iii) Mỗi mặt cầu Sr(x) =
n
y ∈ Ren|ds(y, x) = r
o
là đóng nhưng cũng mở. Đây là kết quả đúng trong bất kì không gian ultrametric nhưng trong trường hợp của chúng ta, ta có
Sr(x) =[ Bρg(y)|y ∈ Sr(x) , ∃q > −logr : ρ = [(εq)] . (3.5) iv) Theo chứng minh của Bổ đề 3.2.2, ta suy ra rằng mọi u ∈ G(Ω) thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương (xét theo tôpô-Fermat) để cho rõ hơn nếu x0 ∈ Ω• và chúng ta lấy r ∈ R∗+ sao cho bao đóng của hình cầu (theo tôpô-Fermat)U = {x ∈ Ω•|dF (x, x0) ≤ r} được chứa trongΩ• thì
|u(x)−u(y)|g ≤ K.|x−y|g∀x, y ∈ U. (3.6) Chú ý rằng từ (3.6) ta có điều kiện Lipschitz thông thường (theo tôpô
mịn) tức là |u(x)−u(y)|e ≤k.|x−y|evới k ∈ R.
Các quan hệ chặt chẽ giữa tôpô mịn và tôpô sắp thứ tự suy ra các hàm sau là liên tục: i(x) = 1 nếu x ≈0
0 trong các trường hợp còn lại.
(3.7)
Một lần nữa chúng ta thấy đây lại là một kết quả tổng quát.
Mệnh đề 3.2.5. Dùng các giả thiết tương tự mệnh đề 3.2.1 giả sử δ ≈0
là một vô cùng bé dương, δ ∈ R∗+ sao cho
∀x, x0 ∈ R : x0 −δ < x < x0 +δ ⇒ (x0 ≈ 0⇔ x ≈ 0).
Thế thì
∀x, xo ∈ R : x0 −δ < x < x0 +δ ⇒ i(x) =i(x0),
ở đó i là hàm xác định ở (3.7).
Do đó hàm i cũng liên tục theo tôpô mịn. Điều này chỉ ra rằng định lí giá trị trung bình đối với các hàm liên tục theo tôpô mịn là không còn đúng (vì trong lân cận đó hàm luôn nhận giá trị bằng 0). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tuy nhiên chú ý rằng hàm i vẫn Lipschitz địa phương cả theo tôpô mịn và tôpô-Fermat (chọn k là một số vô hạn nào đó trong (3.6).
Với cách làm như trên tương tự ta có thể xem xét trên Ren và G(Ω) đặt:
kxkg = n P i=1 x2i 12 ∈ Re nếu x ∈ Ren kukgKα = sup x∈K k∂αuε(x)k ∈ R˜ nếu u ∈ G(Ω), K ⊂ Ω, α ∈ Nn 0. Một cách tổng quát hơn giả sử E là không gian vector lồi địa phương
và tôpô của nó được cảm sinh bởi họ các nửa chuẩn (ρα)α∈A Thế thì
ρα mở rộng một cách duy nhất thành các ánh xạ ρgα : GE → Re. Có thể lập luận để thấy rằng tôpô mịn trên GE được tạo nên bởi các tập
{u ∈ GE|pgα(u) < ρ}, ở đó ρ chạy khắp tất cả các phần tử khả nghịch của Re∗+ và α ∈ A.