Xây dựng tôpô trên tập các số colombeau

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Ta Ngoc Trí Thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc t¾p nghiên cúu khoa hoc Thay ln đ®ng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn to Giái tích q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn Só Giáo duc Đào tao Phú Tho, Ban giám hi¾u, To Tốn - Lí - Tin đong nghi¾p trưòng THPT Cam Khê - Phú Tho, tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot lu¾n văn Hà N®i, tháng 11 năm 2012 Tác giá Ta Minh ĐNc LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Ta Ngoc Trí Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành q khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 11 năm 2012 Tác giá Ta Minh ĐNc Mnc lnc Má đau .4 Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm thu¾t ngu 1.2 Không gian hàm thú .9 1.3 Hàm suy r®ng Schwartz 13 1.4 Đao hàm cna hàm suy r®ng 16 1.5 Van đe tích hai hàm suy r®ng 18 1.5.1 Tích ch¾p cna hai hàm suy r®ng 18 1.5.2 Tích cna m®t hàm trơn m®t hàm suy r®ng 19 1.5.3 Van đe tích cna hai hàm suy r®ng tùy ý .20 Chương Lý thuyet hàm suy r®ng Colombeau 25 2.1 Đ%nh nghĩa hàm suy r®ng Colombeau 25 2.1.1 Hàm suy r®ng Colombeau (G-suy r®ng) Rn 25 2.1.2 Hàm suy r®ng Colombeau t¾p mó Ω ⊂ Rn 29 2.2 Các tính chat ve vi phân đai so G (Rn) 30 2.3 So Colombeau 35 2.4 Giá tr% tai điem cna hàm G-suy r®ng 38 Chương Xây dNng tơpơ t¾p so Colombeau 41 3.1 Giói thi¾u chung ve tơpơ t¾p so Colombeau 41 3.2 Tơpơ t¾p so Colombeau 44 3.3 Đ%nh lí Fermat-Reyes G (Ω) .54 Ket lu¾n 59 Tài li¾u tham kháo 60 Báng kí hi¾u Trong lu¾n văn này, chúng tơi sú dung nhung kí hi¾u sau: N = {0, 1, }: t¾p so tn nhiên N∗: t¾p so tn nhiên khác R: t¾p so thnc R+ : t¾p so thnc khơng âm ∗ : t¾p so thnc dương R+ C: t¾p so phúc vói đơn v% áo i (i2 = −1) Vói moi so tn nhiên n khác 0, ta ký hiắu: Nn = { = (1, α2, , αn) |αj ∈ N , j = 1, 2, , n} • Rn = {x = (x1, x2, , xn) |xj ∈ R , j = 1, 2, , n} khơng gian thnc n chieu vói chuan Euclid "x" = nj=1 x2 j n! = n(n − 1) 1: n giai thùa, tích cna n so nguyên dương đau tiên Cn = k n! k!.(n−k)! có n phan tú (k, n ∈ N, ≤ k ≤ n, n ≥ 1): so to hop ch¾p k cna t¾p Mé ĐAU Lý chon đe tài Trong tốn hoc vi¾c lay đao hàm hàm so vi¾c làm thưòng g¾p Tuy nhiên khơng phái vói hàm so ta làm đưoc đieu Ví du hàm so f (x) = |x| hàm so liên tuc tồn b® R chí có đao hàm tai nhung điem x ƒ= Đieu làm náy sinh van đe can thiet phỏi mú rđng khỏi niắm hm e cú nhung lóp hàm mói ln có the lay đao hàm đong thòi hàm bao hàm nhung hàm biet Tù Tốn hoc xuat hi¾n lý thuyet ve lóp hàm mói goi "Hàm suy r®ng" Tiêu bieu phái ke đen lý thuyet hàm suy r®ng cna L.Schwartz lý thuyet hàm suy r®ng cna Colombeau Lý thuyet hàm suy r®ng đưoc phát trien bói Schwartz mó cánh cúa quan cho sn phát trien cna Tốn hoc hi¾n đai, đ¾c bi¾t lĩnh vnc phương trình đao hàm riêng Vói lý thuyet đó, L.Schwartz đưoc nh¾n Huy chương Fields vào năm 1950 Lý thuyet hàm suy r®ng cna L.Schwartz đóng vai trò quan lý thuyet phương trình đao hàm riêng tuyen tính Tuy nhiên nhung tốn phi tuyen dan đen vi¾c xem xét lay tích hai hàm suy r®ng bat kỳ Ve van đe L.Schwartz đưa ket luắn ve mđt "ket quỏ khụng the" viắc lay tớch hai hm suy rđng tong quỏt Trong ket lu¾n L.Schwartz cho rang khơng the lay tích hai hàm suy r®ng bat kỳ mà van thóa mãn cơng thúc Leibniz ve lay đao hàm cna m®t tích Tuy nhiên rat nhieu úng dung can lay tích hai hàm suy r®ng, đieu làm cho rat nhieu nhà Tốn hoc nghiên cúu đe có the giái quyet van đe Vào năm 1980, m®t lý thuyet mói ve hàm suy r®ng đưoc nhà tốn hoc ngưòi Pháp J.F.Colombeau giói thi¾u Trong lý thuyet này, hàm suy rđng Schwartz oc coi nh mđt v có the lay tích hai hàm suy r®ng tùy ý Sau lý thuyet hàm suy r®ng cna Colombeau đòi, nhieu nhà tốn hoc úng dung có nhung ket q quan trong vi¾c giái phương trình đao hàm riêng phi tuyen Hi¾n nay, vi¾c nghiên cúu úng dung cna lý thuyet hàm suy r®ng Colombeau van thu hút nhieu nhà tốn hoc the giói có nhung ket quan Đoi vói hàm suy rơng Schwartz nói chung, ta khơng the xác đ%nh đưoc giá tr% tai moi điem Vói hm suy rđng Colombeau, dna trờn viắc mú rđng so phúc C ta có the xác đ%nh đưoc giá tr% tai moi điem Đieu dan tói vi¾c can xõy dnng trờn so phỳc suy rđng (so Colombeau) tơpơ cho m®t so ket q giái tích co đien vói hàm suy r®ng Colombeau Mđt van e quan tõm cna luắn ny l ket báo "New topologies on Colombeau generalized numbers and the Fermat-Reyes theorem" cna tác giá Paolo Giordano Michael Kunzinger (đưòng link http://arxiv.org/pdf/1201.3887 ) Trong bỏo ny, cỏc tỏc giỏ e cắp mđt cỏch chi tiet en viắc xõy dnng mđt so tụpụ nh tụpụ m%n, tơpơ Fermat, ω-tơpơ So Colombeau có ý nghĩa quan trong vi¾c xác đ%nh giá tr% cna hàm suy rđng Colombeau, nú cú tỏc dung giong nh so phúc đoi vói hàm thơng thưòng Vì v¾y, vi¾c thiet l¾p nghiên cúu tính chat t¾p so Colombeau đ¾t nhieu tốn mói cho nhà toán hoc nghiên cúu ve lý thuyet hàm suy r®ng Colombeau Bài báo góp m®t phan vào vi¾c tìm hieu sâu sac t¾p so Colombeau bang cách xây dnng tơpơ đó, tù có the nghiên cúu đưoc van đe tiep theo liên quan đen hàm suy r®ng Colombeau Đây l mđt phan quan tõm cna luắn ny ngoi viắc tỡm hieu lý thuyet hm suy rđng Colombeau Vúi muc ớch tiep cắn mđt húng nghiờn cỳu cna toỏn hoc hi¾n đai, dưói sn đ%nh hưóng hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí, tơi lna chon đe tài "Xây dnng tơpơ t¾p so Colombeau" cho lu¾n văn tot nghi¾p khố hoc thac sĩ cna Trong lu¾n văn này, chúng tơi se tóm tat kien thúc bán ve lý thuyet hàm suy rđng Schwartz, hm suy rđng Colombeau, cuoi cựng luắn se trình bày xây dnng tơpơ m%n, tơpơ Fermat, ω-tơpơ t¾p so Colombeau ket liên quan Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu lý thuyet hàm suy r®ng Schwartz, hàm suy r®ng Colombeau, xây dnng tơpơ m%n, tơpơ Fermat, ω-tơpơ t¾p so Colombeau Nhiắm nghiờn cNu Tỡm hieu ve lý thuyet hm suy rđng Schwartz; Tỡm hieu cỏc lý thuyet hm suy rđng Colombeau; Xõy dnng tụpụ m%n, tụpụ Fermat, -tụpụtrờn cỏc so Colombeau; %nh lý Fermat - Reyes Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Lý thuyet hàm suy r®ng Colombeau, tơpơ t¾p so Colombeau Pham vi nghiên cỳu: Cỏc ti liắu, mđt so bi bỏo liờn quan đen lý thuyet hàm suy r®ng so Colombeau Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc, phương pháp cơng cu cna giái tích hàm đe tiep c¾n van đe Thu th¾p nghiên cúu tài li¾u liên quan, đ¾c bi¾t báo mói ve tơpơ t¾p so Colombeau DN kien đóng góp mái Lu¾n văn tài li¾u liờn quan en mđt so ket quỏ múi trờn so Colombeau, tù có the só cho vi¾c phát trien nhung ket tiep theo rõ neu x0 ∈ Ω• lay r ∈ + cho bao đóng cna hình R∗ cau (theo tơpơ-Fermat) U = {x ∈ Ω• |dF (x, x0 ) ≤ r} đưoc chúa Ω• |u (x) − u (y)|g ≤ K.|x − y|g∀x, y ∈ U (3.6) Chú ý rang tù (3.6) ta có đieu ki¾n Lipschitz thơng thưòng (theo tơpơ 83 m%n) túc |u (x) − u (y)|e ≤ k.|x − y|evói k ∈ R Các quan h¾ ch¾t che giua tơpơ m%n tôpô sap thú tn suy hàm sau liên tuc:  1 neu x ≈ i (x) = trưòng hop lai (3.7) M®t lan nua thay lai m®t ket tong quát M¾nh đe 3.2.5 Dùng giá thiet tương tn m¾nh đe 3.2.1 giá sú δ ≈ m®t vơ bé dương, δ ∈ + cho R∗ ∀x, x0 ∈ R : x0 − δ < x < x0 + δ ⇒ (x0 ≈ ⇔ x ≈ 0) The ∀x, xo ∈ R : x0 − δ < x < x0 + δ ⇒ i (x) = i (x0) , ó i hàm xác đ%nh ó (3.7) Do hàm i liên tuc theo tôpô m%n Đieu chí rang đ%nh lí giá tr% trung bình đoi vói hàm liên tuc theo tơpơ m%n khơng (vì lân c¾n hàm ln nh¾n giá tr% bang 0) Tuy nhiên ý rang hàm i van Lipschitz đ%a phương cá theo tôpô m%n tơpơ-Fermat (chon k m®t so vơ han (3.6) Vói cách làm trên1 tương tn ta có the xem xét R˜ n G (Ω) đ¾t: "x"g = g n i=1 x2i ∈ neu x ∈ R˜ n R˜ α sup "∂ uε "u"Kα ∈ neu u ∈ G (Ω) , K ⊂ Ω, α ∈ 0Nn (x)" = R˜ x∈K M®t cách tong quát giá sú E khơng gian vector loi đ%a phương tơpơ cna đưoc cám sinh bói ho núa chuan (ρα)α∈A The ρα mó r®ng m®t cách nhat thành ánh xa ρg : GE α R˜ Có → the l¾p lu¾n đe thay rang tơpơ m%n GE đưoc tao nên bói t¾p {u ∈ GE |pα g (u) < ρ}, ó ρ chay khap tat cá phan tú ngh%ch cna + α ∈ A R˜ ∗ 3.3 Đ%nh lí Fermat-Reyes G (Ω) Đe nghiên cúu đ%nh lí Fermat-Reyes đoi vói hàm suy r®ng Colombeau trưóc het xét ket sau Đ%nh lý 3.3.1 Vói u ∈ G (R) u = ⇔ u (x) = ∀x ∈ R• x ngh%ch ChNng minh Vì u hồn tồn xác đ%nh bói giá tr% điem cna R• nên chí can chí rang neu u (x) = vói tat cá phan tú ngh %ch x ∈ R• vói tat cá giá tr% cna R• Đe chí đieu này, trưóc het ta có nh¾n xét u (0) = Đ¾t xk = εk vói moi xk ngh%ch |xk|e = e−k → k → ∞ Theo bo đe 3.2.2, = u (xk) → u (0) Giá sú u ƒ= 0, the ∃x ∈ R˜ C vói u (x) ƒ= theo ket ó ta có x ƒ= x0 = (vì ngưoc lai x se ngh%ch) Bói u (x) ƒ= nên ton tai đai di¾n (uε) cna u, m1 m®t dãy > εk → 0+ cho |uε (xε )| ≥ ε k k k m1 vói moi k, x0 = 0, có the giá thiet chon đưoc (εk)k cho ≤ xεk+1 < xεk ho¾c xεk < xεk+1 ≤ Ta xét trưòng hop thú nhat, trưòng hop thú hai làm tương tn Chúng ta chí rang có m®t dãy xεk h®i tu đen m®t so suy rđng khỏ ngh %ch Thắt vắy, bang đieu ki¾n thú nhat ta có: x ≥ ε m ε k k l ∃m2 ∀l ∃kl ≥ l : (3.8) |xε k | < εm Giá sú ngưoc lai có the giá thiet ∀m ∃lm ∀k ≥ lm : Giá thiet rang lk+1 > lk, xây dnng ánh xa ε ›→ rε sau: Đau tiên ta noi điem xεl < < xεl0 bang m®t đưòng cong trơn r (rεi = xεi, l0 ≤ i ≤ l1) cho |rε| 1) giá sú u (x) = ∀x ∈ Ω• vói |x| ngh%ch Layu : ∈ x ∈ Ω˜ C tuỳ ý xét ánh xa ˜ G (pr1 (Ω)) Neu y ∈ pr1(Ω) • ngh%ch đieu vói u (y) = Đieu kéo theo ˜ G (pr1 (Ω)) Do u (x) = ∀x ∈ Ω˜ C Túc u = dy th (U ) l mđt R mó y n›→ [utrong ε (y, x2,ε, , xn,ε)] R2n − [ x − , − Đ%nh lí Fermat-Reyes phát bieu x − sn ton tai nhat cna hàm suy − r®ng tác đ®ng so gia cna m®t hàm cho trưóc f ∈ G (U ) + − Mien tn nhiên cna đ%nh nghĩa cna so → gia đưoc xác đ%nh đ%nh h ] nghĩa sau: n Đ%nh nghĩa 3.3.1 Vói a, h ∈ R , ký hi¾u − −→ [a , b] {a + s (b − a) |s ∈ R, ≤ s ≤ 1} Vói moi U ⊆ R t¾p mó làm dày (the thickening) cna U ký hi¾u th (U ) = ,(x, ⊆ U , C m u = Bo đe 3.3.1 Vói moi t¾p mó U Rn thỡ 0 • th(U ) = (x, h) ∈ R2n x , h ⊆ th (U ) t¾p mó xét theo tôpô Fermat R tôpô tôpô m%n búi mắnh e 3.2.2) 2n (v ú, ω- • ChNng minh Lay (x, h) ∈ th(U ) , the K = x0 + s.h0 |s ∈ R, ≤ s≤1 compact đưoc chúa t¾p mó U Đ¾t 2a = d (K, Rn\U ) > khoáng cách tù K đen phan bù cna U The Ba (c) ⊆ U vói 2n • moi c ∈ K Lay (y, k) ∈ R cho dF (x, y) < a/2 dF (h, k) • < a/2 Chúng ta se chí rang (y, k) ∈ th(U ) ; th¾t v¾y, neu s ∈ R, ≤ s ≤ ta có: y0 + sk0 − x0 − sh0 ≤ y0 − x0 + |s| k0 − h0 a a < + · = a 2 Do đó, y0 + sk0 ∈ Ba (c) ⊆ U ó c = x0 + sh0 ∈ K (tù đ%nh nghĩa ve −.−−−−−−−→ t¾p compact) đó: y0, y0 + ⊆U ∈ th (U ) , k k0 túc y Sau đ%nh lí Fermat-Reyes đoi vói hàm suy r®ng Colombeau Đ%nh lý 3.3.2 Cho U t¾p mó R f ∈ G (th(U )) The ton tai nhat m®t hàm r ∈ G (U ) cho: • f (x + h) = f (x) + h.r (x, h) ∀ (x, h) ∈ th(U ) r (x, 0) = f r (x) ChNng minh Đe chí sn ton tai ta đ¾t rε (x, h) = ¸ ε / (3.9) f (x + sh) ds vói moi (x, h) ∈ th (U ) The moi m®t hàm rε hàm trơn, (rε) moderate lóp r cna thố mãn (3.9) Đe chí sn nhat, giá sú rang r m®t so gia khác co đ%nh ˜ • (x, h) ∈ th(U ) Theo bo đe 3.3.1 ta có the tìm đưoc a > cho • dF (x, y) < a dF (h, k) < a Suy (y, k) ∈ th(U ) Trên khống mó K = h0 − a, h0 + a có the xét cỏc hm suy rđng (k) = (k) = rε˜(xε, k) Chú ý rang neu k ∈ K (x, k) ∈ th(U ) ; nua tính chat cna ε và, cá ρε ρ˜ε đeu moderate, ρε, ρε ∈ G (K) đưoc xác đ%nh ˜ ρ (k) vói moi k K• , ρ (k) = ρ ∈ (k) ˜ • vúi moi k khỏ ngh%ch thuđc K Tự hắ 3.3.1 suy rang ρ = ρ ˜ • ρ (h) = r (x, y) vói moi (x, h) th(U ) Bang cách ˜ ∈ áp dung h¾ 3.3.1 lan nua ta đưoc r =r.˜ KET LUắN Nđi dung chớnh cna luắn l trỡnh by: Túm tat mđt so kien thỳc ve lý thuyet hm suy rđng Schwartz Tỡm hieu ve lý thuyet hm suy rđng Colombeau Xõy dnng tụpụ trờn cỏc so Colombeau, mú rđng cna %nh lý Fermat - Reyes lý thuyet hm suy rđng Colombeau Luắn văn vói muc đích tiep c¾n nghiên cúu hàm suy r®ng Colombeau, xây dnng tơpơ m%n, tơpơ Fermat, ω-tơpơ t¾p so Colombeau Trong thòi gian có han kien thúc han che, tác giá mói chí dùng lai ó vi¾c tìm hieu, nghiên cúu kien thúc c bỏn cna lý thuyet hm suy rđng Colombeau, viắc xây dnng tơpơ t¾p so Colombeau, đong thòi tìm hieu đ%nh lý Fermat - Reyes lý thuyet hm suy rđng Colombeau Luắn cú the oc phỏt trien tiep theo hưóng tìm hieu đ%nh lý khác giái tích co đien lý thuyet hàm suy r®ng Tác giá kính mong q thay ban đóng góp ý kien đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám n H Nđi, thỏng 11 nm 2012 Ti liắu tham kháo Tieng Vi¾t [1] Nguyen Xn Liêm (1997), Tơpơ đai cương, đ® đo tích phân, NXB Giáo duc [2] Nguyen Văn Khuê, Bùi Đac Tac, Đo Đúc Thái (2001), Cơ só lý thuyet hàm giái tích hàm, t¾p 1, 2, NXB Giáo Duc [3] Đ¾ng Anh Tuan (2005), Lý thuyet hàm suy r®ng khơng gian Sobolev, Đai hoc Quoc gia Hà N®i Tieng Anh [4] F Treves (1967), Topological vector spaces, distributions and kernels, Academic Press, New York and London [5] G Grubb (2008), Distributions and Operators, Springer New York, Inc [6] J.F.Colombeau (1984), New Generalized Functional and Multiplication of Distributions, North Holland, Math Study 84, Amsterdams [7] Khaled regular Benmeriem Generalized and Chikh functions, tokyo.ac.jp/pdf/jms150401.pdf Bouzar link (2008), Ultra- http://journal.ms.u- [8] Paolo Giordano, Michael Kunzinger (2012), New topologies on Colombeau generalized numbers and the Fermat-Reyes theorem, link http://arxiv.org/pdf/1201.3887 [9] L Schwartz (1966), Théorie des distributions, Hermann, Paris [10] Ta Ngoc Trí (2005), The Colombeau theory of generalized functions,Master Thesis, KdV Institute, University of Amsterdams, The Netherlands [11] W Rudin (1985), Functional Analysis, Tata Mc Graw - Hill, Inc., New Delhi ... suy r®ng Colombeau 25 2.1 Đ%nh nghĩa hàm suy r®ng Colombeau 25 2.1.1 Hàm suy r®ng Colombeau (G-suy r®ng) Rn 25 2.1.2 Hàm suy r®ng Colombeau t¾p mó Ω ⊂ Rn 29 2.2 Các tính... 2.3 So Colombeau 35 2.4 Giá tr% tai điem cna hàm G-suy r®ng 38 Chương Xây dNng tơpơ t¾p so Colombeau 41 3.1 Giói thi¾u chung ve tơpơ t¾p so Colombeau 41 3.2 Tơpơ t¾p so Colombeau. .. suy r®ng Colombeau Bài báo góp m®t phan vào vi¾c tìm hieu sâu sac t¾p so Colombeau bang cách xây dnng tơpơ đó, tù có the nghiên cúu đưoc van đe tiep theo liên quan đen hàm suy r®ng Colombeau