Nón tiệm cận, Hàm tiệm cận và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Trần Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựa của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Trần Thị Thu Hiền Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu 6 Chương 1. Tập lồi và hàm lồi 8 1.1 Tập lồi và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Hàm tiệm cận và nón tiệm cận 21 2.1 Định nghĩa nón tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tính đối ngẫu của nón tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Tiêu chuẩn về tính đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Hàm tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Phép tính vi phân ở vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. Sự tồn tại nghiệm và tính ổn định trong bài toán tối ưu 57 3.1 Các bài toán bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Hàm bức yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Sự tồn tại nghiệm tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.4 Tính ổn định cho các bài toán có ràng buộc . . . . . . . 75 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R đường thẳng thực mở rộng R n không gian Euclid n - chiều x, y tích vô hướng của x và y x chuẩn của x conv C bao lồi của tập C aff C bao affine của tập C pos C bao dương của tập C intC phần trong của tập C C bao đóng của tập C ri C phần trong tương đối của tập C ext C tập các điểm biên của tập C extray C tập các tia cực biên của tập C σ C hàm giá của tập C δ C hàm chỉ của tập C γ C hàm cỡ của tập C K ∗ nón cực của K M ⊥ phần bù trực giao của M 5 f ∗ , f ∗∗ liên hợp, liên hợp bậc hai của f lev(f, λ) tập mức của hàm f inf f cận dưới đúng của hàm f sup f cận trên đúng của hàm f min f giá trị nhỏ nhất của hàm f max f giá trị lớn nhất của hàm f Ker f hạt nhân, hạch của hàm f rge f ảnh của hàm f dom f miền hữu hiệu của hàm f epi f trên đồ thị của hàm f ∂f ∂x i đạo hàm riêng của hàm f theo biến x i ∇f(x) gradient của f C ∞ nón tiệm cận của tập C f ∞ hàm tiệm cận của hàm f C f không gian hằng của f K f nón tiệm cận của f L f không gian tuyến tính của f adc hằng số theo phương tiệm cận als hàm ổn định mức tiệm cận. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích và không gian tuyến tính. Sự tách tập lồi và biến đổi liên hợp Legendre-Fenchel là những khái niệm cơ bản có tính cơ sở dẫn tới sự thành công của giải tích lồi. Hai khái niệm cơ bản khác góp phần làm cho giải tích lồi trở thành công cụ giải tích tuyệt vời là khái niệm của nón tiệm cận và hàm tiệm cận. Do đó, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn đề tài “Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng” để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm và ứng dụng của nón tiệm cận và hàm tiệm cận để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và một số ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu. - Sử dụng các phương pháp của giải tích và đại số tuyến tính. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 7 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về nón tiệm cận, hàm tiệm cận và một số tính chất. Nghiên cứu được một số ứng dụng của nón tiệm cận và hàm tiệm cận trong giải tích biến phân và tối ưu hóa. Chương 1 Tập lồi và hàm lồi Tính lồi đóng một vai trò cơ bản trong các bài toán tối ưu. Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về tập lồi, hàm lồi. 1.1 Tập lồi và các tính chất Định nghĩa 1.1.1. Tập C ⊂ R n lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1] thì tx + (1 − t)y ∈ C. Định nghĩa 1.1.2. Giao của tất cả các tập lồi chứa tập C ⊂ R n được gọi là bao lồi của C, kí hiệu conv C. Định nghĩa 1.1.3. Tập C ⊂ R n được gọi là đa tạp affine nếu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ R ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C. Từ định nghĩa ta có R n , các điểm, các đường thẳng và các siêu phẳng trong R n là các đa tạp affine. Đa tạp affine đóng và lồi. Mệnh đề 1.1.1. (Xem [4]) Cho C là tập con khác rỗng trong R n . Các mệnh đề sau tương đương (a) C là đa tạp affine. (b) C = x + M = {y | y − x ∈ M}, M là không gian con. (c) C = {x | Ax = b}, A ∈ R m×n , b ∈ R n . Định nghĩa 1.1.4. Giao của tất cả các tập affine chứa tập C ⊂ R n được gọi là bao affine của C, kí hiệu aff A. 9 Nhận xét 1.1.1. aff A là tập affine nhỏ nhất chứa A. Mệnh đề 1.1.2. (Xem [4]) Giả sử C ⊂ R n khi đó, (a) conv C là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc C, tức là, conv C = { m  i=1 t i x i | x i ∈ C, t i ≥ 0, m  i=1 t i = 1}. (b) aff C là một đa tạp affine và conv C ⊂ aff C. (c) aff C = aff(conv C). Mệnh đề 1.1.3. (Xem [4]) Cho {C i | i ∈ I} là họ các tập lồi C i ⊂ R n i ta có: (a) C 1 × · · · × C m lồi trong R n 1 × · · · × R n m . (b)  i∈I C i lồi với n i = n, ∀i. (c) m  i=1 C i lồi với n i = n, ∀i. (d) Ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là một tập lồi. Định lý 1.1.1. (Định lý Caratheodory) (Xem [2]) Cho C ⊂ R n , khi đó ∀x ∈ conv C là tổ hợp lồi của không quá n +1 điểm khác nhau của C, tức là ∃a 0 , , a m ∈ C và λ 0 , , λ m ≥ 0 với m ≤ n sao cho m  i=1 λ i = 1 và x = m  i=1 λ i a i . Định nghĩa 1.1.5. Cho C ⊂ R n là tập lồi, các tập int C = {x ∈ R n | ∃ε > 0, x + εB ⊂ C} C =  ε>0 (C + εB) lần lượt được gọi là phần trong và bao đóng của C. Định nghĩa 1.1.6. Phần trong tương đối của C ⊂ R n là phần trong của C trong aff C, kí hiệu ri C ri C = {x ∈ aff C | ∃ε > 0, (x + εB) ∩ aff C ⊂ C}. 10 Nhận xét 1.1.2. x ∈ ri A ⇔ tồn tại lân cận mở V của x trong R n sao cho V ∩ aff A ⊂ A. Ví dụ 1.1.1. Trong R 2 , A = [a, b], khi đó ri A = (a, b). Mệnh đề 1.1.4. (Xem [4]) Cho C là tập lồi khác rỗng trong R n . Khi đó (a) ri C = ∅ và aff C = C. (b) Nếu x ∈ C và y ∈ C thì tx + (1 − t)y ∈ ri C, ∀t ∈ [0, 1] và do đó ri C lồi. (c) C = ri C, ri C = ri C. Mệnh đề 1.1.5. (Xem [4]) Cho C, D là hai tập lồi trong R n . Khi đó, với α, β ∈ R ri(αC + βD) = α ri C + β ri D. Vì vậy, với α = −β = 1, ta có 0 ∈ ri(C − D) ⇔ ri C ∩ ri D = ∅. Mệnh đề 1.1.6. (Xem [4]) Cho C là tập lồi khác rỗng trong R n . Khi đó (a) ri C ⊂ C ⊂ C. (b) C = C; ri(ri C) = ri C. (c) A(C) ⊂ A(C) và ri A(C) = A(ri C) trong đó A : R n → R n là ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, A −1 (S) = {x ∈ R n | A(x) ∈ S} là nghịch ảnh của A với S ⊂ R n . Khi đó, nếu A −1 (ri C) = ∅ thì ri(A −1 C) = A −1 (ri C); A −1 (C) = A −1 (C). [...]... việc nghiên cứu dáng điệu của nó ở vô tận Điều này dẫn tới khái niệm của nón tiệm cận, hàm tiệm cận thông qua trên đồ thị của nó Sử dụng giải tích thực cơ bản và các khái niệm hình học chúng ta phát triển một công cụ toán học đầy đủ để xử lý dáng điệu tiệm cận của tập, hàm và các phép toán hàm cảm sinh 2.1 Định nghĩa nón tiệm cận Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm sau: Dãy xk trong Rn được gọi... S∞ và S∞ ⊂ pos S nên pos S ⊂ pos S ∪ S∞ = pos S ∪ S∞ ⊂ pos S ∪ pos S ⊂ pos S Do đó, pos S = pos S ∪ S∞ Khi S bị chặn S∞ = {0} do đó pos S đóng 2.4 Hàm tiệm cận Định nghĩa 2.4.1 Cho hàm chính thường f : Rn → R ∪ {+∞}, tồn tại duy nhất hàm f∞ : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là hàm tiệm cận của f được xác định bởi epi f∞ = (epi f )∞ Từ định nghĩa ta thấy trên đồ thị của bất kỳ hàm tiệm cận nào cũng là nón. .. Rm là ánh xạ tuyến tính và C là tập lồi đóng trong Rn sao cho A−1 (C) = ∅ Khi đó (A−1 (C))∞ = A−1 (C)∞ Chứng minh Vì A liên tục và C là tập lồi đóng nên A−1 (C) đóng và lồi Lấy bất kỳ x ∈ A−1 (C) Khi đó d ∈ (A−1 (C))∞ ⇔ A(x + td) = Ax + tAd ⊂ C, ∀t ≥ 0, suy ra Ad ∈ C∞ ⇒ d ∈ A−1 (C∞ ) 29 2.2 Tính đối ngẫu của nón tiệm cận Có sự liên hệ giữa hàm giá của một tập và nón tiệm cận của nó Định lý dưới đây... tới sự phát triển của tối ưu hóa và giải tích biến phân Các kết quả được đưa ra một cách tổng quát trong chương này nhằm mục đích giới thiệu các kiến thức cần thiết của giải tích lồi sẽ được sử dụng trong luận văn này Phần chi tiết và chứng minh cho các kết quả trong chương này có thể tham khảo thêm trong tài liệu số [1], [2] và [3] Chương 2 Hàm tiệm cận và nón tiệm cận Cho một tập con của Rn chúng... K ⊂ Rn được gọi là nón nếu ∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ⇒ tx ∈ K Nếu K là nón và là tập lồi thì ta nói K là nón lồi Ví dụ 1.1.2 Các tập sau đây trong Rn {x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, , n} {x ∈ Rn | xi > 0, i = 1, , n} là các nón lồi Mệnh đề 1.1.7 (Xem [4]) Giả sử K ⊂ Rn , các mệnh đề sau tương đương (a) K là nón lồi; (b) K là nón thỏa mãn K + K ⊂ K Định nghĩa 1.1.8 Cho K ⊂ Rn , nón cực của K là một nón được xác định K... Rn Khi đó, nón tiệm cận C∞ là tập lồi đóng Hơn nữa, định nghĩa các tập sau D(x) = {d ∈ Rn | x + td ∈ C, ∀t > 0}, ∀x ∈ C E = {d ∈ Rn | ∃x ∈ C; x + td ∈ C, ∀t > 0} F = {d ∈ Rn | d + C ⊂ C} Khi đó, D(x) không phụ thuộc vào x (độc lập với x) vì vậy kí hiệu D = D(x) và ta có C∞ = D = E = F Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.1, C∞ là nón đóng, và do mệnh đề 2.1.3 1 C∞ = C∞ nên C∞ lồi Bây giờ ta chứng minh ba công... A(C) đóng và A(C∞ ) = (A(C))∞ (2.5) Chứng minh Nếu S = ∅ từ định lý 2.3.1 suy ra A(C) đóng Nếu S = ∅ lấy zk = z = x ta có Ax = 0, do đó (2.4) thỏa mãn Vậy A(C) đóng Từ định nghĩa của nón tiệm cận ta có A(C∞ ) ⊂ (A(C))∞ Bây giờ ta chứng minh (A(C))∞ ⊂ A(C∞ ) Lấy bất kỳ y ∈ (A(C))∞ Khi đó ∃tk → ∞, ∃yk ∈ A(C) : t−1 yk → y k và do đó ∃uk ∈ C : yk = Auk Đặt Sk = {x ∈ C | Ax = yk } Khi đó Sk = ∅ và Sk đóng... C∞ và t−1 Axk → y = Ax∞ ⇒ y ∈ A(C∞ ) k Vậy A(C) đóng và ta có A(C∞ ) = (A(C))∞ Hệ quả 2.3.1 Cho C là tập đóng khác rỗng và A : Rn → Rm là ánh xạ tuyến tính Cho L(C) = C∞ ∩ −C∞ và L = L(C) ∩ Ker A và giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) Với k đủ lớn Ck + L ⊂ C với Ck = {x ∈ C | xk ≤ k}; (b) z ∈ Ker A ∩ C∞ ⇒ z ∈ −C∞ Khi đó A(C) đóng và A(C∞ ) = (A(C))∞ Chứng minh Lấy bất kỳ yk ∈ A(C), yk → y và. .. → R ∪ {+∞} là hàm lồi Khi đó hàm liên hợp f ∗ chính thường, nửa liên tục dưới và lồi khi và chỉ khi f chính thường Hơn nữa, (f )∗ = f ∗ và f ∗∗ = f Định nghĩa 1.2.9 Giả sử fi : Rn → R ∪ {+∞}, i = 1, , m là các hàm chính thường, tổng chập infimal của f1 , , fm là hàm h được xác định m xi = x} ∀x ∈ Rn h(x) = (f1 ⊕· · ·⊕fm )(x) = inf{f1 (x1 )+· · ·+fm (xm ) | i=1 Định nghĩa 1.2.10 Cho hàm f : Rn → R... nhất dương nếu 0 ∈ dom π và π(λx) = λπ(x), ∀x, ∀λ > 0 Mệnh đề 1.2.4 (Xem [4]) Cho C là tập khác rỗng trong Rn , hàm tựa σC có các tính chất sau: (a) σC là hàm lồi, thuần nhất dương và nửa liên tục dưới (b) Nón chắn dom σC là nón lồi (c) σC = σC = σconv C = σconv C (d) σC < +∞ ⇔ C bị chặn (e) Nếu C lồi thì σC = σri C Định lý 1.2.5 (Xem [4]) Cho C là tập lồi khác rỗng trong Rn và B(d) = σC (d) + σC (−d), . Toán giải tích và ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về nón tiệm cận, hàm tiệm cận và ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nón tiệm cận, hàm tiệm cận và một số ứng dụng. 5. Phương. cơ bản về nón tiệm cận, hàm tiệm cận và một số tính chất. Nghiên cứu được một số ứng dụng của nón tiệm cận và hàm tiệm cận trong giải tích biến phân và tối ưu hóa. Chương 1 Tập lồi và hàm lồi Tính. cận và ứng dụng để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm và ứng dụng của nón tiệm cận và hàm tiệm cận để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích và